Eşitsizlikler: özellikler, ikinci dereceden ve rasyonel eşitsizlikler

Bu derste öğreneceklerin

Eşitsizliklerin özelliklerini, özellikle negatif sayıyla çarparken ve terslerini alırken doğru kullanmak
İkinci dereceden eşitsizlikleri kökler ve parabolün yönüyle, D ≤ 0 durumları ve parametreli sorular dahil çözmek
Rasyonel ve mutlak değerli eşitsizlikleri işaret tablosu yöntemiyle ve |x − a|’nın uzaklık anlamıyla çözmek
Aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliğiyle basit en büyük ve en küçük değerleri bulmak ve eşitlik koşulunu kontrol etmek

Bir çiftçinin duvar boyunca dikdörtgen bir ağılı çevirmek için 40 m çiti var. En fazla ne kadar alanı çevirebilir? Bir şirketin P = −x² + 14x − 40 kârı ne zaman pozitiftir? İkisi de eşitsizlik sorusudur ve CSCA’da farklı biçimlerde gelir: eşitsizliği çöz, verilen çözüm kümesinden parametreyi bul ya da türev kullanmadan en küçük değeri bul. Bu ders «Kümeler ve küme işlemleri» dersinin devamıdır, çünkü bir eşitsizliğin cevabı bir kümedir ve genellikle aralıklarla yazılır. Sonraki ders, «Fonksiyonlar ve özellikleri», bu araçlarla tanım ve görüntü kümelerini bulur.

Eşitsizliklerin özellikleri

Bütün kurallar tek bir tanımdan çıkar: a > b, a − b > 0 demektir. İki ifadeyi karşılaştırmak için farklarının işaretine bak (作差法): örneğin x² + 3 − 2x = (x − 1)² + 2 > 0, dolayısıyla her x için x² + 3 > 2x’tir. İki tarafa aynı sayıyı eklemek ve pozitif bir sayıyla çarpmak eşitsizliğin yönünü korur; negatif bir sayıyla çarpmak ise yönünü değiştirir.

a > b, c > 0 ⇒ ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ ac < bc

burada:

a, beşitsizliğin iki tarafı
ciki tarafın çarpıldığı (ya da bölündüğü) sayı

Yönü değiştiren tek kural: negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek. İşareti bilinmeyen bir ifadeyle, örneğin x − 3 ile, hiç çarpılmaz.

Geçişme: a > b ve b > c ⇒ a > c.
Aynı yönlü eşitsizlikleri toplamak: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. Onları çıkarmak olmaz.
Pozitif taraflı eşitsizlikleri çarpmak: a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
Kuvvet ve kök (pozitif sayılar): a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ ve ⁿ√a > ⁿ√b.
Ters sayılar: a > b ve ab > 0 ⇒ 1/a < 1/b.

Örnek 1: işaret kuralı — üç kısa durum

1) −3x + 5 ≤ 11 eşitsizliğini çöz.
2) −2 < a < 1 ve 3 < b < 4. a − b’nin değer aralığını bul.
3) a > b ise ac² > bc² her zaman doğru mudur?

Çözümü göster

1) −3x ≤ 6; −3’e böl ve yönü değiştir: x ≥ −2.
2) −b’ye geç: −4 < −b < −3. Topla: −2 − 4 < a − b < 1 − 3, yani −6 < a − b < −2. Sınırları çıkarmak (−2 − 3 = −5, 1 − 4 = −3) yanlış (−5, −3) aralığını verir.
3) Hayır: c = 0 için iki taraf da 0’dır. Doğru olan ac² ≥ bc²’dir.

Örnek 2 (CSCA tarzı): özel değerler

a < b < 0. Hangi eşitsizlik doğrudur?
A) 1/a < 1/b B) a² < b² C) ab < b² D) b/a < a/b

Çözümü göster

a = −2, b = −1 al (特殊值法): 1/a = −1/2 > −1 = 1/b (A yanlış), a² = 4 > 1 = b² (B yanlış), ab = 2 > 1 = b² (C yanlış), b/a = 1/2 < 2 = a/b. Cevap D.
Genel sebep: b/a − a/b = (b² − a²)/(ab); burada ab > 0 ve |b| < |a| olduğu için b² < a²’dir. A seçeneği pozitif sayılardan kalan alışkanlığı tekrarlar; oysa aynı işaretli sayıların terslerini almak eşitsizliğin yönünü değiştirir.

İkinci dereceden eşitsizlikler ve parabol

ax² + bx + c ifadesinin değeri, y = ax² + bx + c parabolünün x noktasındaki yüksekliğidir. Yani “> 0” parabolün x ekseninin üstünde kaldığı yerleri, “< 0” ise altında kaldığı yerleri sorar. Cevabı iki bilgi belirler: kolların yönü (a’nın işareti) ve x₁, x₂ kökleri (çarpanlara ayırarak ya da D = b² − 4ac diskriminantıyla). Birinci dereceden eşitsizlik aynı resmin basit hâlidir: doğru, ekseni bir kez keser.

a > 0, D > 0, x₁ < x₂: ax² + bx + c > 0 ⇔ x < x₁ veya x > x₂; ax² + bx + c < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

burada:

ax²’nin katsayısı (a > 0 iken kollar yukarı)
x₁, x₂ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri
Ddiskriminant, D = b² − 4ac (判别式)

“Büyük — köklerin dışı, küçük — kökler arası” (a > 0 iken). a < 0 ise önce eşitsizliği −1 ile çarp ve yönünü değiştir.

a > 0	D > 0	D = 0 (x₀ = −b/(2a))	D < 0
ax² + bx + c > 0	x < x₁ veya x > x₂	x ≠ x₀	R
ax² + bx + c ≥ 0	x ≤ x₁ veya x ≥ x₂	R	R
ax² + bx + c < 0	x₁ < x < x₂	∅	∅
ax² + bx + c ≤ 0	x₁ ≤ x ≤ x₂	{x₀}	∅

a > 0 iken çözüm kümeleri. Onları parabolden oku: D = 0 iken parabol eksene teğettir, D < 0 iken eksene ulaşmaz.

1
a’yı pozitif yap
a < 0 ise iki tarafı −1 ile çarp ve yönü değiştir.
2
Kökleri bul
Çarpanlarına ayırabiliyorsan ayır; yoksa D = b² − 4ac ve x = (−b ± √D)/(2a) formüllerini kullan.
3
Parabolün taslağını çiz
Kollar yukarı, köklerden geçen parabol; D ≤ 0 ise eksene teğet mi yoksa hiç değmiyor mu, not et.
4
Cevabı oku ve yaz
“> 0” için eksenin üstü, “< 0” için altı; kökleri yalnızca ≥ ve ≤ iken dahil et; cevabı aralıklarla yaz.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Başlangıçta P = −x² + 14x − 40 gösterilir: eğri 4 ve 10 kökleri arasında eksenin üstündedir. c’yi azalt ve aralığın daraldığını izle; c = −49’da parabol eksene yalnızca teğet olur (D = 0).

Örnek 3: dört ikinci dereceden eşitsizlik

Çöz: 1) x² − 7x + 10 ≤ 0; 2) −x² + 14x − 40 > 0 (girişteki kâr); 3) 4x² − 4x + 1 > 0; 4) x² + 2x + 3 < 0.

Çözümü göster

1) (x − 2)(x − 5) ≤ 0 ⇒ [2, 5].
2) −1 ile çarp: x² − 14x + 40 < 0 ⇒ (x − 4)(x − 10) < 0 ⇒ (4, 10): kâr 4 < x < 10 iken pozitiftir.
3) (2x − 1)² > 0 ⇒ x = 1/2 dışındaki tüm x’ler: x ≠ 1/2.
4) D = 4 − 12 < 0 ve a > 0: parabol her zaman eksenin üstündedir, çözüm yoktur (∅).

İki parametre kalıbı sürekli karşına çıkar. Verilen çözüm kümesi kökleri ve a’nın işaretini söyler: ax² + bx + c > 0’ın çözüm kümesi (x₁, x₂) ise a < 0’dır, x₁ ve x₂ köklerdir; Vieta formüllerinden x₁ + x₂ = −b/a ve x₁x₂ = c/a olur. “Her x için doğrudur” (恒成立) koşulu parabolün eksenin hiçbir yerde altına (ya da üstüne) inmediğini söyler; ama önce a = 0 durumunu ayrıca kontrol et.

her x ∈ R için ax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0 ve D < 0 (veya a = b = 0, c > 0)

burada:

Ddiskriminant: D < 0 ise parabol ekseni kesmez
a = 0eşitsizlik birinci dereceden olur ve ayrıca kontrol edilir

“Her x için ≥ 0” ise D ≤ 0 (teğetlik serbest). “Her x için < 0” ise a < 0 ve D < 0.

Örnek 4 (CSCA tarzı): çözüm kümesi verilmiş

ax² + bx + 6 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−3, 2)’dir. 6x² + bx + a < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−1/3, 1/2) B) (−1/2, 1/3) C) (−∞, −1/3) ∪ (1/2, +∞) D) (−3, 2)

Çözümü göster

“> 0” kökler arasında sağlanıyorsa a < 0’dır; −3 ve 2 köklerdir: −b/a = −3 + 2 = −1, 6/a = (−3) · 2 = −6 ⇒ a = −1, b = −1.
6x² − x − 1 < 0 ⇒ (3x + 1)(2x − 1) < 0 ⇒ (−1/3, 1/2), cevap A.
B, b = +1 ile çıkar (işaret hatası); C, “>” için cevaptır; D eski kümeyi kopyalar.

Örnek 5: “her x için doğrudur”

1) kx² − kx + 1 > 0 her gerçek x için doğrudur. k’yı bul.
2) x² + mx + m + 3 ≥ 0 her x için doğrudur. m’yi bul.

Çözümü göster

1) k = 0: 1 > 0, doğru. k ≠ 0: k > 0 ve D = k² − 4k < 0 ⇒ 0 < k < 4. Birlikte: 0 ≤ k < 4. k = 0’ı unutmak en tipik hatadır.
2) a = 1 > 0, D = m² − 4(m + 3) = m² − 4m − 12 = (m − 6)(m + 2) ≤ 0 ⇒ −2 ≤ m ≤ 6. “≥” olduğu için D = 0 serbesttir.

Rasyonel ve mutlak değerli eşitsizlikler

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 ve g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 ve g(x) ≠ 0

burada:

f(x)pay
g(x)payda; sıfırları hiçbir zaman cevaba girmez

Bölüm ile çarpımın işareti aynıdır; bu yüzden kesirli eşitsizlik (分式不等式) çarpımla değiştirilir, sonra işaret tablosu yöntemi (穿针引线法, “iğneye iplik geçirmek”) uygulanır.

1
Bir tarafı sıfır yap
Her şeyi sola al ve tek bir kesir olarak yaz. Paydayla asla çarpma: işareti bilinmiyor.
2
Çarpanlara ayır
Payı ve paydayı (x − a) çarpanlarının çarpımı olarak yaz; her çarpanda x’in katsayısı pozitif olsun.
3
Sıfırları işaretle
Payın sıfırları: ≥ veya ≤ iken dolu nokta; paydanın sıfırları: her zaman boş nokta.
4
İşaretler sağdan
En sağda her çarpan pozitiftir, işaret +’dır. Sola doğru işaret her basit sıfırda değişir, çift katlı sıfırda (kare çarpanda) ise değişmez.
5
Aralıkları seç
> 0 için + aralıklarını, < 0 için − aralıklarını al; sonra uç noktaları ekle ya da çıkar.

Örnek 6: işaret tablosu — üç durum

Çöz: 1) (x − 2)/(x + 1) < 0; 2) (x + 3)(x − 1)(x − 4) ≥ 0; 3) (x − 1)²(x − 4) < 0.

Çözümü göster

1) Sıfırlar −1 ve 2 (ikisi de boş). Sağdan: +, −, +. “−” gerekiyor: (−1, 2).
2) Sıfırlar −3, 1, 4 (dolu). Sağdan: + (x > 4), (1, 4)’te −, (−3, 1)’de +, x < −3 için −. ≥ 0: [−3, 1] ∪ [4, +∞).
3) x = 1 çift katlı sıfırdır, işareti değiştirmez: x ≠ 1 için (x − 1)² > 0, yani x − 4 < 0 ve x ≠ 1 gerekir: (−∞, 1) ∪ (1, 4).

Örnek 7 (CSCA tarzı): paydayla çarpma

(2x + 1)/(x − 2) ≥ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−3, +∞) B) (−∞, −3] ∪ (2, +∞) C) (−∞, −3] ∪ [2, +∞) D) [−3, 2)

Çözümü göster

1’i sola al: (2x + 1 − x + 2)/(x − 2) = (x + 3)/(x − 2) ≥ 0. Sıfırlar: −3 (dolu), 2 (boş); sağdan +, −, +. Cevap (−∞, −3] ∪ (2, +∞), B.
A, x − 2 pozitifmiş gibi onunla çarpmaktan çıkar; C paydanın sıfır olduğu 2’yi dahil eder; D “−” aralığını alır.

|x| < a ⇔ −a < x < a; |x| > a ⇔ x < −a veya x > a (a > 0)

burada:

|x − c|sayı doğrusunda x ile c arasındaki uzaklık (绝对值, mutlak değer)
apozitif bir sayı: izin verilen uzaklık

|x − c| < a: x, c’den a’dan az uzaktadır; |x − c| > a: a’dan fazla uzaktadır. |f(x)| < a için −a < f(x) < a çift eşitsizliğini çöz.

Örnek 8: uzaklık olarak mutlak değer

Çöz: 1) |2x − 1| ≤ 5; 2) |x + 3| > 2; 3) |x − 1| + |x + 2| ≥ 5.

Çözümü göster

1) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ [−2, 3].
2) x + 3 < −2 veya x + 3 > 2 ⇒ (−∞, −5) ∪ (−1, +∞).
3) Bu, x’ten 1’e ve −2’ye olan uzaklıkların toplamıdır. −2 ile 1 arasında toplam 3’tür, dışarıda her birimde 2 artar. Toplam x = 2 ve x = −3’te 5 olur ⇒ (−∞, −3] ∪ [2, +∞).

Aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliği: hızlı en büyük ve en küçük değerler

(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)

burada:

(a + b)/2(a + b)/2aritmetik ortalama (算术平均数)
√(ab)geometrik ortalama (几何平均数)

Çin ders kitaplarındaki “temel eşitsizlik” (基本不等式), yani aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliği. (√a − √b)² ≥ 0’dan çıkar; eşitlik yalnızca a = b iken sağlanır. Çarpım sabitse toplamın en küçük değeri 2√(ab)’dir; toplam s sabitse çarpımın en büyük değeri (s/2)²’dir.

Örnek 9: sabit çarpım, sabit toplam ve çit

1) x > 0 için x + 16/x’in en küçük değerini bul.
2) x, y > 0 ve x + y = 10. xy’nin en büyük değerini bul.
3) Girişteki çiftçi: duvar boyunca 40 m çitle en fazla ne kadar alan çevrilebilir?

Çözümü göster

1) x + 16/x ≥ 2√16 = 8; eşitlik x = 16/x, yani x = 4 iken.
2) xy ≤ (10/2)² = 25, x = y = 5 iken.
3) Duvara paralel kenar x, diğer iki kenar y olsun: x + 2y = 40. S = xy = ½ · x · (2y) ≤ ½ · ((x + 2y)/2)² = ½ · 400 = 200 m²; eşitlik x = 2y = 20, yani x = 20 m, y = 10 m iken.

