İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Orta28 dk4 / 68

Fonksiyonlar ve özellikleri

Tanım ve görüntü kümesi, parçalı ve bileşke fonksiyonlar, monotonluk, tek-çiftlik, periyodiklik, grafik dönüşümleri ve ters fonksiyon; ayrıca CSCA’nın bu özelliklerle değerleri hesap yapmadan nasıl karşılaştırttığı.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Parçalı ve bileşke fonksiyonlar dahil, bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulmak
  • Bir fonksiyonun artan mı azalan mı, tek mi çift mi, periyodik mi olduğunu belirlemek ve bu özelliklerle değer bulmak
  • Bilinen bir grafikten öteleme, esnetme ve yansımayla yeni grafik elde etmek ve ters fonksiyonu bulmak
  • Monotonluk ve tek-çiftlik yardımıyla değerleri karşılaştırmak ve f(a) < f(b) gibi eşitsizlikleri çözmek

Bir CSCA sorusu: “f(x), R’de çift bir fonksiyondur ve [0, +∞)’da artandır. Hangisi daha büyüktür: f(−3) mü, f(2) mi?” Formül verilmemiş, zaten gerek de yok. Çiftlikten f(−3) = f(3), monotonluktan da f(3) > f(2) elde edilir; yani f(−3) daha büyüktür: beş saniyelik iş. Müfredattaki “Fonksiyonlar: tanım kümesi, görüntü kümesi, monotonluk, tek-çiftlik vb.” maddesi tam olarak bu araç takımıdır ve bu ders onu kurar: tanım, tanım ve görüntü kümesi, parçalı ve bileşke fonksiyonlar, monotonluk, tek-çiftlik, periyodiklik, grafik dönüşümleri ve ters fonksiyon. Somut fonksiyon aileleri “Kuvvet ve üstel fonksiyonlar”, “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” ve “Trigonometrik fonksiyonlar ve özdeşlikler” derslerindedir; aralık gösterimi “Kümeler ve küme işlemleri”, tanım kümesi sorularında çıkan eşitsizliklerin çözümü ise “Eşitsizlikler: özellikler, ikinci dereceden ve rasyonel eşitsizlikler” dersindedir.

Tanım, tanım kümesi ve görüntü kümesi

Tanım
Fonksiyon (函数)

D boş olmayan bir sayı kümesi olsun. f fonksiyonu her x ∈ D sayısına yalnızca bir y = f(x) sayısı karşılık getirir. D tanım kümesi (定义域), {f(x) | x ∈ D} ise görüntü kümesidir (值域). Bir fonksiyon tanım kümesi ve kuralıyla belirlenir: iki fonksiyon ancak ikisi de aynıysa eşittir.

Son cümle CSCA’nın sevdiği bir tuzaktır. y = x ile y = x²/x farklı fonksiyonlardır: ikincisi 0’da tanımsızdır. y = x ile y = √(x²) = |x|’in tanım kümesi aynı, kuralı farklıdır. Her düşey doğru bir eğriyi en fazla bir noktada kesiyorsa, eğri bir fonksiyonun grafiğidir. Formülle verilen bir fonksiyonun tanım kümesi aşağıdaki koşullardan bulunur.

u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0
burada:
  • u, vx içeren ifadeler
  • √u, ⁴√uçift dereceli kökler; ∛u gibi tek dereceli kökler her u için tanımlıdır
  • logₐ ulogaritmanın argümanı (“Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersine bak)

Bütün koşulları yaz, sonra kesişimlerini al ve cevabı küme ya da aralıklarla ver. Sözel problemde durumun kendi koşulları da eklenir: uzunluklar pozitiftir, nesne sayıları tam sayıdır.

Çözümlü örnekler: tanım kümesi

Tanım kümesini bul:
1) f(x) = √(x + 4)/(x − 1) + (x + 2)⁰.
2) f(x) = √(x² − 9).
3) Bir dikdörtgenin çevresi 20’dir. Alanı S’yi bir kenarı x’in fonksiyonu olarak yaz ve tanım kümesini ver.

Çözümü göster
1) x + 4 ≥ 0, x − 1 ≠ 0, x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≥ −4, x ≠ 1, x ≠ −2: [−4, −2) ∪ (−2, 1) ∪ (1, +∞).
2) x² − 9 ≥ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≥ 0 ⇒ (−∞, −3] ∪ [3, +∞).
3) Diğer kenar 10 − x olduğundan S = x(10 − x); iki kenar da pozitiftir: 0 < x < 10, yani tanım kümesi (0, 10); oysa formül tek başına her gerçek x’e izin verirdi.

Görüntü kümesini bulmak tanım kümesinden zordur. Dört yöntem CSCA sorularının neredeyse hepsini karşılar: monotonluk (f, [a, b]’de artansa görüntü kümesi [f(a), f(b)]’dir); ikinci dereceden fonksiyonlarda tam kareye tamamlama (tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol etmeyi unutma); x² ≥ 0, √u ≥ 0, |u| ≥ 0, aˣ > 0 gibi bilinen sınırlar; kesirli doğrusal fonksiyonda ise hiç almadığı tek değer.

y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/cy = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/c
burada:
  • a/ca/cbaş katsayıların oranı: yatay asimptot y = a/c
  • −d/c−d/cpaydanın sıfırı: düşey asimptot

Neden y ≠ a/c: y = (ax + b)/(cx + d) eşitliğinden x çekilirse x = (b − dy)/(cy − a) bulunur; bu, a/c dışındaki her y için mümkündür. Grafik, merkezi (−d/c, a/c) noktasına taşınmış y = k/x hiperbolüdür.

Çözümlü örnekler: görüntü kümesi

Görüntü kümesini bul: 1) y = 2x² − 4x + 3, x ∈ [−1, 2]; 2) y = (3x − 1)/(x + 2); 3) y = 4/(x² + 1).

Çözümü göster
1) y = 2(x − 1)² + 1; tepe x = 1, [−1, 2] içindedir; bu yüzden en küçük değer 1’dir; en büyüğü 1’e daha uzak olan uçtadır: y(−1) = 9 (y(2) = 3). Görüntü kümesi [1, 9].
2) a/c = 3/1 olduğundan y ≠ 3: görüntü kümesi (−∞, 3) ∪ (3, +∞). Kontrol: x = (−1 − 2y)/(y − 3), y ≠ 3 olan her y için vardır.
3) x² + 1 ≥ 1 olduğundan 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4; 4 değeri x = 0’da alınır: (0, 4].
Tanım
Parçalı fonksiyon (分段函数)

Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı kurallarla verilen tek bir fonksiyon. Tanım kümesi parçaların birleşimi, görüntü kümesi de parçaların görüntü kümelerinin birleşimidir. f(a)’yı hesaplamak için önce a’nın hangi parçada olduğuna bak; f(a) = k denklemini her parçada ayrı çöz ve yalnızca o parçaya düşen kökleri tut.

(f ∘ g)(x) = f(g(x)), x ∈ D(g), g(x) ∈ D(f)
burada:
  • giç fonksiyon: önce o uygulanır
  • fdış fonksiyon: g(x) değerine uygulanır
  • D(f), D(g)tanım kümeleri

Bileşke fonksiyon (复合函数): sıra önemlidir, genel olarak f(g(x)) ≠ g(f(x)). D(f) = [m, n] ise f(g(x))’in tanım kümesi m ≤ g(x) ≤ n eşitsizliklerinin çözüm kümesidir.

Çözümlü örnekler: parçalı ve bileşke fonksiyonlar

1) x ≤ 1 için f(x) = x² − 1, x > 1 için f(x) = 3 − x. f(f(2))’yi bul ve f(a) = 0 denklemini çöz.
2) f(x) = 2x + 1, g(x) = x². f(g(x)), g(f(x)) ve bunların x = −1’deki değerlerini bul.
3) f’nin tanım kümesi [0, 4]’tür. f(2x − 2)’nin tanım kümesini bul.
4) f(x + 1) = x² + 2x. f(x)’i bul.

Çözümü göster
1) 2 > 1 olduğundan f(2) = 1; 1 ≤ 1 olduğundan f(1) = 0: f(f(2)) = 0. a ≤ 1 için: a² − 1 = 0 ⇒ a = ±1, ikisi de uygun; a > 1 için: 3 − a = 0 ⇒ a = 3, uygun. a ∈ {−1, 1, 3}.
2) f(g(x)) = 2x² + 1, g(f(x)) = (2x + 1)²; x = −1’de: 3 ve 1, yani farklı.
3) 0 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3: [1, 3].
4) t = x + 1, x = t − 1 diyelim: f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) = t² − 1, yani f(x) = x² − 1.
CSCA tarzı soru

x ≤ 0 için f(x) = x² + 1, x > 0 için f(x) = 2x − 3. f(a) = 5 ise a =
A) −2 B) 4 C) −2 veya 4 D) ±2 veya 4

Çözümü göster
a ≤ 0: a² + 1 = 5 ⇒ a = ±2 ve a ≤ 0 koşulunu yalnızca −2 sağlar. a > 0: 2a − 3 = 5 ⇒ a = 4 > 0, uygun. Cevap C.
A ve B iki parçadan birini unutur. D, a = 2’yi tutar; oysa 2, x² + 1 formülünün geçerli olduğu x ≤ 0 parçasında değildir.

Monotonluk, tek-çiftlik ve periyodiklik

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — artan; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) — azalan
burada:
  • x₁, x₂I aralığından herhangi iki sayı
  • Imonotonluk aralığı (单调区间): fonksiyon bu aralığın tamamında artan (增函数) ya da azalandır (减函数)

Artan + artan artandır; −f yönü tersine çevirir, f işaret değiştirmiyorsa 1/f de öyle. y = f(g(x)) için: f ve g aynı yönde değişiyorsa bileşke artar, zıt yönlerde değişiyorsa azalır (同增异减). Her fonksiyonun monotonluğunu türev verir: “Türevin uygulamaları: monotonluk ve ekstremumlar”.

Çözümlü örnekler: monotonluk

1) y = x² − 6x + 1’in monotonluk aralıklarını bul.
2) f(x) = −x² + 2(a − 1)x + 3, (−∞, 4]’te artandır. a’nın alabileceği değerleri bul.
3) y = √(x² − 4x)’in monotonluk aralıklarını bul.

Çözümü göster
1) Simetri ekseni x = 3, kollar yukarı: (−∞, 3]’te azalan, [3, +∞)’da artan.
2) Parabolün kolları aşağı, ekseni x = a − 1; bu yüzden f, (−∞, a − 1]’de artandır. (−∞, 4] ⊆ (−∞, a − 1] olmalı: a − 1 ≥ 4, a ≥ 5.
3) Önce tanım kümesi: x² − 4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 veya x ≥ 4. İçteki u = x² − 4x, (−∞, 0]’da azalan, [4, +∞)’da artandır; √u artandır. 同增异减 kuralına göre: (−∞, 0]’da azalan, [4, +∞)’da artan; (−∞, 2] ve [2, +∞) değil, çünkü 0 ile 4 arasındaki noktalar tanım kümesinde yok.
Tanım
Çift ve tek fonksiyonlar (偶函数, 奇函数)

Tanım kümesi 0’a göre simetrik olsun (x ile birlikte −x’i de içersin). Her x için f(−x) = f(x) ise f çift fonksiyondur; grafiği y eksenine göre simetriktir. f(−x) = −f(x) ise f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir. Fonksiyonların çoğu ne tek ne çifttir. Bu özelliğe tek-çiftlik denir (奇偶性).

f(−x) = f(x) — çift; f(−x) = −f(x) — tek; tek ve 0 ∈ D ⇒ f(0) = 0
burada:
  • Dtanım kümesi; 0’a göre simetrik olmalıdır, yoksa f ne tek ne çifttir
  • f(0) = 0f(−0) = −f(0)’dan: 0’da tanımlı tek fonksiyon orijinden geçer

tek ± tek = tek, çift ± çift = çift; tek · tek = çift, çift · çift = çift, tek · çift = tek; tıpkı + ve − işaretleri gibi. Yalnızca çift kuvvetleri (ve sabiti) olan polinom çift, yalnızca tek kuvvetleri olan polinom tektir.

  1. 1
    Tanım kümesini kontrol et

    0’a göre simetrik değilse (ör. [−1, 2] ya da x ≥ 0) dur: ne tek ne çift.

