Bərabərsizliklər: xassələr, kvadrat və rasional bərabərsizliklər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Bərabərsizliklərin xassələrini, xüsusən mənfi ədədə vurma və tərs ədədlərə keçid zamanı, düzgün tətbiq etmək
Kvadrat bərabərsizlikləri köklər və qolların istiqaməti ilə, D ≤ 0 halları və parametrli suallar da daxil olmaqla, həll etmək
Rasional və modullu bərabərsizlikləri intervallar üsulu və |x − a|-nın məsafə mənası ilə həll etmək
Orta qiymətlər bərabərsizliyi ilə sadə ən böyük və ən kiçik qiymətləri tapmaq və bərabərlik şərtini yoxlamaq

Fermerin divarın yanında düzbucaqlı ağılı hasarlamaq üçün 40 m-lik hasarı var. O, ən çox hansı sahəni hasarlaya bilər? Şirkətin P = −x² + 14x − 40 mənfəəti nə vaxt müsbətdir? Hər ikisi bərabərsizlik sualıdır və CSCA-da onlar müxtəlif formada gəlir: bərabərsizliyi həll et, verilmiş həllər çoxluğuna görə parametri tap və ya törəməsiz ən kiçik qiyməti tap. Bu dərs «Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər» dərsinin davamıdır, çünki bərabərsizliyin cavabı çoxluqdur və adətən aralıqlarla yazılır. Növbəti dərs, «Funksiyalar və onların xassələri», bu alətlərlə təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu tapır.

Bərabərsizliklərin xassələri

Bütün qaydalar bir tərifdən çıxır: a > b o deməkdir ki, a − b > 0. İki ifadəni müqayisə etmək üçün onların fərqinin işarəsinə bax (作差法): məsələn, x² + 3 − 2x = (x − 1)² + 2 > 0, deməli, istənilən x üçün x² + 3 > 2x. Hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə etdikdə, həmçinin müsbət ədədə vurduqda bərabərsizliyin işarəsi saxlanılır, mənfi ədədə vurduqda isə əksinə dəyişir.

a > b, c > 0 ⇒ ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ ac < bc

burada:

a, bbərabərsizliyin tərəfləri
chər iki tərəfin vurulduğu (və ya bölündüyü) ədəd

İşarəni dəyişən yeganə qayda: mənfi ədədə vurmaq və ya bölmək. İşarəsi məlum olmayan ifadəyə, məsələn, x − 3-ə, ümumiyyətlə vurmaq olmaz.

Keçid xassəsi: a > b və b > c ⇒ a > c.
Eyniistiqamətli bərabərsizlikləri toplamaq: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. Onları çıxmaq olmaz.
Müsbət tərəfli bərabərsizlikləri vurmaq: a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
Qüvvət və kök (müsbət ədədlər): a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ və ⁿ√a > ⁿ√b.
Tərs ədədlər: a > b və ab > 0 ⇒ 1/a < 1/b.

Nümunə 1: işarə qaydası — üç qısa hal

1) −3x + 5 ≤ 11 bərabərsizliyini həll et.
2) −2 < a < 1 və 3 < b < 4. a − b-nin qiymətlər aralığını tap.
3) a > b olarsa, ac² > bc² həmişə doğrudurmu?

Həllini göstər

1) −3x ≤ 6; −3-ə bölürük və işarəni çeviririk: x ≥ −2.
2) −b-yə keç: −4 < −b < −3. Topla: −2 − 4 < a − b < 1 − 3, yəni −6 < a − b < −2. Sərhədləri çıxmaq (−2 − 3 = −5, 1 − 4 = −3) səhv (−5; −3) aralığını verir.
3) Xeyr: c = 0 olduqda hər iki tərəf 0-dır. Doğru olan ac² ≥ bc²-dir.

Nümunə 2 (CSCA üslubunda): xüsusi qiymətlər

a < b < 0. Hansı bərabərsizlik doğrudur?
A) 1/a < 1/b B) a² < b² C) ab < b² D) b/a < a/b

Həllini göstər

a = −2, b = −1 götür (特殊值法): 1/a = −1/2 > −1 = 1/b (A səhvdir), a² = 4 > 1 = b² (B səhvdir), ab = 2 > 1 = b² (C səhvdir), b/a = 1/2 < 2 = a/b. Cavab D.
Ümumi səbəb: b/a − a/b = (b² − a²)/(ab); burada ab > 0 və b² < a², çünki |b| < |a|. A variantı müsbət ədədlər üçün olan qaydanı təkrarlayır: işarəsi eyni olan ədədlərdə tərs ədədə keçid işarəni çevirir.

