İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Başlangıç8–9. sınıf25 dk4 / 44

İvme ve düzgün hızlanan hareket

İvmeyi, düzgün hızlanan hareketin hız ve konum denklemlerini, zamansız formülü s = (v² − v₀²) / (2a), 1 : 3 : 5 kuralını, frenleme ve yetişme problemlerini DİM tarzı sorularla öğren.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • İvmeyi hesaplamak ve işaretlerden cismin hızlandığını ya da yavaşladığını belirlemek
  • Hız ve konum denklemlerini yazmak, denklemden x₀, v₀ₓ, aₓ’i okumak
  • Zamansız formülü ve 1 : 3 : 5 kuralını uygulamak
  • Frenleme, karşılaşma ve yetişme problemlerini çözmek

Trafik ışığı yeşile döner. Bir otomobil harekete geçer ve 5 saniye sonra hız göstergesi 36 km/h’yi gösterir. Bir sonraki ışıkta otomobil fren yapıp durur. Hızdaki bu tür değişimleri ivme tanımlar. Bu derste düzgün hızlanan hareketin bütün formüllerini (hız, konum, zamansız formül, 1 : 3 : 5 kuralı) öğrenecek ve onları frenleme ve yetişme problemlerinde kullanacaksın.

İvme nedir?

Tanım
İvme

Hız değişiminin, bu değişimin gerçekleştiği süreye oranı. İvme vektörel bir büyüklüktür ve hızın her saniyede ne kadar değiştiğini gösterir. Birimi m/s²’dir. İvme sabit kalıyorsa harekete düzgün hızlanan (sabit ivmeli) hareket denir. İvmeyi ivmeölçer (akselerometre) ölçer; her akıllı telefonda böyle bir algılayıcı vardır.

aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / taₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t
burada:
  • aₓivme (işaretli), m/s²
  • v₀ₓ, vₓilk ve son hız (işaretli), m/s
  • thızın değiştiği süre, s

vₓ ile aₓ aynı işaretliyse sürat artar; işaretler zıtsa cisim yavaşlar. Yani “negatif ivme” her zaman frenleme demek değildir!

Örnek 1: hızlanma, frenleme ve işaretler

a) Duran bir otomobil 8 s’de 20 m/s hıza ulaşıyor. b) 15 m/s hızla giden bir otobüs fren yapıyor ve 5 s sonra duruyor. c) Bir cismin v₀ₓ = −10 m/s, aₓ = +2 m/s². Hızlanıyor mu, yavaşlıyor mu? 8 s sonra vₓ kaç olur?

Çözümü göster
a) a = (20 − 0) / 8 = 2,5 m/s².
b) a = (0 − 15) / 5 = −3 m/s²; hız her saniye 3 m/s azalır.
c) İşaretler zıt → cisim yavaşlıyor; vₓ = −10 + 2t, t = 5 s’de durur, sonra eksen yönünde hızlanır: vₓ(8) = −10 + 16 = 6 m/s.

Hız ve konum denklemleri

vₓ = v₀ₓ + aₓ · t
burada:
  • vₓt anındaki hız (işaretli)

Hız zamana doğrusal olarak bağlıdır.

x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2
burada:
  • x₀ilk konum, m
  • xt anındaki konum, m

Düzgün hızlanan hareketin konum denklemi. Yer değiştirme sₓ = x − x₀ = v₀ₓt + aₓt²/2; cisim geri dönmüyorsa alınan yol da budur.

sₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · tsₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · t
burada:
  • (v₀ₓ + vₓ) / 2(v₀ₓ + vₓ) / 2düzgün hızlanan harekette ortalama hız

Ortalama hız, ilk ve son hızların aritmetik ortalamasıdır; yalnızca düzgün hızlanan harekette!

Bu formüllerin anlamı v–t grafiğinde görülür: hız doğrusal arttığı için grafiğin altındaki şekil bir yamuktur ve alanı ortalama hız ile zamanın çarpımıdır. vₓ = v₀ₓ + aₓt yazarsak (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)/2 · t = v₀ₓt + aₓt²/2 elde edilir; konum denklemindeki yer değiştirme tam olarak budur.

Örnek 2: denklemi okumak

Bir cismin konumu x = 5 − 4t + 2t² bağıntısıyla değişiyor (SI). x₀, v₀ₓ ve aₓ’i bul, hız denklemini yaz. Cisim ne zaman ve nerede durur? 3 s’deki yer değiştirme ve alınan yol nedir?

Çözümü göster
Karşılaştırma: x₀ = 5 m, v₀ₓ = −4 m/s, aₓ / 2 = 2 → aₓ = 4 m/s².
vₓ = −4 + 4t; vₓ = 0 → t = 1 s, x(1) = 5 − 4 + 2 = 3 m.
x(3) = 5 − 12 + 18 = 11 m → yer değiştirme 11 − 5 = 6 m.
Yol: önce 5 m’den 3 m’ye (2 m), sonra 3 m’den 11 m’ye (8 m) → 10 m.
Örnek 3: bisikletli

Leyla bisikletle durgun hâlden 0,5 m/s² ivmeyle harekete başlıyor. 10 s sonra hızı ne olur, bu sürede ne kadar yol alır ve ortalama sürati nedir?

Çözümü göster
v = a · t = 0,5 · 10 = 5 m/s.
s = a · t² / 2 = 0,5 · 100 / 2 = 25 m.
Ortalama sürat: 25 / 10 = 2,5 m/s = (0 + 5) / 2; ortalama hız formülü doğrulanır.

Zamansız formül

Problemde süre verilmemiş ve sorulmuyorsa, t = (v − v₀) / a ifadesini ortalama hız formülüne koyarız: s = (v₀ + v) / 2 · (v − v₀) / a. Böylece içinde zaman olmayan formül elde edilir.

s = (v² − v₀²) / (2a)s = (v² − v₀²) / (2a)
burada:
  • v₀, vilk ve son hız, m/s
  • aivme (frenlemede negatif), m/s²

Başka yazılışı: v² − v₀² = 2as. Fren mesafesi: s = v₀² / (2|a|).

Örnek 4: zamansız formülle üç problem

1) Bir uçağın kalkış için 60 m/s hıza ulaşması gerekiyor. Durgun hâlden 2,5 m/s² ivmeyle ne uzunlukta bir pist gerekir?
2) 20 m/s hızla giden bir otomobil 5 m/s²’lik ivmeyle fren yapıyor. Fren mesafesi nedir?
3) 10 m/s hızla giden bir cisim 3 m/s² ivmeyle hızlanıyor. 50 m yol aldıktan sonra hızı kaç olur?

Çözümü göster
1) s = (60² − 0) / (2 · 2,5) = 3600 / 5 = 720 m.
2) s = (0 − 20²) / (2 · (−5)) = 40 m.
3) v² = 10² + 2 · 3 · 50 = 400 → v = 20 m/s.
Problemde hangi büyüklük yok?Formül
zaman ts = (v² − v₀²) / (2a)
ivme as = (v₀ + v) / 2 · t
son hız vs = v₀ · t + a · t² / 2
yol sv = v₀ + a · t
Beş büyüklükten (v₀, v, a, t, s) üçü verilir, biri sorulur: formülü problemde yer almayan büyüklüğe göre seç.

1 : 3 : 5 kuralı ve n. saniyede alınan yol

Durgun hâlden başlayan düzgün hızlanan harekette t, 2t, 3t, … sürelerinde alınan yollar 1 : 4 : 9 : … oranında (zamanın karesi gibi) artar. Ardışık eşit zaman aralıklarında alınan yollar ise tek sayılar gibi orantılıdır: 1 : 3 : 5 : 7 : … Bunu Galileo keşfetmiştir.

sₙ = a · (2n − 1) / 2sₙ = a · (2n − 1) / 2
burada:
  • sₙdurgun hâlden başlayan cismin n. saniyede aldığı yol, m
  • nsaniyenin sıra numarası

sₙ = s(n) − s(n − 1) farkından elde edilir.

Örnek 5: n. saniye

1) Bir cisim durgun hâlden 4 m/s² ivmeyle hareket ediyor. 3. saniyede ne kadar yol alır?
2) Durgun hâlden düzgün hızlanan bir cisim ilk saniyede 2 m gitmiş. 5. saniyede ve ilk 5 saniyede ne kadar yol alır?

Çözümü göster
1) s₃ = 4 · (2 · 3 − 1) / 2 = 10 m. Kontrol: s(3) − s(2) = 18 − 8 = 10 m.
2) Saniye saniye oran 1 : 3 : 5 : 7 : 9 → 5. saniyede 2 · 9 = 18 m. İlk 5 s’de oran 1 : 25, yani 2 · 25 = 50 m.
Örnek 6 (çoktan seçmeli)

Durgun hâlden düzgün hızlanan bir cisim 4. saniyede 14 m yol alıyor. Cismin ivmesini hesaplayın.
A) 4 m/s² B) 3,5 m/s² C) 2 m/s² D) 7 m/s² E) 1,75 m/s²

Çözümü göster
s₄ = a · (2 · 4 − 1) / 2 = 3,5a = 14 → a = 4 m/s² (A).
E (1,75), 14 m’yi ilk 4 saniyenin toplam yolu sanmaktan; B (3,5) ise 14’ü 4’e bölmekten çıkar.

Frenleme ve yetişme problemleri

Fren yapan cisim durduktan sonra geri gitmez. Bu yüzden önce durma süresini (td = v₀ / |a|) bul: sorulan süre bundan uzunsa yol, fren mesafesidir. Karşılaşma ve yetişme problemlerinde her cisim için aynı eksende konum denklemi yazılır ve x₁ = x₂ koşulu çözülür.

Örnek 7 (çoktan seçmeli): frenleme tuzağı

20 m/s hızla giden bir otomobil 4 m/s²’lik ivmeyle fren yapıyor. Otomobilin 6 s’de aldığı yolu hesaplayın.
A) 48 m B) 50 m C) 72 m D) 120 m E) 40 m

Çözümü göster
Durma süresi: 20 / 4 = 5 s < 6 s. Son saniyede otomobil duruyor.
s = v₀² / (2a) = 400 / 8 = 50 m (B).
A (48 m), s = v₀t − at²/2 formülüne t = 6 s koymaktan çıkar; bu, otomobilin geri gittiğini varsayar.
Örnek 8: frenlemenin son saniyesi

20 m/s hızla giden bir otomobil 4 m/s² ivmeyle fren yapıp duruyor. Her saniyede aldığı yolları bul. Durmadan önceki son saniyede ne kadar yol alır?

Çözümü göster
Durma 20 / 4 = 5 s’de olur. Hareketi tersinden izlersek durgun hâlden 4 m/s² ivmeyle hızlanmadır; bu yüzden sondan sayıldığında yollar 1 : 3 : 5 : 7 : 9 oranındadır: 2, 6, 10, 14, 18 m.
Yani saniye saniye: 18, 14, 10, 6, 2 m; son saniyedeki yol a/2 = 2 m’dir.
Toplam 18 + 14 + 10 + 6 + 2 = 50 m, fren mesafesiyle aynı.
Örnek 9: birbirine doğru hareket

A noktasından durgun hâlden 4 m/s² ivmeyle bir motosiklet, aynı anda 100 m ötedeki B noktasından ona doğru 10 m/s sabit hızla bir bisikletli harekete başlıyor. Ne zaman ve A’dan ne kadar uzakta karşılaşırlar?

Çözümü göster
Ox ekseni A’dan B’ye: x₁ = 2t², x₂ = 100 − 10t.
x₁ = x₂ → 2t² + 10t − 100 = 0 → t² + 5t − 50 = 0 → (t + 10)(t − 5) = 0 → t = 5 s.
x = 2 · 25 = 50 m. Motosikletin o andaki hızı 4 · 5 = 20 m/s’dir.
Örnek 10 (kodlanan cevap): yetişme

Bir otobüs duraktan 1 m/s² ivmeyle hareket ederken yanından aynı yönde 5 m/s sabit hızla bir bisikletli geçiyor. Otobüs bisikletliye kaç saniye sonra yetişir?

Çözümü göster
xo = t² / 2, xb = 5t → t² / 2 = 5t → t = 10 s (t = 0 başlangıç anıdır).
Cevap: 10. Kontrol: otobüsün hızı 10 m/s = 2 · 5 m/s, karşılaşma duraktan 50 m ötede.
Kendini dene
  1. 1.36 km/h = m/s
  2. 2.v₀ = 0, a = 3 m/s², t = 4 s → v = m/s
  3. 3.Durgun hâlden: s₁ : s₂ : s₃ = 1 : 3 :
  4. 4.v₀ = 10 m/s, a = −5 m/s² → fren mesafesi m
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Örnek 7: v₀ = 20 m/s, a = −4 m/s². Hız 5 s’de sıfır olur. Etkileşimli araç bundan sonra cismin geri gittiğini gösterir (ivme sürseydi böyle olurdu), gerçek otomobil ise durur; frenleme problemlerinde bunu unutma.

Önemli noktalar

  • aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t; vₓ ile aₓ aynı işaretliyse cisim hızlanır, zıt işaretliyse yavaşlar.
  • vₓ = v₀ₓ + aₓt, x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2, ortalama hız (v₀ + v)/2.
  • Zamansız formül: s = (v² − v₀²) / (2a); fren mesafesi v₀² ile orantılıdır.
  • Durgun hâlden: ardışık saniyelerdeki yollar 1 : 3 : 5 : …, sₙ = a(2n − 1)/2.
  • Frenlemede önce durma anını bul; karşılaşmada x₁ = x₂ denklemini çöz.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
İvme neyi gösterir?