Funksiyalar və onların xassələri — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Funksiyanın, o cümlədən hissə-hissə verilmiş və mürəkkəb funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu tapmaq
Funksiyanın artan və ya azalan, cüt və ya tək, dövri olduğunu müəyyən etmək və bu xassələrlə qiymətləri tapmaq
Məlum qrafikdən sürüşdürmə, dartılma və əks etdirmə ilə yeni qrafik almaq və tərs funksiyanı tapmaq
Monotonluq və cütlükdən istifadə edərək qiymətləri müqayisə etmək və f(a) < f(b) kimi bərabərsizlikləri həll etmək

CSCA sualı: «f(x) R-də cüt funksiyadır və [0; +∞)-da artır. Hansı böyükdür: f(−3), yoxsa f(2)?» Düstur verilməyib — və lazım da deyil. Cütlükdən f(−3) = f(3), monotonluqdan isə f(3) > f(2) alınır, deməli f(−3) böyükdür: cəmi beş saniyəlik iş. Proqramın «Funksiyalar: təyin oblastı, qiymətlər çoxluğu, monotonluq, cütlük və s.» bəndi məhz bu alətlər dəstidir və bu dərs onu qurur: tərif, təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu, hissə-hissə verilmiş və mürəkkəb funksiyalar, monotonluq, cütlük, dövrilik, qrafiklərin çevrilməsi və tərs funksiya. Konkret funksiya ailələri «Qüvvət və üstlü funksiyalar», «Loqarifmlər və loqarifmik funksiya» və «Triqonometrik funksiyalar və eyniliklər» dərslərindədir; aralıqların yazılışı «Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər», təyin oblastı suallarında çıxan bərabərsizliklərin həlli isə «Bərabərsizliklər: xassələr, kvadrat və rasional bərabərsizliklər» dərsindədir.

Tərif, təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu

Tərif

Funksiya (函数)

D boş olmayan ədədlər çoxluğu olsun. f funksiyası hər x ∈ D ədədinə yeganə y = f(x) ədədini uyğun qoyur. D təyin oblastı (定义域), {f(x) | x ∈ D} isə qiymətlər çoxluğudur (值域). Funksiya təyin oblastı və qaydası ilə müəyyən olunur: iki funksiya yalnız hər ikisi üst-üstə düşəndə eynidir.

Son cümlə CSCA-nın sevimli tələsidir. y = x və y = x²/x müxtəlif funksiyalardır: ikincisi 0-da təyin olunmayıb. y = x və y = √(x²) = |x| funksiyalarının təyin oblastı eynidir, qaydası isə fərqlidir. Hər şaquli düz xətt əyrini ən çoxu bir nöqtədə kəsirsə, əyri funksiyanın qrafikidir. Düsturla verilmiş funksiyanın təyin oblastı aşağıdakı şərtlərdən tapılır.

u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0

burada:

u, vx-dən asılı ifadələr
√u, ⁴√ucüt dərəcəli köklər; ∛u kimi tək dərəcəli köklər istənilən u üçün mənalıdır
logₐ uloqarifmin arqumenti («Loqarifmlər və loqarifmik funksiya» dərsinə bax)

Bütün şərtləri yaz, sonra onların kəsişməsini götür və cavabı çoxluq və ya aralıqlarla ver. Mətnli məsələdə vəziyyətin öz şərtləri də əlavə olunur: uzunluqlar müsbətdir, əşyaların sayı tam ədəddir.

Həll edilmiş nümunələr: təyin oblastı

Təyin oblastını tap:
1) f(x) = √(x + 4)/(x − 1) + (x + 2)⁰.
2) f(x) = √(x² − 9).
3) Düzbucaqlının perimetri 20-dir. Onun S sahəsini bir tərəfi x-in funksiyası kimi yaz və təyin oblastını göstər.

Həllini göstər

1) x + 4 ≥ 0, x − 1 ≠ 0, x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≥ −4, x ≠ 1, x ≠ −2: [−4; −2) ∪ (−2; 1) ∪ (1; +∞).
2) x² − 9 ≥ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≥ 0 ⇒ (−∞; −3] ∪ [3; +∞).
3) Digər tərəf 10 − x-dir, ona görə S = x(10 − x); hər iki tərəf müsbətdir: 0 < x < 10, yəni təyin oblastı (0; 10)-dur, halbuki təkcə düstur istənilən həqiqi x-ə icazə verərdi.

Qiymətlər çoxluğunu tapmaq təyin oblastından çətindir. Dörd üsul CSCA suallarının demək olar hamısını əhatə edir: monotonluq (f [a; b]-də artırsa, qiymətlər çoxluğu [f(a); f(b)]-dir); kvadrat funksiya üçün tam kvadratın ayrılması — təpənin verilmiş aralıqda olub-olmadığını yoxlamağı unutma; x² ≥ 0, √u ≥ 0, |u| ≥ 0, aˣ > 0 kimi məlum sərhədlər; kəsr-xətti funksiya üçün isə onun heç vaxt almadığı yeganə qiymət.

y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/cy = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/c

burada:

a/ca/cbaş əmsalların nisbəti: üfüqi asimptot y = a/c
−d/c−d/cməxrəcin sıfırı: şaquli asimptot

Nə üçün y ≠ a/c: y = (ax + b)/(cx + d) bərabərliyindən x-i tapsaq, x = (b − dy)/(cy − a) alınır; bu ifadə a/c-dən başqa istənilən y üçün mövcuddur. Qrafik mərkəzi (−d/c; a/c) nöqtəsinə köçürülmüş y = k/x hiperbolasıdır.

Həll edilmiş nümunələr: qiymətlər çoxluğu

Qiymətlər çoxluğunu tap: 1) y = 2x² − 4x + 3, x ∈ [−1; 2]; 2) y = (3x − 1)/(x + 2); 3) y = 4/(x² + 1).

Həllini göstər

1) y = 2(x − 1)² + 1; təpə x = 1 [−1; 2]-dədir, ona görə ən kiçik qiymət 1-dir; ən böyüyü 1-dən daha uzaq olan ucdadır: y(−1) = 9 (y(2) = 3). Qiymətlər çoxluğu [1; 9].
2) a/c = 3/1, ona görə y ≠ 3: qiymətlər çoxluğu (−∞; 3) ∪ (3; +∞). Yoxlama: x = (−1 − 2y)/(y − 3) ifadəsi istənilən y ≠ 3 üçün var.
3) x² + 1 ≥ 1, ona görə 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4, 4 qiyməti x = 0 olduqda alınır: (0; 4].

Tərif

Hissə-hissə verilmiş funksiya (分段函数)

Təyin oblastının müxtəlif hissələrində müxtəlif qayda ilə verilən bir funksiya. Onun təyin oblastı hissələrin birləşməsi, qiymətlər çoxluğu isə hissələrin qiymətlər çoxluqlarının birləşməsidir. f(a)-nı hesablamaq üçün əvvəlcə a-nın hansı hissəyə aid olduğunu müəyyən et; f(a) = k tənliyini hər hissədə ayrıca həll et və yalnız həmin hissəyə düşən kökləri saxla.

(f ∘ g)(x) = f(g(x)), x ∈ D(g), g(x) ∈ D(f)

burada:

gdaxili funksiya: birinci o işləyir
fxarici funksiya: g(x) qiymətinə tətbiq olunur
D(f), D(g)təyin oblastları

Mürəkkəb funksiya (复合函数): sıra vacibdir, ümumiyyətlə f(g(x)) ≠ g(f(x)). D(f) = [m; n] olarsa, f(g(x))-in təyin oblastı m ≤ g(x) ≤ n bərabərsizliklərinin həllər çoxluğudur.

Həll edilmiş nümunələr: hissə-hissə verilmiş və mürəkkəb funksiyalar

1) x ≤ 1 olduqda f(x) = x² − 1, x > 1 olduqda f(x) = 3 − x. f(f(2))-ni tap və f(a) = 0 tənliyini həll et.
2) f(x) = 2x + 1, g(x) = x². f(g(x)), g(f(x)) funksiyalarını və onların x = −1-dəki qiymətlərini tap.
3) f-in təyin oblastı [0; 4]-dür. f(2x − 2)-nin təyin oblastını tap.
4) f(x + 1) = x² + 2x. f(x)-i tap.

Həllini göstər

1) 2 > 1, ona görə f(2) = 1; 1 ≤ 1, ona görə f(1) = 0: f(f(2)) = 0. a ≤ 1 olduqda: a² − 1 = 0 ⇒ a = ±1, hər ikisi uyğundur; a > 1 olduqda: 3 − a = 0 ⇒ a = 3, uyğundur. a ∈ {−1; 1; 3}.
2) f(g(x)) = 2x² + 1, g(f(x)) = (2x + 1)²; x = −1 olduqda: 3 və 1 — fərqlidir.
3) 0 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3: [1; 3].
4) t = x + 1, x = t − 1 qəbul edək: f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) = t² − 1, deməli f(x) = x² − 1.

CSCA tipli sual

x ≤ 0 olduqda f(x) = x² + 1, x > 0 olduqda f(x) = 2x − 3. f(a) = 5 olarsa, a =
A) −2 B) 4 C) −2 və ya 4 D) ±2 və ya 4

Həllini göstər

a ≤ 0: a² + 1 = 5 ⇒ a = ±2, a ≤ 0 şərtini yalnız −2 ödəyir. a > 0: 2a − 3 = 5 ⇒ a = 4 > 0, uyğundur. Cavab C.
A və B hissələrdən birini unudur. D a = 2 qiymətini saxlayır, halbuki 2 x² + 1 düsturunun işlədiyi x ≤ 0 hissəsinə düşmür.

Monotonluq, cütlük və dövrilik

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — artan; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) — azalan

burada:

x₁, x₂I aralığından istənilən iki ədəd
Imonotonluq aralığı (单调区间): funksiya onun bütün uzunluğunda artır (增函数) və ya azalır (减函数)

Artan + artan artandır; −f istiqaməti dəyişir, f işarəsini saxlayanda 1/f də dəyişir. y = f(g(x)) üçün: f və g eyni istiqamətdə dəyişirsə, mürəkkəb funksiya artır, əks istiqamətlərdə dəyişirsə, azalır — 同增异减. İstənilən funksiyanın monotonluğunu törəmə verir: «Törəmənin tətbiqləri: monotonluq və ekstremumlar».

Həll edilmiş nümunələr: monotonluq

1) y = x² − 6x + 1 funksiyasının monotonluq aralıqlarını tap.
2) f(x) = −x² + 2(a − 1)x + 3 funksiyası (−∞; 4]-də artır. a-nın ala biləcəyi qiymətləri tap.
3) y = √(x² − 4x) funksiyasının monotonluq aralıqlarını tap.

Həllini göstər

1) Simmetriya oxu x = 3-dür, qollar yuxarıdır: (−∞; 3]-də azalır, [3; +∞)-da artır.
2) Parabolanın qolları aşağıdır, oxu x = a − 1-dir, ona görə f (−∞; a − 1]-də artır. (−∞; 4] ⊆ (−∞; a − 1] olmalıdır: a − 1 ≥ 4, a ≥ 5.
3) Əvvəlcə təyin oblastı: x² − 4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 və ya x ≥ 4. Daxili u = x² − 4x funksiyası (−∞; 0]-da azalır, [4; +∞)-da artır; √u artandır. 同增异减 qaydasına görə: (−∞; 0]-da azalır, [4; +∞)-da artır — (−∞; 2] və [2; +∞)-da yox, çünki 0 ilə 4 arasındakı nöqtələr təyin oblastına daxil deyil.

Tərif

Cüt və tək funksiyalar (偶函数, 奇函数)

Təyin oblastı 0-a nəzərən simmetrik olsun (x ilə birlikdə −x də ona daxildir). Bütün x üçün f(−x) = f(x) olarsa, f cüt funksiyadır — qrafiki Oy oxuna nəzərən simmetrikdir; f(−x) = −f(x) olarsa, tək funksiyadır — qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Funksiyaların çoxu nə cüt, nə təkdir. Bu xassə cütlük-təklik adlanır (奇偶性).

f(−x) = f(x) — cüt; f(−x) = −f(x) — tək; tək və 0 ∈ D ⇒ f(0) = 0

burada:

Dtəyin oblastı; 0-a nəzərən simmetrik olmalıdır, əks halda f nə cüt, nə təkdir
f(0) = 0f(−0) = −f(0) bərabərliyindən: 0-da təyin olunmuş tək funksiya koordinat başlanğıcından keçir

tək ± tək = tək, cüt ± cüt = cüt; tək · tək = cüt, cüt · cüt = cüt, tək · cüt = tək — «+» və «−» işarələri kimi. Yalnız cüt dərəcələri (və sabiti) olan çoxhədli cütdür, yalnız tək dərəcələri olan isə təkdir.

1
Təyin oblastını yoxla
0-a nəzərən simmetrik deyilsə (məsələn, [−1; 2] və ya x ≥ 0), dayan: nə cüt, nə tək.
2
f(−x)-i hesabla
x-i −x ilə əvəz et və sadələşdir: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.
3
Müqayisə et
f(−x) = f(x) — cüt; f(−x) = −f(x) — tək; heç biri deyilsə, hər ikisinin pozulduğu bir ədəd göstər, məsələn, f(−1) ≠ ±f(1).

Həll edilmiş nümunələr: cütlük-təklik

1) Cüt, tək, yoxsa heç biri: f(x) = x³ − 1/x; g(x) = |x + 1| + |x − 1|; h(x) = x⁴, x ∈ (−2; 2].
2) f(x) = ax⁵ + bx³ + cx − 4 və f(−2) = 6. f(2)-ni tap.
3) f R-də tək funksiyadır və x > 0 olduqda f(x) = x² + 3x. f(0)-ı və x < 0 olduqda f(x)-i tap.

Həllini göstər

1) f(−x) = −x³ + 1/x = −f(x): tək. g(−x) = |−x + 1| + |−x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = g(x): cüt. h: (−2; 2] oblastına 2 daxildir, −2 isə yox, ona görə nə cüt, nə tək.
2) g(x) = ax⁵ + bx³ + cx tək funksiyadır və f(x) = g(x) − 4. g(−2) = 6 + 4 = 10, deməli g(2) = −10 və f(2) = −14. (Qısa yol: f(2) + f(−2) = −8.)
3) f(0) = 0. x < 0 olduqda −x > 0: f(−x) = (−x)² + 3(−x) = x² − 3x, ona görə f(x) = −f(−x) = −x² + 3x.

CSCA tipli sual

Hansı funksiya cütdür və (0; +∞)-da artır?
A) y = x² + |x| B) y = x³ C) y = −x² + 1 D) y = 1/x²

Həllini göstər

y = x² + |x|: f(−x) = x² + |x| = f(x), x > 0 olduqda isə x² + x-ə bərabərdir, bu da artır. Cavab A.
B artandır, amma təkdir. C və D cütdür, amma (0; +∞)-da azalır — hər variant iki şərtdən yalnız birini ödəyir, CSCA sualları adətən belə qurulur.

Tərif

Dövri funksiya (周期函数)

Təyin oblastındakı hər x üçün f(x + T) = f(x) olarsa, f dövrü T ≠ 0 olan dövri funksiyadır. Onda 2T, 3T, −T də dövrdür; onların ən kiçik müsbəti ən kiçik müsbət dövr adlanır (最小正周期). Qrafik uzunluğu T olan bir hissənin təkrarıdır.

f(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2af(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2a

burada:

Tdövr
asabit sürüşmə, a ≠ 0

İkinci qaydanın isbatı: f(x + 2a) = −f(x + a) = −(−f(x)) = f(x). Böyük arqumentdə f-i tapmaq üçün tam dövrləri çıx (qalığa bax), lazım olsa, sonra cütlükdən istifadə et. sin və cos-un dövrləri «Triqonometrik funksiyaların qrafikləri» dərsindədir.

Həll edilmiş nümunələr: dövrilik

1) f tək funksiyadır, dövrü 3-dür və f(1) = 2. f(2026) və f(8)-i tap.
2) Hər x üçün f(x + 2) = −f(x), 0 ≤ x < 2 olduqda isə f(x) = x². f(7)-ni tap.
3) f cüt funksiyadır və qrafiki x = 1 düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. 2-nin f-in dövrü olduğunu göstər.

Həllini göstər

1) 2026 = 3 · 675 + 1 ⇒ f(2026) = f(1) = 2. 8 = 9 − 1 ⇒ f(8) = f(−1) = −f(1) = −2.
2) Dövr 4-dür: f(7) = f(3) = f(1 + 2) = −f(1) = −1.
3) x = 1 düz xəttinə nəzərən simmetriya f(1 + t) = f(1 − t) deməkdir. t = x + 1 götürsək: f(x + 2) = f(−x) = f(x) — 2 dövrdür.

Qrafiklərin çevrilməsi və tərs funksiya

y = f(x − a) + b; y = A·f(x); y = f(ωx); y = −f(x); y = f(−x); y = −f(−x); y = |f(x)|; y = f(|x|)

burada:

a, bsürüşmə: a > 0 sağa, b > 0 yuxarı (a < 0 sola, b < 0 aşağı)
A, ωOy boyunca A dəfə dartılma: (x; y) → (x; Ay); ω > 1 olduqda Ox boyunca ω dəfə sıxılma: (x; y) → (x/ω; y)
−f(x), f(−x), −f(−x)Ox oxuna, Oy oxuna və koordinat başlanğıcına nəzərən əks etdirmə
|f(x)|, f(|x|)|f(x)|: Ox-dan aşağıdakı hissələr yuxarı çevrilir; f(|x|): sağ yarı saxlanır və sola əks etdirilir

Mötərizənin içindəki dəyişikliklər üfüqi və «tərsinə» işləyir (x − 2 sağa aparır, 2x sıxır); çöldəkilər şaquli və «olduğu kimi» işləyir. Çinli şagirdlər sürüşmələri 左加右减，上加下减 kimi yadda saxlayır: «sola — üstəgəl, sağa — çıx; yuxarı — üstəgəl, aşağı — çıx».

Həll edilmiş nümunələr: çevrilmələr

1) y = √(x + 1) − 2 və y = 2/(x − 1) + 3 qrafiklərinin y = √x və y = 2/x qrafiklərindən necə alındığını söylə; təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu göstər.
2) P(2; 5) nöqtəsi y = f(x) qrafikindədir. Hansı nöqtə mütləq y = f(x + 1) − 3, y = 2f(x/2) və y = f(−x) qrafiklərindədir?
3) |x² − 2x − 3| = 4 tənliyinin neçə həlli var?

Həllini göstər

1) √x: 1 vahid sola və 2 vahid aşağı; başlanğıc nöqtə (0; 0) → (−1; −2); təyin oblastı [−1; +∞), qiymətlər çoxluğu [−2; +∞). 2/x: 1 vahid sağa və 3 vahid yuxarı; mərkəz (1; 3); x ≠ 1, y ≠ 3.
2) x + 1 = 2 ⇒ x = 1: (1; 2). x/2 = 2 ⇒ x = 4, y = 10: (4; 10). (−2; 5).
3) y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4 parabolasının təpəsi (1; −4)-dür; modul onu yuxarı, (1; 4)-ə çevirir. y = 4 düz xətti bu zirvəyə toxunur və iki kənar qolu kəsir: 3 həll (x = 1, x = 1 ± 2√2).

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Birinci əyri tək y = x³ − 3x funksiyasıdır (koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir, lokal maksimumu (−1; 2)-dədir); ikincisi y = k·f(x − a) + b. a qrafiki üfüqi, b şaquli sürüşdürür, k dartır, k < 0 olduqda isə həm də əks etdirir. Simmetriya mərkəzinin (0; 0)-dan (a; b)-yə keçdiyinə bax.

CSCA tipli sual

y = x² − 4x + 1 qrafiki 1 vahid sola, sonra 2 vahid yuxarı sürüşdürülür. Yeni qrafik hansı funksiyanın qrafikidir?
A) y = x² − 6x + 8 B) y = x² − 2x − 4 C) y = x² − 6x + 4 D) y = x² − 2x

Həllini göstər

Təpə şəkli: y = (x − 2)² − 3, təpə (2; −3). 1 sola və 2 yuxarı: təpə (1; −1), ona görə y = (x − 1)² − 1 = x² − 2x. Cavab D.
A sola yox, sağa sürüşdürür, B yuxarı yox, aşağı sürüşdürür, C hər ikisini səhv edir. Təpəni köçürmək bütün ifadəyə x + 1 qoymaqdan daha sürətlidir.

Tərif

Tərs funksiya (反函数)

f hər qiymətini yalnız bir dəfə alırsa (məsələn, ciddi monotondursa), qiymətlər çoxluğundakı hər y üçün f(x) = y şərtini ödəyən yeganə x var. y ↦ x qaydası f⁻¹ tərs funksiyasıdır; adətən onun arqumenti yenə x ilə işarə olunur.

y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y); D(f⁻¹) = E(f), E(f⁻¹) = D(f); f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a

burada:

D(f), E(f)f-in təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu; tərs funksiyada yerlərini dəyişir
(a; b)f-in qrafikinin nöqtəsi; onda (b; a) f⁻¹-in qrafikindədir

f və f⁻¹ qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. Ən vacib cüt, y = aˣ və y = logₐ x, «Loqarifmlər və loqarifmik funksiya» dərsindədir. Diqqət: f⁻¹(x) 1/f(x) deyil.

1
Yoxla və qiymətlər çoxluğunu tap
f hər qiyməti bir dəfə almalıdır (təyin oblastında monoton olmalıdır). f-in qiymətlər çoxluğu f⁻¹-in təyin oblastı olacaq.
2
x-i ifadə et
y = f(x) bərabərliyindən x-i y ilə ifadə et; kökün işarəsini ilkin təyin oblastına görə seç.
3
Hərfləri dəyiş və oblastı yaz
y = f⁻¹(x)-i təyin oblastı ilə birlikdə yaz; bir nöqtə ilə yoxla: f(a) = b ⇒ f⁻¹(b) = a.

Həll edilmiş nümunələr: tərs funksiya

1) f(x) = (2x + 1)/(x − 3). f⁻¹(x)-i tap.
2) f(x) = √(x − 1). f⁻¹(x)-i təyin oblastı ilə birlikdə tap.
3) f(x) = x³ + x + 1. f⁻¹-i tapmadan f⁻¹(3)-ü tap.

Həllini göstər

1) y(x − 3) = 2x + 1 ⇒ x(y − 2) = 3y + 1 ⇒ x = (3y + 1)/(y − 2). f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), x ≠ 2. Yoxlama: f(4) = 9 və f⁻¹(9) = 28/7 = 4.
2) f-in qiymətlər çoxluğu [0; +∞)-dur. x = y² + 1, ona görə f⁻¹(x) = x² + 1, x ≥ 0 — parabolanın yalnız sağ yarısı.
3) f⁻¹(3) = a o deməkdir ki, f(a) = 3: a³ + a − 2 = 0 ⇒ a = 1 (f artandır, ona görə bu yeganə kökdür). f⁻¹(3) = 1.

Xassələrlə qiymətlərin müqayisəsi

Plan həmişə eynidir: cütlük və dövrilik vasitəsilə bütün arqumentləri f-in monoton olduğu bir aralığa gətir, sonra arqumentləri müqayisə et. Yalnız |x|-dən asılı olan cüt funksiya üçün bu, yadda saxlamağa dəyən bir qayda verir.

f cüt, [0; +∞)-da artan: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| < |x₂|

burada:

|x₁|, |x₂|0-dan olan məsafələr: cüt funksiya eyni məsafələrdə eyni qiymətlər alır
f tək[0; +∞)-da artırsa, bütün R-də artır, ona görə f(x₁) < f(x₂) ⇔ x₁ < x₂

Cüt funksiya [0; +∞)-da azalırsa, bərabərsizliyi çevir: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| > |x₂|.

Həll edilmiş nümunələr: qiymətlərin müqayisəsi

1) f cütdür və [0; +∞)-da azalır. f(−2), f(1), f(3)-ü artma sırası ilə düz.
2) f cütdür və [0; +∞)-da artır. f(x − 2) > f(1) bərabərsizliyini həll et.
3) f təkdir və R-də azalır. f(1 − a) + f(2a + 3) < 0 bərabərsizliyini həll et.

Həllini göstər

1) |1| < |−2| < |3| və f |x| böyüdükcə azalır: f(3) < f(−2) < f(1).
2) |x − 2| > 1 ⇔ x − 2 > 1 və ya x − 2 < −1: x < 1 və ya x > 3.
3) f(1 − a) < −f(2a + 3) = f(−2a − 3). f azalandır, ona görə arqumentlər əks sırada olur: 1 − a > −2a − 3 ⇔ a > −4.

CSCA tipli sual

f(x) R-də cüt funksiyadır, f(x + 2) = f(x) və f [0; 1]-də artır. a = f(5/2), b = f(−4/3), c = f(3) olsun. Onda
A) c < b < a B) a < b < c C) b < a < c D) a < c < b

Həllini göstər

Hamısını [0; 1]-ə gətirək: a = f(5/2 − 2) = f(1/2); b = f(−4/3 + 2) = f(2/3); c = f(3 − 2) = f(1). [0; 1]-də f artır və 1/2 < 2/3 < 1, ona görə a < b < c. Cavab B.
A sıranı tərsinə çevirir, sanki f azalan imiş; C −4/3 < 5/2 < 3 arqumentlərini birbaşa müqayisə edir, halbuki f yalnız [0; 1]-də monotondur; D isə c = f(1)-in [0; 1]-də ən böyük qiymət olduğunu unudur.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Funksiyaların xassələri CSCA riyaziyyat testinin cəbr hissəsinin əsasıdır: təyin oblastı, cütlük və ya monotonluq haqqında birbaşa suallardan başqa, onlar üstlü, loqarifmik və triqonometrik funksiyalara, törəməyə aid suallarda da yenidən çıxır. Testin çin dilindəki variantı bu terminləri işlədir:

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
funksiya — function	函数	hánshù
təyin oblastı — domain	定义域	dìngyìyù
qiymətlər çoxluğu — range	值域	zhíyù
hissə-hissə verilmiş funksiya — piecewise function	分段函数	fēnduàn hánshù
mürəkkəb funksiya — composite function	复合函数	fùhé hánshù
artan funksiya — increasing function	增函数	zēng hánshù
azalan funksiya — decreasing function	减函数	jiǎn hánshù
monotonluq — monotonicity	单调性	dāndiàoxìng
cüt funksiya — even function	偶函数	ǒu hánshù
tək funksiya — odd function	奇函数	jī hánshù
dövri funksiya — periodic function	周期函数	zhōuqī hánshù
ən kiçik müsbət dövr — smallest positive period	最小正周期	zuìxiǎo zhèng zhōuqī
tərs funksiya — inverse function	反函数	fǎn hánshù
paralel köçürmə (sürüşdürmə) — translation (shift)	平移	píngyí
simmetriya oxu — axis of symmetry	对称轴	duìchènzhōu

Funksiyalara aid əsas terminlər ingilis və çin dillərində.

Tipik sual növləri və vaxta qənaət (bir suala təxminən 75 saniyə):

Təyin oblastı: bütün şərtləri yaz (məxrəc, cüt dərəcəli kök, loqarifm, u⁰) və kəsişməni tap; f(g(x)) üçün m ≤ g(x) ≤ n bərabərsizliklərini həll et.
Qiymətlər çoxluğu və hissə-hissə funksiyanın qiymətləri: tam kvadratı ayır və təpənin aralıqda olub-olmadığını yoxla; hissə-hissə funksiyada əvvəl hissəni seç, kökləri onunla yoxla.
«Hansı funksiya cüt/təkdir və artır…»: əvvəl bir xassəyə, sonra digərinə görə variantları at; variantların çoxu yalnız birini ödəyir.
Cütlük və dövrdən qiymətlər: f(x) = g(x) + c, g tək; böyük arqumentləri dövrlə kiçilt; f(x + a) = −f(x) dövrün 2a olduğunu göstərir.
Çevrilmələr və tərs funksiya: bir xüsusi nöqtəni köçür; (a; b) f-in qrafikindədir ⇔ (b; a) f⁻¹-in qrafikindədir; f⁻¹-in təyin oblastı f-in qiymətlər çoxluğudur.
Müqayisə və f(a) < f(b): arqumentləri bir monotonluq aralığına gətir; cüt funksiyada |a| və |b|-ni müqayisə et.

Əsas fikirlər

Təyin oblastı: məxrəc ≠ 0, cüt dərəcəli kökün altı ≥ 0, loqarifmin arqumenti > 0, u⁰ üçün u ≠ 0; iki funksiya yalnız oblast və qayda üst-üstə düşəndə eynidir.
Hissə-hissə funksiya: əvvəl hissəni seç və hər kökü onunla yoxla; mürəkkəb funksiya: sıra vacibdir, D(f) = [m; n] olduqda m ≤ g(x) ≤ n.
Cüt: f(−x) = f(x), Oy oxuna nəzərən simmetrik; tək: f(−x) = −f(x), koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik, 0-da təyin olunubsa f(0) = 0; oblast simmetrik olmalıdır.
f(x + T) = f(x): dövr T; f(x + a) = −f(x) dövrü 2a edir; mürəkkəb funksiyanın monotonluğu: 同增异减.
y = f(x − a) + b: a qədər sağa, b qədər yuxarı (içəridə — tərsinə); f⁻¹: x ilə y-in yerini dəyiş, D(f⁻¹) = E(f), qrafiklər y = x-ə nəzərən simmetrikdir.
Qiymətləri müqayisə etmək üçün bütün arqumentləri bir monotonluq aralığına gətir; [0; +∞)-da artan cüt funksiya üçün f(a) < f(b) ⇔ |a| < |b|.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Bunlardan hansı y = f(x) funksiyasının qrafiki DEYİL?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla