- Kümeleri liste, ortak özellik, aralık ve Venn şemasıyla okumak ve yazmak, ∈ ile ⊆ işaretlerini ayırt etmek
- Alt kümeleri 2ⁿ ile saymak ve boş kümeyi unutmadan parametreli alt küme sorularını çözmek
- Birleşim, kesişim ve tümleyeni sayı doğrusunda ya da Venn şemasında bulmak, eleman sayısını içerme–dışlama ilkesiyle hesaplamak
- Çözüm kümelerini karşılaştırarak bir koşulun yeter, gerek, gerek ve yeter şart olup olmadığını ya da hiçbiri olmadığını belirlemek
Bir sınıftaki 40 öğrenciden 25’i İngilizce, 18’i Çince, 8’i ise her iki dili öğreniyor. Kaç öğrenci bu dillerin hiçbirini öğrenmiyor? 25 + 18 toplamında bu 8 kişi iki kez sayıldı; bu yüzden en az bir dili 35 öğrenci öğreniyor, hiçbirini ise 5 öğrenci. İşte kümelerle düşünmek budur. CSCA’nın resmî müfredatı matematiğe kümelerle başlar ve küme sorusu genellikle testin başlarında gelir: gösterimler otomatikleştiyse bir dakikadan kısa sürer. Bu derste kümeleri yazmayı, alt kümeleri saymayı, küme işlemlerini, eleman saymayı ve gerek ve yeter şartları küme diliyle okumayı öğreneceksin. Kümeleri tanımlayan eşitsizliklerin çözümü bir sonraki dersin, «Eşitsizlikler: özellikler, ikinci dereceden ve rasyonel eşitsizlikler» dersinin konusudur.
Küme ve gösterim biçimleri
集合) ve eleman (元素)Küme, iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesnelerin, yani elemanlarının topluluğudur. a ∈ A “a, A’nın elemanıdır”, a ∉ A ise “elemanı değildir” demektir. Bir kümenin elemanları belirlidir (her nesne için kümede olup olmadığı söylenebilir), farklıdır (hiçbir eleman tekrar etmez) ve sırasızdır: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Hiç elemanı olmayan küme boş kümedir: ∅.
Bir küme dört yolla yazılabilir. Liste yöntemi (列举法): {1, 2, 3}. Ortak özellik yöntemi (描述法): {x ∈ R | x > 2}, “x > 2 olan tüm gerçek x’ler” diye okunur; çizginin solundaki harf temsilci elemandır ve kümenin hangi nesnelerden oluştuğunu o belirler. Gerçek sayı kümeleri için aralıklar, örneğin [1, 4) = {x | 1 ≤ x < 4}: köşeli parantez uç noktayı dahil eder, yuvarlak parantez etmez; ∞ her zaman yuvarlak parantezle yazılır. Venn şemaları (Venn 图): evrensel küme U bir dikdörtgen, kümeler ise içindeki daireler olarak çizilir. Sayı kümeleri: N doğal sayılar, N* (veya N₊) pozitif tam sayılar, Z tam sayılar, Q rasyonel sayılar, R gerçek sayılar.
A = {1, a + 2, a²} ve 4 ∈ A. a kaçtır?
A) 2 B) −2 C) 2 veya −2 D) böyle bir a yoktur
Çözümü gösterÇözümü gizle
a + 2 = 4 ise a = 2 olur; ama o zaman a² = 4 de olur ve A = {1, 4, 4} çıkar: eleman tekrar ediyor, yani a = 2 olamaz.
a² = 4 ise a = 2 (elendi) veya a = −2; bu durumda A = {1, 0, 4}, üç farklı eleman. Cevap B.
A ve C elemanların farklı olmasını kontrol etmez; D ise a = −2’yi aceleyle eler.
A = {y | y = x² − 2x}, B = {x | y = √(3 − x)}, C = {(x, y) | y = x² − 2x}. A ∩ B ve A ∩ C kümelerini bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
B, izin verilen x’lerden oluşur: 3 − x ≥ 0, yani B = (−∞, 3].
A ∩ B = [−1, 3].
C parabolün noktalarından oluşan bir kümedir, A ise sayılardan oluşur; bu yüzden A ∩ C = ∅. (Tanım ve görüntü kümeleri genel olarak «Fonksiyonlar ve özellikleri» dersindedir.)
Alt kümeler ve sayıları
子集) ve öz alt küme (真子集)A’nın her elemanı B’de de varsa A, B’nin alt kümesidir: A ⊆ B. Ayrıca B’nin A’da olmayan bir elemanı da varsa A, B’nin öz alt kümesidir: A ⫋ B (A ⊊ B veya A ⊂ B de yazılır). A ⊆ B ve B ⊆ A ise ve yalnızca bu durumda A = B’dir. Boş küme her kümenin alt kümesi, boş olmayan her kümenin de öz alt kümesidir. İki işareti karıştırma: 1 ∈ {1, 2} (eleman), ama {1} ⊆ {1, 2} (küme).
- nkümenin eleman sayısı
Her eleman alt kümede ya vardır ya yoktur: eleman başına 2 seçenek, toplam 2ⁿ. Öz alt kümeler için kümenin kendisini, boş olmayan öz alt kümeler için ayrıca ∅’yi çıkarırız.
1) {x ∈ N | x ≤ 3} kümesinin kaç alt kümesi vardır?
2) {x ∈ Z | x² ≤ 4} kümesinin boş olmayan kaç öz alt kümesi vardır?
3) {1, 2} ⊆ M ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} koşulunu sağlayan kaç M kümesi vardır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) x² ≤ 4 ⇒ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}, n = 5: 2⁵ − 2 = 30.
3) 1 ve 2 kesinlikle M’dedir, yalnızca 3, 4, 5 serbesttir: 2³ = 8 küme.
A = {x | −2 ≤ x ≤ 5}, B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1} ve B ⊆ A. m’nin alabileceği değerler hangisidir?
A) 2 ≤ m ≤ 3 B) m ≤ 3 C) −3 ≤ m ≤ 3 D) m < 2
Çözümü gösterÇözümü gizle
2. durum, B ≠ ∅ (m ≥ 2): m + 1 ≥ −2 ve 2m − 1 ≤ 5 olmalı, yani m ≥ −3 ve m ≤ 3; m ≥ 2 ile birlikte 2 ≤ m ≤ 3.
İki durumun birleşimi: m ≤ 3, cevap B.
A klasik hatadır (∅ unutulmuş); C, B’yi boş olmayan yapan m ≥ 2 koşulunu atar; D yalnızca boş durumu tutar.
Birleşim, kesişim ve tümleyen
- A ∪ Bbirleşim (
并集): kümelerden en az birinde bulunan elemanlar - A ∩ Bkesişim (
交集): her iki kümede de bulunan elemanlar - ∁ᵤAA’nın U evrensel kümesine (
全集) göre tümleyeni (补集); başka kitaplarda A′, Ā veya Aᶜ
Birleşim “veya”, kesişim “ve”, tümleyen “değil” demektir. Tümleyen her zaman U’ya göre alınır; sayı kümeleri için U verilmemişse U = R’dir. Her zaman A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B; A ∩ B = A ve A ∪ B = B eşitliklerinin ikisi de A ⊆ B demektir.
- 1Her koşulu çöz
Her tanımı bir aralığa ya da aralıkların birleşimine çevir (ikinci dereceden ve kesirli koşullar: «Eşitsizlikler: özellikler, ikinci dereceden ve rasyonel eşitsizlikler» dersi).
- 2Tek bir sayı doğrusu çiz
Tüm uç noktaları sırayla işaretle: dahil olan uç için dolu, dahil olmayan için boş nokta.
- 3İşlemi oku
Kesişim: taramaların üst üste geldiği yer; birleşim: en az birinin tarandığı yer; tümleyen: U’nun taranmamış kısmı.
- 4Her uç noktayı kontrol et
Her uç için ayrı ayrı sor: A’da mı? B’de mi? Tümleyen dolu ve boş noktaları değiştirir: ∁ᵣ[1, 4) = (−∞, 1) ∪ [4, +∞).
U = R, A = [−1, 3), B = (1, 5]. A ∩ B, A ∪ B, ∁ᵣA ve (∁ᵣA) ∩ B kümelerini bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
A ∩ B = (1, 3): 1, B’nin; 3 de A’nın elemanı değildir.
A ∪ B = [−1, 5]: 3, B’dedir, bu yüzden boşluk kapanır.
∁ᵣA = (−∞, −1) ∪ [3, +∞): uç noktalar değişir.
(∁ᵣA) ∩ B = [3, 5].
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ (∁ᵤB) = {1, 3}, (∁ᵤA) ∩ B = {2, 6} ve ∁ᵤ(A ∪ B) = {5, 8}. A kümesi hangisidir?
A) {1, 3} B) {1, 3, 4, 7} C) {4, 7} D) {1, 3, 5, 8}
Çözümü gösterÇözümü gizle
A = (yalnızca A) ∪ (ikisi de) = {1, 3} ∪ {4, 7} = {1, 3, 4, 7}, cevap B.
A seçeneği A’nın yalnızca B dışındaki kısmıdır; C, A ∩ B’dir; D “B’nin dışı” ile “ikisinin de dışı”nı karıştırır.
- ∁ᵤU evrensel kümesine göre tümleyen
De Morgan kuralları: tümleyen birleşimi kesişime, kesişimi de birleşime çevirir. “(A veya B) değil” = “A değil ve B değil”.
1) U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}. (∁ᵤA) ∩ (∁ᵤB) kümesini bul.
2) U = R, A = (−∞, 2], B = (0, +∞). (∁ᵣA) ∪ (∁ᵣB) kümesini bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) ∁ᵣ(A ∩ B) = ∁ᵣ(0, 2] = (−∞, 0] ∪ (2, +∞). Kontrol: ∁ᵣA = (2, +∞), ∁ᵣB = (−∞, 0]; birleşimleri aynıdır.
Eleman sayma: içerme–dışlama ilkesi
- |A|sonlu A kümesinin eleman sayısı (Türkiye’de s(A); ayrıca n(A) veya card(A))
|A| ile |B| toplanınca ortak kısım iki kez sayılır, bu yüzden bir kez çıkarılır.
1) 50 turistten 32’si Pekin’de, 21’i Şanghay’da bulunmuş, 9’u ise hiçbirine gitmemiş. Kaç turist her iki şehirde de bulunmuş?
2) 1’den 100’e kadar kaç tam sayı 2’ye veya 5’e bölünür?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 2’nin katları 50, 5’in katları 20, ikisinin de (yani 10’un) katları 10: 50 + 20 − 10 = 60.
- |A ∩ B ∩ C|üç kümenin hepsinde bulunan elemanların sayısı
Tekleri topla, ikilileri çıkar, üçlüyü geri ekle: merkez 3 kez eklenir ve 3 kez çıkarılır, bu yüzden bir kez daha eklenmelidir.
45 kişilik bir sınıfta 24 öğrenci matematik, 20 öğrenci fizik, 16 öğrenci kimya kulübüne gidiyor; 9 öğrenci matematik ve fizik, 7 öğrenci matematik ve kimya, 6 öğrenci fizik ve kimya kulübüne, 3 öğrenci ise üçüne de gidiyor. Kaç öğrenci hiçbir kulübe gitmiyor?
A) 41 B) 4 C) 7 D) 10
Çözümü gösterÇözümü gizle
C (7) üç kulübe de giden 3 öğrenciyi geri eklemeyi unutur; D (10) onları eklemek yerine çıkarır; A (41) başka bir sorunun cevabıdır.
Gerek ve yeter şartlar
充分条件) ve gerek şart (必要条件)p ⇒ q ise (p doğru olduğunda q da doğrudur) p, q için yeter şart, q da p için gerek şarttır. p ⇒ q ve q ⇒ p, yani p ⇔ q ise p, q için gerek ve yeter şarttır (充要条件). p ⇒ q’nun yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter.
- Pp’yi sağlayan tüm x’lerin kümesi: P = {x | p(x)}
- Qq’yu sağlayan tüm x’lerin kümesi: Q = {x | q(x)}
Küme resmi: çözüm kümesi küçük olan koşul büyük olanı gerektirir. “Küçük ⇒ büyük”: küçük küme yeter şart, büyük küme gerek şarttır (Çin ders kitaplarında 小范围推出大范围).
| P ve Q kümeleri | p, q için |
|---|---|
| P ⫋ Q | yeter ama gerek olmayan (充分不必要) |
| Q ⫋ P | gerek ama yeter olmayan (必要不充分) |
| P = Q | gerek ve yeter (充要) |
| hiçbiri diğerinin alt kümesi değil | ne yeter ne gerek (既不充分也不必要) |
p, q için ne tür bir şarttır?
1) p: x > 3, q: x > 1.
2) p: x² = 4, q: x = 2.
3) p: |x − 1| < 2, q: −1 < x < 3.
4) p: xy > 0, q: x > 0 ve y > 0.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) P = {−2, 2}, Q = {2}, Q ⫋ P: gerek ama yeter değil (x = −2).
3) |x − 1| < 2 ⇔ −2 < x − 1 < 2 ⇔ −1 < x < 3, aynı küme: gerek ve yeter.
4) q ⇒ xy > 0; ama x = y = −1 için xy > 0 olur ve q sağlanmaz: gerek ama yeter değil.
p: 1 ≤ x ≤ 3; q: x < a. p, q için yeter ama gerek olmayan bir şart ise a’nın alabileceği değerler hangisidir?
A) a ≥ 3 B) a > 3 C) a ≤ 1 D) a > 1
Çözümü gösterÇözümü gizle
A, a = 3’e izin verir; ama o zaman x = 3, P’dedir ve Q’da değildir; D yalnızca kümelerin kesişmesini sağlar; C gerektirmenin yönünü karıştırır.
CSCA bu konuyu nasıl soruyor
- Aralıklarla işlemler: A ikinci dereceden bir eşitsizlikle, B basit bir koşulla verilir; A ∩ B, A ∪ B veya A ∩ ∁ᵣB bulunur. Tek bir sayı doğrusu çiz, uç noktaları en son kontrol et.
- U’su verilmiş sonlu kümeler: tümleyenler ve De Morgan kuralları; üç-dört bölge verilmişse Venn şemasını doldur.
- Alt küme sayısı: önce n’yi bul (0 ∈ N, aralıktaki tam sayılar), sonra 2ⁿ, 2ⁿ − 1 veya 2ⁿ − 2.
- Parametreler: “B ⊆ A”, “A ∩ B = B”, “A ∪ B = A” hepsi B ⊆ A demektir: önce B = ∅ durumunu dene; listenin içinde bir harf varsa elemanların farklı olduğunu kontrol et.
- İnsan sayma: içerme–dışlama ilkesi ya da doldurulmuş şema; sorunun “en az biri”, “tam olarak biri” veya “hiçbiri”ni sorduğunu dikkatle oku.
- Şartlar: p ve q’yu kümelere çevir ve karşılaştır; seçeneklerdeki uç noktaları tek bir değerle dene. Süre: bu sorulara 40–60 saniye ayır ki zor sorulara zaman kalsın.
| Terim | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| küme — set | 集合 | jíhé |
| eleman — element | 元素 | yuánsù |
| boş küme — empty set | 空集 | kōngjí |
| alt küme — subset | 子集 | zǐjí |
| öz alt küme — proper subset | 真子集 | zhēn zǐjí |
| evrensel küme — universal set | 全集 | quánjí |
| birleşim — union | 并集 | bìngjí |
| kesişim — intersection | 交集 | jiāojí |
| tümleyen — complement | 补集 | bǔjí |
| aralık — interval | 区间 | qūjiān |
| Venn şeması — Venn diagram | Venn 图 / 韦恩图 | Venn tú / Wéi’ēn tú |
| yeter şart — sufficient condition | 充分条件 | chōngfèn tiáojiàn |
| gerek şart — necessary condition | 必要条件 | bìyào tiáojiàn |
| gerek ve yeter şart — necessary and sufficient condition | 充要条件 | chōngyào tiáojiàn |
Önemli noktalar
- Bir kümenin elemanları belirli, farklı ve sırasızdır; çizginin solundaki harf kümenin neyden oluştuğunu söyler (x sayıları, y değerleri ya da (x, y) noktaları); Çin’de 0 ∈ N.
- n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi, 2ⁿ − 1 öz alt kümesi ve 2ⁿ − 2 boş olmayan öz alt kümesi vardır; ∅ her kümenin alt kümesidir.
- A ∪ B “veya”, A ∩ B “ve”, ∁ᵤA “U’da ama A’da değil” demektir; tümleyen uç noktaları değiştirir; ∁ᵤ(A ∪ B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB.
- |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|; üç kümede tekleri topla, ikilileri çıkar, üçlüyü ekle.
- p ⇒ q ⇔ P ⊆ Q: küçük küme yeter, büyük küme gerek şarttır; kümeler eşitse şart gerek ve yeterdir.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.
Konu testi: 20 soru · 25 dk
Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.