  2. 2
    f(−x)’i hesapla

    x yerine −x yaz ve sadeleştir: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.

  3. 3
    Karşılaştır

    f(−x) = f(x) ise çift, f(−x) = −f(x) ise tek; hiçbiri değilse ikisinin de bozulduğu bir sayı göster, ör. f(−1) ≠ ±f(1).

Çözümlü örnekler: tek-çiftlik

1) Çift mi, tek mi, hiçbiri mi: f(x) = x³ − 1/x; g(x) = |x + 1| + |x − 1|; h(x) = x⁴, x ∈ (−2, 2].
2) f(x) = ax⁵ + bx³ + cx − 4 ve f(−2) = 6. f(2)’yi bul.
3) f, R’de tek bir fonksiyondur ve x > 0 için f(x) = x² + 3x. f(0)’ı ve x < 0 için f(x)’i bul.

Çözümü göster
1) f(−x) = −x³ + 1/x = −f(x): tek. g(−x) = |−x + 1| + |−x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = g(x): çift. h: (−2, 2] kümesi 2’yi içerir ama −2’yi içermez; bu yüzden ne tek ne çift.
2) g(x) = ax⁵ + bx³ + cx tektir ve f(x) = g(x) − 4. g(−2) = 6 + 4 = 10, dolayısıyla g(2) = −10 ve f(2) = −14. (Kısa yol: f(2) + f(−2) = −8.)
3) f(0) = 0. x < 0 için −x > 0: f(−x) = (−x)² + 3(−x) = x² − 3x, yani f(x) = −f(−x) = −x² + 3x.
CSCA tarzı soru

Hangi fonksiyon çifttir ve (0, +∞)’da artandır?
A) y = x² + |x| B) y = x³ C) y = −x² + 1 D) y = 1/x²

Çözümü göster
y = x² + |x|: f(−x) = x² + |x| = f(x); x > 0 için x² + x’e eşittir ve artar. Cevap A.
B artandır ama tektir. C ve D çifttir ama (0, +∞)’da azalır; her seçenek iki koşuldan yalnızca birini sağlar, CSCA sorularının tipik kurgusu budur.
Tanım
Periyodik fonksiyon (周期函数)

Tanım kümesindeki her x için f(x + T) = f(x) ise f, periyodu T ≠ 0 olan periyodik bir fonksiyondur. O zaman 2T, 3T, −T de periyottur; bunların en küçük pozitif olanına esas periyot denir (最小正周期). Grafik, uzunluğu T olan bir parçanın tekrarıdır.

f(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2af(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2a
burada:
  • Tperiyot
  • asabit öteleme, a ≠ 0

İkinci kuralın ispatı: f(x + 2a) = −f(x + a) = −(−f(x)) = f(x). Büyük bir argümanda f’yi bulmak için tam periyotları çıkar (kalana bak), gerekirse sonra tek-çiftliği kullan. sin ve cos’un periyotları “Trigonometrik fonksiyonların grafikleri” dersindedir.

Çözümlü örnekler: periyodiklik

1) f tek, periyodu 3 ve f(1) = 2. f(2026) ve f(8)’i bul.
2) Her x için f(x + 2) = −f(x) ve 0 ≤ x < 2 için f(x) = x². f(7)’yi bul.
3) f çift ve grafiği x = 1 doğrusuna göre simetrik. 2’nin f’nin bir periyodu olduğunu göster.

Çözümü göster
1) 2026 = 3 · 675 + 1 ⇒ f(2026) = f(1) = 2. 8 = 9 − 1 ⇒ f(8) = f(−1) = −f(1) = −2.
2) Periyot 4’tür: f(7) = f(3) = f(1 + 2) = −f(1) = −1.
3) x = 1’e göre simetri f(1 + t) = f(1 − t) demektir. t = x + 1 alınırsa: f(x + 2) = f(−x) = f(x); 2 bir periyottur.

