Müstəvi vektorları — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Vektorları üçbucaq və paraleloqram qaydaları ilə toplamaq, çıxmaq və fiqurdakı vektorları verilmiş iki vektorla ifadə etmək
Koordinatlarla işləmək: uzunluq, xətti kombinasiya, x₁y₂ − x₂y₁ = 0 kollinearlıq şərti
Skalyar hasillə bucağı, proyeksiyanı və perpendikulyarlığı tapmaq, |a⃗ ± b⃗|-ni uzunluqlar və bucaqla hesablamaq
Üçbucaq məsələlərini vektorlarla həll etmək: median, ağırlıq mərkəzi, tərəfi bölən nöqtə, bir düz xətt üzərində üç nöqtə

Bakıdan çıxan bərə şərqə doğru üzür, külək isə onu şimala itələyir: gəmi nə düz şərqə, nə də düz şimala, bu iki hərəkətin cəminin istiqamətində gedir. Qüvvələr, sürətlər və yerdəyişmələr belə davranır: onların həm ədədi qiyməti, həm də istiqaməti var və xüsusi qayda ilə toplanırlar. Belə kəmiyyət vektor adlanır. CSCA riyaziyyat proqramında vektorlar «Kompleks ədədlər» dərsi ilə birlikdə «Vektorlar və kompleks ədədlər» sətrini təşkil edir. Vektor sualları qısadır — bir düstur və bir sətir hesablama, ona görə bu balları itirmək olmaz. Koordinatlarla işləmək bacarığı «Koordinat müstəvisində düz xətlər və çevrələr» dərsindən gəlir, fəzada vektorlar isə «Stereometriya və fəzada koordinat sistemi» dərsindədir.

Vektorlar və xətti əməllər

Tərif

Vektor (向量)

Həm ədədi qiyməti, həm də istiqaməti olan kəmiyyət; A başlanğıcından B sonuna yönəlmiş AB⃗ parçası kimi çəkilir. Onun uzunluğu |AB⃗| vektorun moduludur. Vektoru özünə paralel köçürmək olar: uzunluqları və istiqamətləri eyni olan vektorlar harada çəkilməsindən asılı olmayaraq bərabərdir. Bu dərsdə vektorları oxla yazırıq — a⃗, AB⃗; çap olunmuş kitablarda onlar çox vaxt qalın hərflə (a) verilir.

Tərif

Sıfır, vahid, əks və kollinear vektorlar

Sıfır vektor 0⃗: uzunluğu 0-dır, müəyyən istiqaməti yoxdur. Vahid vektor: uzunluğu 1-dir; a⃗/|a⃗| — a⃗ istiqamətindəki vahid vektordur. Əks vektorlar: uzunluqları bərabər, istiqamətləri əksdir, məsələn BA⃗ = −AB⃗. Kollinear (paralel) vektorlar: istiqamətləri eyni və ya əksdir. Çin dərsliklərində 0⃗ istənilən vektora paralel sayılır — bu, «hansı müddəa doğrudur» tipli suallarda sevimli tələdir.

Vektorlar oxları ardıcıl izləməklə toplanır: A-dan B-yə, sonra B-dən C-yə getsək, nəticə A-dan C-yə yoldur (üçbucaq qaydası). İki vektor eyni nöqtədən başlayırsa, onları paraleloqrama tamamlayırıq: həmin nöqtədən çıxan diaqonal cəmdir (paraleloqram qaydası). Çıxma əks vektoru toplamaq deməkdir; başlanğıcları ortaq olduqda a⃗ − b⃗ vektoru b⃗-nin sonundan a⃗-nın sonuna yönəlir. λ ədədinə vurduqda vektor |λ| dəfə uzanır, λ < 0 olduqda isə istiqaməti əksinə dəyişir.

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ AB⃗ + AD⃗ = AC⃗ (ABCD — paraleloqram) AB⃗ − AC⃗ = CB⃗ |λa⃗| = |λ| · |a⃗|

burada:

AB⃗ + BC⃗üçbucaq qaydası: birinci vektorun sonu ikincinin başlanğıcıdır
AB⃗ + AD⃗paraleloqram qaydası: başlanğıc ortaqdır, cəm diaqonaldır
AB⃗ − AC⃗başlanğıc ortaqdır: fərq çıxılanın sonundan azalanın sonuna yönəlir
λa⃗λ > 0 — a⃗ ilə eyni istiqamət, λ < 0 — əks istiqamət, λ = 0 — 0⃗

Oxlar zənciri: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + … + YZ⃗ = AZ⃗ — daxili hərflər ixtisar olunur. Adi qanunlar ödənir: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗, λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗.

Hər iki diaqonal eyni iki vektordan alınır: cəm — ortaq başlanğıcdan, fərq — uclar arasında.

Nümunə 1: oxlar zənciri və paraleloqram

1) AB⃗ + CD⃗ + BC⃗ ifadəsini sadələşdir.
2) AB⃗ − AD⃗ − DC⃗ ifadəsini sadələşdir.
3) ABCD paraleloqramında AB⃗ = a⃗, AD⃗ = b⃗, O diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir. AC⃗, BD⃗ və OC⃗ vektorlarını a⃗ və b⃗ ilə ifadə et.

Həllini göstər

1) Toplananların yerini dəyişək ki, oxlar zəncir əmələ gətirsin: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗.
2) AB⃗ − AD⃗ = DB⃗ (ortaq başlanğıc A: D sonundan B sonuna); DB⃗ − DC⃗ = CB⃗.
3) Paraleloqram qaydası: AC⃗ = a⃗ + b⃗. BD⃗ = AD⃗ − AB⃗ = b⃗ − a⃗ (a⃗ − b⃗ deyil — o, DB⃗-dir). Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür: OC⃗ = ½AC⃗ = ½(a⃗ + b⃗).

Nümunə 2 (CSCA formatı): hansı müddəa doğrudur?

Hansı müddəa doğrudur? (a⃗ ≠ 0⃗)
A) |a⃗| = |b⃗| olarsa, a⃗ = b⃗.
B) a⃗ ∥ b⃗ və b⃗ ∥ c⃗ olarsa, a⃗ ∥ c⃗.
C) −2a⃗ vektoru a⃗-ya əks yönəlib və ondan iki dəfə uzundur.
D) AB⃗ və BA⃗ bərabər vektorlardır.

Həllini göstər

A — yanlışdır: uzunluqların bərabərliyi istiqamətlər haqqında heç nə demir. B — yanlışdır: b⃗ = 0⃗ olarsa, o həm a⃗-ya, həm də c⃗-yə paraleldir, a⃗ və c⃗ isə istənilən istiqamətdə ola bilər. D — yanlışdır: bunlar əks vektorlardır, BA⃗ = −AB⃗. C — doğrudur: λ = −2 < 0 istiqaməti əksinə çevirir, |−2| = 2 isə uzunluğu iki dəfə artırır ⇒ cavab C.
Ən cəlbedici səhv B-dir: «eyni düz xəttə paralel olan düz xətlər paraleldir» qaydası düz xətlər üçün doğrudur, vektorlar üçün isə yalnız b⃗ ≠ 0⃗ olduqda.

Koordinatlar, uzunluq və kollinearlıq

İstənilən iki kollinear olmayan e⃗₁, e⃗₂ vektoru bazis təşkil edir: müstəvinin hər bir vektorunu yeganə şəkildə λ₁e⃗₁ + λ₂e⃗₂ kimi yazmaq olar (müstəvi vektorlarının əsas teoremi, 平面向量基本定理). Ən əlverişli bazis i⃗ = (1; 0) və j⃗ = (0; 1) vektorlarıdır: a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ olarsa, (x; y) cütü a⃗-nın koordinatlarıdır. a⃗-nın başlanğıcını koordinat başlanğıcına qoysaq, sonunun koordinatları da elə bunlardır. Bundan sonra hər əməl ədədlərlə adi hesablamaya çevrilir.

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) a⃗ ± b⃗ = (x₁ ± x₂; y₁ ± y₂) λa⃗ = (λx₁; λy₁) |a⃗| = √(x₁² + y₁²)

burada:

A(x₁; y₁), B(x₂; y₂)vektorun başlanğıcı və sonu: koordinatlar «son çıx başlanğıc» qaydası ilə tapılır
a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂)vektorların koordinatları; əməllər hər koordinat üzrə ayrıca aparılır
|a⃗|vektorun uzunluğu (Pifaqor teoremi); |AB⃗| — A və B nöqtələri arasındakı məsafə

AB parçasının ortası: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Bərabər vektorların koordinatları bərabərdir — paraleloqramın dördüncü təpəsi belə tapılır.

