Çevrə üzrə hərəkət — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

v, ω, T və ν arasında keçid etmək və «qayışda eyni v, ortaq oxda eyni ω» qaydasını tətbiq etmək.
Mərkəzəqaçma təcilini tapmaq və mərkəzəqaçma qüvvəsini hansı real qüvvənin yaratdığını müəyyən etmək.
Üfüqi çevrə məsələlərini həll etmək: düz və maili döngə, konik rəqqas.
Şaquli çevrənin ən yuxarı nöqtəsində ip və çubuq üçün minimal sürəti, yuxarı və aşağı nöqtələrdəki qüvvələri tapmaq.

Paltaryuyan maşının barabanı dəqiqədə 1200 dövr edir, avtomobil dairəvi kəsişmədən keçir, uşaq su dolu vedrəni başının üstündən fırladır, amma bir damla da tökülmür. Bu üç hadisənin hamısı çevrə üzrə hərəkətdir və hamısını bir düstur — F = mv²/r — izah edir. CSCA proqramında bu mövzu «Çevrə üzrə hərəkət və ümumdünya cazibəsi» sətrinin birinci yarısıdır: burada fırlanmanın kinematikası və dinamikası, planetlər və peyklər isə «Ümumdünya cazibə qanunu və peyklər» dərsindədir. «Nyuton qanunları və tətbiqləri» dərsindən sənə yalnız F = ma lazımdır — sadəcə təcil indi çevrənin mərkəzinə yönəlib.

Çevrə üzrə hərəkəti təsvir etmək: v, ω, T, ν; qayışlar və ortaq ox

Tərif

Bərabərsürətli çevrə üzrə hərəkət

Cisim çevrə üzrə sürətinin modulu dəyişmədən hərəkət edir. Sürət vektoru hər an çevrəyə toxunan boyunca yönəlir və istiqamətini dəyişir, ona görə sürət sabit deyil və cismin təcili var (Çin dərsliklərində 匀速圆周运动).

Tərif

Bucaq sürəti, period, tezlik

Bucaq sürəti ω — radiusun 1 saniyədə döndüyü bucaq (radianla), rad/s. Period T — bir tam dövrün müddəti, s. Tezlik ν (fırlanma sürəti n) — 1 saniyədəki dövrlərin sayı, Hs = s⁻¹. Dəqiqədəki dövrlər (dövr/dəq) əvvəlcə 60-a bölünür.

v = 2πr/T ω = 2π/T = 2πν v = ωr T = 1/νv = 2πr/T ω = 2π/T = 2πν v = ωr T = 1/ν

burada:

vxətti sürət, m/s (çevrəyə toxunan boyunca)
ωbucaq sürəti, rad/s
Tperiod, s
νtezlik, Hs (dövr/s)
rçevrənin radiusu (oxdan nöqtəyə qədər məsafə), m

Bir dövrdə nöqtə 2πr yol gedir, radius isə 2π rad dönür — hər ikisi T müddətində. Buradan v = ωr alınır.

Nümunə 1: dövrlərdən sürətə

1) Ventilyatorun pəri dəqiqədə 300 dövr edir. ν, T və ω-nı tap.
2) Pərin ucu oxdan 0,4 m aralıdır. Onun xətti sürəti nədir?
3) Saatın dəqiqə əqrəbi saat əqrəbindən 1,5 dəfə uzundur. Əqrəblərin uclarının sürətlərinin nisbəti nədir?

Həllini göstər

1) ν = 300/60 = 5 Hs, T = 1/ν = 0,2 s, ω = 2πν = 10π rad/s ≈ 31 rad/s.
2) v = ωr = 10π · 0,4 = 4π m/s ≈ 12,6 m/s.
3) Dəqiqə əqrəbinin periodu 1 saat, saat əqrəbininki 12 saatdır, deməli ω-lar 12 : 1 nisbətindədir. v = ωr: v₁ : v₂ = 12 · 1,5 : 1 = 18 : 1.

İki təkər qayış və ya zəncirlə bağlıdırsa (yaxud dişli çarxlar sürüşmədən bir-birinə toxunursa), qayışın bütün nöqtələri eyni sürətlə hərəkət edir, deməli təkərlərin kənar nöqtələrinin xətti sürəti v eynidir. Bir oxa bərkidilmiş bərk cismin (disk, təkər və onun kiçik ulduzcası) bütün nöqtələrinin isə bucaq sürəti ω eynidir.

qayış, zəncir, dişli: v₁ = v₂ ⇒ ω₁r₁ = ω₂r₂ ⇒ ω₁ : ω₂ = r₂ : r₁ ortaq ox: ω₁ = ω₂ ⇒ v₁ : v₂ = r₁ : r₂

burada:

r₁, r₂təkərlərin radiusları və ya nöqtələrin oxdan məsafələri; dişli çarxlarda radius dişlərin sayı ilə mütənasibdir

Qayışda kiçik təkər daha tez fırlanır; ortaq oxda oxdan uzaq nöqtə daha sürətlə hərəkət edir.

Nümunə 2: velosiped və dişli çarxlar

1) Velosipedin pedal ulduzcasında 48, arxa ulduzcasında 16 diş var. Aysel pedalları saniyədə 1 dövr fırladır. Arxa təkərin radiusu 0,35 m-dir. Velosipedin sürəti nədir?
2) 20 dişli A çarxı 60 dişli B çarxı ilə ilişib. A dəqiqədə 90 dövr edir. B neçə dövr edir?

Həllini göstər

1) Zəncir: eyni v, ona görə ν radiusla (dişlərlə) tərs mütənasibdir: arxa ulduzca 48/16 = 3 dəfə tez, 3 dövr/s fırlanır. Arxa təkər ulduzca ilə ortaq oxdadır: onun da ν = 3 dövr/s. v = 2πνr = 2π · 3 · 0,35 = 2,1π m/s ≈ 6,6 m/s (≈ 24 km/saat).
2) Dişlilər: eyni v, ν₁r₁ = ν₂r₂ ⇒ ν_B = 90 · 20/60 = 30 dövr/dəq. Böyük çarx yavaş fırlanır.

Nümunə 3 (CSCA formatı): qayışla bağlı iki təkər

A və B təkərləri sürüşməyən qayışla bağlıdır, r_B = 2r_A. C nöqtəsi B təkərində, onun oxundan r_A məsafədədir. A, B (kənar nöqtələr) və C nöqtələrinin mərkəzəqaçma təcillərinin nisbəti a_A : a_B : a_C nədir?
A) 1 : 2 : 1 B) 4 : 2 : 1 C) 2 : 1 : 1 D) 2 : 2 : 1

Həllini göstər

Qayış: v_A = v_B = v; r_B iki dəfə böyükdür, ona görə ω_A = 2ω_B. C ilə B ortaq oxdadır: ω_C = ω_B, v_C = v/2. a = ωv: a_A = 2ω_B · v, a_B = ω_B · v, a_C = ω_B · v/2 ⇒ 4 : 2 : 1, cavab B.
D xətti sürətlərin nisbətidir, C bucaq sürətlərinin nisbətidir. A isə a = ω²r düsturunu hər üç nöqtəyə eyni ω ilə tətbiq edəndə alınır — amma A təkəri daha tez fırlanır.

Mərkəzəqaçma təcili və mərkəzəqaçma qüvvəsi

Sürətin modulu sabit qalsa da, istiqaməti dəyişir. Qısa Δt müddətində sürət vektorunun dəyişməsi Δv çevrənin mərkəzinə yönəlir, ona görə təcil də mərkəzə yönəlir — buna mərkəzəqaçma təcili deyilir. Nyutonun ikinci qanununa görə bu təcili cismə təsir edən qüvvələrin mərkəzə yönəlmiş əvəzləyicisi yaradır.

a = v²/r = ω²r = ωv = 4π²r/T² F = ma = mv²/r = mω²r = 4π²mr/T²a = v²/r = ω²r = ωv = 4π²r/T² F = ma = mv²/r = mω²r = 4π²mr/T²

burada:

amərkəzəqaçma təcili, m/s², həmişə mərkəzə yönəlib
Fmərkəzəqaçma qüvvəsi — mərkəzə yönəlmiş əvəzləyici qüvvə, N
mkütlə, kq

a və F-in istiqaməti hər an dəyişir, ona görə bərabərsürətli çevrə üzrə hərəkət bərabərtəcilli hərəkət deyil. Qüvvə sürətə perpendikulyar olduğundan iş görmür: kinetik enerji sabit qalır.

Tərif

Mərkəzəqaçma qüvvəsi (向心力)

Yeni növ qüvvə deyil, roldur: onu gərilmə qüvvəsi, sürtünmə, ağırlıq qüvvəsi, dayağın reaksiyası və ya onların əvəzləyicisi yaradır. Qüvvələr diaqramında onu ayrıca ox kimi çəkmə — əvvəlcə real qüvvələri çək, sonra onların mərkəzə yönəlmiş cəmini mv²/r-ə bərabər et.

Nümunə 4: ip, fırlanan disk və nisbətlər

1) Hamar üfüqi masada 0,2 kq-lıq şayba 0,5 m uzunluqlu iplə mismara bağlanıb və saniyədə 2 dövr edir. Təcili və ipin gərilməsini tap.
2) Sikkə fırlanan diskin mərkəzindən 0,1 m aralıdadır, sürtünmə əmsalı μ = 0,4 (g = 10 m/s²). Sikkə sürüşməsin deyə diskin ən böyük bucaq sürəti nə qədərdir?
3) Radius dəyişmədən sürət 2 dəfə artır; ω sabit qalmaqla radius 2 dəfə artır; v sabit qalmaqla radius 2 dəfə artır. Təcil necə dəyişir?

Həllini göstər

1) ω = 2πν = 4π rad/s; a = ω²r = 16π² · 0,5 = 8π² m/s² ≈ 79 m/s². Gərilmə mərkəzəqaçma qüvvəsi rolunu oynayır: F = ma = 0,2 · 8π² = 1,6π² N ≈ 16 N.
2) Mərkəzə yönəlmiş qüvvə sükunət sürtünməsidir və μmg-dən böyük ola bilməz: μmg = mω²r ⇒ ω² = μg/r = 4/0,1 = 40 ⇒ ω = 2√10 rad/s ≈ 6,3 rad/s. Kütlə ixtisar olunur.
3) a = v²/r ⇒ 4 dəfə artır; a = ω²r ⇒ 2 dəfə artır; a = v²/r ⇒ 2 dəfə azalır.

Əgər mövcud qüvvə tələb olunan mv²/r-dən kiçik olarsa, cisim çevrədən çıxıb mərkəzdən uzaqlaşır — buna mərkəzdənqaçma hərəkəti (离心运动) deyilir. Sentrifuqa belə işləyir: paltara yapışan su damcısını saxlayan qüvvə mω²r üçün kifayət etmir və damcı toxunan boyunca uçur. Onu heç bir «mərkəzdənqaçma qüvvəsi» itələmir.

Üfüqi çevrələr: döngə, maili yol, konik rəqqas

1
Real qüvvələri çək
Ağırlıq mg, dayağın reaksiyası və ya gərilmə, sürtünmə — başqa heç nə.
2
Çevrənin mərkəzini tap
Mərkəz hərəkət müstəvisindədir (asılma nöqtəsində deyil!), radius — cismdən fırlanma oxuna qədər üfüqi məsafədir.
3
Şaquli istiqamət: ΣF = 0
Cisim yuxarı-aşağı hərəkət etmir, şaquli qüvvələr tarazlaşır.
4
Mərkəzə doğru: ΣF = mv²/r
Üfüqi komponentləri topla və mv²/r = mω²r-ə bərabər et, sonra həll et.

düz döngə: μmg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μgr) maili döngə (sürtünməsiz): tg θ = v²/(gr) konik rəqqas: a = g · tg θ, r = L sin θ, ω = √(g/(L cos θ)) = √(g/h)düz döngə: μmg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μgr) maili döngə (sürtünməsiz): tg θ = v²/(gr) konik rəqqas: a = g · tg θ, r = L sin θ, ω = √(g/(L cos θ)) = √(g/h)

burada:

μsükunət sürtünmə əmsalı
θyolun maillik bucağı və ya ipin şaquli ilə bucağı
Lipin uzunluğu, m
hkonusun hündürlüyü h = L cos θ — asılma nöqtəsindən çevrənin müstəvisinə qədər şaquli məsafə

Maili döngədə və konik rəqqasda mg ilə dayağın reaksiyasının (gərilmənin) əvəzləyicisi üfüqidir: F = mg · tg θ, ona görə a = g · tg θ.

Nümunə 5: döngə, maili yol və konik rəqqas

1) Düz döngənin radiusu 80 m, təkərlərlə asfalt arasında μ = 0,5 (g = 10 m/s²). Maşın sürüşmədən ən çox hansı sürətlə döngəyə girə bilər?
2) Radiusu 120 m olan maili döngə 30 m/s sürət üçün layihələnib (sürtünməsiz). Maillik bucağı nədir? Maşın daha sürətlə gedərsə nə olar?
3) 0,1 kq-lıq kürəcik 0,5 m uzunluqlu ipdən asılıb və ip şaquli ilə 60° bucaq əmələ gətirməklə üfüqi çevrə cızır. ω-nı, periodu və ipin gərilməsini tap.

Həllini göstər

1) v_max = √(μgr) = √(0,5 · 10 · 80) = √400 = 20 m/s (72 km/saat).
2) tg θ = v²/(gr) = 900/1200 = 0,75 ⇒ θ = 37°. Daha sürətli maşın xaricə sürüşməyə meyl edir, sürtünmə mailik boyunca aşağı yönəlir; daha yavaş maşında isə yuxarı. Dəmir yolunda xarici rels daxili relsdən hündür qoyulur (外轨高于内轨); layihə sürətindən sürətli qatarın təkərlərinin qabarığına xarici rels içəriyə doğru basır.
3) h = L cos 60° = 0,25 m, ω = √(g/h) = √40 = 2√10 rad/s ≈ 6,3 rad/s, T = 2π/ω = π/√10 ≈ 1,0 s. Şaquli istiqamət: F cos θ = mg ⇒ F = mg/cos 60° = 2 N.

Nümunə 6 (CSCA formatı): eyni hündürlükdə iki konik rəqqas

Kütlələri müxtəlif iki kürəcik eyni nöqtədən müxtəlif uzunluqlu iplərdən asılıb və eyni üfüqi müstəvidə çevrələr cızır. Hansı kəmiyyət hər iki kürəcik üçün eynidir?
A) xətti sürət B) bucaq sürəti C) mərkəzəqaçma təcili D) ipin gərilmə qüvvəsi

Həllini göstər

Hər ikisinin h hündürlüyü eynidir və ω = √(g/h) — L-dən də, m-dən də asılı deyil ⇒ cavab B.
A: v = ωr, radiuslar isə fərqlidir. C: a = g · tg θ, bucaqlar fərqlidir. D: F = mg/cos θ həm kütlədən, həm bucaqdan asılıdır. Uzun ip «daha yavaş» görünür, amma daha böyük çevrə cızır — tələ budur.

Şaquli çevrə: ip, yoxsa çubuq?

Şaquli çevrədə ağırlıq qüvvəsi iş gördüyündən sürət dəyişir, hərəkət bərabərsürətli deyil. CSCA adətən yalnız ən yuxarı və ən aşağı nöqtələri soruşur: orada bütün qüvvələr şaquli yönəlib və mərkəzə doğru cəm mv²/r-ə bərabərdir. İki nöqtə arasında sürəti mexaniki enerjinin saxlanması ilə tapırsan («İş, güc və enerji» dərsi): v_aşağı² = v_yuxarı² + 4gr.

yuxarıda: F + mg = mv²/r aşağıda: F − mg = mv²/r ip (halqanın içi): v_yuxarı ≥ √(gr) çubuq (boru): v_yuxarı ≥ 0yuxarıda: F + mg = mv²/r aşağıda: F − mg = mv²/r ip (halqanın içi): v_yuxarı ≥ √(gr) çubuq (boru): v_yuxarı ≥ 0

burada:

Fipin, çubuğun və ya yolun cismə təsir qüvvəsi; mərkəzə yönələndə müsbət götürülür
rçevrənin radiusu, m

İp yalnız dartır: yuxarıda F ≥ 0 olmalıdır, ona görə mg ≤ mv²/r. Çubuq həm dartır, həm itələyir: kürəcik yuxarıdan istənilən v ≥ 0 sürəti ilə keçə bilər; v = √(gr) olanda çubuğun qüvvəsi sıfırdır.

Model	Yuxarıda minimal sürət	Yuxarıdakı qüvvə
ip; halqanın içi ilə hərəkət	√(gr)	mərkəzə doğru (aşağı) dartır; v = √(gr) olanda 0
yüngül çubuq; boru içində kürəcik	0	v < √(gr): yuxarı itələyir; v = √(gr): 0; v > √(gr): aşağı dartır
qabarıq körpünün üstündə maşın	— (ən böyük sürət √(gr), sonra yoldan qopur)	N = mg − mv²/r < mg

Ən çox soruşulan fərq: ip üçün √(gr), çubuq üçün 0.

Yuxarıda hər iki qüvvə mərkəzə yönəlib, aşağıda isə gərilmə ağırlığı üstələməlidir — ona görə ip ən çox aşağıda qırılır.

Nümunə 7 (CSCA formatı): çubuq ən yuxarı nöqtədə

0,5 kq-lıq kürəcik 0,4 m uzunluqlu yüngül çubuğa bərkidilib və şaquli çevrə üzrə fırlanır. Ən yuxarı nöqtədə onun sürəti 1 m/s-dir (g = 10 m/s²). Çubuq orada kürəciyə hansı qüvvə ilə təsir edir?
A) 3,75 N, aşağı dartır B) 6,25 N, aşağı dartır C) 3,75 N, yuxarı itələyir D) 1,25 N, yuxarı itələyir

Həllini göstər

Lazım olan mərkəzəqaçma qüvvəsi mv²/r = 0,5 · 1/0,4 = 1,25 N, ağırlıq isə mg = 5 N — artıqdır. Deməli çubuq yuxarı itələyir: mg − N = mv²/r ⇒ N = 5 − 1,25 = 3,75 N, cavab C.
A: qiymət düzdür, istiqamət yox (v < √(gr) = 2 m/s olduğundan çubuq itələyir). B: mg + mv²/r toplanıb. D: mv²/r çubuğun qüvvəsi sayılıb.

Nümunə 8: ip, qabarıq körpü və çökək yol

1) 0,2 kq-lıq kürəcik 0,9 m uzunluqlu ipdə şaquli çevrə cızır. Ən yuxarıda minimal sürət nədir? Bu halda ən aşağıda sürət və gərilmə nə qədərdir?
2) 1000 kq-lıq maşın radiusu 50 m olan qabarıq körpünün təpəsindən 10 m/s sürətlə keçir. Körpü maşına hansı qüvvə ilə təsir edir? Radiusu eyni olan çökək yolun ən aşağı nöqtəsində, eyni sürətdə bu qüvvə nə qədər olar?

Həllini göstər

1) T = 0: v_yuxarı = √(gr) = √9 = 3 m/s. Enerji: v_aşağı² = 9 + 4 · 10 · 0,9 = 45 ⇒ v_aşağı = 3√5 m/s ≈ 6,7 m/s. Aşağıda: T = mg + mv²/r = 0,2 · (10 + 50) = 12 N = 6mg.
2) Təpədə: mg − N = mv²/r ⇒ N = 10 000 − 1000 · 100/50 = 8000 N — maşın «yüngülləşir» (失重). √(gr) = √500 ≈ 22 m/s sürətdə N = 0 olardı və maşın yoldan qopardı. Çökəkdə: N = mg + mv²/r = 12 000 N — «ağırlaşır» (超重).

CSCA bu mövzunu necə soruşur

CSCA fizika testində 60 dəqiqəyə 48 sual var — hər birinə təxminən 75 saniyə. Çevrə üzrə hərəkət sualları qısadır, 1–3 addımlıdır. Tipik növlər:

dövr/dəq və ya period verilir ⇒ ω, v, a tapılır (əvvəlcə vahidləri çevir);
qayış, dişli və ortaq ox: üç nöqtə üçün v, ω, T, a nisbətləri;
«mərkəzəqaçma qüvvəsini hansı qüvvə yaradır?» və bərabərsürətli hərəkət haqqında «hansı fikir doğrudur?» sualları;
düz döngə (μ), maili yol və dəmir yolu döngəsi (xarici/daxili rels), konik rəqqas (eyni hündürlük);
şaquli çevrə: yuxarıda minimal sürət (ip və ya çubuq), yuxarıda/aşağıda qüvvə, qabarıq körpü və çökək yol, çox vaxt enerji ilə birlikdə;
mərkəzdənqaçma hərəkəti: sentrifuqa, döngədə xaricə sürüşən maşın.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
bərabərsürətli çevrə üzrə hərəkət — uniform circular motion	匀速圆周运动	yúnsù yuánzhōu yùndòng
xətti sürət — linear speed	线速度	xiànsùdù
bucaq sürəti — angular velocity	角速度	jiǎosùdù
period / tezlik — period / frequency	周期 / 频率	zhōuqī / pínlǜ
fırlanma sürəti (dövr/s) — rotational speed	转速	zhuànsù
mərkəzəqaçma təcili — centripetal acceleration	向心加速度	xiàngxīn jiāsùdù
mərkəzəqaçma qüvvəsi — centripetal force	向心力	xiàngxīnlì
mərkəzdənqaçma hərəkəti — centrifugal motion	离心运动	líxīn yùndòng
qayış ötürməsi / ortaq ox — belt drive / same axle	皮带传动 / 同轴转动	pídài chuándòng / tóngzhóu zhuàndòng
konik rəqqas — conical pendulum	圆锥摆	yuánzhuībǎi
qabarıq (tağvari) körpü — arch bridge	拱形桥	gǒngxíngqiáo
yüngül ip / yüngül çubuq — light string / light rod	轻绳 / 轻杆	qīngshéng / qīnggān
ən yuxarı / ən aşağı nöqtə — highest / lowest point	最高点 / 最低点	zuìgāodiǎn / zuìdīdiǎn

Test ingilis və ya çin dilində verilir — terminləri hər iki dildə tanı.

Əsas fikirlər

v = ωr, ω = 2π/T = 2πν; dövr/dəq-i əvvəlcə 60-a böl.
Qayış, zəncir və ilişən dişlilər eyni v-yə, bir oxdakı nöqtələr eyni ω-ya malikdir.
a = v²/r = ω²r mərkəzə yönəlib; F = mv²/r real qüvvələrin əvəzləyicisidir, əlavə qüvvə deyil.
Düz döngə: v_max = √(μgr); maili döngə və konik rəqqas: a = g · tg θ; konik rəqqas: ω = √(g/h).
Şaquli çevrə: yuxarıda F + mg = mv²/r, aşağıda F − mg = mv²/r; minimal yuxarı sürət ip üçün √(gr), çubuq üçün 0.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Disk dəqiqədə 600 dövr edir. Onun bucaq sürəti nədir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla