Maksvell tənlikləri və elektromaqnit dalğaları

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Dörd Maksvell tənliyini inteqral şəklində yazmaq və fiziki mənasını izah etmək
Qauss və Amper qanunları ilə simmetrik sahələri hesablamaq
Yerdəyişmə cərəyanının rolunu anlamaq
Elektromaqnit dalğanın sürətini və sahələrini hesablamaq

1860-cı illərdə Ceyms Klerk Maksvell elektrik və maqnetizm haqqında bütün məlum qanunları dörd tənlikdə birləşdirdi və onlardan heyrətamiz nəticə çıxardı: boşluqda sürəti işığın sürətinə bərabər olan elektromaqnit dalğaları mövcud olmalıdır. Deməli, işığın özü elektromaqnit dalğasıdır. 1880-ci illərin sonunda Henrix Hers bu dalğaları təcrübədə aldı. Radio, Wi-Fi, mobil rabitə və rentgen — hamısı Maksvell tənliklərinin həlləridir.

Sel və sirkulyasiya

Maksvell tənlikləri iki inteqral anlayışı ilə yazılır. Qapalı S səthindən keçən sel ∮ E · dA — səthdən «çıxan» sahə xətlərinin xalis sayıdır (dA xaricə yönəlmiş normal boyuncadır). Qapalı C konturu üzrə sirkulyasiya ∮ E · dl isə sahənin kontur boyunca «burulmasını» göstərir; E sahəsi üçün o, vahid yükün kontur boyunca hərəkətində sahənin gördüyü işdir.

Dörd tənlik

∮ E · dA = Q_iç / ε₀∮ E · dA = Q_iç / ε₀

burada:

Q_içqapalı səthin daxilindəki tam yük, Kl
ε₀elektrik sabiti, 8,85 · 10⁻¹² F/m
Eelektrik sahəsinin intensivliyi (vektor), V/m
dAsəth elementi — modulu sahə, istiqaməti xarici normal, m²

I. Elektrik sahəsi üçün Qauss qanunu: yüklər sahənin mənbəyidir.

∮ B · dA = 0

burada:

Bmaqnit induksiyası (vektor), Tl
∮ … dAistənilən qapalı səth üzrə inteqral

II. Maqnit sahəsi üçün Qauss qanunu: maqnit yükləri (monopollar) yoxdur, B xətləri qapalıdır.

∮ E · dl = −dΦ_B / dt∮ E · dl = −dΦ_B / dt

burada:

Φ_Bkontura söykənən səthdən keçən maqnit seli, Vb
dlqapalı konturun elementi (vektor), m; sol tərəf konturdakı EHQ-dir, V

III. Faradey qanunu: dəyişən maqnit sahəsi burulğanlı elektrik sahəsi yaradır.

∮ B · dl = μ₀ · (I + ε₀ · dΦ_E / dt)∮ B · dl = μ₀ · (I + ε₀ · dΦ_E / dt)

burada:

μ₀maqnit sabiti, 4π · 10⁻⁷ Hn/m
Ikonturdan keçən keçiricilik cərəyanı, A
ε₀ · dΦ_E / dtε₀ · dΦ_E / dtMaksvellin yerdəyişmə cərəyanı, A

IV. Amper–Maksvell qanunu: cərəyan və dəyişən elektrik sahəsi burulğanlı maqnit sahəsi yaradır.

Stoks və Qauss–Ostroqradski teoremləri ilə bu tənlikləri diferensial şəklə salmaq olar: ∇ · E = ρ/ε₀, ∇ · B = 0, ∇ × E = −∂B/∂t, ∇ × B = μ₀j + μ₀ε₀ ∂E/∂t. İnteqral şəkil simmetrik məsələlərdə, diferensial şəkil isə dalğaları və ədədi hesablamaları təhlil edərkən əlverişlidir.

Simmetriyadan istifadə: Qauss və Amper

Nümunə 1: nöqtəvi yük və yüklü müstəvi

a) Qauss qanunundan nöqtəvi yükün sahəsini çıxar. b) Səth sıxlığı σ = 1 mkKl/m² olan sonsuz müstəvinin sahəsini tap.

Həllini göstər

a) Qauss səthi olaraq radiusu r olan sferanı götürək: simmetriyaya görə E hər yerdə eyni və radial yönəlib. E · 4πr² = q/ε₀ → E = q / (4πε₀r²) = kq/r² — Kulon qanunu.
b) Qauss səthi — müstəvini kəsən silindr («qutu»), oturacaqlarının sahəsi S. Sel yalnız iki oturacaqdan keçir: 2ES = σS/ε₀ → E = σ / (2ε₀).
E = 10⁻⁶ / (2 · 8,85 · 10⁻¹²) ≈ 5,6 · 10⁴ V/m — məsafədən asılı deyil!

Nümunə 2: düz naqilin maqnit sahəsi

Uzun düz naqildən 10 A cərəyan keçir. Naqildən 5 sm məsafədə maqnit induksiyasını tap.