Örnek 10 (CSCA tarzı): 1 ile çarp

x > 0, y > 0 ve x + y = 1. 1/x + 4/y ifadesinin en küçük değeri nedir?
A) 4 B) 8 C) 9 D) 5

Çözümü göster

1 = x + y olduğundan: (1/x + 4/y)(x + y) = 1 + 4 + y/x + 4x/y ≥ 5 + 2√4 = 9; eşitlik y/x = 4x/y, yani y = 2x iken: x = 1/3, y = 2/3. Cevap C.
B (8), eşitsizliği iki kez ayrı ayrı kullanmaktan çıkar: 1/x + 4/y ≥ 4/√(xy) ve xy ≤ 1/4. Ama ilkinde eşitlik y = 4x, ikincisinde x = y gerektirir; ikisi aynı anda olamaz, bu yüzden 8’e ulaşılmaz.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Özellikler: “a < b < 0, hangisi doğru?” — a = −2, b = −1 gibi özel değerler koy ve seçenekleri ele; seçenek başına on saniye.
Eşitsizliği çöz (çoğu zaman bir küme sorusunun içinde): ikinci dereceden olanı köklerle, rasyoneli işaret tablosuyla, mutlak değerliyi uzaklıkla; uç noktaları en son kontrol et.
Çözüm kümesinden parametre: kökler + a’nın işareti + Vieta formülleri; katsayıları ters çevirmek kökleri terslerine çevirir.
Her x için doğrudur: a > 0 ve D < 0, ayrıca a = 0 durumu.
Türevsiz en büyük ve en küçük değer: sabit çarpım ya da toplam, çoğu zaman bir terimi böldükten veya 1 = x + y ile çarptıktan sonra; eşitliği her zaman kontrol et. Türevli yöntem «Türevin uygulamaları: monotonluk ve ekstremumlar» dersindedir.
Zaman kazandıran: seçenekler aralıksa, bazı seçeneklerde olup diğerlerinde olmayan bir değeri (örneğin x = 0 ya da bir uç noktayı) eşitsizlikte dene; çoğu zaman tek bir deneme tek seçenek bırakır.

Terim	中文	Pinyin
eşitsizlik — inequality	不等式	bùděngshì
çözüm kümesi — solution set	解集	jiějí
birinci dereceden eşitsizlik — linear inequality	一元一次不等式	yīyuán yīcì bùděngshì
ikinci dereceden eşitsizlik — quadratic inequality	一元二次不等式	yīyuán èrcì bùděngshì
diskriminant — discriminant	判别式	pànbiéshì
kök — root	根	gēn
rasyonel (kesirli) eşitsizlik — rational inequality	分式不等式	fēnshì bùděngshì
işaret tablosu yöntemi — interval method	穿针引线法	chuānzhēn yǐnxiàn fǎ
mutlak değer — absolute value	绝对值	juéduìzhí
her x için doğrudur — holds for every x	恒成立	héng chénglì
aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliği — AM–GM inequality	基本不等式	jīběn bùděngshì
aritmetik ortalama — arithmetic mean	算术平均数	suànshù píngjūnshù
geometrik ortalama — geometric mean	几何平均数	jǐhé píngjūnshù
en büyük / en küçük değer — maximum / minimum value	最大值 / 最小值	zuìdàzhí / zuìxiǎozhí
parametre — parameter	参数	cānshù

Test İngilizce ya da Çince verilir: terimleri iki dilde de tanı.

Önemli noktalar

a > b ⇔ a − b > 0; negatif sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü değiştirir; işareti bilinmeyen bir ifadeyle asla çarpma.
a > 0 iken: “> 0” köklerin dışında, “< 0” kökler arasında; D < 0 ise parabol ekseni kesmez.
Rasyonel eşitsizlik: f/g ≥ 0 ⇔ f · g ≥ 0, g ≠ 0; işaretler sağdan, çift katlı sıfırda işaret değişmez.
|x − c| < a ⇔ c − a < x < c + a; |x − c| > a ⇔ x < c − a veya x > c + a.
Çözüm kümesi verilmiş → kökler ve a’nın işareti; “her x için” → a > 0 ve D < 0 (a = 0’ı kontrol et).
a, b > 0 için a + b ≥ 2√(ab): sabit çarpım → en küçük toplam, sabit toplam → en büyük çarpım; pozitif, sabit, eşit.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Hangi işlem eşitsizliğin yönünü değiştirir?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla