Ümumdünya cazibə qanunu və peyklər — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Keplerin üç qanununu söyləmək və eyni mərkəz ətrafında fırlanan cisimlər üçün a³/T² = k-dan istifadə etmək.
F = Gm₁m₂/r² və GM = gR² ilə hündürlükdə g-ni, planetin kütləsini və sıxlığını tapmaq.
Müxtəlif dairəvi orbitlərdəki peykləri (v, ω, T, a) müqayisə etmək və birinci kosmik sürəti hesablamaq.
Geostasionar peyki və orbit dəyişəndə sürətin və periodun necə dəyişdiyini izah etmək.

Çinin «Tiangong» kosmik stansiyası təxminən 400 km hündürlükdə Yerin ətrafında saat yarıma bir dövr vurur, «BeiDou» naviqasiya sisteminin geostasionar peykləri isə ekvatorun eyni nöqtəsi üzərində sanki «asılıb» qalır. Onların hamısını eyni qüvvə — ümumdünya cazibəsi — saxlayır, fərq yalnız orbitin radiusundadır. Bu dərs CSCA proqramının «Çevrə üzrə hərəkət və ümumdünya cazibəsi» sətrinin ikinci yarısıdır: burada «Çevrə üzrə hərəkət» dərsindəki F = mv²/r düsturunu cazibə qüvvəsinə tətbiq edəcəksən.

Kepler qanunları

Birinci qanun (orbitlər): hər planet ellips üzrə hərəkət edir, Günəş isə ellipsin fokuslarından birindədir.
İkinci qanun (sahələr): Günəşi planetlə birləşdirən radius-vektor bərabər zaman fasilələrində bərabər sahələr cızır. Deməli planet perihelidə (近日点) ən sürətli, afelidə (远日点) ən yavaş hərəkət edir.
Üçüncü qanun (periodlar): eyni mərkəzi cisim ətrafında fırlanan bütün cisimlər üçün a³/T² nisbəti eynidir.

a³/T² = ka³/T² = k

burada:

aellipsin böyük yarımoxu (dairəvi orbitdə radius r), m
Tdolanma periodu, s
kyalnız mərkəzi cismin kütləsindən asılı sabit: k = GM/(4π²)

Yalnız eyni mərkəz ətrafında fırlanan cisimləri müqayisə et: Günəşin planetlərini bir-biri ilə, Yupiterin peyklərini bir-biri ilə — Ayı Yerlə heç vaxt.

Nümunə 1: Kepler qanunları ilə hesablama

1) Asteroidin orbitinin böyük yarımoxu 4 a.v.-dir (1 a.v. — Yerin orbitinin radiusu). Onun periodu nədir?
2) Kometin periodu 125 ildir. Onun orbitinin böyük yarımoxu nədir?
3) Kometin Günəşə ən yaxın və ən uzaq məsafələri 1 : 3 nisbətindədir. Bu nöqtələrdə sürətlərin nisbəti nədir?

Həllini göstər

1) Yer üçün a = 1 a.v., T = 1 il ⇒ k = 1. T² = a³ = 64 ⇒ T = 8 il.
2) a³ = T² = 125² ⇒ a = 125^(2/3) = 5² = 25 a.v.
3) Böyük oxun uclarında sürət radiusa perpendikulyardır və ikinci qanundan v₁r₁ = v₂r₂ ⇒ v_yaxın : v_uzaq = 3 : 1.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Günəşdən uzaq planetlər həm daha yavaş hərəkət edir, həm də daha uzun yol gedir — ona görə T r-dən sürətlə artır: T ~ r^(3/2).

Nyutonun ümumdünya cazibə qanunu

İstənilən iki cisim bir-birini cəzb edir. Qüvvələr Nyutonun üçüncü qanununa uyğun olaraq bərabər və əks yönəlib: Yer Ayı hansı qüvvə ilə çəkirsə, Ay da Yeri elə o qüvvə ilə çəkir. Düstur maddi nöqtələr və bircins kürələr üçün doğrudur; kürələrdə r mərkəzlər arasındakı məsafədir.

F = G · m₁m₂/r²F = G · m₁m₂/r²

burada:

Gqravitasiya sabiti, 6,67 · 10⁻¹¹ N · m²/kq²
m₁, m₂cisimlərin kütlələri, kq
rmərkəzlər arasındakı məsafə, m

Qüvvə kütlələrin hasilinə düz, məsafənin kvadratına tərs mütənasibdir: r iki dəfə artsa, F dörd dəfə azalar.

Nümunə 2: qüvvə necə dəyişir?

1) Kütlələrdən biri 3 dəfə artır, məsafə isə 2 dəfə artır. F necə dəyişir?
2) Kütləsi 50 kq olan iki şagird bir-birindən 1 m aralıda dayanıb. Onların cazibə qüvvəsini qiymətləndir.
3) Yerin kütləsi Ayınkından təxminən 81 dəfə böyükdür. Onların bir-birini çəkmə qüvvələri və təcilləri necə nisbətdədir?

Həllini göstər

1) F′ = F · 3/2² = 3F/4.
2) F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 50 · 50/1² ≈ 1,7 · 10⁻⁷ N — hiss olunmayacaq qədər kiçik; cazibə yalnız planet kütlələrində nəzərə çarpır.
3) Qüvvələr bərabərdir (üçüncü qanun). Təcil a = F/m olduğundan Ayın təcili Yerinkindən 81 dəfə böyükdür.

Səthdə və hündürlükdə g; planetin kütləsi və sıxlığı

Planetin səthində cismin ağırlığı cazibə qüvvəsinə bərabərdir (planetin fırlanmasını nəzərə almırıq): mg = GMm/R². Buradan g = GM/R² və CSCA-da ən faydalı bərabərlik alınır: GM = gR². Çin dərsliklərində buna «qızıl əvəzetmə» (黄金代换) deyilir — məsələdə M və G yox, g və R verilibsə, GM-i gR² ilə əvəz et.

g = GM/R² GM = gR² g_h = GM/(R + h)² = g · R²/(R + h)²g = GM/R² GM = gR² g_h = GM/(R + h)² = g · R²/(R + h)²

burada:

M, Rplanetin kütləsi və radiusu
hsəthdən hündürlük; mərkəzdən məsafə R + h-dır
g_hh hündürlüyündə sərbəstdüşmə təcili

g məsafənin kvadratı ilə azalır: mərkəzdən 2R-də g/4, 3R-də g/9.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Yer üçün g_h (m/s²) — x = h/R. x = 1 olanda (h = R) g artıq 2,5 m/s²-dir, yəni 4 dəfə kiçik.

Nümunə 3: hündürlükdə və başqa planetdə g

1) Səthdə g = 10 m/s². h = 2R hündürlüyündə g nədir?
2) Cisim Yerdə 900 N çəkir. h = R/2 hündürlüyündə onun ağırlığı nədir?
3) Planetin kütləsi Yerinkindən 2 dəfə, radiusu da 2 dəfə böyükdür. Onun səthində g nədir?

Həllini göstər

1) Mərkəzdən məsafə 3R-dir ⇒ g_h = g/9 ≈ 1,1 m/s² (g/4 yazmaq h-ı mərkəzdən məsafə saymaqdır).
2) Mərkəzdən 1,5R ⇒ ağırlıq 1/1,5² = 4/9 dəfə: 900 · 4/9 = 400 N.
3) g ~ M/R² ⇒ g′ = 10 · 2/2² = 5 m/s².

Nümunə 4 (CSCA formatı): kiçik peykdə g

Planetin təbii peykinin kütləsi Yerin kütləsinin 1/81-i, radiusu Yerin radiusunun 1/4-üdür. Yerdə g = 10 m/s². Peykin səthində sərbəstdüşmə təcili təxminən nədir?
A) 2,0 m/s² B) 0,5 m/s² C) 0,12 m/s² D) 51 m/s²

Həllini göstər

g′ = g · (M′/M) · (R/R′)² = 10 · (1/81) · 16 = 160/81 ≈ 2,0 m/s², cavab A.
B radiusu kvadrata yüksəltməyəndə (10 · 4/81), C radiusu tamam unudanda (10/81), D nisbəti tərsinə çevirəndə (10 · 81/16) alınır.

M = gR²/G M = 4π²r³/(GT²) ρ = M/(4πR³/3) = 3πr³/(GT²R³); r = R: ρ = 3π/(GT²)M = gR²/G M = 4π²r³/(GT²) ρ = M/(4πR³/3) = 3πr³/(GT²R³); r = R: ρ = 3π/(GT²)

burada:

r, Tpeykin (təbii və ya süni) orbitinin radiusu və periodu
ρplanetin orta sıxlığı, kq/m³

Peykin öz kütləsi ixtisar olunur — belə yolla yalnız mərkəzi cismin kütləsini «çəkmək» olar. Səthə yaxın orbitdə sıxlıq üçün yalnız T lazımdır.

Nümunə 5: Yerin kütləsi və planetin sıxlığı

1) g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m, G = 6,67 · 10⁻¹¹ N · m²/kq². Yerin kütləsini tap.
2) Zond planetin səthinin yaxınlığında T = 5,0 · 10³ s periodla fırlanır. Planetin orta sıxlığı nədir (π ≈ 3,14)?

Həllini göstər

1) M = gR²/G = 10 · 4,1 · 10¹³/(6,67 · 10⁻¹¹) ≈ 6 · 10²⁴ kq.
2) ρ = 3π/(GT²) = 9,42/(6,67 · 10⁻¹¹ · 2,5 · 10⁷) ≈ 9,42/(1,67 · 10⁻³) ≈ 5,7 · 10³ kq/m³ — təxminən Yerin sıxlığı qədər.

Süni peyklər: orbitlər, kosmik sürətlər, geostasionar peyk

Dairəvi orbitdə peykə yalnız cazibə qüvvəsi təsir edir və mərkəzəqaçma qüvvəsi rolunu o oynayır: GMm/r² = mv²/r = mω²r = m · 4π²r/T² = ma. Hər bərabərlikdən bir düstur alınır, peykin kütləsi m isə hamısında ixtisar olunur. Peykdəki kosmonavt çəkisizlik (完全失重) hiss edir, çünki o da, stansiya da eyni təcillə «düşür».

v = √(GM/r) ω = √(GM/r³) T = 2π√(r³/(GM)) a = GM/r²v = √(GM/r) ω = √(GM/r³) T = 2π√(r³/(GM)) a = GM/r²

burada:

rorbitin radiusu r = R + h (planetin mərkəzindən)
Mmərkəzi cismin kütləsi (GM = gR²)

Orbit nə qədər yüksəkdirsə, v, ω və a o qədər kiçik, T isə o qədər böyükdür.

Nümunə 6: orbit radiusu və peykin xarakteristikaları

1) İki peykin orbit radiusları 1 : 4 nisbətindədir. v, ω, T və a necə nisbətdədir?
2) Peyk h = R hündürlüyündə fırlanır. Onun sürəti səthə yaxın orbitdəki sürətdən neçə dəfə kiçikdir?
3) Səthə yaxın orbitin periodunu tap (g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m, π ≈ 3,14).

Həllini göstər

1) v ~ 1/√r ⇒ 2 : 1; ω ~ 1/√(r³) ⇒ 8 : 1; T ~ √(r³) ⇒ 1 : 8; a ~ 1/r² ⇒ 16 : 1.
2) r = 2R ⇒ v = √(GM/2R) = v₁/√2 — √2 dəfə kiçik (≈ 5,6 km/s).
3) T = 2π√(R/g) = 2π√(6,4 · 10⁵) = 2π · 800 ≈ 5,0 · 10³ s ≈ 84 dəq — bu, istənilən Yer peyki üçün ən kiçik periodudur.

Nümunə 7 (CSCA formatı): iki peyk

A və B peykləri Yerin ətrafında dairəvi orbitlərdə fırlanır, r_A < r_B. Hansı fikir doğrudur?
A) v_A < v_B B) T_A > T_B C) a_A > a_B D) ω_A < ω_B

Həllini göstər

Aşağı orbitdə olan A daha sürətli, daha böyük ω və a ilə, daha qısa periodla fırlanır ⇒ cavab C (a = GM/r²).
A və D «böyük orbit — böyük sürət» səhvindən (v = ωr düsturunu ω sabit sayaraq tətbiq etməkdən) gəlir, B isə T ~ r^(3/2) asılılığını tərsinə çevirir.

Tərif

Birinci kosmik sürət (第一宇宙速度)

Planetin səthinin yaxınlığında (r ≈ R) dairəvi orbit üzrə hərəkətin sürəti. Yer üçün ≈ 7,9 km/s. Bu, peyk buraxmaq üçün minimal sürət və dairəvi orbitlərdə mümkün olan maksimal sürətdir. İkinci kosmik sürət (11,2 km/s) Yerin cazibəsindən, üçüncü (16,7 km/s) Günəş sistemindən çıxmaq üçündür.

v₁ = √(GM/R) = √(gR)v₁ = √(GM/R) = √(gR)

burada:

Rplanetin radiusu, m
gplanetin səthində sərbəstdüşmə təcili

mg = mv²/R ⇒ v₁ = √(gR): səthdə cazibə qüvvəsi mərkəzəqaçma qüvvəsini təmin edir.

Nümunə 8: birinci kosmik sürət

1) g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m. Yer üçün v₁-i tap.
2) Planetin radiusu 3,6 · 10⁶ m, səthində g = 2,5 m/s². Onun birinci kosmik sürəti nədir?

Həllini göstər

1) v₁ = √(10 · 6,4 · 10⁶) = √(6,4 · 10⁷) = √(64 · 10⁶) = 8,0 · 10³ m/s (g = 9,8 ilə 7,9 km/s).
2) v₁ = √(2,5 · 3,6 · 10⁶) = √(9 · 10⁶) = 3,0 · 10³ m/s.

Tərif

Geostasionar peyk (地球同步卫星)

Ekvator müstəvisində, Yerin fırlanma istiqamətində, Yerin fırlanma periodu (≈ 24 saat) ilə dövr edən peyk; o, həmişə ekvatorun eyni nöqtəsi üzərində qalır. T sabit olduğundan r də sabitdir: bütün geostasionar peyklər eyni orbitdədir — r ≈ 4,2 · 10⁴ km ≈ 6,6R (hündürlük ≈ 3,6 · 10⁴ km), v ≈ 3,1 km/s. Kütlələri isə müxtəlif ola bilər.

Orbitin dəyişdirilməsi. Yuxarı orbitə keçmək üçün kosmik gəmi mühərriklə sürətlənir: indi mv²/r cazibə qüvvəsindən böyükdür və gəmi elliptik keçid orbiti ilə qalxır. Ən uzaq nöqtədə yenidən sürətlənib yeni dairəvi orbitə keçir — orada sürəti əvvəlkindən kiçik, periodu böyük olur. Enmək üçün tormozlanır. Eyni nöqtədə təcil a = GM/r² gəminin hansı orbitdə olmasından asılı deyil, sürət isə asılıdır. Stansiyaya yaxınlaşan gəmi aşağı orbitdən başlayıb sürətlənir; eyni orbitdə sürətlənsə, yuxarı qalxıb geri qalar.

Nümunə 9 (CSCA formatı): keçid orbiti

Peyk 1 dairəvi orbitindən P nöqtəsində 2 elliptik orbitinə, sonra Q nöqtəsində 3 dairəvi orbitinə keçir (r₃ > r₁; P — 2 orbitinin ən yaxın, Q — ən uzaq nöqtəsidir). Hansı fikir doğrudur?
A) Q nöqtəsində təcil 2 orbitində 3 orbitindəkindən kiçikdir.
B) 3 orbitində sürət 1 orbitindəkindən böyükdür.
C) P nöqtəsində sürət 2 orbitində 1 orbitindəkindən böyükdür.
D) 2 orbitində period 3 orbitindəkindən böyükdür.

Həllini göstər

P-də peyk 2 orbitinə keçmək üçün sürətlənir ⇒ cavab C.
A: eyni nöqtədə a = GM/r² eynidir. B: yüksək orbitdə sürət kiçikdir. D: ellipsin böyük yarımoxu r₃-dən kiçikdir, Keplerin üçüncü qanununa görə periodu da kiçikdir.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Cazibə sualları CSCA-da adətən iki addımlıdır: bir tənlik (GMm/r² = …) və bir nisbət. Hər suala təxminən 75 saniyə var. Tipik növlər:

Kepler qanunları: ellips və fokus, perihelidə/afelidə sürət, a³/T² = k ilə period və ya radius;
məsafə və ya kütlə dəyişəndə F necə dəyişir; G-ni kim ölçüb (Kavendiş);
hündürlükdə g, başqa planetdə g, planetin kütləsi və sıxlığı (GM = gR², ρ = 3π/(GT²));
iki peykin müqayisəsi (v, ω, T, a) — çox vaxt cədvəl və ya qrafik şəklində;
birinci kosmik sürət, geostasionar peyk haqqında «hansı fikir doğrudur?», orbitin dəyişdirilməsi və yaxınlaşma.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
ümumdünya cazibəsi — universal gravitation	万有引力	wànyǒu yǐnlì
qravitasiya sabiti — gravitational constant	引力常量	yǐnlì chángliàng
Kepler qanunları — Kepler’s laws	开普勒定律	Kāipǔlè dìnglǜ
ellips / fokus — ellipse / focus	椭圆 / 焦点	tuǒyuán / jiāodiǎn
böyük yarımox — semi-major axis	半长轴	bàn chángzhóu
periheli / afeli — perihelion / aphelion	近日点 / 远日点	jìnrìdiǎn / yuǎnrìdiǎn
peyk / orbit — satellite / orbit	卫星 / 轨道	wèixīng / guǐdào
birinci kosmik sürət — first cosmic velocity	第一宇宙速度	dì-yī yǔzhòu sùdù
geostasionar peyk — geostationary satellite	地球同步卫星	dìqiú tóngbù wèixīng
çəkisizlik — weightlessness	完全失重	wánquán shīzhòng
sıxlıq — density	密度	mìdù
burulma tərəzisi — torsion balance	扭秤	niǔchèng
orbitin dəyişdirilməsi — changing orbit	变轨	biànguǐ

Test ingilis və ya çin dilində verilir — terminləri hər iki dildə tanı.

Əsas fikirlər

Kepler: ellips, bərabər sahələr (perihelidə sürətli), eyni mərkəz üçün a³/T² = k.
F = Gm₁m₂/r², r mərkəzlər arasındadır; G-ni Kavendiş ölçüb.
g = GM/R², GM = gR²; hündürlükdə g_h = gR²/(R + h)².
Kütlə: M = 4π²r³/(GT²); səthə yaxın orbitdə sıxlıq ρ = 3π/(GT²).
Peyk: v = √(GM/r), T = 2π√(r³/GM); yüksək orbit — kiçik v, ω, a, böyük T; v₁ = √(gR) ≈ 7,9 km/s.
Geostasionar: ekvator üzərində, T = 24 saat, hamısı eyni radiusda; yuxarı qalxmaq üçün sürətlənmək lazımdır, yeni orbitdə isə sürət kiçik olur.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Keplerin üçüncü qanununa görə Günəşin bütün planetləri üçün hansı kəmiyyət eynidir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla