Формулы и лайфхаки

Эти четыре единицы — основа остальных: электрические единицы начинаются с джоуля и ватта.

Вольт получается двумя путями — джоуль на кулон или ватт на ампер — с одним результатом.

Все магнитные единицы следуют из силы Ампера и закона электромагнитной индукции: зная вебер, легко получить теслу и генри.

Отсюда s = v · t и t = s / v.

Если vₓ и aₓ одного знака, модуль скорости растёт; если знаки разные — тело тормозит. Значит, «отрицательное ускорение» не всегда означает торможение!

Уравнение координаты равноускоренного движения. Перемещение sₓ = x − x₀ = v₀ₓt + aₓt²/2; если тело не поворачивает назад, это и путь.

Средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей — только при равноускоренном движении!

Другая запись: v² − v₀² = 2as. Тормозной путь: s = v₀² / (2|a|).

Получается из разности sₙ = s(n) − s(n − 1).

Наклон графика x–t — проекция скорости: чем круче прямая, тем больше модуль скорости; если прямая идёт вниз, vₓ < 0.

Наклон графика vₓ–t — проекция ускорения.

Площадь трапеции под vₓ–t. При равномерном движении это прямоугольник: sₓ = vₓ · t. Точно так же прямоугольник под aₓ–t даёт Δvₓ = aₓ · t.

Уравнение координаты при равноускоренном движении; его график — парабола, ветви которой при aₓ < 0 направлены вниз. Подробно формула разобрана в уроке «Ускорение и равноускоренное движение».

Соединение пружин. Если разрезать пружину на n равных частей, жёсткость каждой части равна n · k.

Получаются из a = μg и формул равнозамедленного движения.

Сила тяжести и её зависимость от высоты.

При v = √(g · R) на вершине выпуклого моста P = 0 — невесомость.

Формулы свободного падения (v₀ = 0).

Уравнения движения тела, брошенного вертикально вверх.

Симметрия: тело возвращается со скоростью v₀.

Горизонтальный бросок: время полёта не зависит от v₀. Скорость при падении v = √(v₀² + (gt)²).

Дальность наибольшая при 45°; углы, дающие в сумме 90° (30° и 60°), дают одинаковую дальность.

Вторая формула следует из первой: F_A = P − P_ж = ρ_ж g V и P = ρ_т g V; при делении g и V сокращаются.

Архимедова сила, действующая на плавающее тело, всегда равна его силе тяжести и не зависит от плотности жидкости: в более плотной жидкости тело погружается меньше, в менее плотной — больше.

N — мощность, в ваттах (Вт); A — работа, в Дж

Правило моментов: рычаг находится в равновесии, если сумма моментов, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов против часовой стрелки. Силы обратно пропорциональны плечам. Если дан вес самого рычага, он приложен в центре тяжести (у однородного рычага — в середине).

Это и есть правило моментов: относительно центра тяжести сумма моментов сил тяжести равна нулю, поэтому система, подпёртая в этой точке, остаётся в равновесии.

Трение и вес верёвки не учитываются. Система блоков (полиспаст) даёт выигрыш в силе в n раз, но конец верёвки проходит в n раз больший путь.

«Золотое правило» для идеальной (без трения) наклонной плоскости: работа F · l равна работе P · h, нужной для прямого подъёма груза. Чем длиннее (положе) плоскость, тем меньше сила.

Всегда η < 100 %: «золотое правило» выполняется только для идеального механизма. При той же полезной работе чем меньше КПД, тем большая сила нужна.

Силу тока измеряют амперметром, который включают в цепь последовательно.

Отсюда U = I · R и R = U / I.

Магнитная проницаемость показывает, во сколько раз вещество усиливает (или ослабляет) поле.

1 Тл = 1 Н / (А · м). Индукция магнитного поля Земли около 5 · 10⁻⁵ Тл, медицинского томографа (МРТ) — 1,5–3 Тл. B не зависит от проводника и тока: при большем токе растёт F_max, а B остаётся прежней.

Период не зависит ни от скорости, ни от радиуса: быстрая частица описывает большую окружность, но обходит её за то же время. Частота ν = 1 / T = |q| · B / (2π · m).

Для ионов с одинаковым зарядом R ~ √m: ион в 4 раза тяжелее описывает окружность вдвое большего радиуса.

ν — частота, в Гц

Для воды n ≈ 1,33, для стекла ≈ 1,5, для алмаза ≈ 2,42

D — оптическая сила, в дптр; F — фокусное расстояние, в метрах. У рассеивающей линзы F и D отрицательны.

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно упругий центральный удар, второе тело покоится

Вызывающая его сила F = m · v² / R — не особый вид силы, а равнодействующая сил трения, натяжения, тяготения и т. п.

Для круговой орбиты следует из T = 2πr / v и v² = G · M / r.

Количество вещества. Отсюда число молекул N = (m / M) · N_A.

Масса одной молекулы. Объём, приходящийся на одну молекулу, V₀ = V / N, а размер молекулы оценивают как d ≈ ∛V₀.

Основное уравнение МКТ идеального газа. Так как n · m₀ = ρ, его можно записать и так: p = (1/3) · ρ · v².

Средняя кинетическая энергия молекулы любого идеального газа зависит только от температуры. При одинаковых p и T концентрация всех газов одинакова.

Скорость растёт как √T и убывает как √M: при одной температуре лёгкие молекулы быстрее.

Уравнение Менделеева — Клапейрона. Из него плотность газа: ρ = m / V = p · M / (R · T).

Уравнение Клапейрона (объединённый газовый закон), m = const.

Законы трёх изопроцессов (m = const).

η_max — КПД идеальной машины (цикла Карно); никакой реальный двигатель не может его превзойти.

Уравнение Менделеева — Клапейрона для пара; у насыщенного пара p = p_н, ρ = ρ_н. Закон Бойля — Мариотта к насыщенному пару применять нельзя: при сжатии меняется его масса.

Относительная влажность. Комфортная для человека влажность — около 40–60 %.

Относительное удлинение и механическое напряжение — сила упругости на единицу площади сечения.

Жёсткость зависит от материала, сечения и длины, но не от приложенной силы.

Площадь треугольника под графиком F(Δl). Если дана сила, удобнее форма F² / (2k).

При полном смачивании сила поверхностного натяжения σ · 2πr удерживает вес столба ρgπr²h. h обратно пропорциональна радиусу.

Только для одинаковых по размеру и форме проводящих шариков. Не забывайте знаки: +8 и −2 → (8 − 2) / 2 = +3.

Для точечных зарядов (тел, размеры которых много меньше расстояния). По третьему закону Ньютона F₁₂ = F₂₁ — даже разные заряды действуют друг на друга с одинаковой силой.

Напряжённость — вектор: она направлена от положительного заряда и к отрицательному. На заряд q в поле действует сила F = q · E; сила, действующая на отрицательный заряд (электрон), направлена против E.

Когда поле совершает положительную работу, потенциальная энергия уменьшается. Для одноимённых зарядов Wp > 0 (чтобы их сблизить, внешняя сила должна совершить работу), для разноимённых Wp < 0. Нулевой уровень — на бесконечности.

На бесконечности φ = 0. В поле положительного заряда потенциал положителен и растёт при приближении к заряду, в поле отрицательного — отрицателен. φ ~ 1/r, а напряжённость E ~ 1/r²: при увеличении расстояния в 2 раза потенциал уменьшается в 2 раза, напряжённость — в 4 раза. Для одной и той же точки |φ| = E · r.

Потенциал отрицательного заряда берут со знаком минус. В точке, где потенциал равен нулю, напряжённость может быть не равна нулю, и наоборот — см. пример 4.

1 В — напряжение между двумя точками, при котором поле, перемещая заряд 1 Кл, совершает работу 1 Дж. Свободный положительный заряд движется в поле от большего потенциала к меньшему, отрицательный (электрон) — от меньшего к большему; в обоих случаях поле совершает положительную работу.

Только для однородного поля. Напряжённость направлена в сторону убывания потенциала. Применение формулы в конденсаторе — в уроке «Электроёмкость и конденсаторы».

Для заряженного проводящего шара в воздухе. Вне шара поле такое, как будто весь заряд сосредоточен в центре. Внутри E = 0, а потенциал такой же, как на поверхности. Напряжённость наибольшая у самой поверхности: E = k · q / R².

Для вакуума ε = 1, для воздуха ≈ 1, для керосина и парафина ≈ 2, для стекла ≈ 7, для воды 81. В диэлектрике напряжённость и потенциал поля точечного заряда, а также сила взаимодействия зарядов в ε раз меньше, чем в вакууме.

Скорость пропорциональна √U: при увеличении напряжения в 4 раза скорость растёт в 2 раза, а кинетическая энергия — в 4 раза. Если поле тормозит частицу, останавливающее напряжение равно U = m · v₀² / (2 · |q|).

Частица, влетевшая посередине между пластинами, не заденет их, если y < d / 2. На вылете составляющая скорости, перпендикулярная пластинам, равна a · t, а угол отклонения скорости находят из tg β = a · t / v₀.

1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — очень большая единица, поэтому используют мкФ (10⁻⁶ Ф), нФ (10⁻⁹ Ф) и пФ (10⁻¹² Ф). Ёмкость не зависит ни от заряда, ни от напряжения: при росте q во столько же раз растёт U, а отношение не меняется.

Ёмкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади обкладок и обратно пропорциональна расстоянию между ними; она зависит только от геометрии и диэлектрика.

Для двух последовательных конденсаторов C = C₁ · C₂ / (C₁ + C₂) — «произведение на сумму».

Три формы — одна и та же формула (подставьте q = C · U). Выбор зависит от того, что постоянно: если U = const, удобна C · U² / 2, если q = const — q² / (2C).

Плотность энергии растёт как квадрат напряжённости: при усилении поля в 2 раза энергия каждого кубометра растёт в 4 раза.

Закон Ома для полной цепи. При R = 0 получается ток короткого замыкания I = ℰ / r.

Электросчётчик измеряет энергию в киловатт-часах: 1 кВт · ч = 3,6 · 10⁶ Дж.

В последовательной цепи напряжение делится пропорционально сопротивлениям: U₂ / U₁ = Rₜ / R. Элемент, у которого сопротивление уменьшилось, получает меньшую долю напряжения.

Знак минус выражает правило Ленца: индукционный ток своим магнитным полем препятствует изменению потока, которое его вызвало.

Заряд не зависит от того, насколько быстро меняется поток: если быстро вдвинуть магнит, ток больше, но время меньше — через гальванометр проходит тот же заряд. Если Φ задан как полный поток через все витки, N отдельно не пишут: q = ΔΦ / R.

Для длинной катушки (соленоида). Индуктивность растёт как квадрат числа витков, а железный сердечник увеличивает её в сотни раз.

Знак минус — правило Ленца: при росте тока (ΔI > 0) ЭДС направлена против источника, при убывании — по току. Отсюда второе определение: 1 Гн — индуктивность контура, в котором при равномерном изменении тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС 1 В.

Формула похожа на кинетическую энергию mv²/2: индуктивность играет роль «электрической массы», ток — роль «скорости». Её пара для конденсатора — W_E = CU²/2 (см. «Электроёмкость и конденсаторы»).

Плотность энергии пропорциональна B²: при вдвое более сильном поле в каждом кубометре в 4 раза больше энергии.

√2 ≈ 1,41, 1/√2 ≈ 0,71. В сети U = 220 В, значит, U_m = 220 · √2 ≈ 311 В.

С ростом ν X_L растёт прямо пропорционально, а X_C убывает обратно пропорционально; R от частоты не зависит.

Если в цепи только резистор, Z = R, только катушка — Z = X_L, только конденсатор — Z = X_C. При X_L = X_C Z = R наименьшее, а ток наибольший — это резонанс (см. «Электромагнитные колебания и волны»).

Мощность выделяется только на активном сопротивлении. В цепи только с резистором cos φ = 1 и P = U · I; у идеальной катушки или конденсатора cos φ = 0 и P = 0.

Трансформатор работает только на переменном токе: постоянный ток создаёт неизменный поток, и во вторичной обмотке ЭДС не возникает.

У мощных трансформаторов КПД достигает 99 %. В идеальном трансформаторе (η = 1) U₁I₁ = U₂I₂, то есть I₁ / I₂ = N₂ / N₁: во сколько раз он повышает напряжение, во столько же раз понижает ток.

Повышение напряжения в n раз уменьшает потери в n² раз. Поэтому на станции повышающий трансформатор увеличивает напряжение, а вблизи потребителей понижающие трансформаторы снова его уменьшают.

В идеальном контуре (без сопротивления) полная энергия сохраняется. Поэтому график W_M(W_E) — прямая W_M = W − W_E: она отсекает на обеих осях одинаковые отрезки W. Так как q_m = C · U_m, можно писать и W = C · U_m² / 2.

Формула Томсона: период определяется только L и C и не зависит от амплитуды заряда. Заряд меняется по закону q = q_m · cos ωt, ток — по закону i = −I_m · sin ωt; I_m = ω · q_m, U_m = q_m / C. Ток достигает максимума на четверть периода позже заряда.

При переходе волны в другую среду частота не меняется, меняются скорость и длина волны. Длина волны, которую излучает (или принимает) контур: λ = c · T = 2πc · √(L · C).

Радиолокация основана на отражении радиоволн. Локатор посылает короткие импульсы; следующий импульс нужно посылать после возвращения отражённого сигнала.

При удалении от точечного источника энергия распределяется по сфере площадью 4πr²: при увеличении расстояния в 2 раза интенсивность уменьшается в 4 раза. Интенсивность излучения пропорциональна четвёртой степени частоты — поэтому для радиосвязи нужны высокочастотные несущие волны.

В проекциях: vₓ = dx/dt, a_x = dvₓ/dt = d²x/dt² и т. д.; модуль скорости |v| = √(vₓ² + v_y² + v_z²).

Уравнение траектории: выразите t из x = v₀ cos θ · t и подставьте в y(t) — получится парабола.

T находят из y(t) = 0, H — из условия v_y = 0, а L = vₓ · T.

Если момент внешних сил равен нулю, L = const: I₁ω₁ = I₂ω₂.

Ответ не зависит ни от массы, ни от радиуса — только от формы (k).

Скорость v = −Aω₀ sin(ω₀t + φ₀), ускорение a = −ω₀²x; полная энергия E = kA²/2 постоянна.

Максимум — при ω_рез = √(ω₀² − 2β²) ≈ ω₀; при слабом затухании A_max ≈ F₀ / (2mβω₀), что в Q раз больше статического смещения.

I. Теорема Гаусса: заряды — источники электрического поля.

III. Закон Фарадея: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

IV. Закон Ампера — Максвелла: токи и переменное электрическое поле порождают вихревое магнитное поле.

Интенсивность волны: I = c · ε₀ · E₀² / 2 (Вт/м²).

Сокращается только размер вдоль направления движения; поперечные размеры не меняются.

При v ≪ c переходят в преобразования Галилея: x′ = x − vt, t′ = t, u = u′ + v.

В атомной физике энергию измеряют в электронвольтах: 1 эВ = 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж.

Каждый элемент испускает только фотоны, соответствующие разностям его уровней, — это его спектральный «отпечаток пальцев».

Среднее время жизни τ = 1/λ = T / ln 2 ≈ 1,44 T.