Üfüqi və bucaq altında atılmış cismin hərəkəti

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Atılmış cismin hərəkətini iki asılı olmayan hərəkətə — üfüqi bərabərsürətli və şaquli sərbəst düşməyə ayırmağı bacaracaqsan.
Üfüqi atılmada uçuş müddətini, uçuş məsafəsini, düşmə sürətini və bucağını tapacaqsan.
Bucaq altında atılmada maksimal hündürlüyü, uçuş müddətini və məsafəsini hesablayacaq, 45° qaydasından və simmetriyadan istifadə edəcəksən.
Maili müstəviyə düşmə və stroboskopik foto kimi tipik Çin məsələlərini həll edəcəksən.

Səbətə uçan basketbol topu, fəvvarədən çıxan su, vertolyotdan atılan bağlama — hamısı eyni növ əyri, parabola üzrə hərəkət edir. Çin dərslikləri bunu 抛体运动 (atılmış cismin hərəkəti) adlandırır və CSCA onu demək olar ki, hər fizika testində soruşur, çünki o, «Kinematika: yerdəyişmə, sürət, təcil, sərbəst düşmə» dərsindən artıq bildiyin iki şeyi birləşdirir: bərabərsürətli hərəkəti və sərbəst düşməni. Bütün dərs boyu hava müqaviməti nəzərə alınmır, başqa şərt olmasa g = 10 m/s² götürülür. Hərəkətin səbəbləri «Nyuton qanunları və tətbiqləri», əyri trayektoriya üzrə dövri hərəkət isə «Çevrə üzrə hərəkət» dərsindədir.

İki asılı olmayan hərəkət

Tərif

Atılmış cismin hərəkəti

Başlanğıc sürətlə atılmış cismin yalnız ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə hərəkəti. Onun təcili sabit və şaquli aşağı yönəlmiş g-dir, trayektoriyası isə paraboladır (抛物线).

Əsas fikir hərəkətlərin asılı olmamasıdır (运动的独立性): üfüqi və şaquli hərəkətlər eyni vaxtda baş verir, amma bir-birinə təsir etmir. Üfüqi istiqamətdə qüvvə yoxdur — cisim sabit vₓ sürəti ilə bərabərsürətli hərəkət edir. Şaquli istiqamətdə yalnız ağırlıq qüvvəsi var — bu, a = g olan bərabərtəcilli hərəkətdir. Onları yalnız ortaq zaman t birləşdirir. Klassik təcrübə: eyni hündürlükdən eyni anda buraxılan və üfüqi atılan iki kürəcik yerə eyni anda düşür.

x = vₓt v_y = v₀ᵧ − gt y = v₀ᵧt − gt²/2 v = √(vₓ² + v_y²)x = vₓt v_y = v₀ᵧ − gt y = v₀ᵧt − gt²/2 v = √(vₓ² + v_y²)

burada:

vₓsürətin üfüqi toplananı (sabit), m/s
v₀ᵧ, v_ysürətin şaquli toplananı başlanğıcda və t anında (yuxarı — müsbət), m/s
x, yatılma nöqtəsindən üfüqi və şaquli yerdəyişmə, m
vtam sürət (sürətin modulu), m/s

Başlanğıc sürəti toplananlara ayır, hər istiqaməti ayrıca həll et və nəticələri yalnız sonda Pifaqor teoremi ilə vektor kimi topla.

Həll olunmuş nümunələr: hərəkətlərin asılı olmaması

1) 500 m hündürlükdə 60 m/s sürətlə üfüqi uçan təyyarə bağlama buraxır. Bağlama nə qədər düşür və buraxılma nöqtəsindən üfüqi istiqamətdə nə qədər uzağa düşür? Yerə çatanda təyyarə haradadır?
2) Kürəcik stoldan 3 m/s sürətlə yuvarlanıb düşür, eyni anda eyni hündürlükdən ikinci kürəcik buraxılır. Hansı əvvəl düşər?
3) Bir anda atılmış cismin vₓ = 12 m/s, v_y = 5 m/s-dir (aşağı). Onun sürəti nədir?

Həllini göstər

1) t = √(2h/g) = √100 = 10 s; x = 60 · 10 = 600 m. Bağlama təyyarənin üfüqi sürətini saxlayır, ona görə həmişə düz təyyarənin altındadır və yerə çatanda da təyyarə düz onun üstündədir.
2) Şaquli hərəkətləri eynidir (v₀ᵧ = 0, a = g), ona görə eyni anda düşürlər; yuvarlanan kürəcik sadəcə daha uzağa düşür.
3) v = √(12² + 5²) = √169 = 13 m/s.

Trayektoriya niyə paraboladır? Üfüqi atılmada x = v₀t, y = gt²/2 (aşağı ölçülür). t-ni yox etsək, y = g x² / (2v₀²) alınır: düşmə üfüqi məsafənin kvadratı ilə artır — bu, məhz paraboladır (轨迹方程, trayektoriya tənliyi). İki dəfə uzaq — dörd dəfə aşağı: 10 m-də 5 m düşmüş top 20 m-də artıq 20 m düşmüş olur.

Üfüqi atılma (平抛运动)

Cisim h hündürlüyündən üfüqi v₀ sürəti ilə atılır. Şaquli istiqamətdə bu, sadəcə sərbəst düşmədir, ona görə uçuş müddəti yalnız hündürlükdən asılıdır. Üfüqi istiqamətdə cisim bu müddət ərzində v₀ sürəti ilə gedir.

t = √(2h/g) x = v₀t = v₀√(2h/g) v_y = gt = √(2gh) v = √(v₀² + 2gh) tg θ = gt / v₀t = √(2h/g) x = v₀t = v₀√(2h/g) v_y = gt = √(2gh) v = √(v₀² + 2gh) tg θ = gt / v₀

burada:

hatılma hündürlüyü, m
v₀üfüqi atılma sürəti, m/s
xuçuş məsafəsi (üfüqi), m
θsürətlə üfüq arasındakı bucaq

Uçuş müddəti v₀-dan asılı deyil; uçuş məsafəsi v₀-a və √h-a mütənasib artır.

Həll olunmuş nümunələr: üfüqi atılma

1) Daş 20 m hündürlükdən üfüqi 15 m/s sürətlə atılır. Uçuş müddətini, uçuş məsafəsini, yerə dəyən andakı sürəti və onun üfüqlə bucağını tap.
2) 5 m hündürlükdən üfüqi atılan top atılma nöqtəsinin altından 10 m uzağa düşür. v₀ nədir?
3) 2) sualında v₀ iki dəfə artırılsa və ya hündürlük dörd dəfə artırılsa, müddət və məsafə necə dəyişər?

Həllini göstər

1) t = √(40/10) = 2 s; x = 15 · 2 = 30 m; v_y = 20 m/s, v = √(15² + 20²) = 25 m/s; tg θ = 20/15 = 4/3, yəni θ = 53° üfüqdən aşağı.
2) t = √(10/10) = 1 s, v₀ = 10/1 = 10 m/s.
3) v₀ × 2: müddət dəyişmir (1 s), məsafə × 2 (20 m). h × 4: müddət × 2 (2 s), məsafə × 2 (20 m), çünki t ∝ √h.

CSCA iki fərqli bucağı qarışdırmağı çox sevir: sürətin üfüqlə bucağı θ və yerdəyişmənin (atılma nöqtəsindən cismə çəkilmiş düz xəttin) üfüqlə bucağı α. Onlar sadə əlaqə ilə bağlıdır.

tg θ = gt / v₀ tg α = y / x = gt / (2v₀) tg θ = 2 tg αtg θ = gt / v₀ tg α = y / x = gt / (2v₀) tg θ = 2 tg α

burada:

θsürətin üfüqlə bucağı
αyerdəyişmənin üfüqlə bucağı
x, yatılma nöqtəsindən üfüqi və şaquli (aşağı) məsafə, m

Buradan başqa bir nəticə: sürət vektorunun geriyə uzantısı üfüqi yerdəyişmənin düz ortasından keçir.

Həll olunmuş nümunələr: iki bucaq

1) Yuxarıdakı nümunədə (15 m/s, 2 s) tg θ = 4/3 idi. Yerdəyişmənin bucağını tap.
2) Üfüqi v₀ sürəti ilə atılmış cismin sürəti nə vaxt üfüqlə 45° bucaq əmələ gətirir? Bəs yerdəyişməsi?

Həllini göstər

1) x = 30 m, y = 20 m: tg α = 20/30 = 2/3 — tg θ-nın düz yarısı.
2) Sürət: tg θ = 1 ⇒ gt = v₀, t = v₀/g. Yerdəyişmə: tg α = 1 ⇒ gt/(2v₀) = 1, t = 2v₀/g — iki dəfə gec. Məsələn, v₀ = 10 m/s üçün 1 s və 2 s.

CSCA tipli sual

Top 5 m hündürlükdən üfüqi 10 m/s sürətlə atılır (g = 10 m/s², hava müqaviməti nəzərə alınmır). Top yerə hansı sürətlə və üfüqlə hansı bucaq altında dəyir?
A) 20 m/s, 45° B) 10√2 m/s, 45° C) 10√2 m/s, tg θ = 1/2 D) 10 m/s, 45°

Həllini göstər

v_y = √(2gh) = √100 = 10 m/s = v₀, ona görə v = √(10² + 10²) = 10√2 m/s, tg θ = 10/10 = 1, θ = 45° — cavab B.
A toplananları vektor kimi deyil, ədəd kimi toplayır (10 + 10). C sürətin bucağı əvəzinə yerdəyişmənin bucağını götürür: 5/10 = 1/2. D yalnız şaquli toplananı sürət sayır.

Bucaq altında atılma (斜抛运动)

İndi cisim yerdən v₀ sürəti ilə üfüqə θ bucağı altında atılır. Sürəti toplananlara ayır: üfüqi v₀ cos θ bütün uçuş boyu dəyişmir, şaquli v₀ sin θ isə şaquli yuxarı atılmadakı kimi dəyişir — qalxır, ən yuxarı nöqtədə sıfır olur və geri düşür.

v₀ₓ = v₀ cos θ v₀ᵧ = v₀ sin θ T = 2v₀ sin θ / g H = v₀² sin²θ / (2g) R = v₀² sin 2θ / gv₀ₓ = v₀ cos θ v₀ᵧ = v₀ sin θ T = 2v₀ sin θ / g H = v₀² sin²θ / (2g) R = v₀² sin 2θ / g

burada:

θatılma bucağı (üfüqdən yuxarı)
Tuçuş müddəti (atılma səviyyəsinə qayıdana qədər), s
Hmaksimal qalxma hündürlüyü, m
Rdüz yerdə uçuş məsafəsi, m

R = v₀ cos θ · T. Faydalı qiymətlər: sin 30° = 1/2, sin 37° = 0,6, sin 45° = √2/2, sin 53° = 0,8, sin 60° = √3/2 (cos 37° = 0,8, cos 53° = 0,6).

Həll olunmuş nümunələr: bucaq altında atılma

1) Futbol topu düz meydandan 25 m/s sürətlə üfüqə 37° bucaq altında vurulur. Uçuş müddətini, maksimal hündürlüyü və uçuş məsafəsini tap.
2) Həmin topun ən yuxarı nöqtədə sürəti və təcili nədir?
3) Top 10 m/s sürətlə 45°, 30° və 60° bucaq altında atılır. Uçuş məsafələrini və 30° ilə 60° üçün hündürlükləri müqayisə et.

Həllini göstər

1) v₀ₓ = 25 · 0,8 = 20 m/s, v₀ᵧ = 25 · 0,6 = 15 m/s. T = 2 · 15/10 = 3 s, H = 15²/20 = 11,25 m, R = 20 · 3 = 60 m.
2) Ən yuxarıda v_y = 0, amma vₓ qalır: v = 20 m/s, üfüqi; təcil yenə g, aşağı.
3) R(45°) = 10²/10 = 10 m (maksimum); R(30°) = R(60°) = 100 · (√3/2)/10 = 5√3 ≈ 8,7 m. H(30°) = 100 · (1/4)/20 = 1,25 m, H(60°) = 100 · (3/4)/20 = 3,75 m — 3 dəfə yüksək.

Niyə 45°? R = v₀² sin 2θ / g ifadəsində sin 2θ ən böyük qiymətini (1) 2θ = 90° olanda alır. Tamamlayıcı bucaqlar (θ və 90° − θ) eyni sin 2θ verir, ona görə eyni məsafəyə düşür; daha dik atılan cisim daha hündürə qalxır və havada daha çox qalır.

Cisim h hündürlüyündən (dam, uçurum) bucaq altında atılırsa, yuxarıdakı T və R düsturları yerə düşməni təsvir etmir. Onda üsulu saxla: şaquli tənlik −h = v₀ sin θ · t − gt²/2 zamanı verir (müsbət kök), x = v₀ cos θ · t isə məsafəni. Nümunə: 10 m hündürlükdəki damdan 30° bucaq altında 10 m/s sürətlə: −10 = 5t − 5t², t² − t − 2 = 0, t = 2 s, x = 5√3 · 2 = 10√3 ≈ 17,3 m.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Əvvəlcə 30°, sonra 60° seç: uçuş məsafəsi eynidir (≈ 34,6 m), hündürlük və müddət isə fərqlidir. 45° ən böyük məsafəni verir — 40 m, bu da maksimal hündürlüyün (10 m) düz 4 mislidir.

CSCA tipli sual

Düz yerdəki eyni nöqtədən iki top eyni sürətlə atılır: biri üfüqə 30°, digəri 60° bucaq altında (hava müqaviməti nəzərə alınmır). Hansı fikir doğrudur?
A) 60° altında atılan top daha uzağa düşür.
B) Hər iki top eyni nöqtəyə düşür, amma 60° altında atılan havada daha çox qalır.
C) Hər iki top havada eyni müddət qalır.
D) Hər iki top eyni maksimal hündürlüyə qalxır.

Həllini göstər

sin 60° = sin 120°, ona görə R eynidir; T ∝ sin θ, ona görə 60°-li top √3 dəfə çox uçur — cavab B.
A «daha dik — daha uzaq» intuisiyasıdır, amma 45°-dən sonra məsafə azalır. C məsafənin bərabərliyini müddətin bərabərliyi ilə qarışdırır. D səhvdir: H ∝ sin²θ, hündürlüklər 1 : 3 nisbətindədir.

Çin dərsliklərinin tipik məsələləri

Çin məsələ kitabları (və onlara görə də CSCA) bir neçə vəziyyətə dönə-dönə qayıdır. Ən çox rast gəlinən ikisi maili müstəviyə düşmə və stroboskopik fotodur; hər ikisi yuxarıdakı düsturlardan birbaşa çıxır.

tg θ = y / x = gt / (2v₀) ⇒ t = 2v₀ tg θ / gtg θ = y / x = gt / (2v₀) ⇒ t = 2v₀ tg θ / g

burada:

θmaili müstəvinin üfüqlə bucağı
tmüstəvinin başından atılan cismin müstəviyə düşənə qədər uçuş müddəti, s

Maili müstəviyə düşmə (斜面上的平抛): yerdəyişmə müstəvi boyunca yönəlib, ona görə yerdəyişmənin bucağı α = θ-dır. t v₀-a mütənasibdir, müstəvi boyunca məsafə isə v₀²-na.

Həll olunmuş nümunələr: maili müstəvi

1) Top üfüqlə 37° bucaq əmələ gətirən maili müstəvinin başından üfüqi 20 m/s sürətlə atılır və müstəviyə düşür (tg 37° = 3/4). Uçuş müddətini və müstəvi boyunca məsafəni tap.
2) 45°-li müstəvidən 10 m/s sürətlə atılsa?

Həllini göstər

1) t = 2 · 20 · (3/4)/10 = 3 s; x = 20 · 3 = 60 m, y = 5 · 3² = 45 m; müstəvi boyunca √(60² + 45²) = 75 m (və ya 60/cos 37° = 60/0,8).
2) t = 2 · 10 · 1/10 = 2 s; x = y = 20 m, məsafə 20√2 m.

CSCA tipli sual

Top maili müstəvinin başından üfüqi atılır və müstəviyə düşür. Başlanğıc sürət iki dəfə artırılsa (top yenə müstəviyə düşür), uçuş müddəti və müstəvi boyunca məsafə neçə dəfə artar?
A) 2 və 2 B) 2 və 4 C) 4 və 4 D) √2 və 2

Həllini göstər

t = 2v₀ tg θ / g ∝ v₀ — 2 dəfə; x = v₀t ∝ v₀², ona görə məsafə 4 dəfə — cavab B.
A x-in həm v₀-dan, həm də t-dən asılı olduğunu unudur. C müddəti də v₀²-na mütənasib sayır. D müddəti düz yerdəki kimi √h ilə hesablayır.

Stroboskopik foto (频闪照片) topun vəziyyətlərini bərabər T zaman aralıqlarında göstərir, adətən kvadrat torun fonunda. Üfüqi addımlar bərabərdir (bərabərsürətli hərəkət), şaquli addımlar isə «Kinematika: yerdəyişmə, sürət, təcil, sərbəst düşmə» dərsindəki Δx = aT² qaydasına tabedir. Birinci şəkil çox vaxt atılma nöqtəsi deyil: sükunətdən başlasaydı, şaquli addımlar 1 : 3 : 5 nisbətində olardı.

Δy = gT² v₀ = Δx / T v_y = (y₁ + y₂) / (2T)Δy = gT² v₀ = Δx / T v_y = (y₁ + y₂) / (2T)

burada:

Δyardıcıl iki şaquli addımın fərqi, m
Tiki şəkil arasındakı zaman, s
Δxbir üfüqi addım, m
y₁, y₂orta şəkildən əvvəlki və sonrakı şaquli addımlar, m
v_yorta şəkil anında sürətin şaquli toplananı, m/s

Əvvəlcə T-ni şaquli addımların fərqindən tap, sonra v₀-ı üfüqi addımdan; orta şəkildəki v_y iki qonşu addımdakı orta sürətdir.

Həll olunmuş nümunələr: stroboskopik foto

1) Tərəfi 5 sm olan kvadratlardan ibarət torda üfüqi atılmış topun üç ardıcıl şəkli var. Üfüqi addımlar 3 kvadratdır, şaquli addımlar isə 3 və 5 kvadrat. T-ni, v₀-ı və orta şəkildə v_y-ni tap (g = 10 m/s²).
2) Tor 10 sm-lik olsa, üfüqi addımlar 2 kvadrat, şaquli addımlar 2 və 3 kvadrat olsa?

Həllini göstər

1) Δy = (5 − 3) · 0,05 = 0,1 m = gT² ⇒ T = 0,1 s; v₀ = 3 · 0,05/0,1 = 1,5 m/s; v_y = (0,15 + 0,25)/0,2 = 2 m/s. Birinci şəkildə v_y = 2 − 1 = 1 m/s, yəni o, atılmadan 0,1 s sonra çəkilib.
2) Δy = 0,1 m ⇒ T = 0,1 s; v₀ = 0,2/0,1 = 2 m/s.

Üçüncü sevimli vəziyyət divar və ya hədəfdir. d məsafədəki divara çatma müddəti t = d/v₀-dır, bu vaxta qədər top gt²/2 qədər düşür. Əvvəlcə topun daha tez yerə düşmədiyini yoxla: d/v₀-ı düşmə müddəti √(2h/g) ilə müqayisə et. 3,2 m hündürlükdən 4,8 m aralıdakı divara 8 m/s sürətlə atılan top ona 0,6 s-də çatır və 1,8 m aşağı düşür, yəni divara yerdən 1,4 m hündürlükdə dəyir (düşmə 0,8 s çəkərdi, ona görə top əvvəlcə divara çatır).

1
Oxları seç
x — üfüqi, y — şaquli; başlanğıc — atılma nöqtəsi. Sürəti v₀ cos θ və v₀ sin θ toplananlarına ayır.
2
Zamanı şaquli hərəkətdən tap
Hündürlük, maili müstəvi və ya fotodakı addımlar zamanı verir — üfüqi hərəkət demək olar ki, heç vaxt vermir.
3
Üfüqi hərəkəti hesabla
x = vₓt: məsafə, sürət və ya divara çatma müddəti.
4
Sonda birləşdir
v = √(vₓ² + v_y²), bucaqlar tg ilə; sürətin və yerdəyişmənin bucağını qarışdırma.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Atılmış cismin hərəkəti adətən testdə bir-iki sual verir, bəzən də enerji və ya impuls sualının bir hissəsi olur. Əsas terminləri ingilis və çin dillərində tanı:

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
atılmış cismin hərəkəti — projectile motion	抛体运动	pāotǐ yùndòng
üfüqi atılma — horizontal projection	平抛运动	píngpāo yùndòng
bucaq altında atılma — oblique projection	斜抛运动	xiépāo yùndòng
hərəkətlərin asılı olmaması — independence of motions	运动的独立性	yùndòng de dúlìxìng
sürətin toplananı — component velocity	分速度	fēnsùdù
yekun sürət — resultant velocity	合速度	hésùdù
trayektoriya — trajectory	轨迹	guǐjì
parabola — parabola	抛物线	pāowùxiàn
uçuş məsafəsi — range	射程	shèchéng
maksimal hündürlük — maximum height	最大高度	zuìdà gāodù
uçuş müddəti — time of flight	飞行时间	fēixíng shíjiān
atılma bucağı — launch angle	抛射角	pāoshèjiǎo
maili müstəvi — inclined plane	斜面	xiémiàn
stroboskopik foto — stroboscopic photo	频闪照片	pínshǎn zhàopiàn

Atılmış cismin hərəkətinin əsas terminləri ingilis və çin dillərində.

Tipik sual növləri və vaxta qənaət yolları (bir suala təxminən 75 s):

Hündürlükdən üfüqi atılma: zaman yalnız h-dan (5–20–45 m → 1–2–3 s); x = v₀t; düşmə sürəti √(v₀² + 2gh).
Bucaq sualları: sürətin bucağı tg θ = gt/v₀, yerdəyişmənin bucağı tg α = gt/(2v₀); tg θ = 2 tg α.
Bucaq altında atılma: v₀-ı ayır, 37°/53° qiymətlərindən istifadə et; T, H, R düsturları; ən yuxarıda v = v₀ cos θ.
«Hansı fikir doğrudur»: a həmişə g-dir; müddəti yalnız şaquli hərəkət təyin edir; tamamlayıcı bucaqlar — eyni məsafə, fərqli hündürlük və müddət.
Maili müstəvi, divar, stroboskopik foto: t = 2v₀ tg θ / g; divara qədər zaman x/v₀ (əvvəlcə topun yerə düşüb-düşmədiyini yoxla); fotoda Δy = gT².

Əsas fikirlər

Atılmış cisim: üfüqi — bərabərsürətli hərəkət (vₓ sabit), şaquli — a = g ilə bərabərtəcilli hərəkət; onları yalnız ortaq t birləşdirir.
Üfüqi atılma: t = √(2h/g) (v₀-dan asılı deyil), x = v₀t, v = √(v₀² + 2gh).
Sürətin bucağı tg θ = gt/v₀ yerdəyişmənin bucağının iki misli qədərdir: tg θ = 2 tg α.
Bucaq altında atılma: T = 2v₀ sin θ/g, H = v₀² sin²θ/(2g), R = v₀² sin 2θ/g; ən yuxarıda v = v₀ cos θ, a = g.
45° ən böyük məsafəni verir (R = 4H); tamamlayıcı bucaqlar eyni məsafəyə düşür, trayektoriya simmetrikdir.
Maili müstəviyə düşmə: t = 2v₀ tg θ/g; stroboskopik foto: Δy = gT², v₀ = Δx/T.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hava müqaviməti nəzərə alınmazsa, atılmış cismin təcili…

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla