- Kepler’in üç yasasını söylemek ve aynı merkez etrafında dolanan cisimler için a³/T² = k’yı kullanmak.
- F = Gm₁m₂/r² ve GM = gR² ile yükseklikte g’yi, gezegenin kütlesini ve yoğunluğunu bulmak.
- Farklı dairesel yörüngelerdeki uyduları (v, ω, T, a) karşılaştırmak ve birinci kozmik hızı hesaplamak.
- Yer eşzamanlı uyduyu ve yörünge değişince hız ile periyodun nasıl değiştiğini açıklamak.
Çin’in Tiangong uzay istasyonu yaklaşık 400 km yükseklikte Dünya’nın çevresini aşağı yukarı bir buçuk saatte dolanır; BeiDou seyrüsefer sisteminin yer eşzamanlı uyduları ise ekvatorun tek bir noktasının üzerinde “asılı” durur gibidir. Hepsini aynı kuvvet, evrensel çekim tutar; fark yalnızca yörüngenin yarıçapındadır. Bu ders, CSCA müfredatındaki “Çembersel hareket ve evrensel çekim” satırının ikinci yarısıdır: “Çembersel hareket” dersindeki F = mv²/r’yi kütle çekimine uygulayacaksın.
Kepler yasaları
- Birinci yasa (yörüngeler): her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan bir elips üzerinde hareket eder.
- İkinci yasa (alanlar): Güneş’ten gezegene çizilen doğru eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. Bu yüzden gezegen günberide (
近日点) en hızlı, günötede (远日点) en yavaş hareket eder. - Üçüncü yasa (periyotlar): aynı merkezî cisim etrafında dolanan bütün cisimler için a³/T² oranı aynıdır.
- aelipsin büyük yarı ekseni (dairesel yörüngede yarıçap r), m
- Tdolanma periyodu, s
- kyalnızca merkezî cismin kütlesine bağlı sabit: k = GM/(4π²)
Yalnızca aynı merkez etrafında dolanan cisimleri karşılaştır: Güneş’in gezegenlerini kendi aralarında, Jüpiter’in uydularını kendi aralarında; Ay’ı Dünya ile asla.
1) Bir asteroidin yörüngesinin büyük yarı ekseni 4 AB (1 AB = Dünya yörüngesinin yarıçapı). Periyodu nedir?
2) Bir kuyruklu yıldızın periyodu 125 yıl. Yörüngesinin büyük yarı ekseni nedir?
3) Bir kuyruklu yıldızın Güneş’e en yakın ve en uzak uzaklıkları 1 : 3 oranında. Bu noktalardaki hızlarının oranı nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) a³ = T² = 125² ⇒ a = 125^(2/3) = 5² = 25 AB.
3) Büyük eksenin uçlarında hız yarıçapa diktir ve ikinci yasadan v₁r₁ = v₂r₂ ⇒ vyakın : vuzak = 3 : 1.
Newton’un evrensel çekim yasası
Herhangi iki cisim birbirini çeker. Newton’un üçüncü yasasına göre kuvvetler eşit ve zıt yönlüdür: Dünya Ay’ı hangi kuvvetle çekiyorsa Ay da Dünya’yı aynı kuvvetle çeker. Formül noktasal kütleler ve düzgün küreler için geçerlidir; kürelerde r merkezler arası uzaklıktır.
- Gevrensel çekim sabiti, 6,67 · 10⁻¹¹ N · m²/kg²
- m₁, m₂cisimlerin kütleleri, kg
- rmerkezler arası uzaklık, m
Kuvvet kütlelerin çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır: r iki katına çıkarsa F dört kat azalır.
1) Kütlelerden biri 3 katına, uzaklık ise 2 katına çıkıyor. F nasıl değişir?
2) 50’şer kg’lık iki öğrenci birbirinden 1 m uzakta duruyor. Aralarındaki çekim kuvvetini tahmin et.
3) Dünya’nın kütlesi Ay’ınkinin yaklaşık 81 katıdır. Birbirlerini çekme kuvvetleri ve ivmeleri nasıl karşılaştırılır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 50 · 50/1² ≈ 1,7 · 10⁻⁷ N; hissedilemeyecek kadar küçük. Çekim ancak gezegen ölçeğindeki kütlelerde belirgindir.
3) Kuvvetler eşittir (üçüncü yasa). a = F/m olduğundan Ay’ın ivmesi Dünya’nınkinin 81 katıdır.
Yüzeyde ve yükseklikte g; gezegenin kütlesi ve yoğunluğu
Gezegenin yüzeyinde cismin ağırlığı çekim kuvvetine eşittir (gezegenin dönmesini ihmal ediyoruz): mg = GMm/R². Buradan g = GM/R² ve CSCA’daki en yararlı eşitlik çıkar: GM = gR². Çin ders kitapları buna “altın yerine koyma” (黄金代换) der: problemde M ve G değil de g ve R verildiyse GM yerine gR² yaz.
- M, Rgezegenin kütlesi ve yarıçapı
- hyüzeyden yükseklik; merkezden uzaklık R + h’dir
- ghh yüksekliğinde serbest düşme ivmesi
g, merkezden uzaklığın karesiyle azalır: 2R’de g/4, 3R’de g/9.
1) Yüzeyde g = 10 m/s². h = 2R yüksekliğinde g nedir?
2) Bir cisim Dünya’da 900 N geliyor. h = R/2 yüksekliğinde ağırlığı nedir?
3) Bir gezegenin kütlesi Dünya’nınkinin 2 katı, yarıçapı da 2 katı. Yüzeyinde g nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Merkezden uzaklık 1,5R ⇒ ağırlık 1/1,5² = 4/9 ile çarpılır: 900 · 4/9 = 400 N.
3) g ~ M/R² ⇒ g′ = 10 · 2/2² = 5 m/s².
Bir uydunun kütlesi Dünya’nınkinin 1/81’i, yarıçapı Dünya’nınkinin 1/4’ü. Dünya’da g = 10 m/s². Uydunun yüzeyinde serbest düşme ivmesi yaklaşık nedir?
A) 2,0 m/s² B) 0,5 m/s² C) 0,12 m/s² D) 51 m/s²
Çözümü gösterÇözümü gizle
B yarıçapın karesini almamaktan (10 · 4/81), C yarıçapı unutmaktan (10/81), D oranı ters çevirmekten (10 · 81/16) gelir.
- r, Tuydunun (doğal ya da yapay) yörünge yarıçapı ve periyodu
- ρgezegenin ortalama yoğunluğu, kg/m³
Uydunun kendi kütlesi sadeleşir; bu yolla yalnızca merkezî cisim “tartılabilir”. Yüzeye yakın yörüngede yoğunluk için yalnızca T gerekir.
1) g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m, G = 6,67 · 10⁻¹¹ N · m²/kg². Dünya’nın kütlesini bul.
2) Bir sonda gezegenin yüzeyine çok yakın bir yörüngede T = 5,0 · 10³ s periyotla dolanıyor. Gezegenin ortalama yoğunluğu nedir (π ≈ 3,14)?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) ρ = 3π/(GT²) = 9,42/(6,67 · 10⁻¹¹ · 2,5 · 10⁷) ≈ 9,42/(1,67 · 10⁻³) ≈ 5,7 · 10³ kg/m³; yaklaşık Dünya’nın yoğunluğu kadar.
Uydular: yörüngeler, kozmik hızlar, yer eşzamanlı uydu
Dairesel yörüngede uyduya yalnızca kütle çekimi etki eder ve merkezcil kuvvet görevini o üstlenir: GMm/r² = mv²/r = mω²r = m · 4π²r/T² = ma. Her eşitlik bir formül verir ve uydunun kütlesi m hepsinde sadeleşir. Uydudaki astronot ağırlıksızlık (完全失重) hisseder, çünkü o da istasyon da aynı ivmeyle “düşer”.
- ryörünge yarıçapı r = R + h (gezegenin merkezinden)
- Mmerkezî cismin kütlesi (GM = gR²)
Yörünge ne kadar yüksekse v, ω ve a o kadar küçük, T o kadar büyüktür.
1) İki uydunun yörünge yarıçapları 1 : 4 oranında. v, ω, T ve a nasıl oranlanır?
2) Bir uydu h = R yüksekliğinde dolanıyor. Hızı, yüzeye yakın yörüngedeki uydununkinden kaç kat küçüktür?
3) Yüzeye yakın yörüngenin periyodunu bul (g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m, π ≈ 3,14).
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) r = 2R ⇒ v = √(GM/2R) = v₁/√2; √2 kat küçük (≈ 5,6 km/s).
3) T = 2π√(R/g) = 2π√(6,4 · 10⁵) = 2π · 800 ≈ 5,0 · 10³ s ≈ 84 dk; bir Dünya uydusunun olabilecek en kısa periyodu.
A ve B uyduları Dünya çevresinde dairesel yörüngelerde dolanıyor, rA < rB. Hangi ifade doğrudur?
A) vA < vB B) TA > TB C) aA > aB D) ωA < ωB
Çözümü gösterÇözümü gizle
A ve D “büyük yörünge — büyük hız” hatasından (ω sabitmiş gibi v = ωr kullanmaktan) gelir; B ise T ~ r^(3/2) ilişkisini ters çevirir.
第一宇宙速度)Gezegenin yüzeyine çok yakın (r ≈ R) dairesel yörüngedeki hız. Dünya için ≈ 7,9 km/s. Bir uyduyu fırlatmak için gereken en küçük hız ve dairesel yörüngelerdeki en büyük hızdır. İkinci kozmik hız (11,2 km/s) Dünya’nın çekiminden, üçüncüsü (16,7 km/s) Güneş sisteminden kurtulmak içindir.
- Rgezegenin yarıçapı, m
- ggezegen yüzeyindeki serbest düşme ivmesi
mg = mv²/R ⇒ v₁ = √(gR): yüzeyde merkezcil kuvveti ağırlık sağlar.
1) g = 10 m/s², R = 6,4 · 10⁶ m. Dünya için v₁’i bul.
2) Bir gezegenin yarıçapı 3,6 · 10⁶ m, yüzeyinde g = 2,5 m/s². Birinci kozmik hızı nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) v₁ = √(2,5 · 3,6 · 10⁶) = √(9 · 10⁶) = 3,0 · 10³ m/s.
地球同步卫星)Ekvator düzleminde, Dünya’nın dönme yönünde ve Dünya’nın dönme periyoduyla (≈ 24 sa) dolanan uydu; bu yüzden hep ekvatorun aynı noktasının üzerinde kalır. T belli olduğu için r de bellidir: bütün yer eşzamanlı uydular aynı yörüngededir — r ≈ 4,2 · 10⁴ km ≈ 6,6R (yükseklik ≈ 3,6 · 10⁴ km), v ≈ 3,1 km/s. Kütleleri ise farklı olabilir.
Yörünge değiştirme. Daha yüksek bir yörüngeye geçmek için uzay aracı motorunu çalıştırıp hızlanır: artık mv²/r çekim kuvvetinden büyüktür ve araç eliptik bir geçiş yörüngesiyle yükselir. En uzak noktada yeniden hızlanıp yeni dairesel yörüngeye girer; orada hızı öncekinden küçük, periyodu uzun olur. Alçalmak için yavaşlar. Belli bir noktada ivme a = GM/r² aracın hangi yörüngede olduğuna bağlı değildir, hız ise bağlıdır. İstasyona kenetlenecek araç daha alçak bir yörüngeden başlayıp hızlanır; istasyonun kendi yörüngesinde hızlansaydı yükselir ve geride kalırdı.
Bir uydu P noktasında 1 numaralı dairesel yörüngeden 2 numaralı eliptik yörüngeye, sonra Q noktasında 3 numaralı dairesel yörüngeye geçiyor (r₃ > r₁; P, 2 numaralı yörüngenin en yakın, Q en uzak noktası). Hangi ifade doğrudur?
A) Q noktasında 2. yörüngedeki ivme 3. yörüngedekinden küçüktür.
B) 3. yörüngedeki hız 1. yörüngedekinden büyüktür.
C) P noktasında 2. yörüngedeki hız 1. yörüngedekinden büyüktür.
D) 2. yörüngedeki periyot 3. yörüngedekinden uzundur.
Çözümü gösterÇözümü gizle
A: aynı noktada a = GM/r² aynıdır. B: yüksek yörüngede hız küçüktür. D: elipsin büyük yarı ekseni r₃’ten küçüktür; Kepler’in üçüncü yasasına göre periyodu da kısadır.
CSCA bu konuyu nasıl soruyor
CSCA’da çekim soruları genellikle iki adımlıdır: bir denklem (GMm/r² = …) ve bir oran. Her soruya yaklaşık 75 saniye düşer. Tipik soru türleri:
- Kepler yasaları: elips ve odak, günberi/günötede hız, a³/T² = k ile periyot ya da yarıçap;
- uzaklık ya da kütle değişince F nasıl değişir; G’yi kim ölçtü (Cavendish);
- yükseklikte g, başka gezegende g, gezegenin kütlesi ve yoğunluğu (GM = gR², ρ = 3π/(GT²));
- iki uydunun karşılaştırılması (v, ω, T, a) — çoğu zaman bir tablo ya da grafikten;
- birinci kozmik hız, yer eşzamanlı uydularla ilgili “hangi ifade doğrudur?”, yörünge değiştirme ve kenetlenme.
| Terim (İngilizcesi) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| evrensel çekim — universal gravitation | 万有引力 | wànyǒu yǐnlì |
| evrensel çekim sabiti — gravitational constant | 引力常量 | yǐnlì chángliàng |
| Kepler yasaları — Kepler’s laws | 开普勒定律 | Kāipǔlè dìnglǜ |
| elips / odak — ellipse / focus | 椭圆 / 焦点 | tuǒyuán / jiāodiǎn |
| büyük yarı eksen — semi-major axis | 半长轴 | bàn chángzhóu |
| günberi / günöte — perihelion / aphelion | 近日点 / 远日点 | jìnrìdiǎn / yuǎnrìdiǎn |
| uydu / yörünge — satellite / orbit | 卫星 / 轨道 | wèixīng / guǐdào |
| birinci kozmik hız — first cosmic velocity | 第一宇宙速度 | dì-yī yǔzhòu sùdù |
| yer eşzamanlı uydu — geostationary satellite | 地球同步卫星 | dìqiú tóngbù wèixīng |
| ağırlıksızlık — weightlessness | 完全失重 | wánquán shīzhòng |
| yoğunluk — density | 密度 | mìdù |
| burulma terazisi — torsion balance | 扭秤 | niǔchèng |
| yörünge değiştirme — changing orbit | 变轨 | biànguǐ |
Önemli noktalar
- Kepler: elipsler, eşit alanlar (günberide en hızlı), tek merkezî cisim için a³/T² = k.
- F = Gm₁m₂/r², r merkezler arasıdır; G’yi Cavendish ölçtü.
- g = GM/R², GM = gR²; yükseklikte gh = gR²/(R + h)².
- Kütle: M = 4π²r³/(GT²); yüzeye yakın yörüngede ρ = 3π/(GT²).
- Uydu: v = √(GM/r), T = 2π√(r³/GM); yüksek yörünge — küçük v, ω, a, uzun T; v₁ = √(gR) ≈ 7,9 km/s.
- Yer eşzamanlı: ekvator üzerinde, T = 24 sa, hepsi aynı yarıçapta; yükselmek için araç hızlanır, ama yeni yörüngede hızı daha küçüktür.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.
Konu testi: 20 soru · 25 dk
Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.