Normal paylanma — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Paylanma cədvəli qurmaq və E(X), D(X), E(aX + b), D(aX + b)-ni, o cümlədən binomial halda, hesablamaq.
N(μ, σ²)-dan μ və σ-nı oxumaq və onların normal əyrinin formasına təsirini izah etmək.
Simmetriya və 68–95–99,7 qaydası ilə normal ehtimalları tapmaq, 3σ prinsipini tətbiq etmək.
Normal kəmiyyəti z = (x − μ)/σ ilə standartlaşdırmaq və müxtəlif paylanmalardakı nəticələri müqayisə etmək.

Maşın üzərində «1 kq» yazılmış düyü torbalarını doldurur. 1000 torbanı çəksən, çoxunun 1000 q-a çox yaxın, azının 990 q və ya 1010 q olduğunu, 970 q-luq torbanın isə demək olar ki olmadığını görərsən. Kütlələrin histoqramını getdikcə daha dar intervallarla qursan, onun konturu hamar, simmetrik zəngə — normal əyriyə çevrilir. Boy, ölçmə xətaları və imtahan balları da özünü belə aparır. CSCA proqramı «normal paylanmanın əsas anlayışlarını» tələb edir; onlardan istifadə etmək üçün əvvəlcə təsadüfi kəmiyyətlər, onların riyazi gözləməsi və dispersiyası lazımdır — «Verilənlərin ədədi xarakteristikaları» dərsindəki orta qiymət və dispersiyanın ehtimaldakı qarşılıqları. Nəticələrin sayılması «Klassik ehtimal» dərsində öyrənilir.

Təsadüfi kəmiyyətlər, riyazi gözləmə və dispersiya

Tərif

Diskret təsadüfi kəmiyyət və onun paylanması (分布列)

Təsadüfi kəmiyyət X (随机变量) qiyməti təsadüfi sınağın nəticəsi ilə müəyyən olunan kəmiyyətdir. Qiymətlərini sadalamaq mümkündürsə, o, diskretdir: məsələn, iki pul atılanda gerbin düşmə sayı. Onun paylanma cədvəli hər xᵢ qiymətini və onun pᵢ ehtimalını göstərir; həmişə pᵢ ≥ 0 və p₁ + p₂ + … + pₙ = 1.

X	0	1	2
P	1/4	1/2	1/4

X — iki düzgün pul atılanda gerblərin sayı: GG, GR, RG, RR nəticələri bərabərimkanlıdır (G — gerb, R — rəqəm).

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ, D(X) = (x₁ − E(X))²p₁ + … + (xₙ − E(X))²pₙ = E(X²) − [E(X)]², σ(X) = √D(X)

burada:

E(X)riyazi gözləmə (orta qiymət, 数学期望); Azərbaycan dərsliklərində M(X) kimi də yazılır
D(X)dispersiya (方差)
σ(X)standart meyl
E(X²)x₁²p₁ + x₂²p₂ + … + xₙ²pₙ

E(X) — X-in uzun müddətdə orta qiyməti, D(X) — onun bu qiymət ətrafında səpələnməsidir. Bunlar verilənlər dərsindəki düsturlardır: nisbi tezliklərin yerinə ehtimallar yazılıb. Çin dərslikləri E(X) və D(X) yazır.

Həll olunmuş nümunələr: riyazi gözləmə və dispersiya

1) Yuxarıdakı cədvəl üzrə iki pul atılanda gerblərin sayı üçün E(X) və D(X)-i tapın.
2) X −1, 0, 1, 2 qiymətlərini uyğun olaraq 0,1; a; 0,3; 0,2 ehtimalları ilə alır. a-nı, E(X)-i və D(X)-i tapın.
3) Lotereya bileti 5 yuan dəyərindədir. O, 0,1 ehtimalla 20 yuan, 0,02 ehtimalla 50 yuan udur, qalan hallarda heç nə udmur. Bir biletdən gözlənilən gəlir nə qədərdir?

Həllini göstər

1) E(X) = 0 · ¼ + 1 · ½ + 2 · ¼ = 1; E(X²) = 0 + ½ + 4 · ¼ = 1,5; D(X) = 1,5 − 1² = 0,5.
2) 0,1 + a + 0,3 + 0,2 = 1 ⇒ a = 0,4. E(X) = −0,1 + 0 + 0,3 + 0,4 = 0,6; E(X²) = 0,1 + 0 + 0,3 + 0,8 = 1,2; D(X) = 1,2 − 0,36 = 0,84.
3) Gözlənilən uduş: 20 · 0,1 + 50 · 0,02 = 2 + 1 = 3 yuan; gözlənilən gəlir: 3 − 5 = −2 yuan — alıcı orta hesabla hər biletdə 2 yuan itirir.

E(aX + b) = a·E(X) + b, D(aX + b) = a²·D(X)

burada:

a, bsabit ədədlər

Verilənlərdəki qaydaların eynisi («Verilənlərin ədədi xarakteristikaları» dərsinə bax): b sürüşməsi riyazi gözləməni dəyişir, dispersiyanı isə heç vaxt.

Həll olunmuş nümunələr: E(aX + b) və D(aX + b)

1) E(X) = 3, D(X) = 2. E(2X − 1) və D(2X − 1)-i tapın.
2) E(X) = 1, D(X) = 0,5. E(4 − 3X) və D(4 − 3X)-i tapın.

Həllini göstər

1) E = 2 · 3 − 1 = 5; D = 2² · 2 = 8.
2) E = 4 − 3 · 1 = 1; D = (−3)² · 0,5 = 4,5 — kvadrata yüksəldəndə mənfi işarə yox olur.

CSCA tipli sual: D(2X + 1)

X 1, 2, 3 qiymətlərini 0,3; 0,4; 0,3 ehtimalları ilə alır. D(2X + 1) nədir?
A) 1,2 B) 2,4 C) 3,4 D) 0,6

Həllini göstər

E(X) = 0,3 + 0,8 + 0,9 = 2; E(X²) = 0,3 + 1,6 + 2,7 = 4,6; D(X) = 4,6 − 4 = 0,6. D(2X + 1) = 2² · 0,6 = 2,4 (B).
A 2-ni kvadrata yüksəltmir, C 1-i də əlavə edir, D isə D(X)-in özüdür.

İki xüsusi hal tez-tez rast gəlinir. İki nöqtəli paylanmada (两点分布) X p ehtimalı ilə 1 («uğur»), qalan hallarda 0 qiymətini alır. Binomial paylanma B(n, p) (二项分布) eyni sınağın n asılı olmayan təkrarında uğurların sayıdır, məsələn, 10 atəşdə hədəfə dəymələrin sayı; onun P(X = k) = Cₙᵏpᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ ehtimalları «Klassik ehtimal» dərsindəki hesablamalardan alınır. Hər ikisi üçün E və D-nin hazır düsturları var.

X ~ B(1, p): E(X) = p, D(X) = p(1 − p); X ~ B(n, p): E(X) = np, D(X) = np(1 − p)

burada:

nasılı olmayan sınaqların sayı
pbir sınaqda uğurun ehtimalı
1 − pbir sınaqda uğursuzluğun ehtimalı

B(1, p) iki nöqtəli paylanmadır. Binomial kəmiyyət üçün D/E = 1 − p — p və n-i geri tapmağın tez yolu.

Həll olunmuş nümunələr: binomial paylanma

1) Basketbolçu cərimə atışını 0,8 ehtimalla daxil edir. O, 10 asılı olmayan atış edir; X — dəqiq atışların sayı. E(X) və D(X)-i tapın.
2) X ~ B(n, p), E(X) = 6, D(X) = 2,4. n və p-ni tapın.
3) Bir atəş hədəfə 0,7 ehtimalla dəyir; dəyəndə X = 1, dəyməyəndə X = 0. E(X) və D(X)-i tapın.

Həllini göstər

1) E(X) = 10 · 0,8 = 8; D(X) = 10 · 0,8 · 0,2 = 1,6.
2) 1 − p = D/E = 2,4/6 = 0,4, ona görə p = 0,6, n = 6/0,6 = 10.
3) İki nöqtəli paylanma: E(X) = 0,7, D(X) = 0,7 · 0,3 = 0,21.

Normal əyri N(μ, σ²)

Kütlə, boy və ya vaxt intervaldakı istənilən qiyməti ala bilər, ona görə ayrıca bir qiymətin ehtimalı 0-dır və biz sahələrlə işləyirik: P(a < X < b) — sıxlıq əyrisinin altında x = a ilə x = b arasındakı sahədir, əyrinin altındakı bütün sahə isə 1-ə bərabərdir. Düyü torbaları üçün bu əyri normal əyridir.

Tərif

Normal paylanma (正态分布)

Sıxlıq əyrisi aşağıdakı düsturla verilən X kəmiyyəti μ və σ (σ > 0) parametrli normal paylanmaya tabedir və X ~ N(μ, σ²) kimi yazılır. Bu halda E(X) = μ və D(X) = σ². N(0, 1) standart normal paylanmadır.

f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²)), x ∈ ℝf(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²)), x ∈ ℝ

burada:

μorta qiymət: əyrinin simmetriya oxu və zirvənin yeri
σstandart meyl: zəngin eni; N(μ, σ²) yazılışında ikinci ədəd σ yox, σ²-dır
1/(σ√(2π))1/(σ√(2π))zirvənin hündürlüyü

CSCA-da bu funksiyanı inteqrallamaq lazım gəlmir; onun forması və bir neçə sahə kifayətdir.

Əyri x oxundan yuxarıdadır və x = μ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir; ona görə P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5.
Zirvə x = μ nöqtəsindədir, hündürlüyü 1/(σ√(2π))-dir; μ-dən hər iki tərəfə uzaqlaşdıqca əyri x oxuna yaxınlaşır, amma ona toxunmur.
Əyrinin altındakı bütün sahə 1-dir.
μ əyrini formasını dəyişmədən sola və ya sağa sürüşdürür.
σ formanı dəyişir: kiçik σ hündür və dar əyri verir (verilənlər sıx toplanıb), böyük σ — alçaq və enli əyri (verilənlər səpələnib).
P(X = a) = 0, ona görə P(X < a) = P(X ≤ a): intervalın uclarının daxil olub-olmaması fərq etmir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Normal sıxlıq: m = μ, s = σ; a-dan b-yə qədər rənglənmiş sahə P(a < X < b)-dir. m = 0, s = 1, a = −1, b = 1 ilə başla: sahə təxminən 0,683-dür. a = −2, b = 2 (≈ 0,954), sonra a = −3, b = 3 (≈ 0,997) qoy. İndi m və s-i dəyiş, a və b-ni m − s və m + s nöqtələrinə apar: sahə yenə ≈ 0,683 olur.

Həll olunmuş nümunələr: N(μ, σ²) yazılışının oxunması

1) X ~ N(5, 9). Simmetriya oxunu, σ-nı və zirvənin hündürlüyünü göstərin.
2) Normal sıxlıq f(x) = 1/(2√(2π)) · e^(−(x + 1)²/8) şəklindədir. Onu N(μ, σ²) kimi yazın.
3) N(0, 1), N(0, 4) və N(2, 1) əyrilərini müqayisə edin.

Həllini göstər

1) Ox x = 5; σ² = 9, deməli, σ = 3; zirvə 1/(3√(2π)).
2) (x + 1)² = (x − (−1))², ona görə μ = −1; 2σ² = 8-dən σ² = 4 (σ = 2, bu da 1/(2√(2π)) əmsalına uyğundur): N(−1, 4).
3) N(0, 1) və N(2, 1) eyni formadadır, ikincisi 2 vahid sağa sürüşüb. N(0, 4)-ün oxu N(0, 1)-inki ilə eynidir, amma σ = 2: o, daha alçaq və enlidir, zirvəsi iki dəfə aşağıdır.

CSCA tipli sual: üç əyri

X ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²) və Z ~ N(μ₃, σ₃²) sıxlıq əyriləri bir yerdə çəkilib. X və Y əyrilərinin simmetriya oxu eynidir, x = 1, Y-in əyrisi daha alçaq və enlidir; Z-in əyrisi X-inki ilə eyni formadadır, amma oxu x = 3-dür. Hansı fikir doğrudur?
A) σ₁ > σ₂ B) μ₁ = μ₂ < μ₃ və σ₁ = σ₃ < σ₂ C) μ₃ < μ₁ D) P(Y < 1) > P(X < 1)

Həllini göstər

Eyni ox → μ₁ = μ₂ = 1 < μ₃ = 3; eyni forma → σ₁ = σ₃; daha alçaq və enli → daha böyük σ, yəni σ₂ > σ₁: B.
A σ-nın təsirini tərsinə çevirir; C oxların sırasını tərsinə çevirir; D səhvdir — hər iki ehtimal 0,5-dir.

68–95–99,7 qaydası və simmetriya

P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,6827, P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,9545, P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,9973

burada:

μ ± kσorta qiymət ətrafında k standart meyl enində interval
μ, σnormal paylanmanın parametrləri

Çin dərslikləri məhz bu qiymətləri verir (köhnə kitablarda 0,6826; 0,9544; 0,9974); CSCA sualları adətən onları sualın içində yazır. Onlar μ və σ-dan asılı olmayaraq istənilən normal paylanma üçün doğrudur.

Qiymətlərin cəmi təxminən 0,27%-i μ ± 3σ-dan kənardadır (hər quyruqda təxminən 0,13%).

1
Oxu tap
N(μ, σ²)-dan μ-nü oxu: əyri x = μ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.
2
Güzgü kimi əks etdir
μ-dən eyni məsafədəki nöqtələrin quyruqları bərabərdir: P(X < μ − a) = P(X > μ + a). P(X < c) = P(X > d) olarsa, μ = (c + d)/2.
3
1 və 0,5-dən istifadə et
Bütün sahə 1, hər yarısı 0,5-dir: P(X > c) = 1 − P(X < c), P(μ < X < μ + a) = 0,5 − P(X > μ + a).
4
Eskiz çək
Verilən ədədlərlə zəngin kiçik eskizi işarə səhvlərinin çoxunun qarşısını alır.

Həll olunmuş nümunələr: simmetriya

1) X ~ N(1, σ²) və P(X < −2) = 0,15. P(1 < X < 4)-ü tapın.
2) X ~ N(μ, σ²) və P(X < 2) = P(X > 8). μ-nü tapın.
3) X ~ N(4, σ²) və P(X < a) = P(X > a + 2). a-nı tapın.

Həllini göstər

1) −2 və 4 μ = 1-dən eyni, 3 vahid məsafədədir, ona görə P(X > 4) = 0,15 və P(1 < X < 4) = 0,5 − 0,15 = 0,35.
2) μ = (2 + 8)/2 = 5.
3) a və a + 2 nöqtələri 4-ə nəzərən simmetrikdir: (a + a + 2)/2 = 4, deməli, a = 3.

CSCA tipli sual: bir quyruqdan

X ~ N(2, σ²) və P(0 < X < 2) = 0,3. P(X > 4) nədir?
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,7 D) 0,8

Həllini göstər

Simmetriyaya görə P(2 < X < 4) = 0,3, sağ yarının sahəsi isə 0,5-dir: P(X > 4) = 0,5 − 0,3 = 0,2 (A).
B P(2 < X < 4)-ün özüdür, C = 1 − 0,3 yarını unudur, D = 0,5 + 0,3 isə P(X < 4)-dür.

Həll olunmuş nümunələr: 68–95–99,7 qaydası

X ~ N(50, 25).
1) P(45 < X < 55) və P(40 < X < 60)-ı tapın.
2) P(X > 60)-ı tapın.
3) P(45 < X < 60)-ı tapın.
4) 1000 şagirdin balları bu paylanmaya tabedir. Təxminən neçə şagird 60-dan çox bal toplayıb?

Həllini göstər

σ = √25 = 5.
1) 45–55 μ ± σ-dır: ≈ 0,6827; 40–60 μ ± 2σ-dır: ≈ 0,9545.
2) μ ± 2σ-dan kənarda iki quyruq 1 − 0,9545 = 0,0455 paylaşır, ona görə P(X > 60) ≈ 0,0228 (0,02275).
3) μ − σ-dan μ-yə: 0,6827/2; μ-dən μ + 2σ-ya: 0,9545/2; birlikdə ≈ 0,3413 + 0,4773 = 0,8186.
4) 1000 · 0,0228 ≈ 23 şagird.

3σ prinsipi (3σ原则): (μ − 3σ, μ + 3σ) intervalından kənar qiymətin ehtimalı cəmi təxminən 0,0027-dir, ona görə bir müşahidədə o, praktik olaraq mümkünsüz sayılır. Zavodlar bundan keyfiyyətə nəzarətdə istifadə edir: maşının hazırladığı detal bu intervaldan kənara çıxırsa, maşın dayandırılır və yoxlanılır.

CSCA tipli sual: 3σ prinsipi

Maşının hazırladığı mismarların uzunluğu (mm) N(50; 0,09) paylanmasına tabedir. Bir saat ərzində hazırlanmış dörd mismar ölçülür. Hansı ölçü maşının nasaz olduğunu göstərir?
A) 49,3 mm B) 50,8 mm C) 49,6 mm D) 51,0 mm

Həllini göstər

σ = √0,09 = 0,3, ona görə μ ± 3σ = (49,1; 50,9). Yalnız 51,0 mm bu intervaldan kənardadır: D.
Qalan üçü (49,1; 50,9) daxilindədir, yəni normal ölçülərdir. 0,09-u σ kimi götürsən, dörd mismarın hamısı nasaz görünərdi.

Standartlaşdırma

İstənilən normal kəmiyyəti μ-dən məsafəni σ vahidləri ilə ölçməklə standart kəmiyyətə çevirmək olar. Onda bir Φ cədvəli (və ya bir neçə verilmiş qiymət) bütün normal paylanmalara xidmət edir, müxtəlif paylanmalardakı nəticələri isə müqayisə etmək mümkün olur.

Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1), P(X < x) = Φ((x − μ)/σ), Φ(−z) = 1 − Φ(z), Φ(0) = 0,5Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1), P(X < x) = Φ((x − μ)/σ), Φ(−z) = 1 − Φ(z), Φ(0) = 0,5

burada:

Zstandartlaşdırılmış kəmiyyət (z-qiymət): qiymət μ-dən neçə σ uzaqdadır
Φ(z)P(Z < z) — N(0, 1)-in paylanma funksiyası

z = 2 «ortadan iki standart meyl yuxarı» deməkdir, ona görə 68–95–99,7 qaydası əslində Z haqqındadır: P(|Z| < 1) ≈ 0,6827, P(|Z| < 2) ≈ 0,9545, P(|Z| < 3) ≈ 0,9973.

Həll olunmuş nümunələr: z-qiymətlər

1) X ~ N(70, 25) və Φ(2) ≈ 0,9772. P(X < 80) və P(X < 60)-ı tapın.
2) X ~ N(60, 16) və Φ(1,5) ≈ 0,9332. P(54 < X < 66)-nı tapın.
3) Murad riyaziyyatdan 84 bal toplayıb (ballar N(72, 36) paylanmasına tabedir), fizikadan isə 81 bal (ballar N(66, 100) paylanmasına tabedir). O, hansı fəndə nisbətən daha yaxşı nəticə göstərib?

Həllini göstər

1) z = (80 − 70)/5 = 2: P(X < 80) = Φ(2) ≈ 0,9772; z = −2: P(X < 60) = 1 − 0,9772 = 0,0228 (yuxarıda tapılan 2σ quyruğu ilə eyni).
2) z (54 − 60)/4 = −1,5-dən 1,5-ə qədərdir: P = Φ(1,5) − Φ(−1,5) = 2Φ(1,5) − 1 ≈ 0,8664.
3) Riyaziyyat: z = (84 − 72)/6 = 2; fizika: z = (81 − 66)/10 = 1,5. Digər iştirakçılarla müqayisədə Murad riyaziyyatda daha yaxşıdır, baxmayaraq ki, balları yaxındır.

CSCA bunu necə soruşur

Paylanma cədvəlləri: naməlum ehtimal (cəm 1-dir), sonra E(X) və D(X) = E(X²) − [E(X)]²; oyunun gözlənilən gəliri.
Qaydalar: E(aX + b) və D(aX + b); binomial E = np, D = np(1 − p), həm də tərsinə (E və D-dən n və p-yə).
N(μ, σ²)-ın oxunması: μ, σ (ikinci ədəd σ²-dır!), ox, μ və σ-nın əyriyə təsiri, iki-üç əyrinin müqayisəsi.
Simmetriya: P(X < μ) = 0,5, bərabər quyruqlar, «P(X < c) = P(X > d) ⇒ μ = (c + d)/2», verilmiş bir hissəyə görə iki nöqtə arasındakı ehtimal.
68–95–99,7 və 3σ: σ-intervalların ehtimalları, adamların sayı (N · P), keyfiyyətə nəzarət, verilmiş Φ qiyməti ilə standartlaşdırma.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
təsadüfi kəmiyyət — random variable	随机变量	suíjī biànliàng
paylanma cədvəli — distribution (table)	分布列	fēnbùliè
riyazi gözləmə — expectation (mean)	数学期望（均值）	shùxué qīwàng (jūnzhí)
dispersiya — variance	方差	fāngchā
standart meyl — standard deviation	标准差	biāozhǔnchā
iki nöqtəli paylanma — two-point distribution	两点分布	liǎngdiǎn fēnbù
binomial paylanma — binomial distribution	二项分布	èrxiàng fēnbù
normal paylanma — normal distribution	正态分布	zhèngtài fēnbù
normal əyri — normal curve	正态曲线	zhèngtài qūxiàn
ehtimal sıxlığı — probability density	概率密度	gàilǜ mìdù
standart normal paylanma — standard normal distribution	标准正态分布	biāozhǔn zhèngtài fēnbù
simmetriya oxu — axis of symmetry	对称轴	duìchènzhóu
3σ prinsipi — 3σ principle	3σ原则	3σ yuánzé
standartlaşdırma — standardisation	标准化	biāozhǔnhuà

CSCA-nı ingilis və ya çin dilində vermək olar, ona görə hər iki adı öyrən.

Əsas fikirlər

Paylanma cədvəli: pᵢ ≥ 0, Σpᵢ = 1; E(X) = Σxᵢpᵢ, D(X) = E(X²) − [E(X)]².
E(aX + b) = aE(X) + b, D(aX + b) = a²D(X); B(n, p): E = np, D = np(1 − p).
X ~ N(μ, σ²): əyri x = μ-yə nəzərən simmetrikdir, E(X) = μ, D(X) = σ²; böyük σ — daha alçaq və enli əyri.
P(X < μ) = 0,5; P(X < μ − a) = P(X > μ + a); P(X < c) = P(X > d) ⇒ μ = (c + d)/2.
Qiymətlərin ≈ 68,27%, 95,45%, 99,73%-i μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ daxilindədir; μ ± 3σ-dan kənar praktik olaraq mümkünsüzdür.
Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1), P(X < x) = Φ((x − μ)/σ), Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

X 1, 2, 3 qiymətlərini 0,2; 0,5 və a ehtimalları ilə alır. a nədir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla