- v, ω, T ve f arasında dönüşüm yapmak ve “kayışta aynı v, ortak milde aynı ω” kuralını uygulamak.
- Merkezcil ivmeyi bulmak ve merkezcil kuvveti hangi gerçek kuvvetin sağladığını belirlemek.
- Yatay çember problemlerini çözmek: düz ve eğimli viraj, konik sarkaç.
- Düşey çemberin tepesinde ip ve çubuk için en küçük hızı, tepe ve dip noktalarındaki kuvvetleri bulmak.
Çamaşır makinesinin tamburu dakikada 1200 devir yapar, bir otomobil göbekli kavşaktan geçer, bir çocuk su dolu kovayı başının üstünde çevirir ve tek damla dökülmez. Bunların hepsi çembersel harekettir ve hepsini tek bir formül — F = mv²/r — açıklar. CSCA müfredatında bu konu “Çembersel hareket ve evrensel çekim” satırının ilk yarısıdır: burada dönmenin kinematiği ve dinamiği var; gezegenler ve uydular “Evrensel çekim yasası ve uydular” dersinde. “Newton'un hareket yasaları ve uygulamaları” dersinden yalnızca F = ma gerekir; tek fark, ivmenin artık çemberin merkezine yönelmesidir.
Çembersel hareketi tanımlamak: v, ω, T, f; kayışlar ve ortak mil
Çember üzerinde sabit süratle hareket. Hız vektörü her an çembere teğettir ve yönü sürekli değişir; bu yüzden hız sabit değildir ve cismin ivmesi vardır (Çin ders kitaplarında 匀速圆周运动).
Açısal hız ω — yarıçapın 1 saniyede taradığı açı (radyan cinsinden), rad/s. Periyot T — bir tam turun süresi, s. Frekans f (dönme sayısı n) — saniyedeki tur sayısı, Hz = s⁻¹. Dakikadaki devir (dev/dk) önce 60’a bölünür.
- vçizgisel hız, m/s (teğet boyunca)
- ωaçısal hız, rad/s
- Tperiyot, s
- ffrekans, Hz (devir/s)
- ryarıçap (noktanın eksene uzaklığı), m
Bir turda nokta 2πr yol alır, yarıçap ise 2π rad döner; ikisi de T sürede olur. Buradan v = ωr çıkar.
1) Bir vantilatör kanadı dakikada 300 devir yapıyor. f, T ve ω’yı bul.
2) Kanadın ucu eksenden 0,4 m uzakta. Ucun çizgisel hızı nedir?
3) Bir saatin yelkovanı akrepten 1,5 kat uzun. Uçlarının hızlarının oranı nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) v = ωr = 10π · 0,4 = 4π m/s ≈ 12,6 m/s.
3) Yelkovanın periyodu 1 sa, akrebinki 12 sa; ω’ları 12 : 1 oranındadır. v = ωr ile: v₁ : v₂ = 12 · 1,5 : 1 = 18 : 1.
İki tekerlek bir kayış veya zincirle bağlıysa (ya da dişliler kaymadan birbirine değiyorsa) kayışın her noktası aynı hızla gider; bu yüzden tekerleklerin kenarlarının çizgisel hızı v aynıdır. Tek bir mil etrafında dönen katı bir cismin (disk, tekerlek ve onun küçük dişlisi) bütün noktalarının ise açısal hızı ω aynıdır.
- r₁, r₂tekerleklerin yarıçapları ya da noktaların eksene uzaklıkları; dişlilerde yarıçap diş sayısıyla orantılıdır
Kayışta küçük tekerlek daha hızlı döner; ortak milde eksene uzak olan nokta daha hızlı hareket eder.
1) Bir bisikletin pedal dişlisinde 48, arka dişlisinde 16 diş var. Aysel saniyede 1 tur pedal çeviriyor; arka tekerleğin yarıçapı 0,35 m. Bisikletin hızı nedir?
2) 20 dişli A dişlisi 60 dişli B dişlisiyle kavraşık. A dakikada 90 devir yapıyor. B dakikada kaç devir yapar?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Dişliler: aynı v, f₁r₁ = f₂r₂ ⇒ fB = 90 · 20/60 = 30 devir/dk. Büyük dişli daha yavaş döner.
A ve B tekerlekleri kaymayan bir kayışla bağlı, rB = 2r_A. C noktası B tekerleğinde, ekseninden rA uzaklıkta. A ve B’nin kenar noktalarıyla C noktasının merkezcil ivmelerinin oranı aA : aB : aC nedir?
A) 1 : 2 : 1 B) 4 : 2 : 1 C) 2 : 1 : 1 D) 2 : 2 : 1
Çözümü gösterÇözümü gizle
D çizgisel hızların, C açısal hızların oranıdır. A ise a = ω²r’yi üç noktaya aynı ω ile uygulayınca çıkar; oysa A tekerleği daha hızlı döner.
Merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet
Süratin büyüklüğü sabit kalsa da hızın yönü değişir. Kısa bir Δt süresinde hız vektörünün değişimi Δv çemberin merkezine yönelir; bu yüzden ivme de merkeze yönelir ve buna merkezcil ivme denir. Newton’un ikinci yasasına göre bu ivmeyi, cisme etki eden kuvvetlerin merkeze doğru bileşkesi oluşturur.
- amerkezcil ivme, m/s², her zaman merkeze doğru
- Fmerkezcil kuvvet — merkeze yönelen bileşke kuvvet, N
- mkütle, kg
a ve F’nin yönü her an değişir; bu yüzden düzgün çembersel hareket düzgün hızlanan hareket değildir. Kuvvet hıza dik olduğundan iş yapmaz ve kinetik enerji sabit kalır.
向心力)Yeni bir kuvvet türü değil, bir görevdir: onu ip gerilmesi, sürtünme, ağırlık, tepki kuvveti ya da bunların bileşkesi üstlenir. Kuvvet diyagramına ayrı bir ok olarak çizme; gerçek kuvvetleri çiz, sonra merkeze doğru toplamlarını mv²/r’ye eşitle.
1) Sürtünmesiz yatay bir masada 0,2 kg’lık bir disk 0,5 m’lik iple bir çiviye bağlı ve saniyede 2 tur atıyor. İvmeyi ve ip gerilmesini bul.
2) Bir bozuk para dönen tablanın merkezinden 0,1 m uzakta; statik sürtünme katsayısı μ = 0,4 (g = 10 m/s²). Para kaymadan tablanın en büyük açısal hızı ne olabilir?
3) Aynı yarıçapta hız 2 katına çıkıyor; aynı ω’da yarıçap 2 katına çıkıyor; aynı v’de yarıçap 2 katına çıkıyor. İvme her seferinde nasıl değişir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Merkeze doğru kuvvet statik sürtünmedir ve μmg’yi aşamaz: μmg = mω²r ⇒ ω² = μg/r = 4/0,1 = 40 ⇒ ω = 2√10 rad/s ≈ 6,3 rad/s. Kütle sadeleşir.
3) a = v²/r ⇒ 4 kat artar; a = ω²r ⇒ 2 kat artar; a = v²/r ⇒ 2 kat azalır.
Mevcut kuvvet gereken mv²/r’den küçükse cisim çemberden çıkar ve merkezden uzaklaşır; buna merkezkaç hareket (离心运动) denir. Çamaşır kurutma tamburu böyle çalışır: su damlasını kumaşta tutan kuvvet mω²r için yetmez ve damla teğet boyunca uçar. Onu dışarı iten bir “merkezkaç kuvvet” yoktur.
Yatay çemberler: viraj, eğimli yol, konik sarkaç
- 1Gerçek kuvvetleri çiz
Ağırlık mg, tepki kuvveti ya da ip gerilmesi, sürtünme — başka hiçbir şey.
- 2Çemberin merkezini bul
Merkez hareket düzlemindedir (asılma noktasında değil!); yarıçap cisimden dönme eksenine yatay uzaklıktır.
- 3Düşey doğrultu: ΣF = 0
Cisim yukarı-aşağı gitmez; düşey kuvvetler dengelenir.
- 4Merkeze doğru: ΣF = mv²/r
Yatay bileşenleri topla, mv²/r = mω²r’ye eşitle ve çöz.
- μstatik sürtünme katsayısı
- θyolun eğim açısı ya da ipin düşeyle açısı
- Lipin boyu, m
- hkoninin yüksekliği h = L cos θ — asılma noktasından çemberin düzlemine düşey uzaklık
Eğimli virajda ve konik sarkaçta mg ile tepki kuvvetinin (ip gerilmesinin) bileşkesi yataydır: F = mg tan θ, bu yüzden a = g tan θ.
1) Düz bir virajın yarıçapı 80 m, lastiklerle asfalt arasında μ = 0,5 (g = 10 m/s²). Araç kaymadan virajı en fazla hangi hızla alabilir?
2) Yarıçapı 120 m olan eğimli bir viraj sürtünme gerekmeden 30 m/s için tasarlanmış. Eğim açısı nedir? Araç daha hızlı giderse ne olur?
3) 0,1 kg’lık bir top 0,5 m’lik ipe asılı ve ip düşeyle 60° açı yaparak yatay bir çember çiziyor. ω’yı, periyodu ve ip gerilmesini bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) tan θ = v²/(gr) = 900/1200 = 0,75 ⇒ θ = 37°. Daha hızlı araç dışa kaymaya eğilimlidir, sürtünme eğim boyunca aşağı yönelir; daha yavaş araçta yukarı. Demiryolunda dış ray iç raydan yüksek döşenir (
外轨高于内轨); tasarım hızından hızlı giden trenin tekerlek flanşlarına dış ray içe doğru bastırır.3) h = L cos 60° = 0,25 m, ω = √(g/h) = √40 = 2√10 rad/s ≈ 6,3 rad/s, T = 2π/ω = π/√10 ≈ 1,0 s. Düşeyde: F cos θ = mg ⇒ F = mg/cos 60° = 2 N.
Kütleleri farklı iki top aynı noktadan farklı uzunlukta iplerle asılmış ve aynı yatay düzlemde çemberler çiziyor. Hangi nicelik iki top için aynıdır?
A) çizgisel hız B) açısal hız C) merkezcil ivme D) ip gerilmesi
Çözümü gösterÇözümü gizle
A: v = ωr ve yarıçaplar farklı. C: a = g tan θ ve açılar farklı. D: F = mg/cos θ hem kütleye hem açıya bağlıdır. Uzun ip “daha yavaş” görünür ama daha büyük bir çember çizer; tuzak budur.
Düşey çember: ip mi, çubuk mu?
Düşey çemberde ağırlık iş yapar; hız değişir ve hareket düzgün değildir. CSCA genellikle yalnızca en üst ve en alt noktaları sorar: orada bütün kuvvetler düşeydir ve merkeze doğru toplamları mv²/r’ye eşittir. İki noktadaki hızlar mekanik enerjinin korunumuyla bağlanır (“İş, güç ve enerji” dersi): valt² = vüst² + 4gr.
- Fipin, çubuğun ya da rayın cisme uyguladığı kuvvet; merkeze doğruysa pozitif
- rçemberin yarıçapı, m
İp yalnızca çeker: tepede F ≥ 0 olmalı, yani mg ≤ mv²/r. Çubuk hem çeker hem iter: top tepeden her v ≥ 0 hızıyla geçebilir; v = √(gr) iken çubuğun kuvveti sıfırdır.
| Model | Tepede en küçük hız | Tepedeki kuvvet |
|---|---|---|
| ip; ilmeğin iç yüzeyi | √(gr) | merkeze doğru (aşağı) çeker; v = √(gr) iken 0 |
| hafif çubuk; boru içinde top | 0 | v < √(gr): yukarı iter; v = √(gr): 0; v > √(gr): aşağı çeker |
| tümsek köprünün tepesinde araç | — (en büyük hız √(gr), daha hızlıysa yoldan kopar) | N = mg − mv²/r < mg |
0,5 kg’lık bir top 0,4 m’lik hafif bir çubuğa tutturulmuş ve düşey çemberde dönüyor. En üst noktada hızı 1 m/s (g = 10 m/s²). Çubuk orada topa hangi kuvveti uygular?
A) 3,75 N, aşağı çeker B) 6,25 N, aşağı çeker C) 3,75 N, yukarı iter D) 1,25 N, yukarı iter
Çözümü gösterÇözümü gizle
A: büyüklük doğru, yön yanlış (v < √(gr) = 2 m/s olduğundan çubuk iter). B: mg + mv²/r toplanmış. D: mv²/r çubuğun kuvveti sanılmış.
1) 0,2 kg’lık bir top 0,9 m’lik ipte düşey çember çiziyor. Tepede en küçük hız nedir? Bu durumda dipteki hız ve ip gerilmesi ne olur?
2) 1000 kg’lık bir araç yarıçapı 50 m olan tümsek bir köprünün tepesinden 10 m/s hızla geçiyor. Köprü araca hangi kuvveti uygular? Aynı yarıçaplı bir çukurun en alt noktasında, aynı hızda bu kuvvet ne olur?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Tepede: mg − N = mv²/r ⇒ N = 10 000 − 1000 · 100/50 = 8000 N; araç “hafifler” (
失重). √(gr) = √500 ≈ 22 m/s hızda N = 0 olur ve araç yoldan kopardı. Çukurda: N = mg + mv²/r = 12 000 N; araç “ağırlaşır” (超重).CSCA bu konuyu nasıl soruyor
CSCA fizik testinde 60 dakikada 48 soru var; her birine yaklaşık 75 saniye. Çembersel hareket soruları kısadır, 1–3 adımlıdır. Tipik soru türleri:
- dev/dk ya da periyot verilir ⇒ ω, v, a bulunur (önce birimleri çevir);
- kayış, dişli ve ortak mil: üç nokta için v, ω, T, a oranları;
- “merkezcil kuvveti hangi kuvvet sağlar?” ve düzgün çembersel hareketle ilgili “hangi ifade doğrudur?” soruları;
- düz viraj (μ), eğimli yol ve demiryolu virajı (dış/iç ray), konik sarkaç (aynı yükseklik);
- düşey çember: tepede en küçük hız (ip ya da çubuk), tepede/dipte kuvvet, tümsek ve çukur yol, çoğu zaman enerjiyle birlikte;
- merkezkaç hareket: kurutma tamburu, virajda dışa kayan araç.
| Terim (İngilizcesi) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| düzgün çembersel hareket — uniform circular motion | 匀速圆周运动 | yúnsù yuánzhōu yùndòng |
| çizgisel hız — linear speed | 线速度 | xiànsùdù |
| açısal hız — angular velocity | 角速度 | jiǎosùdù |
| periyot / frekans — period / frequency | 周期 / 频率 | zhōuqī / pínlǜ |
| dönme sayısı (devir/s) — rotational speed | 转速 | zhuànsù |
| merkezcil ivme — centripetal acceleration | 向心加速度 | xiàngxīn jiāsùdù |
| merkezcil kuvvet — centripetal force | 向心力 | xiàngxīnlì |
| merkezkaç hareket — centrifugal motion | 离心运动 | líxīn yùndòng |
| kayış aktarımı / ortak mil — belt drive / same axle | 皮带传动 / 同轴转动 | pídài chuándòng / tóngzhóu zhuàndòng |
| konik sarkaç — conical pendulum | 圆锥摆 | yuánzhuībǎi |
| tümsek (kemer) köprü — arch bridge | 拱形桥 | gǒngxíngqiáo |
| hafif ip / hafif çubuk — light string / light rod | 轻绳 / 轻杆 | qīngshéng / qīnggān |
| en üst / en alt nokta — highest / lowest point | 最高点 / 最低点 | zuìgāodiǎn / zuìdīdiǎn |
Önemli noktalar
- v = ωr, ω = 2π/T = 2πf; dev/dk’yı önce 60’a böl.
- Kayış, zincir ve kavraşık dişliler aynı v’yi, bir mildeki noktalar aynı ω’yı paylaşır.
- a = v²/r = ω²r merkeze yönelir; F = mv²/r gerçek kuvvetlerin bileşkesidir, ek bir kuvvet değildir.
- Düz viraj: vmax = √(μgr); eğimli viraj ve konik sarkaç: a = g tan θ; konik sarkaç: ω = √(g/h).
- Düşey çember: tepede F + mg = mv²/r, dipte F − mg = mv²/r; tepede en küçük hız ip için √(gr), çubuk için 0.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.
Konu testi: 20 soru · 25 dk
Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.