Elektrostatik alanın potansiyeli ve potansiyel farkı

Bu derste öğreneceklerin

Düzgün alanda ve noktasal yükün alanında alanın yaptığı işi hesaplamak, işin yoldan bağımsız olduğunu açıklamak
Potansiyel enerjiyi, potansiyeli (φ = k · q / r, süperpozisyon) ve potansiyel farkını (U = A / q) bulmak, enerjiyi elektronvolt cinsinden ifade etmek
E = U / d bağıntısını ve eş potansiyel yüzeyleri kullanmak, iletkenlerin ve yalıtkanların elektrostatik alandaki davranışını açıklamak
Gerilimle hızlandırılan ve levhalar arasında sapan yüklü parçacığın hızını, enerjisini ve sapmasını hesaplamak

Bir serçe yüksek gerilim hattının teline konar ve ona hiçbir şey olmaz; yerde duran bir insan aynı tele dokunsa hayati tehlikeye girer. Farkı “gerilim” kelimesi açıklar: kuşun iki ayağı hemen hemen aynı potansiyeldedir, insanın eli ile ayakları ise değildir. «Elektrik yükü, Coulomb yasası ve elektrik alanı» dersinde alanı kuvvetle, yani alan şiddetiyle tanımladık. Şimdi onu enerjiyle tanımlayacağız: alanın yaptığı iş, potansiyel ve potansiyel farkı. Bu konu DİM test kitabının «Elektrik yükü. Elektrik alanı» bölümünün ikinci yarısıdır; hesaplamaların yanında φ(r) ve E(r) grafikleri, eş potansiyel yüzeyler ve I–II–III önermeleri sık sorulur.

Elektrik alanının yaptığı iş

Paralel levhalı bir kondansatörün levhaları arasındaki düzgün alana pozitif bir q yükü koyalım. Yüke sabit F = q · E kuvveti etki eder. Yük bir alan çizgisi boyunca d kadar yer değiştirdiğinde alan A = F · d = q · E · d işi yapar. Yük alan çizgileriyle α açısı yaparak s yolunu giderse iş A = F · s · cos α olur; s · cos α ise yer değiştirmenin alan çizgileri doğrultusundaki izdüşümüdür. Yani düzgün alanda yalnızca alan çizgileri boyunca alınan yol hesaba girer; tıpkı yer çekiminin işinde yalnızca yükseklik değişiminin önemli olması gibi.

A = q · E · d, d = s · cos α

burada:

Aalanın yaptığı iş, J
qtaşınan yük (işaretiyle), C
Edüzgün alanın şiddeti, V/m
dyer değiştirmenin alan çizgileri doğrultusundaki izdüşümü, m
αyer değiştirme ile alan çizgileri arasındaki açı

Pozitif yük alan çizgileri yönünde giderse A > 0, ters yönde giderse A < 0, çizgilere dik giderse A = 0 olur. Negatif yük (elektron) için işaretler terstir.

Örnek 1: düzgün alanın işi

Şiddeti 2 · 10⁴ V/m olan düzgün bir alanda q = 5 nC yükü taşınıyor. Yük şu şekilde yer değiştirirse alanın yaptığı işi bulun:
1) alan çizgileri boyunca 4 cm;
2) alan çizgileriyle 60° açı yaparak 5 cm;
3) alan çizgilerine dik olarak 3 cm.
4) Aynı alanda bir elektron alan çizgileri yönünde 2 cm yer değiştirirse alan ne kadar iş yapar? (e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C)

Çözümü göster

1) A = q · E · d = 5 · 10⁻⁹ · 2 · 10⁴ · 0,04 = 4 · 10⁻⁶ J (4 µJ).
2) d = s · cos 60° = 5 · 0,5 = 2,5 cm; A = 5 · 10⁻⁹ · 2 · 10⁴ · 0,025 = 2,5 · 10⁻⁶ J.
3) cos 90° = 0 → A = 0: alan çizgilerine dik harekette alan iş yapmaz.
4) Elektronun yükü negatiftir, ona etki eden kuvvet E’ye ters yöndedir: A = −e · E · d = −1,6 · 10⁻¹⁹ · 2 · 10⁴ · 0,02 = −6,4 · 10⁻¹⁷ J. Alan elektronun bu hareketini engeller.

Şimdi yükü 1 noktasından 2 noktasına bir doğru, kırık bir çizgi ya da bir eğri boyunca götürelim. Yolu çok küçük basamaklara bölersek alan çizgilerine dik basamaklarda iş sıfırdır; çizgiler boyunca olan basamakların toplamı ise her zaman aynı d izdüşümünü verir. Bu yüzden alanın işi yörüngenin biçimine bağlı değildir; yalnızca başlangıç ve bitiş noktalarının konumuyla belirlenir. Noktasal yükün alanında da sonuç aynıdır: radyal basamaklarda iş yapılır, yükün çevresindeki çember yayları boyunca ise yapılmaz. Buradan önemli bir sonuç çıkar: yük kapalı bir yol boyunca dolaşıp başlangıç noktasına döndüğünde alanın toplam işi sıfırdır.

Tanım

Korunumlu (potansiyelli) alan

Yaptığı iş yörüngenin biçimine bağlı olmayan, yalnızca başlangıç ve bitiş noktalarıyla belirlenen alan; böyle bir alanda her kapalı yol boyunca iş sıfırdır. Elektrostatik alan da yer çekimi alanı da korunumlu alandır. Yükün potansiyel enerjisinden ancak böyle bir alanda söz edilebilir.

Potansiyel enerji ve potansiyel

Alanın işi yola bağlı olmadığı için yükün alandaki her konumuna belirli bir potansiyel enerji Wp karşılık gelir; yer çekimi alanındaki m · g · h enerjisi gibi. Alanın pozitif işi potansiyel enerjiyi azaltır: düşen bir taş gibi, serbest bırakılan pozitif yük de potansiyel enerjisinin azaldığı yöne hareket eder. Potansiyel enerjinin sıfır düzeyi keyfî seçilir; noktasal yükler için genellikle sonsuz uzaktaki nokta alınır.

A = Wp₁ − Wp₂ = −ΔWp, Wp = k · q₁ · q₂ / (ε · r)A = Wp₁ − Wp₂ = −ΔWp, Wp = k · q₁ · q₂ / (ε · r)

burada:

Wp₁, Wp₂yükün başlangıç ve bitiş konumlarındaki potansiyel enerjisi, J
q₁, q₂noktasal yükler (işaretleriyle), C
k9 · 10⁹ N · m²/C²
εortamın dielektrik sabiti (hava için 1)
ryükler arası uzaklık, m

Alan pozitif iş yaptığında potansiyel enerji azalır. Aynı işaretli yükler için Wp > 0’dır (onları yaklaştırmak için dış kuvvetin iş yapması gerekir), zıt işaretli yükler için Wp < 0’dır. Sıfır düzeyi sonsuzdadır.

Örnek 2: iki yükün potansiyel enerjisi

Havada +2 nC ve +3 nC’luk noktasal yükler aralarında 6 cm uzaklık olacak şekilde duruyor.
1) Sistemin potansiyel enerjisini bulun.
2) Yükler birbirini iterek 18 cm uzaklığa kadar açılıyor. Alan ne kadar iş yapar?
3) İkinci yük −3 nC olsaydı potansiyel enerji ne olurdu ve yükleri birbirinden sonsuza kadar uzaklaştırmak için ne kadar dış iş gerekirdi?

Çözümü göster

1) Wp = k · q₁ · q₂ / r = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ · 3 · 10⁻⁹ / 0,06 = 9 · 10⁻⁷ J.
2) 18 cm’de: Wp₂ = 9 · 10⁹ · 6 · 10⁻¹⁸ / 0,18 = 3 · 10⁻⁷ J. A = Wp₁ − Wp₂ = 9 · 10⁻⁷ − 3 · 10⁻⁷ = 6 · 10⁻⁷ J; pozitiftir: itme kuvveti yükleri kendi yönünde hareket ettirir.
3) Wp = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ · (−3 · 10⁻⁹) / 0,06 = −9 · 10⁻⁷ J. Sonsuzda Wp = 0 olduğundan enerjinin 9 · 10⁻⁷ J artması gerekir: dış kuvvet 9 · 10⁻⁷ J iş yapmalıdır.

Potansiyel enerji alana getirilen q₀ yüküyle doğru orantılıdır: yükü 2 katına çıkarırsan enerji de 2 katına çıkar. Bu yüzden Wp / q₀ oranı artık bu yüke bağlı değildir ve yalnızca alanın o noktasını tanımlar; bu orana potansiyel denir. Alan şiddeti alanın kuvvet özelliği, potansiyel ise enerji özelliğidir. Alan şiddeti vektördür, potansiyel ise skalerdir: işareti vardır ama yönü yoktur.

Tanım

Potansiyel (φ)

Alanın belirli bir noktasına konan yükün potansiyel enerjisinin bu yüke oranına eşit skaler büyüklük: φ = Wp / q₀. Birimi volttur (V): 1 V = 1 J/C. Fiziksel anlamı: pozitif bir yük bu noktadan sıfır düzeyine (sonsuza) taşınırken alanın birim yük başına yaptığı iş.

φ = Wp / q₀, φ = k · q / (ε · r)φ = Wp / q₀, φ = k · q / (ε · r)

burada:

φalanın verilen noktasındaki potansiyel, V
q₀alana getirilen yük, C
qalanı oluşturan noktasal yük (işaretiyle), C
ryükten noktaya uzaklık, m

Sonsuzda φ = 0’dır. Pozitif yükün alanında potansiyel pozitiftir ve yüke yaklaştıkça artar; negatif yükün alanında negatiftir. φ ~ 1/r, alan şiddeti ise E ~ 1/r²: uzaklık 2 katına çıkınca potansiyel 2 kat, alan şiddeti 4 kat azalır. Aynı nokta için |φ| = E · r.

Örnek 3: noktasal yükün potansiyeli

1) Havada q = 2 nC’luk noktasal yükten 30 cm uzaklıktaki A noktasının potansiyelini bulun.
2) A noktasına q₀ = −3 nC’luk yük getiriliyor. Bu yükün potansiyel enerjisi nedir?
3) Uzaklık 3 katına çıkarılırsa potansiyel ve alan şiddeti nasıl değişir?

Çözümü göster

1) φ = k · q / r = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ / 0,3 = 18 / 0,3 = 60 V.
2) Wp = q₀ · φ = −3 · 10⁻⁹ · 60 = −1,8 · 10⁻⁷ J (pozitif yükün alanındaki negatif yük: enerji negatiftir, yükler birbirini çeker).
3) φ ~ 1/r → 3 kat azalır (20 V); E ~ 1/r² → 9 kat azalır.
Kontrol: A noktasında E = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ / 0,3² = 200 V/m ve E · r = 200 · 0,3 = 60 V = φ.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Noktasal yükün alanı: x yükten uzaklık r (m), q yük (nC). y₁ = 9q / x potansiyel φ (V), y₂ = 9q / x² alan şiddetinin izdüşümü E (V/m). q = 2 için r = 0,3 m’de φ = 60 V, E = 200 V/m’dir (Örnek 3). Eğriler r = 1 m’de kesişir, çünkü |φ| / E = r. q değerini negatif yap: potansiyel negatif olur; E < 0 ise alanın yüke doğru yöneldiğini gösterir.

Birden çok yükün alanında her yük kendi potansiyelini oluşturur; bileşke potansiyel bunların cebirsel toplamıdır: vektör gibi değil, işaretli sayılar gibi toplanır. Bu, alan şiddetini bulmaktan çok daha kolaydır: yön çizmeye gerek yoktur.

φ = φ₁ + φ₂ + … = k · q₁ / r₁ + k · q₂ / r₂ + …φ = φ₁ + φ₂ + … = k · q₁ / r₁ + k · q₂ / r₂ + …

burada:

φ₁, φ₂her yükün tek başına oluşturduğu potansiyel (işaretiyle), V
r₁, r₂noktadan ilgili yüke uzaklık, m

Negatif yükün potansiyeli negatif alınır. Potansiyelin sıfır olduğu noktada alan şiddeti sıfır olmayabilir, tersi de geçerlidir; Örnek 4’e bak.

Örnek 4 (çoktan seçmeli): orta noktada potansiyel ve alan şiddeti

Havada aralarında 6 cm uzaklık bulunan +4 nC ve −4 nC’luk noktasal yükler var. Onları birleştiren doğru parçasının orta noktasında potansiyel (φ) ve alan şiddeti (E) nedir?
A) φ = 0, E = 0
B) φ = 0, E = 8 · 10⁴ V/m
C) φ = 2400 V, E = 0
D) φ = 2400 V, E = 8 · 10⁴ V/m
E) φ = 1200 V, E = 4 · 10⁴ V/m

Çözümü göster

1) Orta noktanın her yüke uzaklığı 3 cm = 0,03 m’dir.
Potansiyeller: φ₁ = 9 · 10⁹ · 4 · 10⁻⁹ / 0,03 = 1200 V, φ₂ = −1200 V → φ = 1200 − 1200 = 0.
2) Alan şiddetleri: her biri 9 · 10⁹ · 4 · 10⁻⁹ / 0,03² = 4 · 10⁴ V/m; iki vektör de negatif yüke doğrudur (pozitiften çıkar, negatife girer) ve toplanır: E = 8 · 10⁴ V/m. Cevap: B.
Yükler aynı işaretli (+4 nC ve +4 nC) olsaydı cevap C olurdu: φ = 2400 V, E = 0. Yani φ = 0 olan noktada E sıfırdan farklı olabilir, tersi de mümkündür. A seçeneği potansiyeli alan şiddeti gibi düşünmekten, E seçeneği ise yalnızca bir yükü hesaba katmaktan doğar.

Potansiyel farkı, elektronvolt ve eş potansiyel yüzeyler

Uygulamada potansiyelin kendisi değil, iki noktanın potansiyelleri arasındaki fark önemlidir; çünkü alanın işi ona bağlıdır: A = Wp₁ − Wp₂ = q · φ₁ − q · φ₂ = q · (φ₁ − φ₂). Potansiyel farkına gerilim de denir ve U ile gösterilir. Devrede gerilimi voltmetre ölçer; elektrostatikte ise elektrometre kullanılır: gövdesi topraklanır, çubuğu cisme bağlanır ve ibrenin sapması cismin potansiyelinin Dünya’nın potansiyelinden ne kadar farklı olduğunu gösterir (Dünya’nın potansiyeli genellikle sıfır kabul edilir).

U = φ₁ − φ₂ = A / q, A = q · UU = φ₁ − φ₂ = A / q, A = q · U

burada:

U1 ve 2 noktaları arasındaki potansiyel farkı (gerilim), V
φ₁, φ₂başlangıç ve bitiş noktalarının potansiyeli, V
Ayük 1’den 2’ye taşınırken alanın yaptığı iş, J
qtaşınan yük (işaretiyle), C

1 V, 1 C’luk yükü taşırken alanın 1 J iş yaptığı iki nokta arasındaki gerilimdir. Alanda serbest bırakılan pozitif yük yüksek potansiyelden düşük potansiyele, negatif yük (elektron) ise düşükten yükseğe doğru hareket eder; iki durumda da alan pozitif iş yapar.

Örnek 5: iş ve gerilim

1) 3 µC’luk bir yük potansiyeli 500 V olan noktadan potansiyeli 200 V olan noktaya taşınıyor. Alanın işini bulun.
2) Bir elektron potansiyeli 100 V olan noktadan potansiyeli 300 V olan noktaya geçiyor. Alan ne kadar iş yapar?
3) Alan 2 nC’luk yükü taşırken 6 · 10⁻⁶ J iş yapıyor. Noktalar arasındaki gerilim nedir?

Çözümü göster

1) U = φ₁ − φ₂ = 500 − 200 = 300 V; A = q · U = 3 · 10⁻⁶ · 300 = 9 · 10⁻⁴ J (0,9 mJ).
2) A = q · (φ₁ − φ₂) = −1,6 · 10⁻¹⁹ · (100 − 300) = +3,2 · 10⁻¹⁷ J. İş pozitiftir: elektron alanda kendiliğinden yüksek potansiyele doğru gider.
3) U = A / q = 6 · 10⁻⁶ / (2 · 10⁻⁹) = 3000 V = 3 kV.

Atom ve parçacık fiziğinde enerjiler çok küçüktür; bu yüzden joule yerine elektronvolt (eV) kullanılır: bir elektronun 1 V’luk potansiyel farkından geçerken alandan kazandığı enerji. Büyük enerjiler için keV (10³ eV), MeV (10⁶ eV) ve GeV (10⁹ eV) kullanılır.

1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ C · 1 V = 1,6 · 10⁻¹⁹ J

burada:

eVelektronvolt, bir enerji birimi
etemel yük, 1,6 · 10⁻¹⁹ C

Yükü e olan bir parçacık durgun hâlden U gerilimini geçince U eV enerji kazanır: 100 V → 100 eV. Yükü 2e olan α parçacığı aynı gerilimde iki kat fazla, 2U eV enerji kazanır.

Örnek 6 (kodlanan cevap): elektronvolt

Durgun bir α parçacığı (yükü 2e) 500 V’luk potansiyel farkından geçiyor. Kazandığı kinetik enerjiyi elektronvolt cinsinden hesaplayın.
Ek sorular: a) bu enerji kaç joule’dür? b) 2 keV kaç joule’dür? c) 4,8 · 10⁻¹⁹ J kaç elektronvolttur?

Çözümü göster

Ek = q · U = 2e · 500 V = 1000 eV. Cevap: 1000.
a) 1000 · 1,6 · 10⁻¹⁹ = 1,6 · 10⁻¹⁶ J.
b) 2000 · 1,6 · 10⁻¹⁹ = 3,2 · 10⁻¹⁶ J.
c) 4,8 · 10⁻¹⁹ / (1,6 · 10⁻¹⁹) = 3 eV.
Sık hata: α parçacığının yükünü e alıp 500 yazmak.

Düzgün alanda iş için iki ifade elde ettik: A = q · E · d ve A = q · U. Bunları eşitlersek alan şiddeti ile gerilim arasındaki bağıntı çıkar. Bu bağıntı alan şiddetinin ikinci birimini de açıklar: 1 N/C = 1 V/m. Alan çizgileri boyunca ilerledikçe potansiyel her metrede E volt azalır.

E = U / dE = U / d

burada:

Edüzgün alanın şiddeti, V/m
Uiki nokta (örneğin iki levha) arasındaki gerilim, V
dbu noktalar arasındaki alan çizgileri boyunca uzaklık, m

Yalnızca düzgün alan için geçerlidir. Alan şiddeti potansiyelin azaldığı yöne doğrudur. Formülün kondansatörlerde kullanımı «Sığa ve kondansatörler» dersindedir.

Örnek 7: E = U / d

1) Paralel levhalar arasındaki uzaklık 5 mm, gerilim 200 V’tur. Alan şiddetini bulun.
2) Şiddeti 3000 V/m olan düzgün bir alanda aynı alan çizgisi üzerinde aralarında 4 cm bulunan iki nokta arasındaki gerilim nedir?
3) Kuru havada kıvılcım boşalması yaklaşık 3 · 10⁶ V/m alan şiddetinde başlar. 1 cm’lik hava aralığında kıvılcım oluşturmak için ne kadar gerilim gerekir?

Çözümü göster

1) d = 5 mm = 5 · 10⁻³ m; E = U / d = 200 / (5 · 10⁻³) = 4 · 10⁴ V/m.
2) U = E · d = 3000 · 0,04 = 120 V.
3) U = E · d = 3 · 10⁶ · 0,01 = 3 · 10⁴ V = 30 kV.

Potansiyelleri eşit olan noktaların oluşturduğu yüzeye eş potansiyel yüzey denir. Yük böyle bir yüzey üzerinde taşındığında U = 0’dır, yani alan iş yapmaz. Bu ancak kuvvet yüzeye dik olduğunda mümkündür: alan çizgileri eş potansiyel yüzeylere her zaman diktir.

Noktasal yükün eş potansiyel yüzeyleri merkezinde yük bulunan eş merkezli kürelerdir (çizimde çemberler).
Düzgün alanın eş potansiyel yüzeyleri alan çizgilerine dik paralel düzlemlerdir.
Alan çizgileri potansiyelin azaldığı yöne doğrudur; eşit adımlarla (örneğin her 10 V’ta bir) çizilen yüzeylerin sık olduğu yerde alan güçlüdür.
İletkenin yüzeyi (ve tüm hacmi) eş potansiyellidir.

Alan çizgileri (oklar) eş potansiyel yüzeylere (kesikli çizgiler) diktir. Sağdaki sayılar yüzeylerin potansiyelleridir (V). Yük M’den N’ye 1 ya da 2 yoluyla taşındığında alanın işi aynıdır; Örnek 8.

Örnek 8 (çoktan seçmeli): farklı yollar boyunca iş

Çizimdeki düzgün alanda q = 2 µC’luk yük potansiyeli 40 V olan M noktasından potansiyeli 10 V olan N noktasına önce 1 yolu (doğru), sonra 2 yolu (kırık çizgi) boyunca taşınıyor. Hangi önermeler doğrudur?
I. İki yolda da alanın işi 60 µJ’dür.
II. 2 yolunda iş daha büyüktür, çünkü bu yol daha uzundur.
III. Yük N’den M’ye geri getirilirse kapalı yol boyunca alanın toplam işi sıfır olur.
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

Çözümü göster

I. U = 40 V − 10 V = 30 V; A = q · U = 2 · 10⁻⁶ · 30 = 6 · 10⁻⁵ J = 60 µJ: doğru.
II. Elektrostatik alan korunumludur: iş yolun biçimine ve uzunluğuna bağlı değildir: yanlış. 2 yolunun düşey kısımları eş potansiyel yüzeyler boyuncadır, orada iş sıfırdır; işin tamamı yatay kısımda, 40 V’tan 10 V’a geçerken yapılır.
III. Geri dönüşte alan −60 µJ iş yapar, kapalı yol boyunca toplam sıfırdır: doğru.
Cevap: C.

Elektrostatik alanda iletkenler ve yalıtkanlar

İletkende (metalde) serbest elektronlar vardır. İletken bir alana getirildiğinde elektronlar, iletkenin içindeki bileşke alan tam olarak sıfır olana kadar yer değiştirir (etkiyle yüklenme; «Elektrik yükü, Coulomb yasası ve elektrik alanı» dersine bak). İçeride alan kalsaydı elektronlar hareket etmeye devam ederdi. Denge kurulduktan sonra:

İletkenin içinde alan şiddeti sıfırdır: E = 0.
İletkenin fazla yükünün tamamı dış yüzeyinde bulunur; içi boş kürenin iç yüzeyi yüksüz kalır.
İletkenin bütün noktalarının potansiyeli aynıdır: iletken eş potansiyelli bir cisimdir, alan çizgileri yüzeyine diktir.
Yük, yüzeyin daha kavisli, sivri kısımlarında daha yoğun toplanır; paratonerin sivri ucu bu ilkeyle çalışır.

Buradan elektrostatik perdeleme fikri çıkar: metal bir kutunun ya da sık örülmüş metal bir kafesin (Faraday kafesinin) içinde dış elektrostatik alan olmaz. Hassas cihazlar metal ekranlarla kaplanır; metal gövdeli bir otomobilin ya da uçağın içindeki insanlar da yıldırım düştüğünde korunur.

φ = k · q / R (r ≤ R), φ = k · q / r (r ≥ R)φ = k · q / R (r ≤ R), φ = k · q / r (r ≥ R)

burada:

qkürenin yükü, C
Riletken kürenin yarıçapı, m
rkürenin merkezinden noktaya uzaklık, m

Havada yüklü iletken küre için. Kürenin dışında alan, bütün yük merkezde toplanmış gibidir. İçeride E = 0’dır, potansiyel ise yüzeydekiyle aynıdır. Alan şiddeti yüzeyin hemen dışında en büyüktür: E = k · q / R².

Havada yüklü metal küre (R = 6 cm): φ V, E kV/m, r cm cinsinden. İçeride potansiyel sabit, alan şiddeti sıfırdır; dışarıda φ ~ 1/r, E ~ 1/r².

Örnek 9 (çoktan seçmeli ve kodlanan cevap): kürenin φ(r) ve E(r) grafikleri

Yukarıdaki grafikler havada yüklü bir metal küreye aittir.
1) Kürenin merkezinden 3 cm ve 18 cm uzaklıktaki noktalar için hangi cevap doğrudur?
A) 3 cm: φ = 900 V, E = 0; 18 cm: φ = 300 V, E ≈ 1,7 kV/m
B) 3 cm: φ = 0, E = 0; 18 cm: φ = 300 V, E ≈ 1,7 kV/m
C) 3 cm: φ = 1800 V, E = 60 kV/m; 18 cm: φ = 300 V, E ≈ 1,7 kV/m
D) 3 cm: φ = 900 V, E = 15 kV/m; 18 cm: φ = 300 V, E = 5 kV/m
E) 3 cm: φ = 900 V, E = 0; 18 cm: φ = 100 V, E ≈ 1,7 kV/m
2) Kürenin yükünü hesaplayın (nC).

Çözümü göster

1) 3 cm < 6 cm, nokta kürenin içindedir: E = 0, potansiyel yüzeydekiyle aynıdır, φ = 900 V.
18 cm = 3 · 6 cm, nokta dışarıdadır: φ ~ 1/r → 900 / 3 = 300 V; E ~ 1/r² → 15 / 3² ≈ 1,7 kV/m. Cevap: A.
B içerideki potansiyeli de sıfır saymak, C içeride de k · q / r formülünü kullanmak, D içerideki E’yi yüzeydeki değere eşit almak ve E ~ 1/r yazmak, E ise potansiyeli 1/r² ile azaltmak hatasıdır.
2) Yüzeyde φ = k · q / R → q = φ · R / k = 900 · 0,06 / (9 · 10⁹) = 6 · 10⁻⁹ C. Cevap: 6.
Kontrol: E(R) = k · q / R² = 9 · 10⁹ · 6 · 10⁻⁹ / 0,06² = 1,5 · 10⁴ V/m = 15 kV/m; grafikteki gibi.

Yalıtkanda (dielektrikte) serbest yük yoktur, ama alan moleküllerini kutuplar: kutuplu moleküller (örneğin su molekülleri) alan doğrultusunda döner, kutupsuz moleküllerde ise elektron bulutları biraz kayar. Yalıtkanın yüzeylerinde oluşan bağlı yükler dış alana ters yönde bir alan oluşturur ve bileşke alanı zayıflatır; iletkendeki gibi sıfıra kadar değil, ε kat.

ε = E₀ / Eε = E₀ / E

burada:

εmaddenin dielektrik sabiti (birimsiz)
E₀aynı yüklerin boşlukta oluşturduğu alan şiddeti, V/m
Eyalıtkandaki alan şiddeti, V/m

Boşluk için ε = 1, hava için ≈ 1, gaz yağı ve parafin için ≈ 2, cam için ≈ 7, su için 81’dir. Yalıtkan içinde noktasal yükün alan şiddeti, potansiyeli ve yükler arasındaki etkileşim kuvveti boşluktakinden ε kat küçüktür.

Örnek 10: yalıtkanda potansiyel

1) Gaz yağı (ε = 2) içindeki 4 nC’luk noktasal yükten 6 cm uzaklıkta potansiyeli ve alan şiddetini bulun.
2) Havada noktasal bir yükün alanındaki bir noktanın potansiyeli 810 V’tur. Yük ve nokta değiştirilmeden sistemin tamamı suya (ε = 81) konursa potansiyel ne olur?
3) Aynı boyutta yüksüz bir metal levha ile bir cam levha düzgün bir alana konuyor. Hangisinin içinde alan sıfırdır?

Çözümü göster

1) φ = k · q / (ε · r) = 9 · 10⁹ · 4 · 10⁻⁹ / (2 · 0,06) = 36 / 0,12 = 300 V; E = k · q / (ε · r²) = 36 / (2 · 0,0036) = 5000 V/m.
2) φ ~ 1/ε → 810 / 81 = 10 V.
3) Metal levhanın: serbest elektronlar yer değiştirip içerideki alanı tamamen sıfırlar. Camda alan yalnızca zayıflar: E = E₀ / 7.

Yüklü parçacıkların elektrik alanındaki hareketi

Elektrik alanı yüklü bir parçacığı hızlandırabilir ya da hareket yönünü değiştirebilir; röntgen tüpü, osiloskobun katot ışınlı tüpü ve parçacık hızlandırıcıları bu ilkeyle çalışır. Alanın işi parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşittir (iş-enerji teoremi). Elektron ve protonlar için yer çekimi kuvveti elektrik kuvvetinden milyarlarca kat küçüktür, bu yüzden hesaba katılmaz.

|q| · U = m · v² / 2 − m · v₀² / 2, v = √(2 · |q| · U / m)|q| · U = m · v² / 2 − m · v₀² / 2, v = √(2 · |q| · U / m)

burada:

|q|parçacığın yükünün büyüklüğü, C (elektron için e)
Uparçacığın geçtiği hızlandırıcı potansiyel farkı, V
mparçacığın kütlesi, kg (elektron 9,1 · 10⁻³¹ kg, proton 1,67 · 10⁻²⁷ kg)
v₀, vilk ve son hız, m/s; ikinci formül v₀ = 0 içindir

Hız √U ile orantılıdır: gerilim 4 katına çıkınca hız 2 kat, kinetik enerji 4 kat artar. Alan parçacığı yavaşlatıyorsa onu durduran gerilim U = m · v₀² / (2 · |q|) olur.

Örnek 11: gerilimle hızlandırma

1) Durgun bir elektron 182 V’luk gerilimle hızlandırılıyor. Son hızını ve enerjisini bulun. (e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C, m = 9,1 · 10⁻³¹ kg)
2) Bir proton ve bir α parçacığı (yükü 2e, kütlesi protonunkinin 4 katı) durgun hâlden aynı U gerilimiyle hızlandırılıyor. Kinetik enerjilerinin ve hızlarının oranı nedir?
3) Bir elektron alana 4 · 10⁶ m/s hızla alan çizgileri yönünde giriyor. Durana kadar ne kadarlık bir potansiyel farkından geçer?

Çözümü göster

1) v = √(2 · e · U / m) = √(2 · 1,6 · 10⁻¹⁹ · 182 / (9,1 · 10⁻³¹)) = √(6,4 · 10¹³) = 8 · 10⁶ m/s. Enerji: Ek = 182 eV = 182 · 1,6 · 10⁻¹⁹ ≈ 2,9 · 10⁻¹⁷ J.
2) Ek = q · U kütleye bağlı değildir: α parçacığının yükü 2 kat büyüktür → enerjisi 2 kat büyüktür.
v = √(2 · q · U / m): α parçacığının q / m oranı protonunkinin 2 / 4 = 1/2’sidir → hızların oranı √(1/2) ≈ 0,71 (α parçacığı √2 kat yavaştır).
3) Elektrona etki eden kuvvet E’ye terstir, alan onu yavaşlatır: e · U = m · v₀² / 2 → U = m · v₀² / (2e) = 9,1 · 10⁻³¹ · 16 · 10¹² / (3,2 · 10⁻¹⁹) = 45,5 V.

Şimdi parçacık levhalara paralel, yani alan çizgilerine dik olarak v₀ hızıyla girsin. Levhalar boyunca ona kuvvet etki etmez; bu doğrultuda hareket düzgündür: x = v₀ · t. Levhalara dik doğrultuda ise sabit a = |q| · E / m ivmesi vardır. Bu, yatay atılan cismin hareketinin aynısıdır, yalnızca g yerine a vardır; yörünge de bir paraboldür. Levhalardan çıktıktan sonra parçacık doğrusal bir yol izler.

a = |q| · U / (m · d), t = l / v₀, y = a · t² / 2 = |q| · U · l² / (2 · m · d · v₀²)a = |q| · U / (m · d), t = l / v₀, y = a · t² / 2 = |q| · U · l² / (2 · m · d · v₀²)

burada:

alevhalara dik ivme, m/s²
Ulevhalar arasındaki gerilim, V
dlevhalar arası uzaklık, m
llevhaların uzunluğu, m
v₀parçacığın levhalara paralel ilk hızı, m/s
ylevhalardan çıkışta sapma (alan doğrultusundaki yer değiştirme), m

Levhaların tam ortasından giren parçacık y < d / 2 ise levhalara çarpmaz. Çıkışta hızın levhalara dik bileşeni a · t’dir; hızın sapma açısı tan β = a · t / v₀ ile bulunur.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Parçacığın levhalar arasındaki yolu: x levhalar boyunca uzaklık (cm), y₁ sapma (cm), y₂ = d / 2 levhanın düzeyi (parçacık tam ortadan girer). U saptırıcı gerilim, U0 parçacığı önceden hızlandıran gerilim (V), d levhalar arası uzaklıktır (cm). Formül |q| · U0 = m · v₀² / 2 eşitliğinden çıkar ve içinde ne yük ne kütle kalır. U = 100, U0 = 1000, d = 2 için x = 5 cm’de y = 0,3125 cm’dir. Çizgiler kesişirse parçacık levhaya çarpar.

Örnek 12 (yazılı soru): elektronun levhalar arasında sapması

Bir elektron 2 · 10⁷ m/s hızla, uzunluğu 5 cm olan levhaların tam ortasından levhalara paralel olarak giriyor. Levhalar arası uzaklık 2 cm, gerilim 91 V’tur (e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C, m = 9,1 · 10⁻³¹ kg).
a) Elektronun levhalar arasındaki yörüngesinin neden parabol olduğunu açıklayın.
b) Elektronun ivmesini, levhalar arasındaki hareket süresini ve çıkıştaki sapmasını hesaplayın. Elektron levhaya çarpar mı?
c) Elektron levhalardan çıkarken hızı ilk doğrultusundan ne kadarlık bir açıyla sapar?

Çözümü göster

a) Levhalar boyunca kuvvet yoktur, bu doğrultuda hareket düzgündür (x = v₀ · t). Levhalara dik doğrultuda sabit F = e · E kuvveti etki eder, hareket düzgün hızlanan harekettir (y = a · t² / 2). Buradan y ~ x² çıkar, yani yörünge paraboldür. Elektron pozitif levhaya doğru sapar.
b) E = U / d = 91 / 0,02 = 4550 V/m; a = e · E / m = 1,6 · 10⁻¹⁹ · 4550 / (9,1 · 10⁻³¹) = 8 · 10¹⁴ m/s².
t = l / v₀ = 0,05 / (2 · 10⁷) = 2,5 · 10⁻⁹ s.
y = a · t² / 2 = 8 · 10¹⁴ · (2,5 · 10⁻⁹)² / 2 = 2,5 · 10⁻³ m = 2,5 mm.
d / 2 = 10 mm > 2,5 mm; elektron levhaya çarpmaz.
c) Dik hız bileşeni: a · t = 8 · 10¹⁴ · 2,5 · 10⁻⁹ = 2 · 10⁶ m/s; tan β = 2 · 10⁶ / (2 · 10⁷) = 0,1 (β ≈ 5,7°).
Kısa yolla kontrol: elektron bu hızı U₀ = m · v₀² / (2e) = 1137,5 V’luk gerilimde kazanır; y = U · l² / (4 · d · U₀) = 91 · 0,05² / (4 · 0,02 · 1137,5) = 2,5 · 10⁻³ m.

Eşit ve zıt yüklerle yüklenmiş iki paralel levha, yükü ve alan enerjisini depolayan bir aygıttır: kondansatör. Sığası, bağlanma biçimleri ve enerjisi bir sonraki ders olan «Sığa ve kondansatörler» dersindedir.

Önemli noktalar

Elektrostatik alan korunumludur: işi yola bağlı değildir ve kapalı yolda sıfırdır; düzgün alanda A = q · E · d.
Potansiyel φ = Wp / q₀ alanın skaler enerji özelliğidir; noktasal yük için φ = k · q / (ε · r), birden çok yükün potansiyelleri işaretleriyle toplanır.
Gerilim U = φ₁ − φ₂ = A / q; 1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ J; düzgün alanda E = U / d (1 V/m = 1 N/C).
Alan çizgileri eş potansiyel yüzeylere diktir ve potansiyelin azaldığı yöne doğrudur; eş potansiyel yüzey boyunca iş sıfırdır.
İletkenin içinde E = 0’dır, yük dış yüzeydedir, potansiyel her yerde aynıdır; yalıtkan alanı ε kat zayıflatır (ε = E₀ / E).
Hızlanma: |q| · U = m · v² / 2 − m · v₀² / 2; levhalar arasında parçacık parabol boyunca sapar: y = |q| · U · l² / (2 · m · d · v₀²).

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Elektrostatik alanın potansiyelinin SI birimi nedir?