Grafik dönüşümleri ve ters fonksiyon

y = f(x − a) + b; y = A·f(x); y = f(ωx); y = −f(x); y = f(−x); y = −f(−x); y = |f(x)|; y = f(|x|)
burada:
  • a, böteleme: a > 0 sağa, b > 0 yukarı (a < 0 sola, b < 0 aşağı)
  • A, ωy ekseni boyunca A kat esnetme: (x, y) → (x, Ay); ω > 1 için x ekseni boyunca ω kat daraltma: (x, y) → (x/ω, y)
  • −f(x), f(−x), −f(−x)x eksenine, y eksenine ve orijine göre yansıma
  • |f(x)|, f(|x|)|f(x)|: x ekseninin altındaki parçalar yukarı çevrilir; f(|x|): sağ yarı korunur ve sola yansıtılır

Parantez içindeki değişiklikler yatay ve “ters yönde” çalışır (x − 2 sağa kaydırır, 2x daraltır); dışarıdakiler düşey ve “yazıldığı gibi” çalışır. Çinli öğrenciler ötelemeleri 左加右减，上加下减 diye akılda tutar: “sola ekle, sağa çıkar; yukarı ekle, aşağı çıkar”.

Çözümlü örnekler: dönüşümler

1) y = √(x + 1) − 2 ve y = 2/(x − 1) + 3 grafiklerinin y = √x ve y = 2/x’ten nasıl elde edildiğini anlat; tanım ve görüntü kümelerini ver.
2) P(2, 5) noktası y = f(x)’in grafiği üzerindedir. y = f(x + 1) − 3, y = 2f(x/2) ve y = f(−x) grafiklerinde hangi nokta kesinlikle bulunur?
3) |x² − 2x − 3| = 4 denkleminin kaç çözümü vardır?

Çözümü göster
1) √x: 1 birim sola ve 2 birim aşağı; başlangıç noktası (0, 0) → (−1, −2); tanım kümesi [−1, +∞), görüntü kümesi [−2, +∞). 2/x: 1 birim sağa ve 3 birim yukarı; merkez (1, 3); x ≠ 1, y ≠ 3.
2) x + 1 = 2 ⇒ x = 1: (1, 2). x/2 = 2 ⇒ x = 4, y = 10: (4, 10). (−2, 5).
3) y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4’ün tepe noktası (1, −4)’tür; mutlak değer onu yukarı, (1, 4)’e çevirir. y = 4 doğrusu bu tepeye teğet olur ve iki dış kolu keser: 3 çözüm (x = 1, x = 1 ± 2√2).
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Birinci eğri tek fonksiyon y = x³ − 3x’tir (orijine göre simetrik, yerel maksimumu (−1, 2)’de); ikincisi y = k·f(x − a) + b’dir. a grafiği yatay, b düşey kaydırır; k esnetir, k < 0 ise ayrıca yansıtır. Simetri merkezinin (0, 0)’dan (a, b)’ye taşındığını izle.
CSCA tarzı soru

y = x² − 4x + 1’in grafiği 1 birim sola, sonra 2 birim yukarı kaydırılıyor. Yeni grafik hangi fonksiyonun grafiğidir?
A) y = x² − 6x + 8 B) y = x² − 2x − 4 C) y = x² − 6x + 4 D) y = x² − 2x

Çözümü göster
Tepe biçimi: y = (x − 2)² − 3, tepe (2, −3). 1 sola ve 2 yukarı: tepe (1, −1), yani y = (x − 1)² − 1 = x² − 2x. Cevap D.
A sola değil sağa, B yukarı değil aşağı kaydırır, C ikisini de yanlış yapar. Tepe noktasını taşımak, x + 1’i bütün ifadeye yerleştirmekten daha hızlıdır.
Tanım
Ters fonksiyon (反函数)

f her değerini yalnızca bir kez alıyorsa (ör. f kesin monotonsa), görüntü kümesindeki her y için f(x) = y olan tek bir x vardır. y ↦ x kuralı f⁻¹ ters fonksiyonudur; değişkeni yine x ile gösterilir.

y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y); D(f⁻¹) = E(f), E(f⁻¹) = D(f); f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a
burada:
  • D(f), E(f)f’nin tanım ve görüntü kümesi; ters fonksiyonda yer değiştirir
  • (a, b)f’nin grafiğinin bir noktası; o zaman (b, a), f⁻¹’in grafiği üzerindedir

f ve f⁻¹’in grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. En önemli çift olan y = aˣ ile y = logₐ x, “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersindedir. Dikkat: f⁻¹(x), 1/f(x) değildir.

  1. 1
    Kontrol et ve görüntü kümesini bul

    f her değeri bir kez almalıdır (tanım kümesinde monoton olmalıdır). f’nin görüntü kümesi, f⁻¹’in tanım kümesi olacaktır.

  2. 2
    x’i çek

    y = f(x)’ten x’i y cinsinden yaz; kökün işaretini baştaki tanım kümesine göre seç.

  3. 3
    Harfleri değiştir ve tanım kümesini yaz

    y = f⁻¹(x)’i tanım kümesiyle birlikte yaz; bir noktayla kontrol et: f(a) = b ⇒ f⁻¹(b) = a.

Çözümlü örnekler: ters fonksiyon

1) f(x) = (2x + 1)/(x − 3). f⁻¹(x)’i bul.
2) f(x) = √(x − 1). f⁻¹(x)’i tanım kümesiyle birlikte bul.
3) f(x) = x³ + x + 1. f⁻¹’i bulmadan f⁻¹(3)’ü bul.

Çözümü göster
1) y(x − 3) = 2x + 1 ⇒ x(y − 2) = 3y + 1 ⇒ x = (3y + 1)/(y − 2). f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), x ≠ 2. Kontrol: f(4) = 9 ve f⁻¹(9) = 28/7 = 4.
2) f’nin görüntü kümesi [0, +∞)’dur. x = y² + 1, dolayısıyla f⁻¹(x) = x² + 1, x ≥ 0; parabolün yalnızca sağ yarısı.
3) f⁻¹(3) = a, f(a) = 3 demektir: a³ + a − 2 = 0 ⇒ a = 1 (f artan olduğundan tek kök budur). f⁻¹(3) = 1.

Özelliklerle değerleri karşılaştırma

Plan hep aynıdır: tek-çiftlik ve periyodiklikle bütün argümanları f’nin monoton olduğu tek bir aralığa taşı, sonra argümanları karşılaştır. Yalnızca |x|’e bağlı olan çift fonksiyon için bu, ezberlemeye değer bir kural verir.

f çift, [0, +∞)’da artan: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| < |x₂|
burada:
  • |x₁|, |x₂|0’a uzaklıklar: çift fonksiyon eşit uzaklıklarda eşit değerler alır
  • f tek[0, +∞)’da artansa bütün R’de artandır; bu yüzden f(x₁) < f(x₂) ⇔ x₁ < x₂

Çift fonksiyon [0, +∞)’da azalansa eşitsizlik ters döner: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| > |x₂|.

Çözümlü örnekler: değerleri karşılaştırma

1) f çift ve [0, +∞)’da azalan. f(−2), f(1), f(3)’ü küçükten büyüğe sırala.
2) f çift ve [0, +∞)’da artan. f(x − 2) > f(1)’i çöz.
3) f tek ve R’de azalan. f(1 − a) + f(2a + 3) < 0’ı çöz.

Çözümü göster
1) |1| < |−2| < |3| ve f, |x| büyüdükçe azalır: f(3) < f(−2) < f(1).
2) |x − 2| > 1 ⇔ x − 2 > 1 veya x − 2 < −1: x < 1 veya x > 3.
3) f(1 − a) < −f(2a + 3) = f(−2a − 3). f azalan olduğundan argümanlar ters sırada olur: 1 − a > −2a − 3 ⇔ a > −4.
CSCA tarzı soru

f(x), R’de çift bir fonksiyondur, f(x + 2) = f(x) ve f, [0, 1]’de artandır. a = f(5/2), b = f(−4/3), c = f(3) olsun. O hâlde
A) c < b < a B) a < b < c C) b < a < c D) a < c < b

Çözümü göster
Hepsini [0, 1]’e taşıyalım: a = f(5/2 − 2) = f(1/2); b = f(−4/3 + 2) = f(2/3); c = f(3 − 2) = f(1). f, [0, 1]’de artan ve 1/2 < 2/3 < 1 olduğundan a < b < c. Cevap B.
A sıralamayı ters çevirir, sanki f azalanmış gibi; C, −4/3 < 5/2 < 3 argümanlarını doğrudan karşılaştırır, oysa f yalnızca [0, 1]’de monotondur; D ise c = f(1)’in [0, 1]’deki en büyük değer olduğunu unutur.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Fonksiyon özellikleri, CSCA matematik testinin cebir bölümünün temelidir: tanım kümesi, tek-çiftlik ya da monotonluk üzerine doğrudan soruların yanı sıra üstel, logaritma, trigonometrik fonksiyon ve türev sorularında da yeniden karşına çıkar. Sınavın Çince sürümü şu terimleri kullanır:

Terim (İngilizcesi)中文Pinyin
fonksiyon — function函数hánshù
tanım kümesi — domain定义域dìngyìyù
görüntü kümesi — range值域zhíyù
parçalı fonksiyon — piecewise function分段函数fēnduàn hánshù
bileşke fonksiyon — composite function复合函数fùhé hánshù
artan fonksiyon — increasing function增函数zēng hánshù
azalan fonksiyon — decreasing function减函数jiǎn hánshù
monotonluk — monotonicity单调性dāndiàoxìng
çift fonksiyon — even function偶函数ǒu hánshù
tek fonksiyon — odd function奇函数jī hánshù
periyodik fonksiyon — periodic function周期函数zhōuqī hánshù
esas periyot — smallest positive period最小正周期zuìxiǎo zhèng zhōuqī
ters fonksiyon — inverse function反函数fǎn hánshù
öteleme — translation (shift)平移píngyí
simetri ekseni — axis of symmetry对称轴duìchènzhōu
Fonksiyonlarla ilgili temel terimler İngilizce ve Çince.

Tipik soru kalıpları ve zaman kazandıran yollar (soru başına yaklaşık 75 saniye):

  1. Tanım kümesi: bütün koşulları yaz (payda, çift dereceli kök, logaritma, u⁰) ve kesiştir; f(g(x)) için m ≤ g(x) ≤ n’yi çöz.
  2. Görüntü kümesi ve parçalı fonksiyon değerleri: tam kareye tamamla ve tepenin aralıkta olup olmadığını kontrol et; parçalı fonksiyonda önce parçayı seç, kökleri ona göre kontrol et.
  3. “Hangi fonksiyon çift/tek ve artandır…”: önce bir özelliğe, sonra diğerine göre ele; seçeneklerin çoğu yalnızca birini sağlar.
  4. Tek-çiftlik ve periyottan değer: g tek olmak üzere f(x) = g(x) + c; büyük argümanları periyotla küçült; f(x + a) = −f(x), periyodun 2a olduğunu gösterir.
  5. Dönüşümler ve ters fonksiyon: tek bir özel noktayı taşı; (a, b), f’nin grafiğinde ⇔ (b, a), f⁻¹’in grafiğinde; f⁻¹’in tanım kümesi f’nin görüntü kümesidir.
  6. Karşılaştırma ve f(a) < f(b): argümanları tek bir monotonluk aralığına taşı; çift fonksiyonda |a| ile |b|’yi karşılaştır.

Önemli noktalar

  • Tanım kümesi: payda ≠ 0, çift dereceli kökün içi ≥ 0, logaritmanın argümanı > 0, u⁰ için u ≠ 0; iki fonksiyon ancak tanım kümesi ve kural aynıysa eşittir.
  • Parçalı fonksiyon: önce parçayı seç, her kökü ona göre kontrol et; bileşke: sıra önemlidir, D(f) = [m, n] ise m ≤ g(x) ≤ n.
  • Çift: f(−x) = f(x), y eksenine göre simetrik; tek: f(−x) = −f(x), orijine göre simetrik ve 0’da tanımlıysa f(0) = 0; tanım kümesi simetrik olmalıdır.
  • f(x + T) = f(x): periyot T; f(x + a) = −f(x) ise periyot 2a; bileşkenin monotonluğu: 同增异减.
  • y = f(x − a) + b: a birim sağa, b birim yukarı (içeride ters yönde); f⁻¹: x ile y’yi değiştir, D(f⁻¹) = E(f), grafikler y = x’e göre simetriktir.
  • Değerleri karşılaştırmak için bütün argümanları tek bir monotonluk aralığına taşı; [0, +∞)’da artan çift fonksiyon için f(a) < f(b) ⇔ |a| < |b|.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Bunlardan hangisi bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği DEĞİLDİR?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla