Verilənlərin ədədi xarakteristikaları

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Təbəqəli və sistematik seçmədə seçmənin tərkibini tapmaq və seçilmə ehtimalının n/N olduğunu bilmək.
Tezlik cədvəllərini və histoqramları (nisbi tezlik / intervalın eni) oxumaq, onlardan orta qiyməti, modanı və medianı qiymətləndirmək.
Orta qiyməti, medianı, modanı, persentilləri, genişliyi, dispersiyanı və standart meyli hesablamaq, o cümlədən y = ax + b və iki qrupun birləşməsi üçün.
Gövdə-yarpaq və sütunlu diaqramları oxumaq, iki verilənlər toplusunun sabitliyini müqayisə etmək.

Aysel və Elvin eyni atıcılıq klubunda məşq edir. Beş atəşdə Aysel 7, 8, 8, 9, 8, Elvin isə 6, 10, 7, 9, 8 xal toplayıb: hər ikisinin orta xalı 8-dir, amma məşqçi yarışa yalnız birini göndərə bilər. Təkcə orta qiymət bu sualı həll etmir — nəticələrin nə qədər sabit olduğunu ölçən ədəd də lazımdır. Bu dərs proqramın «Verilənlərin ədədi xarakteristikaları: orta qiymət, dispersiya və s.» bəndini əhatə edir: seçmə necə götürülür, verilənlər cədvəl və histoqramlarda necə qruplaşdırılır, verilənlərin mərkəzini və səpələnməsini hansı ədədlər təsvir edir. Təsadüfün özü «Klassik ehtimal» dərsinin mövzusudur, qruplaşdırılmış verilənlərin çox vaxt əmələ gətirdiyi zəngşəkilli əyri isə «Normal paylanma» dərsində öyrənilir.

Baş məcmu, seçmə və seçmə üsulları

Tərif

Baş məcmu, fərd, seçmə, seçmənin həcmi

Baş məcmu öyrənmək istədiyimiz bütün obyektlərin çoxluğudur (məsələn, məktəbin bütün 1200 şagirdi); hər obyekt bir fərddir. Seçmə baş məcmunun həqiqətən ölçülən hissəsidir, ondakı fərdlərin sayı isə seçmənin həcmi n adlanır. Seçməni baş məcmu haqqında nəticə çıxarmaq üçün öyrənirik, ona görə o, təsadüfi götürülməli və baş məcmunu yaxşı təmsil etməlidir.

Sadə təsadüfi seçmə (简单随机抽样): hər fərdin — hətta n fərddən ibarət hər qrupun — seçilmə şansı eynidir. Püşk atmaqla (püşk üsulu) və ya təsadüfi ədədlərlə aparılır; aydın qrupları olmayan kiçik baş məcmular üçün uyğundur.
Təbəqəli təsadüfi seçmə (分层随机抽样): baş məcmu bir-birindən aydın fərqlənən, kəsişməyən qruplara (təbəqələrə) bölünür — siniflər, yaş qrupları, sexlər — və hər təbəqədən onun ölçüsünə mütənasib sadə təsadüfi seçmə götürülür.
Sistematik seçmə (系统抽样): N fərd nömrələnir və n bərabər hissəyə bölünür; addım k = N/n olur. Birinci hissədən təsadüfi başlanğıc l (1 ≤ l ≤ k) seçilir, sonra l, l + k, l + 2k, … nömrəli fərdlər götürülür.
Hər üç üsulda hər fərdin seçməyə düşmə ehtimalı eynidir və n/N-ə bərabərdir — CSCA bunu tez-tez soruşur.

nᵢ = n · Nᵢ / Nnᵢ = n · Nᵢ / N

burada:

nᵢi-ci təbəqədən götürülən fərdlərin sayı
Nᵢi-ci təbəqənin ölçüsü
n, Nseçmənin həcmi və baş məcmunun ölçüsü

Mütənasib bölgü: n/N payı bütün təbəqələrdə eynidir və eyni zamanda istənilən fərdin seçilmə ehtimalıdır.