Həllini göstər

Kontur — naqili əhatə edən r radiuslu çevrə; simmetriyaya görə B ona toxunandır və modulu sabitdir. Sabit cərəyanda dΦ_E/dt = 0.
B · 2πr = μ₀I → B = μ₀I / (2πr) = 4π · 10⁻⁷ · 10 / (2π · 0,05) = 4 · 10⁻⁵ Tl.
Bu, Yerin maqnit sahəsi ilə müqayisə oluna bilən qiymətdir — ona görə kompas yaxınlıqdakı naqilin cərəyanını «hiss edir».

Yerdəyişmə cərəyanı

Doldurulan kondensatoru təsəvvür et. Naqili əhatə edən konturu götürək. Kontura söykənən səth naqili kəsirsə, Amper qanunu μ₀I verir; eyni konturun səthi lövhələr arasından keçirsə, orada heç bir yük axmır və nəticə sıfır olur — ziddiyyət! Maksvell göstərdi ki, lövhələr arasında elektrik seli dəyişir və ε₀ · dΦ_E/dt həddi dəqiq I-yə bərabərdir. Bu «yerdəyişmə cərəyanı» yüklərin hərəkəti deyil, amma keçiricilik cərəyanı kimi maqnit sahəsi yaradır.

Nümunə 3: kondensatorun içində

Lövhələrinin sahəsi 0,01 m² olan müstəvi kondensator 2 A cərəyanla doldurulur. Lövhələr arasında elektrik sahəsi hansı sürətlə artır?

Həllini göstər

E = q / (ε₀A), deməli, Φ_E = E · A = q/ε₀ və ε₀ · dΦ_E/dt = dq/dt = I — yerdəyişmə cərəyanı 2 A-dir.
dE/dt = I / (ε₀A) = 2 / (8,85 · 10⁻¹² · 0,01) ≈ 2,3 · 10¹³ V/(m · s).

Elektromaqnit dalğaları

Boşluqda (ρ = 0, j = 0) x oxu boyunca yayılan müstəvi dalğaya baxaq: E = E_y(x, t), B = B_z(x, t). Faradey qanununu xy müstəvisindəki kiçik düzbucaqlıya tətbiq etsək, ∂E_y/∂x = −∂B_z/∂t; Amper–Maksvell qanununu xz müstəvisindəki düzbucaqlıya tətbiq etsək, −∂B_z/∂x = μ₀ε₀ ∂E_y/∂t. Birincini x-ə görə, ikincini t-yə görə diferensiallayıb B-ni aradan çıxarsaq, dalğa tənliyi alınır.

∂²E/∂x² = μ₀ε₀ · ∂²E/∂t², c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3,0 · 10⁸ m/s, E = c · B∂²E/∂x² = μ₀ε₀ · ∂²E/∂t², c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3,0 · 10⁸ m/s, E = c · B

burada:

celektromaqnit dalğasının boşluqda sürəti — işığın sürəti
E, Bsahələrin ani qiymətləri; E ⊥ B ⊥ yayılma istiqaməti, fazaları eynidir

Dalğanın intensivliyi: I = c · ε₀ · E₀² / 2 (Vt/m²).

Nümunə 4: işığın sürəti və Günəş işığının sahəsi

a) μ₀ və ε₀-dan c-ni hesabla. b) Atmosferdən kənarda Günəş işığının intensivliyi təxminən 1360 Vt/m²-dir. E₀ və B₀ amplitudlarını tap.

Həllini göstər

a) c = 1 / √(4π · 10⁻⁷ · 8,85 · 10⁻¹²) ≈ 3,0 · 10⁸ m/s — ölçülən işıq sürəti ilə üst-üstə düşür!
b) E₀ = √(2I / (cε₀)) = √(2 · 1360 / (3 · 10⁸ · 8,85 · 10⁻¹²)) ≈ 1,0 · 10³ V/m.
B₀ = E₀ / c ≈ 3,4 · 10⁻⁶ Tl.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Qrafik dalğanın E sahəsini göstərir; B sahəsi eyni fazada, ona perpendikulyar müstəvidə rəqs edir. Boşluqda istənilən tezlikdə λ · ν = c.

Əsas fikirlər

∮ E · dA = Q_iç/ε₀ və ∮ B · dA = 0: E-nin mənbəyi yüklərdir, maqnit monopolu yoxdur.
∮ E · dl = −dΦ_B/dt: dəyişən maqnit sahəsi elektrik sahəsi yaradır.
∮ B · dl = μ₀(I + ε₀ dΦ_E/dt): yerdəyişmə cərəyanı Amper qanununu tamamlayır.
Boşluqda sahələr dalğa tənliyini ödəyir; c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3 · 10⁸ m/s, E = cB.
Simmetrik hallarda: nöqtəvi yük E = kq/r², müstəvi E = σ/(2ε₀), düz naqil B = μ₀I/(2πr).

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

Qapalı səthin daxilində +3 nKl və −1 nKl yüklər var. Səthdən keçən elektrik seli nə qədərdir?