Kvadrat bərabərsizliklər və parabola

ax² + bx + c ifadəsinin qiyməti y = ax² + bx + c parabolasının x nöqtəsindəki hündürlüyüdür. Deməli, «> 0» parabolanın x oxundan yuxarıda olduğu yerləri, «< 0» isə aşağıda olduğu yerləri soruşur. Cavabı iki fakt həll edir: qolların istiqaməti (a-nın işarəsi) və x₁, x₂ kökləri (vuruqlara ayırmaqla və ya D = b² − 4ac diskriminantı ilə). Xətti bərabərsizlik eyni mənzərənin sadə halıdır: düz xətt oxu bir dəfə kəsir.

a > 0, D > 0, x₁ < x₂: ax² + bx + c > 0 ⇔ x < x₁ və ya x > x₂; ax² + bx + c < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

burada:

ax²-nin əmsalı (qollar yuxarı: a > 0)
x₁, x₂ax² + bx + c = 0 tənliyinin kökləri
Ddiskriminant, D = b² − 4ac (判别式)

«Böyükdür — köklərdən kənarda, kiçikdir — köklər arasında» (a > 0 olduqda). a < 0 olarsa, əvvəlcə bərabərsizliyi −1-ə vur və işarəni çevir.

a > 0	D > 0	D = 0 (x₀ = −b/(2a))	D < 0
ax² + bx + c > 0	x < x₁ və ya x > x₂	x ≠ x₀	R
ax² + bx + c ≥ 0	x ≤ x₁ və ya x ≥ x₂	R	R
ax² + bx + c < 0	x₁ < x < x₂	∅	∅
ax² + bx + c ≤ 0	x₁ ≤ x ≤ x₂	{x₀}	∅

a > 0 olduqda həllər çoxluqları. Onları paraboladan oxu: D = 0 olduqda parabola oxa toxunur, D < 0 olduqda oxa çatmır.

1
a-nı müsbət et
a < 0 olarsa, hər iki tərəfi −1-ə vur və işarəni çevir.
2
Kökləri tap
Mümkünsə vuruqlara ayır, yoxsa D = b² − 4ac və x = (−b ± √D)/(2a) düsturlarından istifadə et.
3
Parabolanın eskizini çək
Qolları yuxarı, köklərdən keçən parabola; D ≤ 0 olduqda onun oxa toxunduğunu və ya çatmadığını qeyd et.
4
Cavabı oxu və yaz
«> 0» üçün oxdan yuxarı, «< 0» üçün aşağı hissə; kökləri yalnız ≥ və ≤ olduqda daxil et; aralıqlarla yaz.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Başlanğıcda P = −x² + 14x − 40 göstərilir: əyri 4 və 10 kökləri arasında oxdan yuxarıdadır. c-ni azalt və aralığın daraldığına bax; c = −49 olduqda parabola oxa yalnız toxunur (D = 0).

Nümunə 3: dörd kvadrat bərabərsizlik

Həll et: 1) x² − 7x + 10 ≤ 0; 2) −x² + 14x − 40 > 0 (girişdəki mənfəət); 3) 4x² − 4x + 1 > 0; 4) x² + 2x + 3 < 0.

Həllini göstər

1) (x − 2)(x − 5) ≤ 0 ⇒ [2; 5].
2) −1-ə vur: x² − 14x + 40 < 0 ⇒ (x − 4)(x − 10) < 0 ⇒ (4; 10): mənfəət 4 < x < 10 olduqda müsbətdir.
3) (2x − 1)² > 0 ⇒ x = 1/2-dən başqa bütün x-lər: x ≠ 1/2.
4) D = 4 − 12 < 0 və a > 0: parabola həmişə oxdan yuxarıdadır, həlli yoxdur (∅).

İki parametr sxemi tez-tez təkrarlanır. Verilmiş həllər çoxluğu kökləri və a-nın işarəsini deyir: ax² + bx + c > 0 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu (x₁; x₂) olarsa, a < 0-dır, x₁ və x₂ isə köklərdir, deməli, Viyet teoremindən x₁ + x₂ = −b/a və x₁x₂ = c/a. «İstənilən x üçün doğrudur» (恒成立) şərti parabolanın oxdan heç vaxt aşağı (və ya yuxarı) düşmədiyini bildirir, amma əvvəlcə a = 0 halını ayrıca yoxla.

hər x ∈ R üçün ax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0 və D < 0 (və ya a = b = 0, c > 0)

burada:

Ddiskriminant: D < 0 — parabolanın oxla ortaq nöqtəsi yoxdur
a = 0bərabərsizlik xəttiyə çevrilir və ayrıca yoxlanılır

«≥ 0 istənilən x üçün» olarsa, D ≤ 0 (toxunma icazəlidir). «< 0 istənilən x üçün» olarsa, a < 0 və D < 0.

Nümunə 4 (CSCA üslubunda): həllər çoxluğu verilib

ax² + bx + 6 > 0 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu (−3; 2)-dir. 6x² + bx + a < 0 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu hansıdır?
A) (−1/3; 1/2) B) (−1/2; 1/3) C) (−∞; −1/3) ∪ (1/2; +∞) D) (−3; 2)

Həllini göstər

«> 0» köklər arasında doğrudursa, a < 0-dır; −3 və 2 köklərdir: −b/a = −3 + 2 = −1, 6/a = (−3) · 2 = −6 ⇒ a = −1, b = −1.
6x² − x − 1 < 0 ⇒ (3x + 1)(2x − 1) < 0 ⇒ (−1/3; 1/2), cavab A.
B b = +1 ilə alınır (işarə səhvi); C «>» işarəsinin cavabıdır; D köhnə çoxluğu köçürür.

Nümunə 5: «istənilən x üçün doğrudur»

1) kx² − kx + 1 > 0 bərabərsizliyi istənilən həqiqi x üçün doğrudur. k-nı tap.
2) x² + mx + m + 3 ≥ 0 bərabərsizliyi istənilən x üçün doğrudur. m-i tap.

Həllini göstər

1) k = 0: 1 > 0 — doğrudur. k ≠ 0: k > 0 və D = k² − 4k < 0 ⇒ 0 < k < 4. Birlikdə 0 ≤ k < 4. k = 0-ı unutmaq ən tipik səhvdir.
2) a = 1 > 0, D = m² − 4(m + 3) = m² − 4m − 12 = (m − 6)(m + 2) ≤ 0 ⇒ −2 ≤ m ≤ 6. «≥» olduğuna görə D = 0 icazəlidir.

Rasional və modullu bərabərsizliklər

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 və g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 və g(x) ≠ 0

burada:

f(x)kəsrin surəti
g(x)kəsrin məxrəci; onun sıfırları heç vaxt cavaba daxil deyil

Qismətin və hasilin işarəsi eynidir, ona görə kəsr (分式不等式) hasillə əvəz olunur; sonra intervallar üsulu (穿针引线法, «iynəyə sap keçirmək») tətbiq edilir.

1
Bir tərəf sıfır olsun
Hər şeyi sola keçir və bir kəsr şəklində yaz. Məxrəcə heç vaxt vurma: onun işarəsi məlum deyil.
2
Vuruqlara ayır
Surəti və məxrəci (x − a) vuruqlarının hasili kimi yaz; hər vuruqda x-in əmsalı müsbət olsun.
3
Sıfırları qeyd et
Surətin sıfırları: ≥ və ya ≤ olduqda dolu nöqtə; məxrəcin sıfırları: həmişə boş nöqtə.
4
İşarələr sağdan
Ən sağda bütün vuruqlar müsbətdir, işarə «+»-dır. Sola getdikcə işarə hər sadə sıfırda dəyişir, cüt sıfırda (kvadrat vuruqda) isə dəyişmir.
5
Aralıqları seç
> 0 üçün «+», < 0 üçün «−» aralıqlarını götür, sonra uc nöqtələri əlavə et və ya çıxar.

Nümunə 6: intervallar üsulu — üç hal

Həll et: 1) (x − 2)/(x + 1) < 0; 2) (x + 3)(x − 1)(x − 4) ≥ 0; 3) (x − 1)²(x − 4) < 0.

Həllini göstər

1) Sıfırlar −1 və 2 (hər ikisi boş). Sağdan: +, −, +. «−» lazımdır: (−1; 2).
2) Sıfırlar −3, 1, 4 (dolu). Sağdan: + (x > 4), − (1; 4), + (−3; 1), − (x < −3). ≥ 0: [−3; 1] ∪ [4; +∞).
3) x = 1 cüt sıfırdır, işarəni dəyişmir: x ≠ 1 olduqda (x − 1)² > 0, deməli, x − 4 < 0 və x ≠ 1 lazımdır: (−∞; 1) ∪ (1; 4).

Nümunə 7 (CSCA üslubunda): məxrəcə vurma!

(2x + 1)/(x − 2) ≥ 1 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu hansıdır?
A) [−3; +∞) B) (−∞; −3] ∪ (2; +∞) C) (−∞; −3] ∪ [2; +∞) D) [−3; 2)

Həllini göstər

1-i sola keçir: (2x + 1 − x + 2)/(x − 2) = (x + 3)/(x − 2) ≥ 0. Sıfırlar: −3 (dolu), 2 (boş); sağdan +, −, +. Cavab (−∞; −3] ∪ (2; +∞), B.
A x − 2-yə müsbət ədəd kimi vurmaqdan alınır; C 2-ni daxil edir, halbuki orada məxrəc sıfırdır; D «−» aralığını götürür.

|x| < a ⇔ −a < x < a; |x| > a ⇔ x < −a və ya x > a (a > 0)

burada:

|x − c|ədəd oxunda x ilə c arasındakı məsafə (绝对值 — modul)
amüsbət ədəd — icazə verilən məsafə

|x − c| < a: x c-dən a-dan az uzaqdadır; |x − c| > a: x c-dən a-dan çox uzaqdadır. |f(x)| < a üçün −a < f(x) < a qoşa bərabərsizliyini həll et.

Nümunə 8: modul və məsafə

Həll et: 1) |2x − 1| ≤ 5; 2) |x + 3| > 2; 3) |x − 1| + |x + 2| ≥ 5.

Həllini göstər

1) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ [−2; 3].
2) x + 3 < −2 və ya x + 3 > 2 ⇒ (−∞; −5) ∪ (−1; +∞).
3) Bu, x-dən 1-ə və −2-yə qədər məsafələrin cəmidir. −2 ilə 1 arasında cəm 3-dür, kənarda isə hər vahiddə 2 artır. Cəm x = 2 və x = −3 nöqtələrində 5-ə bərabərdir ⇒ (−∞; −3] ∪ [2; +∞).

Orta qiymətlər bərabərsizliyi: tez ən böyük və ən kiçik qiymətlər

(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)

burada:

(a + b)/2(a + b)/2ədədi orta (算术平均数)
√(ab)həndəsi orta (几何平均数)

Çin dərsliklərində «əsas bərabərsizlik» (基本不等式), bizdə Koşi bərabərsizliyi. O, (√a − √b)² ≥ 0 bərabərsizliyindən alınır; bərabərlik yalnız a = b olduqda ödənir. Hasil sabitdirsə, cəmin ən kiçik qiyməti 2√(ab)-dir; cəm s sabitdirsə, hasilin ən böyük qiyməti (s/2)²-dir.

Nümunə 9: sabit hasil, sabit cəm və hasar

1) x > 0 olduqda x + 16/x ifadəsinin ən kiçik qiymətini tap.
2) x, y > 0 və x + y = 10. xy-nin ən böyük qiymətini tap.
3) Girişdəki fermer: divar boyunca 40 m hasarla ən böyük sahə nə qədərdir?

Həllini göstər

1) x + 16/x ≥ 2√16 = 8, bərabərlik x = 16/x, yəni x = 4 olduqda.
2) xy ≤ (10/2)² = 25, x = y = 5 olduqda.
3) Divara paralel tərəf x, digər iki tərəf y olsun: x + 2y = 40. S = xy = ½ · x · (2y) ≤ ½ · ((x + 2y)/2)² = ½ · 400 = 200 m²; bərabərlik x = 2y = 20, yəni x = 20 m, y = 10 m olduqda.

Nümunə 10 (CSCA üslubunda): «1-ə vur» üsulu

x > 0, y > 0 və x + y = 1. 1/x + 4/y ifadəsinin ən kiçik qiyməti nədir?
A) 4 B) 8 C) 9 D) 5

Həllini göstər

1 = x + y olduğundan: (1/x + 4/y)(x + y) = 1 + 4 + y/x + 4x/y ≥ 5 + 2√4 = 9; bərabərlik y/x = 4x/y, yəni y = 2x: x = 1/3, y = 2/3. Cavab C.
B (8) iki dəfə ayrı-ayrılıqda orta qiymətlər bərabərsizliyindən alınır: 1/x + 4/y ≥ 4/√(xy) və xy ≤ 1/4; amma birincidə bərabərlik y = 4x, ikincidə x = y tələb edir — bunlar eyni vaxtda ödənmir, ona görə 8 alınmır.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Xassələr: «a < b < 0, hansı doğrudur?» — a = −2, b = −1 kimi xüsusi qiymətlər yaz və variantları sil; hər variant üçün on saniyə.
Bərabərsizliyi həll et (çox vaxt çoxluq sualının içində): kvadrat — köklərlə, rasional — intervallar üsulu ilə, modul — məsafə ilə; uc nöqtələri sonda yoxla.
Həllər çoxluğundan parametr: köklər + a-nın işarəsi + Viyet teoremi; əmsalların yerini dəyişmək kökləri tərsinə çevirir.
İstənilən x üçün doğrudur: a > 0 və D < 0, üstəgəl ayrıca a = 0 halı.
Törəməsiz ən böyük və ən kiçik qiymət: sabit hasil və ya cəm, çox vaxt toplananı parçaladıqdan və ya 1 = x + y-ə vurduqdan sonra; bərabərliyi həmişə yoxla. Törəmə ilə üsul — «Törəmənin tətbiqləri: monotonluq və ekstremumlar» dərsində.
Vaxta qənaət: variantlar aralıqlardırsa, bəzi variantlara daxil olan, digərlərinə daxil olmayan bir qiyməti (məsələn, x = 0 və ya uc nöqtəni) bərabərsizlikdə yoxla — çox vaxt bir yoxlama bir variant saxlayır.

Termin	中文	Pinyin
bərabərsizlik — inequality	不等式	bùděngshì
həllər çoxluğu — solution set	解集	jiějí
xətti bərabərsizlik — linear inequality	一元一次不等式	yīyuán yīcì bùděngshì
kvadrat bərabərsizlik — quadratic inequality	一元二次不等式	yīyuán èrcì bùděngshì
diskriminant — discriminant	判别式	pànbiéshì
kök — root	根	gēn
rasional (kəsr) bərabərsizlik — rational inequality	分式不等式	fēnshì bùděngshì
intervallar üsulu — interval method	穿针引线法	chuānzhēn yǐnxiàn fǎ
modul — absolute value	绝对值	juéduìzhí
istənilən x üçün doğrudur — holds for every x	恒成立	héng chénglì
orta qiymətlər bərabərsizliyi — AM–GM inequality	基本不等式	jīběn bùděngshì
ədədi orta — arithmetic mean	算术平均数	suànshù píngjūnshù
həndəsi orta — geometric mean	几何平均数	jǐhé píngjūnshù
ən böyük / ən kiçik qiymət — maximum / minimum value	最大值 / 最小值	zuìdàzhí / zuìxiǎozhí
parametr — parameter	参数	cānshù

Test ingilis və ya çin dilində verilir: terminləri hər iki dildə tanı.

Əsas fikirlər

a > b ⇔ a − b > 0; mənfi ədədə vurma və ya bölmə işarəni çevirir; işarəsi məlum olmayan ifadəyə vurmaq olmaz.
a > 0 olduqda: «> 0» — köklərdən kənarda, «< 0» — köklər arasında; D < 0 olduqda parabola oxla kəsişmir.
Rasional bərabərsizlik: f/g ≥ 0 ⇔ f · g ≥ 0, g ≠ 0; işarələr sağdan, cüt sıfırda işarə dəyişmir.
|x − c| < a ⇔ c − a < x < c + a; |x − c| > a ⇔ x < c − a və ya x > c + a.
Həllər çoxluğu verilib → köklər və a-nın işarəsi; «istənilən x üçün» → a > 0 və D < 0 (a = 0-ı yoxla).
a, b > 0 üçün a + b ≥ 2√(ab): sabit hasil → cəmin ən kiçik qiyməti, sabit cəm → hasilin ən böyük qiyməti; müsbət, sabit, bərabər.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hansı əməl bərabərsizliyin işarəsini əksinə çevirir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla