Rəqslər və dalğalar: diferensial tənliklər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Harmonik rəqsin tənliyini qurmaq və onun həllini yoxlamaq
Sönmə əmsalı ilə amplitudun azalmasını hesablamaq
Məcburi rəqslərin amplitudunu və rezonansı təhlil etmək
Dalğa tənliyindən simdə dalğanın sürətini və harmonikaları tapmaq

Yay üzərində yük, saat rəqqası, gitara simi, radioqəbuledicinin rəqs konturu, hətta molekulda atomlar — bunların hamısı eyni diferensial tənliklə təsvir olunur. Bu tənliyi bir dəfə başa düşsən, mexanikadan elektronikaya qədər onlarla hadisəni eyni üsulla hesablaya bilərsən.

Harmonik rəqslərin tənliyi

Yaya bağlı m kütləli cismə Huk qanununa görə F = −kx qüvvəsi təsir edir. Nyutonun ikinci qanunu m · d²x/dt² = −kx verir, yəni d²x/dt² + ω₀²x = 0, burada ω₀² = k/m. x(t) = A cos(ω₀t + φ₀) funksiyasını yerinə yazaq: iki dəfə diferensiallasaq, −ω₀²A cos(ω₀t + φ₀) alınır və tənlik ödənir. A və φ₀ başlanğıc şərtlərdən tapılır.

d²x/dt² + ω₀² · x = 0, x(t) = A · cos(ω₀t + φ₀), ω₀ = √(k/m), T = 2π√(m/k)d²x/dt² + ω₀² · x = 0, x(t) = A · cos(ω₀t + φ₀), ω₀ = √(k/m), T = 2π√(m/k)

burada:

ω₀məxsusi siklik tezlik, rad/s
Aamplitud, m
φ₀başlanğıc faza, rad
kyayın sərtliyi, N/m

Sürət v = −Aω₀ sin(ω₀t + φ₀), təcil a = −ω₀²x; tam enerji E = kA²/2 sabitdir.

Nümunə 1: yay rəqqası

0,5 kq kütləli yük sərtliyi 200 N/m olan yaydan asılıb. Onu tarazlıqdan 4 sm çəkib buraxırlar. ω₀, T, maksimal sürəti, maksimal təcili və tam enerjini tap.

Həllini göstər

ω₀ = √(200 / 0,5) = 20 rad/s, T = 2π / 20 ≈ 0,314 s (ν ≈ 3,18 Hs).
v_max = Aω₀ = 0,04 · 20 = 0,8 m/s, a_max = ω₀²A = 400 · 0,04 = 16 m/s².
E = kA² / 2 = 200 · 0,04² / 2 = 0,16 C.
Yoxlama: mv_max² / 2 = 0,5 · 0,64 / 2 = 0,16 C — enerji uyğun gəlir.

Riyazi rəqqas üçün tangensial istiqamətdə m · l · d²θ/dt² = −mg sin θ. Kiçik bucaqlarda sin θ ≈ θ (radianla), ona görə d²θ/dt² + (g/l)θ = 0 — yenə eyni tənlik, ω₀ = √(g/l) və T = 2π√(l/g).

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

l = 1 m üçün T = 2π√(1 / 9,8) ≈ 2,0 s. Uzunluğu 4 dəfə artır — period 2 dəfə artacaq; g-ni dəyiş (məsələn, Ay üçün 1,6 m/s²).

Sönən rəqslər

Real sistemlərdə müqavimət qüvvəsi var, kiçik sürətlərdə F = −b · v. Onda tənlik d²x/dt² + 2β · dx/dt + ω₀²x = 0 olur, β = b / (2m). Zəif sönmədə (β < ω₀) həll amplitudu eksponensial azalan kosinusoiddir. β = ω₀ olanda kritik sönmə baş verir: sistem rəqs etmədən ən tez tarazlığa qayıdır — avtomobil amortizatorları buna yaxın hesablanır.

x(t) = A₀ · e^(−βt) · cos(ωt + φ₀), ω = √(ω₀² − β²), Q ≈ ω₀ / (2β)x(t) = A₀ · e^(−βt) · cos(ωt + φ₀), ω = √(ω₀² − β²), Q ≈ ω₀ / (2β)

burada:

βsönmə əmsalı, s⁻¹
ωsönən rəqslərin siklik tezliyi, rad/s (ω₀-dan bir az kiçik)
Qkeyfiyyət əmsalı: nə qədər böyükdürsə, sönmə o qədər zəifdir

Nümunə 2: amplitud nə vaxt yarıya enir?

Rəqqasın sönmə əmsalı β = 0,1 s⁻¹-dir. Amplitud neçə saniyədən sonra 2 dəfə azalır? Enerji nə vaxt 2 dəfə azalır?

Həllini göstər

e^(−βt) = 1/2 → t = ln 2 / β = 0,693 / 0,1 ≈ 6,9 s.
Enerji amplitudun kvadratı ilə mütənasibdir: E ~ e^(−2βt), ona görə t = ln 2 / (2β) ≈ 3,5 s.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Sönən rəqs və onun ±e^(−βt) zərfləri (b = β, ω ≈ 6 rad/s). β-nı artır: rəqslər daha tez sönür.

Məcburi rəqslər və rezonans

Sistemə F₀ cos ωt dövri qüvvəsi təsir edərsə, bir müddət sonra keçid prosesi sönür və sistem xarici qüvvənin tezliyi ilə rəqs edir. x = A cos(ωt − δ) funksiyasını d²x/dt² + 2β dx/dt + ω₀²x = (F₀/m) cos ωt tənliyində yerinə yazıb cos və sin qarşısındakı əmsalları bərabərləşdirsək, amplitud üçün aşağıdakı ifadə alınır.

A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + 4β²ω²)A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + 4β²ω²)

burada:

F₀xarici qüvvənin amplitudu, N
ωxarici qüvvənin siklik tezliyi, rad/s

Maksimum ω_rez = √(ω₀² − 2β²) ≈ ω₀ olanda alınır; zəif sönmədə A_max ≈ F₀ / (2mβω₀) və o, statik yerdəyişmədən Q dəfə böyükdür.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Rezonans əyrisi: x = ω / ω₀, y — amplitudun statik yerdəyişməyə nisbəti, b = β / ω₀. Sönməni azalt: zirvə yüksəlir (≈ 1 / (2b)) və daralır.

Nümunə 3: rezonansda gücləndirmə

ω₀ = 10 rad/s, β = 0,5 s⁻¹, F₀/m = 2 N/kq. ω = ω₀ olanda amplitudu və çox yavaş təsirdə (ω → 0) amplitudu tap.

Həllini göstər

ω = ω₀: A = 2 / √(0 + 4 · 0,25 · 100) = 2 / 10 = 0,2 m.
ω → 0: A = (F₀/m) / ω₀² = 2 / 100 = 0,02 m.
Gücləndirmə 10 dəfədir və Q = ω₀ / (2β) = 10 ilə üst-üstə düşür.

Dalğa tənliyi və durğun dalğalar

F qüvvəsi ilə gərilmiş, xətti sıxlığı μ olan simin kiçik dx parçasına baxaq. Parçanın uclarında gərilmə qüvvələrinin şaquli toplananlarının fərqi F · (∂²y/∂x²) dx-ə bərabərdir, kütləsi isə μ dx-dir. Nyutonun ikinci qanunundan dalğa tənliyi alınır. İstənilən f(x − vt) funksiyası onu ödəyir — bu, v sürəti ilə formasını dəyişmədən yayılan dalğadır.

∂²y/∂t² = v² · ∂²y/∂x², v = √(F/μ), y = A · sin(kx − ωt), v = ω/k = λ · f∂²y/∂t² = v² · ∂²y/∂x², v = √(F/μ), y = A · sin(kx − ωt), v = ω/k = λ · f

burada:

Fsimin gərilmə qüvvəsi, N
μxətti sıxlıq (vahid uzunluğun kütləsi), kq/m
kdalğa ədədi, k = 2π/λ, rad/m

Əks istiqamətlərdə qaçan iki eyni dalğanın cəmi durğun dalğa verir: y = 2A sin kx · cos ωt. Hər iki ucu bərkidilmiş simdə uclarda düyünlər olmalıdır, ona görə uzunluqda tam sayda yarımdalğa yerləşir: λₙ = 2L/n və fₙ = n · v / (2L), n = 1, 2, 3, …

Nümunə 4: gitara simi

Uzunluğu 0,65 m olan sim 70 N qüvvə ilə gərilib, xətti sıxlığı 1,0 q/m-dir. Dalğanın sürətini, əsas tonun və ikinci harmonikanın tezliyini tap.

Həllini göstər

μ = 1,0 · 10⁻³ kq/m.
v = √(70 / 10⁻³) ≈ 265 m/s.
f₁ = v / (2L) = 264,6 / 1,3 ≈ 204 Hs, f₂ = 2f₁ ≈ 407 Hs.
Gərilməni 4 dəfə artırsan, bütün tezliklər 2 dəfə (bir oktava) artar.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Qaçan dalğa y = A sin(kx − ωt). Tezliyi və dalğa uzunluğunu dəyiş: sürət v = λ · f-dir.

Əsas fikirlər

Harmonik rəqs: d²x/dt² + ω₀²x = 0, x = A cos(ω₀t + φ₀); yay üçün ω₀ = √(k/m), rəqqas üçün √(g/l).
Sönən rəqsdə amplitud e^(−βt) kimi azalır; ln 2 / β müddətində iki dəfə kiçilir.
Rezonansda amplitud statik yerdəyişmədən təxminən Q = ω₀/(2β) dəfə böyükdür.
Dalğa tənliyi ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x²; simdə v = √(F/μ), harmonikalar fₙ = n · v / (2L).

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

2 kq kütləli yük sərtliyi 50 N/m olan yayda rəqs edir. Rəqs periodu nə qədərdir?