- Sığayı tanımlamak; C = q / U ve C = ε · ε₀ · S / d ile sığa, yük ve gerilimi hesaplamak
- Seri, paralel ve karışık bağlamada eşdeğer sığayı, her kondansatörün yükünü ve gerilimini bulmak
- Kondansatörün enerjisini ve alanın enerji yoğunluğunu hesaplamak
- Üretece bağlı (U sabit) ve ayrılmış (q sabit) kondansatörde d, S veya ε değişince C, q, U, E ve W’nin nasıl değiştiğini belirlemek
Fotoğraf makinesinin flaşı bir anlığına parlar, defibrilatör duran kalbi güçlü bir elektrik atımıyla yeniden çalıştırır, akıllı telefonun ekranı da parmağının dokunuşunu hisseder. Bu cihazların hepsinde bir kondansatör vardır: yükü ve elektrik alanının enerjisini depolayıp gerektiği anda veren bir devre elemanı. «Elektrik yükü, Coulomb yasası ve elektrik alanı» dersinde yükleri ve alanı öğrendik; şimdi yükün nasıl “depolandığını” öğreneceğiz. DİM sorularında bu konu çoğu zaman tek bir soruya dayanır: kondansatör üretece bağlı mı kaldı, yoksa üreteçten ayrıldı mı?
Sığa
Bir iletkene yük verdikçe potansiyeli de yükle doğru orantılı artar: yükü 2 katına çıkarırsan gerilim de 2 katına çıkar. Yani q / U oranı belirli bir iletken (veya iletken çifti) için sabittir. Uygulamada ince bir yalıtkan (dielektrik) tabakayla ayrılmış iki iletken levha kullanılır; bu bir kondansatördür. Üretece bağlandığında levhalardan biri +q, diğeri −q yükü alır. “Kondansatörün yükü” denince bir levhadaki yükün büyüklüğü, yani q kastedilir: iki levhanın toplam yükü sıfırdır.
Kondansatör levhalarından birindeki yükün levhalar arasındaki gerilime oranına eşit fiziksel büyüklük; kondansatörün yük depolama yeteneğini gösterir. Birimi faraddır (F).
- Csığa, F (farad)
- qbir levhadaki yükün büyüklüğü, C
- Ulevhalar arasındaki gerilim (potansiyel farkı), V
1 F = 1 C/V. Farad çok büyük bir birimdir; bu yüzden µF (10⁻⁶ F), nF (10⁻⁹ F) ve pF (10⁻¹² F) kullanılır. Sığa ne yüke ne de gerilime bağlıdır: q artınca U da aynı oranda artar, oran değişmez.
1) Sığası 20 µF olan bir kondansatör 50 V gerilime bağlanmıştır. Yükünü bulun.
2) Bir kondansatör 300 V gerilimde 6 nC yük depoluyor. Sığası nedir?
3) 5 µF’lık bir kondansatörün yükü 40 µC’dan 100 µC’a çıkarılıyor. Gerilim ve sığa nasıl değişir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) C = q / U = 6 · 10⁻⁹ / 300 = 2 · 10⁻¹¹ F = 20 pF.
3) U = q / C, 40 / 5 = 8 V’tan 100 / 5 = 20 V’a çıkar; sığa yine 5 µF’tır: kondansatörün yapısına bağlıdır.
Paralel levhalı kondansatörün sığası
En basit kondansatör paralel levhalı kondansatördür: alanı S olan, aralarında d uzaklığı bulunan iki paralel levha. Levhalar arasında alan düzgündür, dışarıda ise neredeyse sıfırdır. Sığanın neye bağlı olduğu mantıkla da bulunabilir: levha ne kadar genişse üzerine o kadar çok yük “sığar” (C ~ S); levhalar ne kadar yakınsa pozitif ve negatif yükler birbirini o kadar güçlü tutar (C ~ 1/d).
Levhaların arasına bir dielektrik (yalıtkan) konulduğunda kutuplanır: moleküllerinin yükleri levhaların alanını ε kat zayıflatır. Aynı q yükünde gerilim ε kat azalır, yani sığa ε kat artar. Boşluk ve hava için ε ≈ 1, parafin için yaklaşık 2, mika için yaklaşık 6, su için 81’dir.
- εlevhalar arasındaki ortamın dielektrik sabiti (birimsiz; boşluk ve hava için 1)
- ε₀boşluğun elektriksel geçirgenliği, 8,85 · 10⁻¹² F/m
- Sbir levhanın alanı, m²
- dlevhalar arası uzaklık, m
Paralel levhalı kondansatörün sığası levha alanıyla doğru, levhalar arası uzaklıkla ters orantılıdır; yalnızca geometriye ve dielektriğe bağlıdır.
1) Hava aralıklı paralel levhalı bir kondansatörün her levhasının alanı 200 cm², levhalar arası uzaklık 1 mm’dir. Sığayı bulun.
2) Aralık tamamen mika (ε = 6) ile dolduruluyor. Sığa ne olur?
3) Levha alanı 2 katına, aralık 3 katına çıkarılırsa sığa nasıl değişir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
C = ε₀ · S / d = 8,85 · 10⁻¹² · 0,02 / 10⁻³ = 1,77 · 10⁻¹⁰ F = 177 pF.
2) C′ = ε · C = 6 · 177 = 1062 pF ≈ 1,06 nF.
3) C′ / C = 2 / 3: sığa 1,5 kat azalır (alan sığayı 2 katına çıkarır, aralık 3’e böler).
Hava aralıklı paralel levhalı bir kondansatörün levhaları arasındaki uzaklık yarıya indiriliyor ve aralık dielektrik sabiti 3 olan bir maddeyle tamamen dolduruluyor. Sığa nasıl değişir?
A) 6 kat artar B) 1,5 kat artar C) 6 kat azalır D) 1,5 kat azalır E) değişmez
Çözümü gösterÇözümü gizle
Sonuç: 3 · 2 = 6, sığa 6 kat artar (A).
B seçeneği (1,5), 3’ü 2’ye bölmekten çıkar; oysa d paydadadır, azalması sığayı artırır.
Kondansatörlerin paralel ve seri bağlanması
İstenen sığayı elde etmek için kondansatörler birbirine bağlanır. Paralel bağlamada bütün kondansatörler aynı iki noktaya bağlanır: hepsinin gerilimi aynıdır, yükler ise toplanır; sanki levha alanı büyür. Seri bağlamada kondansatörler zincir gibi dizilir: üreteç yalnızca uçtaki levhaları yükler, içteki levhalar ise etkiyle aynı q yükünü alır. Bu yüzden hepsinin yükü aynıdır, gerilimler toplanır; sanki levhalar arası uzaklık artar.
| Büyüklük | Paralel | Seri |
|---|---|---|
| Gerilim | U = U₁ = U₂ | U = U₁ + U₂ |
| Yük | q = q₁ + q₂ | q = q₁ = q₂ |
| Eşdeğer sığa | C = C₁ + C₂ | 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ |
| n özdeş kondansatör (C₀) | C = n · C₀ | C = C₀ / n |
| Eşdeğer sığa | en büyüğünden büyüktür | en küçüğünden küçüktür |
| Kim daha çok alır? | sığası büyük olan daha çok yük | sığası küçük olan daha büyük gerilim |
- Cparparalel bağlamada eşdeğer sığa: gerilim aynı, yükler toplanır
- Cseriseri bağlamada eşdeğer sığa: yük aynı, gerilimler toplanır
Seri bağlı iki kondansatör için C = C₁ · C₂ / (C₁ + C₂): “çarpım bölü toplam”.
Sığaları C₁ = 2 µF ve C₂ = 3 µF olan kondansatörler 100 V’luk bir üretece a) paralel, b) seri bağlanıyor. Her durumda eşdeğer sığayı, her kondansatörün yükünü ve gerilimini bulun. c) Her biri 6 µF olan üç kondansatör seri ve paralel bağlanırsa eşdeğer sığa ne olur?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) C = 2 · 3 / (2 + 3) = 1,2 µF; yük ikisinde de aynıdır: q = 1,2 · 100 = 120 µC.
U₁ = 120 / 2 = 60 V, U₂ = 120 / 3 = 40 V (kontrol: 60 + 40 = 100). Sığası küçük olana büyük gerilim düşer.
c) Seri: C = 6 / 3 = 2 µF; paralel: C = 3 · 6 = 18 µF.
Not: µF · V = µC olduğu için 10⁻⁶ yazmadan hesaplanabilir.
Şemada C₁ = 4 µF kondansatörü paralel bağlı C₂ = 1 µF ve C₃ = 3 µF kondansatörleriyle seri bağlıdır; üretecin gerilimi 12 V’tur. C₃ kondansatörünün yükü kaçtır?
A) 6 µC B) 24 µC C) 18 µC D) 12 µC E) 36 µC
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) C₁ ile grup seridir: C = 4 · 4 / (4 + 4) = 2 µF.
3) Toplam yük (hem C₁’in hem grubun yükü): q = C · U = 2 · 12 = 24 µC.
4) Grubun gerilimi: U₂₃ = q / C₂₃ = 24 / 4 = 6 V (C₁’e de 6 V düşer).
5) q₃ = C₃ · U₂₃ = 3 · 6 = 18 µC (C). Kontrol: q₂ = 1 · 6 = 6 µC, 6 + 18 = 24 µC.
B (24) toplam yüktür; E (36), 12 V’un tamamını C₃’e vermek hatasıdır.
Kondansatörün enerjisi ve alanın enerji yoğunluğu
Yüklü bir kondansatörü bir lambaya bağlarsan lamba bir an yanar; demek ki kondansatörde enerji vardır. Bu enerji, yükleme sırasında üretecin yaptığı işten gelir. Yükleme boyunca gerilim yükle doğru orantılı olarak 0’dan U’ya çıkar; bu yüzden yükün taşındığı ortalama gerilim U / 2’dir ve W = q · U / 2 bulunur (q · U değil!). Başka bir deyişle enerji, U(q) grafiğinin altındaki üçgenin alanıdır.
- Wkondansatörün (elektrik alanının) enerjisi, J
- qkondansatörün yükü, C
- Ulevhalar arasındaki gerilim, V
- Csığa, F
Üç biçim aynı bağıntıdır (q = C · U yerine yazılır). Hangisinin seçileceği neyin sabit kaldığına bağlıdır: U sabitse C · U² / 2, q sabitse q² / (2C) daha kullanışlıdır.
1) Flaşın 100 µF’lık kondansatörü 300 V’a kadar yükleniyor. Yükünü ve enerjisini bulun.
2) Sığası 40 µF olan kondansatörün yükü 2 mC’dur. Enerjisi nedir?
3) Bir defibrilatörün kondansatörünün sığası 100 µF’tır. 200 J enerji depolamak için hangi gerilime kadar yüklenmelidir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Yük ve sığa biliniyor: W = q² / (2C) = (2 · 10⁻³)² / (2 · 40 · 10⁻⁶) = 4 · 10⁻⁶ / (8 · 10⁻⁵) = 0,05 J = 50 mJ.
3) W = C · U² / 2 → U = √(2W / C) = √(2 · 200 / 10⁻⁴) = √(4 · 10⁶) = 2000 V = 2 kV.
Bu enerji nerede depolanır? Levhalar arasındaki elektrik alanında. Paralel levhalı kondansatörde alan düzgündür ve şiddeti E = U / d’dir. W = C · U² / 2 ifadesine C = ε · ε₀ · S / d ve U = E · d yazılırsa W = (ε · ε₀ · E² / 2) · S · d bulunur; S · d ise alanın kapladığı hacimdir. Yani birim hacimdeki enerji, yani enerji yoğunluğu, yalnızca alan şiddetine ve ortama bağlıdır.
- Elevhalar arasındaki düzgün alanın şiddeti, V/m
- dlevhalar arası uzaklık, m
- welektrik alanının enerji yoğunluğu, J/m³; kondansatörün enerjisi W = w · S · d
Enerji yoğunluğu alan şiddetinin karesiyle artar: alan 2 kat güçlenince her metreküpteki enerji 4 kat artar.
Hava aralıklı paralel levhalı bir kondansatörün levha alanı 100 cm², levhalar arası uzaklık 2 mm, gerilim 200 V’tur.
1) Levhalar arasındaki alan şiddetini ve enerji yoğunluğunu bulun.
2) Kondansatörün enerjisini iki yolla, w · S · d ve C · U² / 2 ile hesaplayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Hacim S · d = 0,01 · 0,002 = 2 · 10⁻⁵ m³; W = 0,04425 · 2 · 10⁻⁵ ≈ 8,85 · 10⁻⁷ J.
C = ε₀ · S / d = 8,85 · 10⁻¹² · 0,01 / 0,002 = 4,425 · 10⁻¹¹ F; W = C · U² / 2 = 4,425 · 10⁻¹¹ · 4 · 10⁴ / 2 = 8,85 · 10⁻⁷ J: aynı sonuç.
Sığası 1 µF olan bir kondansatör 300 V’a kadar yüklenip üreteçten ayrılıyor, sonra yüksüz 2 µF’lık bir kondansatöre paralel bağlanıyor. Kondansatörlerin ortak gerilimini hesaplayın (V).
Çözümü gösterÇözümü gizle
Bağlandıktan sonra paraleldirler: C = 1 + 2 = 3 µF ve gerilim ortaktır:
U = q / C = 300 / 3 = 100. Cevap: 100.
Enerji ise korunmaz: C · U² / 2 bağıntısına göre 45 mJ’den 15 mJ’e düşer, 30 mJ tellerde ısıya dönüşür.
Üretece bağlı mı, ayrılmış mı?
DİM’in kondansatörle ilgili en sevdiği soru şudur: levhalar birbirinden uzaklaştırılır (veya yaklaştırılır), araya dielektrik konur; C, q, U, E ve W nasıl değişir? Anahtar, neyin sabit kaldığını bulmaktır. Kondansatör üretece bağlı kalırsa üreteç gerilimi korur: U = sabit. Yüklendikten sonra üreteçten ayrıldıysa yükün gidecek yeri yoktur: q = sabit.
- 1Sabiti seç
Bağlı → U = sabit; ayrılmış → q = sabit.
- 2Sığayı bul
C = ε · ε₀ · S / d: d azalınca, S artınca veya dielektrik konunca C artar.
- 3İkinci büyüklüğü bul
U sabitse q = C · U, C ile birlikte değişir; q sabitse U = q / C, C’nin tersine değişir.
- 4Alanı bul
E = U / d. q sabitse E = q / (ε · ε₀ · S): levhalar arası uzaklığa bağlı değildir!
- 5Enerjiyi bul
U sabit: W = C · U² / 2, C gibi değişir; q sabit: W = q² / (2C), C’nin tersine değişir.
| Büyüklük | d n kat azalır, U = sabit | d n kat azalır, q = sabit | dielektrik (ε), U = sabit | dielektrik (ε), q = sabit |
|---|---|---|---|---|
| C | × n | × n | × ε | × ε |
| q | × n | değişmez | × ε | değişmez |
| U | değişmez | ÷ n | değişmez | ÷ ε |
| E | × n | değişmez | değişmez | ÷ ε |
| W | × n | ÷ n | × ε | ÷ ε |
Özdeş iki hava aralıklı paralel levhalı kondansatör aynı gerilime kadar yükleniyor. Birincisi sabit gerilimli üretece bağlı kalıyor, ikincisi üreteçten ayrılıyor. Sonra ikisinin de levha arası dielektrikle tamamen dolduruluyor. Euler–Venn şemasında I yalnızca bağlı kondansatör, II yalnızca ayrılmış kondansatör, III ise ikisi için doğru olan maddelerdir:
1. Sığa artar.
2. Yük değişmez.
3. Levhalar arasındaki gerilim azalır.
4. Levhalar arasındaki elektrik alan şiddeti değişmez.
5. Enerji artar.
A) I – 2, 4; II – 3, 5; III – 1
B) I – 5; II – 2, 3, 4; III – 1
C) I – 1, 4; II – 2, 3; III – 5
D) I – 4, 5; II – 2, 3; III – 1
E) I – 4, 5; II – 3; III – 1, 2
Çözümü gösterÇözümü gizle
Ayrılmış (q = sabit): C artar; q değişmez; U = q / C azalır; E = U / d azalır; W = q² / (2C) azalır → doğru maddeler 1, 2, 3.
Ortak madde yalnızca 1’dir (III). Yalnız bağlı için 4, 5 (I), yalnız ayrılmış için 2, 3 (II). Cevap: D.
1) Paralel levhalı bir kondansatör sabit gerilimli üretece bağlı kalıyor ve levhalar arası uzaklık 3 katına çıkarılıyor. Sığa, yük, alan şiddeti ve enerji nasıl değişir? Cevabınızı bağıntılarla gerekçelendirin.
2) Yüklü bir kondansatör üreteçten ayrılmıştır, enerjisi 6 mJ’dür. Levhalar arası uzaklık 3 katına çıkarılıyor. Yeni enerjiyi hesaplayın (mJ).
Çözümü gösterÇözümü gizle
C = ε · ε₀ · S / d → d 3 katına çıkar, C 3 kat azalır.
q = C · U → 3 kat azalır (yükün bir kısmı üretece geri döner).
E = U / d → 3 kat azalır.
W = C · U² / 2 → 3 kat azalır.
2) q sabit, W = q² / (2C). C 3 kat azalır → W 3 kat artar: W = 3 · 6 = 18. Cevap: 18.
Fazla enerji, birbirini çeken levhaları ayıran dış kuvvetin yaptığı iştir.
Önemli noktalar
- Sığa C = q / U, birimi farad (F); yüke ve gerilime bağlı değildir.
- Paralel levhalı kondansatör: C = ε · ε₀ · S / d; dielektrik sığayı ε kat artırır.
- Paralel: U aynı, C = C₁ + C₂; seri: q aynı, 1/C = 1/C₁ + 1/C₂.
- Enerji W = q · U / 2 = C · U² / 2 = q² / (2C); enerji yoğunluğu w = ε · ε₀ · E² / 2, düzgün alanda E = U / d.
- Bağlı kondansatörde U sabit, ayrılmışta q sabittir; diğer büyüklükler buradan bulunur.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.