Nümunə 3: koordinatlarla hesablama

1) A(1; 2), B(4; −2). AB⃗-ni, |AB⃗|-ni və AB⃗ istiqamətindəki vahid vektoru tap.
2) a⃗ = (3; 1), b⃗ = (0; −2). 2a⃗ − 3b⃗ vektorunu və onun uzunluğunu tap.
3) ABCD paraleloqramında A(−1; 0), B(2; 1), C(3; 4). D təpəsini tap.

Həllini göstər

1) AB⃗ = (4 − 1; −2 − 2) = (3; −4), |AB⃗| = √(9 + 16) = 5, vahid vektor (3/5; −4/5).
2) 2a⃗ − 3b⃗ = (6; 2) − (0; −6) = (6; 8), uzunluğu √(36 + 64) = 10.
3) ABCD-də AD və BC tərəfləri bərabər və eyni yönlüdür: AD⃗ = BC⃗ = (1; 3). D = A + (1; 3) = (0; 3). Qısa yol: D = A + C − B. Hərflərin sırası vacibdir: «ABDC» üçün cavab başqa olardı.

a⃗ ∥ b⃗ (b⃗ ≠ 0⃗) ⇔ a⃗ = λb⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0

burada:

λa⃗ = λb⃗ bərabərliyindəki ədəd: λ > 0 — eyni yönlü, λ < 0 — əks yönlü vektorlar
x₁y₂ − x₂y₁«çarpaz» fərq: yalnız koordinatlar mütənasib olduqda sıfırdır

A, B, C nöqtələri bir düz xətt üzərindədir ⇔ AB⃗ ∥ AC⃗. x₁/x₂ = y₁/y₂ nisbəti əvəzinə x₁y₂ − x₂y₁ = 0 yazılışından istifadə et: koordinatlardan biri 0 olduqda da işləyir.

Nümunə 4: paralel vektorlar və bir düz xətt üzərində nöqtələr

1) a⃗ = (2; 3), b⃗ = (x; −6) və a⃗ ∥ b⃗. x-i tap.
2) A(1; 1), B(3; 5) və C(4; 7) nöqtələri bir düz xətt üzərindədirmi?
3) a⃗ = (1; 2), b⃗ = (2; −1). k-nın hansı qiymətində ka⃗ + b⃗ vektoru a⃗ − 2b⃗ vektoruna paraleldir?

Həllini göstər

1) 2 · (−6) − 3x = 0 ⇒ x = −4; onda b⃗ = −2a⃗, vektorlar əks yönlüdür.
2) AB⃗ = (2; 4), AC⃗ = (3; 6): 2 · 6 − 3 · 4 = 0 ⇒ bəli, nöqtələr bir düz xətt üzərindədir.
3) ka⃗ + b⃗ = (k + 2; 2k − 1), a⃗ − 2b⃗ = (−3; 4). (k + 2) · 4 − (−3)(2k − 1) = 10k + 5 = 0 ⇒ k = −½. Aşağıdakı qısa yol eyni cavabı bir sətirdə verir: k · (−2) − 1 · 1 = 0.

Skalyar hasil: bucaq, uzunluq, proyeksiya

Tərif

Vektorlar arasındakı bucaq (夹角)

Hər iki vektoru bir nöqtədən çəkirik; aralarındakı θ bucağı 0 ≤ θ ≤ π (0° ≤ θ ≤ 180°) şərtini ödəyir. θ = 0 — eyni yönlü, θ = π — əks yönlü vektorlar, θ = π/2 — perpendikulyar vektorlar: a⃗ ⊥ b⃗.

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|) a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|) a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

burada:

a⃗ · b⃗skalyar hasil (数量积) — vektor deyil, ədəddir
θvektorlar arasındakı bucaq, 0 ≤ θ ≤ π
x₁x₂ + y₁y₂koordinatlarla skalyar hasil: eyni adlı koordinatların hasillərinin cəmi

İşarə bucağı göstərir: a⃗ · b⃗ > 0 — θ itidir (və ya 0), = 0 — düz bucaq, < 0 — θ kordur (və ya π). Həm də a⃗ · a⃗ = |a⃗|², ona görə uzunluqla bağlı hər sual skalyar hasil sualına çevrilir.

Nümunə 5: koordinatlarla bucaq və perpendikulyarlıq

1) a⃗ = (1; 2) və b⃗ = (3; 1) vektorları arasındakı bucağı tap.
2) a⃗ = (2; −1), b⃗ = (m; 4) və a⃗ ⊥ b⃗. m-i tap.
3) m-in hansı qiymətlərində a⃗ = (1; 2) və b⃗ = (m; 1) vektorları arasındakı bucaq itidir?

Həllini göstər

1) a⃗ · b⃗ = 3 + 2 = 5, |a⃗| = √5, |b⃗| = √10. cos θ = 5/√50 = 5/(5√2) = √2/2 ⇒ θ = π/4 (45°).
2) 2m + (−1) · 4 = 0 ⇒ m = 2.
3) Bucaq itidir ⇔ a⃗ · b⃗ > 0 və vektorlar eyni yönlü deyil. a⃗ · b⃗ = m + 2 > 0 ⇒ m > −2. Eyni yönlülük: 1 · 1 − 2m = 0 ⇒ m = ½, onda b⃗ = ½a⃗ və θ = 0. Cavab: m > −2, m ≠ ½.

|a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² ± 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|² (a⃗ + b⃗) · (a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|²

burada:

|a⃗ ± b⃗|cəmin (fərqin) uzunluğu — paraleloqramın diaqonalları
2a⃗ · b⃗orta hədd; θ = 90° olduqda sıfırdır və Pifaqor teoremi qalır

Uzunluğu kvadrata yüksəlt və (x ± y)² kimi aç — bu, kosinuslar teoreminin vektor şəklidir (bax: «Üçbucaqların həlli: sinuslar və kosinuslar teoremi»).

Nümunə 6 (CSCA formatı): |2a⃗ − b⃗|

|a⃗| = 2, |b⃗| = 3, a⃗ və b⃗ arasındakı bucaq π/3-dür. |2a⃗ − b⃗| nəyə bərabərdir?
A) 13 B) √13 C) √37 D) 1

Həllini göstər

a⃗ · b⃗ = 2 · 3 · cos(π/3) = 3. |2a⃗ − b⃗|² = 4|a⃗|² − 4a⃗ · b⃗ + |b⃗|² = 16 − 12 + 9 = 13 ⇒ |2a⃗ − b⃗| = √13, cavab B.
A-da kvadrat kök unudulub; C-də +4a⃗ · b⃗ götürülüb (bu, |2a⃗ + b⃗|-dir); D isə uzunluqları paralel vektorlarınkı kimi çıxır: 2 · 2 − 3.

Nümunə 7: koordinatsız uzunluqlar və bucaqlar

1) |a⃗| = |b⃗| = 1, aralarındakı bucaq 2π/3-dür. |a⃗ + b⃗| və |a⃗ − b⃗|-ni tap.
2) |a⃗| = √2, |b⃗| = 2 və (a⃗ − b⃗) ⊥ a⃗. a⃗ və b⃗ arasındakı bucağı tap.

Həllini göstər

1) a⃗ · b⃗ = cos(2π/3) = −½. |a⃗ + b⃗|² = 1 − 1 + 1 = 1 ⇒ |a⃗ + b⃗| = 1; |a⃗ − b⃗|² = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ |a⃗ − b⃗| = √3. Şəkil: bucağı 120° olan romb — onun kiçik diaqonalı tərəfinə bərabərdir.
2) (a⃗ − b⃗) · a⃗ = |a⃗|² − a⃗ · b⃗ = 0 ⇒ a⃗ · b⃗ = 2. cos θ = 2/(√2 · 2) = √2/2 ⇒ θ = π/4.

a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyası (ədəd): |a⃗| cos θ = a⃗ · b⃗ / |b⃗| proyeksiya vektoru: (a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyası (ədəd): |a⃗| cos θ = a⃗ · b⃗ / |b⃗| proyeksiya vektoru: (a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗

burada:

|a⃗| cos θa⃗-nın b⃗ düz xəttinə düşən «kölgəsinin» işarəli uzunluğu; θ kor bucaq olduqda mənfidir
(a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗(a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗həmin kölgə vektor kimi: b⃗ ilə kollineardır, uzunluğu ||a⃗| cos θ|-dır

Skalyar hasilin həndəsi mənası: a⃗ · b⃗ = |b⃗| × (a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyası). Suala diqqət et: ədəd soruşulur, yoxsa vektor? Köhnə Çin dərsliklərində |a⃗| cos θ ədədi 投影 adlanır, indiki dərsliklər isə proyeksiya vektorundan (投影向量) istifadə edir.

Nümunə 8: proyeksiyalar

1) a⃗ = (4; 2), b⃗ = (3; 4). a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyasını, proyeksiya vektorunu və b⃗-nin a⃗ üzərinə proyeksiyasını tap.
2) |a⃗| = 4, |b⃗| = 3, aralarındakı bucaq 2π/3-dür. a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyasını və proyeksiya vektorunu tap.

Həllini göstər

1) a⃗ · b⃗ = 12 + 8 = 20, |b⃗| = 5. Proyeksiya 20/5 = 4; proyeksiya vektoru (20/25) · (3; 4) = (12/5; 16/5) (uzunluğu 4-dür ✓). b⃗-nin a⃗ üzərinə proyeksiyası 20/|a⃗| = 20/(2√5) = 2√5-dir — başqa ədəd: proyeksiya simmetrik deyil.
2) |a⃗| cos θ = 4 · (−½) = −2: kölgə b⃗-yə əks yönəlib. Proyeksiya vektoru: −2 · b⃗/|b⃗| = −⅔b⃗.

Üçbucaqda vektorlar

Fiqurda bir təpədən çıxan iki kollinear olmayan vektoru — üçbucaqda adətən AB⃗ və AC⃗ — bazis kimi seçirik və qalan bütün vektorları onlarla ifadə edirik. CSCA suallarının çoxunu üç nəticə həll edir: median, tərəfi verilmiş nisbətdə bölən nöqtə və ağırlıq mərkəzi. Dördüncü nəticə nöqtənin düz xətt üzərində olub-olmadığını göstərir.

D — BC-nin ortası: AD⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗) D ∈ BC, BD⃗ = t · BC⃗: AD⃗ = (1 − t)AB⃗ + t · AC⃗ G — ağırlıq mərkəzi: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗, AG⃗ = ⅓(AB⃗ + AC⃗) OP⃗ = λOA⃗ + μOB⃗: P nöqtəsi AB düz xətti üzərindədir ⇔ λ + μ = 1

burada:

tBD : BC nisbəti (0 ≤ t ≤ 1 olduqda D parçanın üzərindədir)
Gmedianların kəsişmə nöqtəsi; hər medianı təpədən başlayaraq 2 : 1 nisbətində bölür
OAB düz xəttindən kənarda istənilən nöqtə

Əmsallar «çarpazdır»: D nöqtəsi C-yə nə qədər yaxındırsa, AC⃗-nin əmsalı o qədər böyükdür. Orta nöqtə üçün t = ½; ağırlıq mərkəzinin koordinatları təpələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır.

Nümunə 9: median, bölən nöqtə, ağırlıq mərkəzi

1) ABC üçbucağında D nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və BD⃗ = 2DC⃗. AD⃗-ni AB⃗ və AC⃗ ilə ifadə et.
2) G — ABC üçbucağının ağırlıq mərkəzidir, AB⃗ = a⃗, AC⃗ = b⃗. BG⃗-ni ifadə et.
3) O nöqtəsi AB düz xəttindən kənardadır, OP⃗ = ⅓OA⃗ + x · OB⃗ və P nöqtəsi AB düz xətti üzərindədir. x-i tap.

Həllini göstər

1) BD = ⅔BC, yəni t = ⅔: AD⃗ = AB⃗ + ⅔BC⃗ = AB⃗ + ⅔(AC⃗ − AB⃗) = ⅓AB⃗ + ⅔AC⃗.
2) AG⃗ = ⅓(a⃗ + b⃗), BG⃗ = AG⃗ − AB⃗ = −⅔a⃗ + ⅓b⃗.
3) λ + μ = 1: ⅓ + x = 1 ⇒ x = ⅔.

1
Başlanğıcı seç
Düz bucağı və ya simmetriya nöqtəsini koordinat başlanğıcına, tərəfləri isə oxlar boyunca yerləşdir (kvadrat, düzbucaqlı, düzbucaqlı üçbucaq; bərabərtərəfli üçbucaqda — tərəfin ortası).
2
Koordinatları yaz
Lazım olan bütün nöqtələrin koordinatlarını yaz; parçanın ortası uclarının koordinatlarının ədədi ortasıdır.
3
Vektorları qur
Hər vektor «son çıx başlanğıc» qaydası ilə tapılır.
4
Hesabla
Skalyar hasil x₁x₂ + y₁y₂, uzunluq √(x² + y²), cos θ — sonra variantlarla müqayisə et.

Nümunə 10 (CSCA formatı): bərabərtərəfli üçbucaq

Tərəfi 2 olan ABC bərabərtərəfli üçbucağında AB⃗ · BC⃗ nəyə bərabərdir?
A) 2 B) −2 C) 2√3 D) −1

Həllini göstər

Vektorları ortaq başlanğıca köçürək: AB⃗ ilə BC⃗ arasındakı bucaq 180° − 60° = 120°-dir. AB⃗ · BC⃗ = 2 · 2 · cos 120° = 4 · (−½) = −2, cavab B.
A ən çox edilən səhvdir — üçbucağın 60°-lik bucağını götürmək. C cos əvəzinə sin 60°-dən istifadə edir. D uzunluqlardan birini unudur.

Nümunə 11 (CSCA formatı): düzbucaqlıda koordinat üsulu

ABCD düzbucaqlısında AB = 4, BC = 3, M nöqtəsi CD tərəfinin ortasıdır. AM⃗ · BM⃗ nəyə bərabərdir?
A) 5 B) 13 C) −5 D) 0

Həllini göstər

Koordinatlar: A(0; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(0; 3), M(2; 3). AM⃗ = (2; 3), BM⃗ = (−2; 3). AM⃗ · BM⃗ = −4 + 9 = 5, cavab A.
B — |AM⃗|²-dir, yəni AM⃗-nin özünə skalyar hasili. C BM⃗ əvəzinə MB⃗ götürür. D AMB bucağını düz bucaq sayır — bu, yalnız AB = 2BC olduqda doğrudur.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

CSCA riyaziyyat testində 60 dəqiqəyə 48 sual var — hər birinə təxminən 75 saniyə. Vektor sualları 1–3 addımlıqdır; tipik növləri:

koordinatlar verilir: xətti kombinasiya, uzunluq, vahid vektor, ∥ və ya ⊥ şərtindən parametr;
uzunluqlar və bucaq verilir: a⃗ · b⃗, |a⃗ ± b⃗| və ya bucaq — uzunluğu kvadrata yüksəlt;
proyeksiya — əvvəlcə ədəd, yoxsa vektor soruşulduğunu yoxla;
fiqurda vektorlar: vektoru verilmiş iki vektorla ifadə et, orta nöqtə və ya ağırlıq mərkəzi, λ + μ = 1;
üçbucaqda, kvadratda, düzbucaqlıda skalyar hasil — bucaq ortaq başlanğıcdan və ya koordinatlarla;
«hansı müddəa doğrudur»: sıfır vektor, bərabər və paralel vektorlar, skalyar hasilin xassələri.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
vektor — vector	向量	xiàngliàng
vektorun modulu (uzunluğu) — magnitude	向量的模	xiàngliàng de mó
sıfır vektor / vahid vektor — zero vector / unit vector	零向量 / 单位向量	líng xiàngliàng / dānwèi xiàngliàng
əks vektorlar — opposite vectors	相反向量	xiāngfǎn xiàngliàng
kollinear (paralel) vektorlar — collinear (parallel) vectors	共线向量 / 平行向量	gòngxiàn xiàngliàng / píngxíng xiàngliàng
üçbucaq / paraleloqram qaydası — triangle / parallelogram rule	三角形法则 / 平行四边形法则	sānjiǎoxíng fǎzé / píngxíng sìbiānxíng fǎzé
vektorun ədədə hasili — scalar multiplication	数乘	shùchéng
bazis — basis	基底	jīdǐ
skalyar hasil — dot (scalar) product	数量积	shùliàngjī
vektorlar arasındakı bucaq — angle between vectors	夹角	jiājiǎo
proyeksiya vektoru — projection vector	投影向量	tóuyǐng xiàngliàng
perpendikulyar — perpendicular	垂直	chuízhí
ağırlıq mərkəzi — centroid	重心	zhòngxīn

Test ingilis və ya çin dilində verilir — terminləri hər iki dildə tanı.

Əsas fikirlər

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗; paraleloqramda ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal a⃗ + b⃗, uclar arasındakı diaqonal a⃗ − b⃗-dir; AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁), |a⃗| = √(x² + y²); a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0.
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ — ədəddir; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0; bucaq vektorlar bir nöqtədən çəkiləndə ölçülür.
|a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² ± 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|²; a⃗-nın b⃗ üzərinə proyeksiyası a⃗ · b⃗/|b⃗|, proyeksiya vektoru (a⃗ · b⃗/|b⃗|²)b⃗.
Median: AD⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗); ağırlıq mərkəzi: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗; OP⃗ = λOA⃗ + μOB⃗ və P ∈ AB ⇔ λ + μ = 1.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

a⃗ = (3; −2), b⃗ = (4; 5). a⃗ · b⃗ neçədir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla