Fırlanma hərəkətinin dinamikası

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Qüvvə momentini və müxtəlif cisimlərin ətalət momentini hesablamaq
Fırlanma dinamikasının əsas tənliyini sistemlərə tətbiq etmək
İmpuls momentinin saxlanması qanunundan istifadə etmək
Diyirlənən cisimlərin sürətini və təcilini tapmaq

Qapını niyə dəstəyindən itələmək asandır, menteşənin yanından isə çətin? Fiqurlu konkisürən qollarını bədəninə sıxanda niyə daha sürətlə fırlanır? Eyni maili müstəvidən buraxılan bərk kürə və halqa niyə müxtəlif vaxtda aşağı çatır? Bu sualların cavabını bərk cismin fırlanma dinamikası verir.

Qüvvə momenti və ətalət momenti

M = r × F, |M| = r · F · sin φ = F · d

burada:

Mqüvvə momenti (vektor, fırlanma oxu boyunca), N · m
roxdan qüvvənin tətbiq nöqtəsinə çəkilmiş radius-vektor, m
dqüvvə qolu — oxdan qüvvənin təsir xəttinə qədər ən qısa məsafə, m

İrəliləmə hərəkətində ətalətin ölçüsü kütlədirsə, fırlanmada bu rolu ətalət momenti oynayır. O, yalnız kütlədən deyil, kütlənin oxa nəzərən necə paylandığından asılıdır: I = ∑ mᵢ rᵢ² = ∫ r² dm. Məsələn, uzunluğu L olan nazik çubuq üçün ortasından keçən oxa nəzərən dm = (m/L) dx: I = ∫ x² (m/L) dx (−L/2-dən L/2-yə) = mL²/12.

Cisim (ox)	Ətalət momenti
Nazik halqa, boş silindr (simmetriya oxu)	mR²
Bərk silindr, disk (simmetriya oxu)	mR²/2
Bərk kürə (mərkəzdən keçən ox)	2mR²/5
Nazik divarlı kürə (mərkəzdən keçən ox)	2mR²/3
Nazik çubuq (ortasından)	mL²/12
Nazik çubuq (ucundan)	mL²/3

I = I_c + m · a²

burada:

I_ckütlə mərkəzindən keçən paralel oxa nəzərən ətalət momenti, kq · m²
aoxlar arasındakı məsafə, m

Ştayner teoremi. Yoxlama: çubuq üçün mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 — cədvəldəki ikinci qiymət.

Fırlanma dinamikasının əsas tənliyi

Oxdan rᵢ məsafədə olan mᵢ nöqtəsinə tangensial qüvvə Fᵢ təsir etsin. Onda Fᵢ = mᵢ · aᵢ = mᵢ · rᵢ · ε; hər iki tərəfi rᵢ-yə vursaq, Mᵢ = mᵢ rᵢ² · ε alınır. Bütün nöqtələr üzrə toplasaq (daxili qüvvələrin momentləri qarşılıqlı ixtisar olunur), M = I · ε alınır.

M = I · ε, ε = dω/dtM = I · ε, ε = dω/dt

burada:

Iətalət momenti, kq · m²
εbucaq təcili, rad/s²
ωbucaq sürəti, rad/s

Nümunə 1: quyudan vedrə

Kütləsi 5 kq olan vedrə kütləsi 10 kq, radiusu 0,2 m olan bərk silindrik vala sarınmış ipdən asılıb. Val sürtünməsiz fırlanır, vedrə buraxılır. Vedrənin təcilini, ipin gərilməsini və valın bucaq təcilini tap (g = 9,8 m/s²).

Həllini göstər

Vedrə üçün: mg − T = ma.
Val üçün: T · R = I · ε = (MR²/2) · (a/R) → T = Ma/2.
Toplasaq: mg = (m + M/2) · a → a = 5 · 9,8 / (5 + 5) = 4,9 m/s².
T = 10 · 4,9 / 2 = 24,5 N, ε = a / R = 24,5 rad/s².
Yoxlama: M → 0 olanda a → g (sərbəst düşmə), M → ∞ olanda a → 0.

A = ∫ M dφ, N = M · ω, E = I · ω² / 2A = ∫ M dφ, N = M · ω, E = I · ω² / 2

burada:

Aqüvvə momentinin fırlanma zamanı gördüyü iş, C
Ngüc, Vt
Efırlanma hərəkətinin kinetik enerjisi, C

Nümunə 2: mühərrikin gücü

Avtomobil mühərriki dəqiqədə 3000 dövrdə 200 N · m fırlanma momenti yaradır. Onun gücünü tap.

Həllini göstər

Əvvəlcə bucaq sürətini rad/s-yə çeviririk: ω = 2π · 3000 / 60 = 100π ≈ 314 rad/s.
N = M · ω = 200 · 314 ≈ 62,8 kVt.

İmpuls momenti və onun saxlanması

L = r × p = I · ω, dL/dt = ML = r × p = I · ω, dL/dt = M

burada:

Limpuls momenti, kq · m²/s

Xarici qüvvələrin momenti sıfırdırsa, L = const: I₁ω₁ = I₂ω₂.

Nümunə 3: fırlanan konkisürən

Qolları açıq konkisürənin ətalət momenti 3,5 kq · m²-dir və o, saniyədə 1 dövr edir. Qollarını sıxanda ətalət momenti 1,0 kq · m²-ə enir. Yeni fırlanma tezliyini tap. Kinetik enerji necə dəyişir?

Həllini göstər

Buz üzərində oxa nəzərən xarici moment demək olar ki, sıfırdır, L saxlanır.
ν₂ = ν₁ · I₁ / I₂ = 1 · 3,5 / 1,0 = 3,5 dövr/s.
ω₁ = 2π rad/s: E₁ = 3,5 · (2π)² / 2 ≈ 69 C; ω₂ = 7π rad/s: E₂ = 1,0 · (7π)² / 2 ≈ 242 C.
Enerji 3,5 dəfə artır — bu, konkisürənin qollarını içəri çəkərkən əzələlərinin gördüyü işdir. İmpuls momenti saxlanır, kinetik enerji isə yox.

Sürüşmədən diyirlənmə

Sürüşmədən diyirlənəndə cismin toxunma nöqtəsi ani olaraq sükunətdədir, ona görə v = ωR. Kinetik enerji iki hissədən ibarətdir: E = mv²/2 + Iω²/2. I = k · mR² yazsaq, E = (1 + k) · mv²/2. Sükunət sürtünməsi iş görmür, çünki onun tətbiq nöqtəsi hərəkət etmir. Hündürlüyü h olan maili müstəvidən diyirlənən cisim üçün mgh = (1 + k) · mv²/2.

v = √(2gh / (1 + k)), a = g · sin θ / (1 + k)v = √(2gh / (1 + k)), a = g · sin θ / (1 + k)

burada:

kI / (mR²): kürə 2/5, silindr 1/2, halqa 1; sürtünməsiz sürüşən cisim üçün 0
θmaili müstəvinin meyl bucağı

Cavab nə kütlədən, nə də radiusdan asılıdır — yalnız formadan (k).

Nümunə 4: kürə, halqa və buz parçası

Bərk kürə, halqa və sürtünməsiz sürüşən buz parçası 1,4 m hündürlükdən aşağı enir. Hər birinin aşağıdakı sürətini tap.

Həllini göstər

2gh = 2 · 9,8 · 1,4 = 27,44 m²/s².
Buz (k = 0): v = √27,44 ≈ 5,24 m/s.
Kürə (k = 0,4): v = √(27,44 / 1,4) = √19,6 ≈ 4,43 m/s.
Halqa (k = 1): v = √(27,44 / 2) ≈ 3,70 m/s.
Halqa ən yavaşdır: enerjisinin yarısı fırlanmaya gedir. Yarışın qalibi buz parçası, sonra kürə olur.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Təcilin meyl bucağından (radianla) asılılığı: sürtünməsiz sürüşmə (k = 0), bərk silindr (k = 1/2) və halqa (k = 1). İstənilən bucaqda sıra eynidir.

Əsas fikirlər

Qüvvə momenti M = r × F, modulu F · d (d — qüvvə qolu).
Ətalət momenti I = ∫ r² dm oxdan asılıdır; Ştayner teoremi: I = I_c + ma².
Fırlanma dinamikasının əsas tənliyi M = Iε; impuls momenti L = Iω, dL/dt = M.
Xarici moment sıfırdırsa, I₁ω₁ = I₂ω₂.
Diyirlənmə: v = ωR, E = (1 + k)mv²/2, a = g sin θ / (1 + k).

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

Qapıya menteşədən 0,8 m məsafədə, qapının müstəvisinə perpendikulyar 50 N qüvvə tətbiq olunur. Qüvvə momenti nə qədərdir?