Həll olunmuş nümunələr: seçmə

1) Liseydə 10-cu sinifdə 500, 11-ci sinifdə 400, 12-ci sinifdə 300 şagird var. 60 şagirdlik təbəqəli seçmə götürülür. Hər sinifdən neçə şagird seçilir?
2) Zavodun üç sexində 600, 400 və 200 işçi var. Təbəqəli seçməyə birinci sexdən 15 işçi düşüb. Seçmənin həcmi nə qədərdir?
3) 800 şagird 001–800 nömrələnib, sistematik seçmə ilə 40 şagird seçilir. Birinci qrupdan 007 nömrəsi çıxıb. Beşinci nömrə hansıdır və konkret bir şagirdin seçilmə ehtimalı nə qədərdir?

Həllini göstər

1) Pay 60/1200 = 1/20-dir: 500/20 = 25, 400/20 = 20, 300/20 = 15 (yoxlama: 25 + 20 + 15 = 60).
2) 15/600 = 1/40 bütün sexlər üçün eyni paydır, ona görə n = 1200/40 = 30.
3) k = 800/40 = 20, nömrələr: 007, 027, 047, 067, 087. Hər şagird 40/800 = 1/20 ehtimalı ilə seçilir.

Tezlik cədvəlləri və histoqramlar

Qiymətlər çox olanda onları qruplaşdırırıq. Genişliyi (ən böyük və ən kiçik qiymətin fərqini) tapır, intervalın enini və intervalların sayını seçir, hər intervala neçə qiymətin düşdüyünü sayırıq: bu say tezlikdir fᵢ (频数). Onu seçmənin həcminə bölsək, nisbi tezlik fᵢ/n alınır (频率). Tezliklərin cəmi n-ə, nisbi tezliklərin cəmi isə 1-ə bərabərdir — istənilən cədvəl üçün tez yoxlama.

Tərif

Nisbi tezliklərin histoqramı (频率分布直方图)

Qruplaşdırılmış verilənlərin diaqramı: intervallar üfüqi ox üzərində yan-yana düzülür, hər sütunun hündürlüyü isə nisbi tezlik ÷ intervalın eninə bərabərdir. Ona görə sütunun sahəsi həmin intervalın nisbi tezliyinə bərabərdir, bütün sütunların sahələrinin cəmi isə 1-dir.

wᵢ = hᵢ · d, (h₁ + h₂ + … + hₖ) · d = 1, x̄ ≈ m₁w₁ + m₂w₂ + … + mₖwₖ

burada:

hᵢi-ci sütunun hündürlüyü (nisbi tezlik / intervalın eni)
dintervalın eni
wᵢi-ci intervalın nisbi tezliyi (sütunun sahəsi)
mᵢi-ci intervalın orta nöqtəsi

Histoqramdan qiymətləndirmələr: orta qiymət ≈ Σ orta nöqtə × nisbi tezlik; moda ≈ ən hündür sütunun orta nöqtəsi; median — solundakı sahə 0,5 olan x nöqtəsi.

200 şagirdin balları (intervalın eni 10). Hər sütunun sahəsi = hündürlük × 10 = intervalın nisbi tezliyi.

Həll olunmuş nümunələr: histoqramın oxunması

Yuxarıdakı histoqram 200 şagirdin test ballarını göstərir.
1) a-nı tapın.
2) Neçə şagird 80 və daha çox bal toplayıb?
3) Balların orta qiymətini, modasını və medianını qiymətləndirin.

Həllini göstər

1) Bütün sahə 1-dir: (0,005 + 0,010 + 0,020 + a + 0,025 + 0,010) · 10 = 1, yəni 0,070 + a = 0,1 və a = 0,030.
2) [80; 100] intervalının nisbi tezliyi: (0,025 + 0,010) · 10 = 0,35; 0,35 · 200 = 70 şagird.
3) Nisbi tezliklər: 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,25; 0,1.
Orta qiymət ≈ 45 · 0,05 + 55 · 0,1 + 65 · 0,2 + 75 · 0,3 + 85 · 0,25 + 95 · 0,1 = 2,25 + 5,5 + 13 + 22,5 + 21,25 + 9,5 = 74.
Moda ≈ ən hündür sütunun orta nöqtəsi = 75.
Median: 70-dən solda sahə 0,05 + 0,1 + 0,2 = 0,35-dir; hündürlüyü 0,03 olan [70; 80) intervalında daha 0,15 lazımdır: 0,15 ÷ 0,03 = 5, deməli, median ≈ 70 + 5 = 75.

CSCA tipli sual: histoqramdan median

400 şagirdin boyu [150; 160), [160; 170), [170; 180), [180; 190] (sm) intervalları ilə nisbi tezliklər histoqramında göstərilib. Sütunların hündürlükləri 0,02; 0,04; 0,03 və 0,01-dir. Boyun medianını qiymətləndirin.
A) 165 sm B) 167,5 sm C) 168 sm D) 170 sm

Həllini göstər

Nisbi tezliklər: 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. 160-dan solda sahə 0,2-dir, [160; 170) intervalında daha 0,3 lazımdır: 0,3 ÷ 0,04 = 7,5. Median ≈ 160 + 7,5 = 167,5 sm (B).
A modadır (ən hündür sütunun ortası), C orta qiymətin qiymətləndirilməsidir (155 · 0,2 + 165 · 0,4 + 175 · 0,3 + 185 · 0,1 = 168), D isə toplanmış sahənin 0,5-i ilk dəfə keçdiyi intervalın sərhədidir.

Mərkəzi göstəricilər: orta qiymət, median, moda və persentillər

Tərif

Orta qiymət, median, moda

Orta qiymət x̄ (平均数) qiymətlərin cəminin onların sayına nisbətidir. Median (中位数) artan sıra ilə düzülmüş verilənlərin ortasındakı qiymətdir (qiymətlərin sayı cüt olanda ortadakı iki qiymətin ədədi ortası). Moda (众数) ən çox təkrarlanan qiymətdir; verilənlərin bir neçə modası ola bilər.

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n, x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ)/nx̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n, x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ)/n

burada:

xᵢqiymətlər (ikinci düsturda müxtəlif qiymətlər)
fᵢtezliklər, f₁ + … + fₖ = n
nbütün qiymətlərin sayı

İkinci şəkil (çəkili orta) tezlik cədvəli və ya sütunlu diaqram üçün işlədilir. Bunu da yadda saxla: bütün qiymətlərin cəmi = n · x̄.

Həll olunmuş nümunələr: orta qiymət, median, moda

1) 7, 3, 9, 5, 9, 12, 4, 9, 5 verilənlərinin orta qiymətini, medianını və modasını tapın.
2) Sorğuda 40 şagird keçən ay oxuduğu kitabların sayını göstərib: 0 kitab — 4 şagird, 1 — 10, 2 — 12, 3 — 8, 4 — 6. Orta qiyməti, medianı və modanı tapın.
3) Altı ədədin orta qiyməti 8-dir. Onların arasından 13 ədədi çıxarılır. Qalan beş ədədin orta qiyməti nədir?

Həllini göstər

1) Cəm 63-dür, x̄ = 63/9 = 7. Sıralanmış: 3, 4, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 12; beşinci qiymət median olur: 7. Moda 9-dur (üç dəfə).
2) x̄ = (0 · 4 + 1 · 10 + 2 · 12 + 3 · 8 + 4 · 6)/40 = 82/40 = 2,05. Median 20-ci və 21-ci qiymətlərin ortasıdır; toplanmış saylar 4, 14, 26 olduğundan hər ikisi 2-dir: median 2. Moda 2-dir (12 şagird).
3) Cəm 6 · 8 = 48 idi; 13-süz 35 qalır, yeni orta qiymət 35/5 = 7.

Tərif

Persentil (百分位数)

p-ci persentil elə qiymətdir ki, verilənlərin təxminən p%-i ondan kiçik və ya ona bərabər, təxminən (100 − p)%-i isə ondan böyük və ya ona bərabər olsun. 50-ci persentil mediandır; 25-ci və 75-ci persentillər aşağı və yuxarı kvartillərdir. Çin dərslikləri (və CSCA) onu aşağıdakı qayda ilə hesablayır.

1
Sırala
n qiyməti artan sıra ilə düz: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ.
2
i-ni hesabla
i = n · p% tap.
3
i tam ədəd deyil
i-ni yuxarı yuvarlaqlaşdırıb növbəti tam ədəd j-ni tap; persentil j-ci qiymətdir: xⱼ.
4
i tam ədəddir
Persentil i-ci və (i + 1)-ci qiymətlərin ədədi ortasıdır: (xᵢ + xᵢ₊₁)/2.

Həll olunmuş nümunələr: persentillər

12 şagirdin boyu (sm, artıq sıralanıb): 152, 155, 158, 160, 161, 163, 165, 166, 168, 170, 172, 175. Tapın: 1) 25-ci persentili, 2) 80-ci persentili, 3) 50-ci persentili.

Həllini göstər

1) i = 12 · 25% = 3 tam ədəddir: (x₃ + x₄)/2 = (158 + 160)/2 = 159 sm.
2) i = 12 · 80% = 9,6 tam deyil, j = 10: x₁₀ = 170 sm.
3) i = 12 · 50% = 6: (x₆ + x₇)/2 = (163 + 165)/2 = 164 sm — olmalı olduğu kimi, düz median.

CSCA tipli sual: persentil

12, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35 verilənlərinin 70-ci persentili nədir?
A) 25 B) 28 C) 26,5 D) 24,5

Həllini göstər

Verilənlər sıralanıb, n = 10: i = 10 · 70% = 7 tam ədəddir, ona görə persentil (x₇ + x₈)/2 = (25 + 28)/2 = 26,5 (C).
A yalnız x₇-ni götürür — bu, tam olmayan i üçün qaydadır; B birbaşa x₈-ə keçir; D x₆ ilə x₇-nin ortasıdır — sayma xətası.

Səpələnmə göstəriciləri: genişlik, dispersiya və standart meyl

Ayselin və Elvinin nəticələrinin orta qiyməti eyni, səpələnməsi isə fərqlidir. Ən sadə göstərici genişlikdir (极差): ən böyük qiymətdən ən kiçiyini çıxırıq; tez tapılır, amma cəmi iki qiymətdən asılıdır. Dispersiya (方差) bütün qiymətləri nəzərə alır: o, ortadan meyllərin kvadratlarının orta qiymətidir. Onun kvadrat kökü — standart meyl (标准差) — verilənlərlə eyni vahidlə ölçülür. Dispersiya nə qədər kiçikdirsə, verilənlər bir o qədər sabitdir (ortaya yaxın toplanıb).

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ, s² = [(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²]/n = (x₁² + x₂² + … + xₙ²)/n − x̄², s = √s²R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ, s² = [(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²]/n = (x₁² + x₂² + … + xₙ²)/n − x̄², s = √s²

burada:

Rgenişlik (极差)
s²dispersiya (方差)
sstandart meyl (标准差), verilənlərin vahidi ilə
xᵢ − x̄qiymətin ortadan meyli

Çin məktəb dərslikləri, deməli, CSCA da n-ə bölür. (Universitet statistikasında n − 1-ə bölünən «seçmə dispersiyası» da işlədilir; burada ondan istifadə etmə.) İkinci şəkil — kvadratların ortasından ortanın kvadratını çıxmaq — x̄ tam ədəd olmayanda daha tezdir.

Həll olunmuş nümunələr: dispersiya və standart meyl

1) Aysel: 7, 8, 8, 9, 8; Elvin: 6, 10, 7, 9, 8. Hər birinin genişliyini və dispersiyasını tapın. Kim daha sabitdir?
2) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 verilənlərinin dispersiyasını və standart meylini tapın.
3) On ədədin orta qiyməti 5, dispersiyası 4-dür. Onların kvadratlarının cəmi nədir?

Həllini göstər

1) Hər iki orta qiymət 8-dir. Aysel: meyllər −1, 0, 0, 1, 0; s² = (1 + 0 + 0 + 1 + 0)/5 = 0,4, genişlik 9 − 7 = 2. Elvin: meyllər −2, 2, −1, 1, 0; s² = (4 + 4 + 1 + 1 + 0)/5 = 2, genişlik 10 − 6 = 4. Ayselin nəticələri daha sabitdir, məşqçi Ayseli göndərir.
2) x̄ = 40/8 = 5; meyllərin kvadratları 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, cəmi 32; s² = 32/8 = 4, s = 2.
3) s² = (Σxᵢ²)/n − x̄² düsturundan: Σxᵢ² = n(s² + x̄²) = 10 · (4 + 25) = 290.

yᵢ = axᵢ + b ⇒ ȳ = a·x̄ + b, s_y² = a²·s_x², s_y = |a|·s_x

burada:

amiqyas əmsalı
bsürüşmə
x̄, s_x²ilkin verilənlərin orta qiyməti və dispersiyası
ȳ, s_y²yeni verilənlərin orta qiyməti və dispersiyası

Median, moda və persentillər orta qiymət kimi dəyişir (a > 0 olduqda); genişlik və standart meyl |a| dəfə dəyişir. b sürüşməsi səpələnməni heç vaxt dəyişmir.

Həll olunmuş nümunələr: y = ax + b

1) Verilənlərin orta qiyməti 6, dispersiyası 4-dür. Hər x qiyməti 3x − 2 ilə əvəz olunur. Yeni orta qiyməti, dispersiyanı və standart meyli tapın.
2) Verilənlərin hər qiyməti 5 vahid azaldılır. Orta qiymət və dispersiya necə dəyişir?
3) Gündəlik temperaturun orta qiyməti 20 °C, standart meyli 5 °C-dir. Farenheyt dərəcəsi ilə F = 1,8C + 32. °F-lə orta qiyməti, standart meyli və dispersiyanı tapın.

Həllini göstər

1) ȳ = 3 · 6 − 2 = 16; s_y² = 3² · 4 = 36; s_y = 3 · 2 = 6.
2) Orta qiymət 5 azalır; dispersiya dəyişmir (a = 1).
3) Orta qiymət: 1,8 · 20 + 32 = 68 °F; standart meyl: 1,8 · 5 = 9 °F; dispersiya: 9² = 81.

CSCA tipli sual: ax + b

x₁, x₂, …, x₁₀ verilənlərinin orta qiyməti 5, standart meyli 2-dir. 2x₁ − 1, 2x₂ − 1, …, 2x₁₀ − 1 verilənlərinin orta qiyməti və dispersiyası nədir?
A) 9 və 16 B) 9 və 4 C) 9 və 15 D) 10 və 8

Həllini göstər

Orta qiymət: 2 · 5 − 1 = 9. x-lərin dispersiyası 2² = 4-dür, yeni dispersiya 2² · 4 = 16 (A).
B dispersiya əvəzinə yeni standart meyli verir (2 · 2 = 4); C dispersiyadan da 1 çıxır, halbuki sürüşmə onu dəyişmir; D orta qiymətdəki −1-i unudur və dispersiyanı a² əvəzinə a-ya vurur.

w̄ = (m·x̄ + n·ȳ)/(m + n), s² = {m·[s₁² + (x̄ − w̄)²] + n·[s₂² + (ȳ − w̄)²]}/(m + n)w̄ = (m·x̄ + n·ȳ)/(m + n), s² = {m·[s₁² + (x̄ − w̄)²] + n·[s₂² + (ȳ − w̄)²]}/(m + n)

burada:

m, niki qrupun (təbəqənin) ölçüləri
x̄, s₁²birinci qrupun orta qiyməti və dispersiyası
ȳ, s₂²ikinci qrupun orta qiyməti və dispersiyası
w̄, s²bütün m + n qiymətin orta qiyməti və dispersiyası

Təbəqəli seçmələr üçün işlədilir: hər qrup öz dispersiyasını və öz ortasının ümumi ortadan məsafəsinin kvadratını gətirir. Ümumi dispersiya heç vaxt sadəcə s₁² və s₂²-nın çəkili ortası deyil.

Həll olunmuş nümunələr: iki qrupun birləşdirilməsi

1) 30 oğlanın orta boyu 170 sm, 20 qızın orta boyu 160 sm-dir. 50 şagirdin hamısının orta boyunu tapın.
2) A qrupu: 30 qiymət, orta qiymət 60, dispersiya 20. B qrupu: 20 qiymət, orta qiymət 70, dispersiya 30. 50 qiymətin hamısının orta qiymətini və dispersiyasını tapın.

Həllini göstər

1) w̄ = (30 · 170 + 20 · 160)/50 = (5100 + 3200)/50 = 166 sm (165 yox: oğlanlar daha böyük qrupdur).
2) w̄ = (30 · 60 + 20 · 70)/50 = 64. s² = [30 · (20 + 4²) + 20 · (30 + 6²)]/50 = (30 · 36 + 20 · 66)/50 = (1080 + 1320)/50 = 48. (Dispersiyaların çəkili ortası (30 · 20 + 20 · 30)/50 = 24 çox kiçikdir: o, iki orta qiymət arasındakı fərqi nəzərə almır.)

Gövdə-yarpaq diaqramlarının və sütunlu diaqramların oxunması

Gövdə-yarpaq diaqramında (茎叶图) hər qiymət gövdəyə (burada onluqlar rəqəmi) və yarpağa (təkliklər rəqəmi) ayrılır: 7 | 0 3 3 3 8 sətri 70, 73, 73, 73, 78 deməkdir. Histoqramdan fərqli olaraq o, bütün ilkin qiymətləri saxlayır, yarpaqlar da adətən artan sıra ilə yazılır, ona görə median, moda və genişlik birbaşa oxunur. İki qrupu çox vaxt ikitərəfli diaqramla müqayisə edirlər: ortaq gövdələr ortada, bir qrupun yarpaqları solda, digərininki sağda olur.

Gövdə (onluqlar)	Yarpaqlar (təkliklər)
5	8
6	2 5 7
7	0 3 3 3 8
8	1 4 6 9
9	0 5

Bir sinfin 15 şagirdinin test balları: 58, 62, 65, …, 95.

CSCA tipli sual: gövdə-yarpaq diaqramı

Yuxarıdakı gövdə-yarpaq diaqramına görə hansı fikir doğrudur?
A) Median 78-dir
B) Moda 73, genişlik 37-dir
C) 80-ci persentil 86-dır
D) 80 və daha çox bal 5 dənədir

Həllini göstər

n = 15, median 8-ci qiymətdir: 58, 62, 65, 67, 70, 73, 73, 73 → 73, 78 yox (A səhvdir). Moda 73-dür (üç dəfə), genişlik 95 − 58 = 37: B doğrudur.
C: i = 15 · 80% = 12 tam ədəddir, ona görə 80-ci persentil (x₁₂ + x₁₃)/2 = (86 + 89)/2 = 87,5-dir. D: 8 və 9 sətirlərində 4 + 2 = 6 bal var, 5 yox.

Sütunlu diaqram (条形图) hər kateqoriya və ya hər ayrıca qiymət üçün sayı (və ya faizi) göstərir. Sütunlar arasında boşluq olur və oxunan onların sahəsi deyil, hündürlüyüdür. Ədədi qiymətlərin sütunlu diaqramı sadəcə diaqram kimi çəkilmiş tezlik cədvəlidir: sayları oxu və çəkili ortadan istifadə et. Onu histoqramla qarışdırma: histoqramın sütunları bitişikdir və mənanı sahə daşıyır.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Orta qiymət, median, moda, genişlik, dispersiya (VAR.P, CSCA kimi, n-ə bölür) və standart meyl canlı hesablanır.

CSCA bunu necə soruşur

Seçmə: hər təbəqədən neçə fərd (nᵢ = n · Nᵢ/N), bir təbəqəyə görə seçmənin həcmi, sistematik seçmədə k-cı nömrə və «hər fərdin ehtimalı n/N-dir».
Histoqramlar: «bütün sahə = 1» şərtindən naməlum hündürlük, sahəni saya çevirmək, orta qiymət (orta nöqtələrlə), moda (ən hündür sütun) və median (sahə 0,5).
Mərkəz və persentillər: siyahının medianı və modası, orta qiymətə görə naməlum qiymət (cəm = n · x̄), i = n · p% ilə p-ci persentil.
Səpələnmə: qısa siyahının dispersiyası, «hansı qrup daha sabitdir?» (kiçik dispersiya), ax + b-nin orta qiyməti və dispersiyası, iki qrupun birləşdirilməsi.
Diaqramlar: gövdə-yarpaq diaqramını və ya sütunlu diaqramı oxumaq — adətən «hansı fikir doğrudur?» şəklində.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
baş məcmu — population	总体	zǒngtǐ
seçmə / seçmənin həcmi — sample / sample size	样本 / 样本量	yàngběn / yàngběnliàng
sadə təsadüfi seçmə — simple random sampling	简单随机抽样	jiǎndān suíjī chōuyàng
təbəqəli seçmə — stratified sampling	分层随机抽样	fēncéng suíjī chōuyàng
tezlik / nisbi tezlik — frequency / relative frequency	频数 / 频率	pínshù / pínlǜ
histoqram — histogram	频率分布直方图	pínlǜ fēnbù zhífāngtú
intervalın eni — class width	组距	zǔjù
orta qiymət — mean	平均数	píngjūnshù
median — median	中位数	zhōngwèishù
moda — mode	众数	zhòngshù
persentil — percentile	百分位数	bǎifēnwèishù
genişlik — range	极差	jíchā
dispersiya / standart meyl — variance / standard deviation	方差 / 标准差	fāngchā / biāozhǔnchā
gövdə-yarpaq diaqramı — stem-and-leaf plot	茎叶图	jīngyètú
sütunlu diaqram — bar chart	条形图	tiáoxíngtú

CSCA-nı ingilis və ya çin dilində vermək olar, ona görə hər iki adı öyrən.

Əsas fikirlər

Təbəqəli seçmə: nᵢ = n · Nᵢ/N; istənilən seçmə üsulunda hər fərd n/N ehtimalı ilə seçilir.
Histoqram: hündürlük = nisbi tezlik ÷ intervalın eni, deməli, hər sahə nisbi tezlikdir, sahələrin cəmi 1-dir.
Histoqramdan: orta qiymət ≈ Σ orta nöqtə × nisbi tezlik, moda ≈ ən hündür sütunun ortası, median — solundakı sahə 0,5 olan nöqtə.
p-ci persentil: i = n · p%; tam deyil → yuxarı yuvarlaqlaşdır; tamdır → sıralanmış i-ci və (i + 1)-ci qiymətlərin ortası.
s² = Σ(xᵢ − x̄)²/n = (Σxᵢ²)/n − x̄²; dispersiya nə qədər kiçikdirsə, verilənlər bir o qədər sabitdir.
y = ax + b: ȳ = a·x̄ + b, s_y² = a²·s_x²; sürüşmə səpələnməni heç vaxt dəyişmir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Nisbi tezliklər histoqramında sütunun sahəsi nəyi göstərir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla