Statiğin temelleri: kuvvet momenti, kaldıraç, makaralar, eğik düzlem

Bu derste öğreneceklerin

Kuvvet kolunu ve kuvvet momentini bulmak, dengenin iki şartını (ΣF = 0, ΣM = 0) uygulamak
Momentler kuralıyla kaldıraç ve iki destekli kiriş problemlerini çözmek
Ağırlık merkezini bulmak ve denge türlerini ayırt etmek
Makaralarda ve eğik düzlemde kuvvet kazancını hesaplamak, altın kuralı uygulamak ve verimi bulmak

Bir kapıyı menteşelerin yanından itersen zor açılır; kolundan itersen kolayca açılır. Kuvvet aynıdır; fark, kuvvetin dönme ekseninden ne kadar uzakta uygulandığındadır. Kaldıraç, makara ve eğik düzlem gibi basit makineler bu fikre dayanır: küçük bir kuvvetle büyük bir yükü kaldırmayı sağlar. Bu derste bir cismin hangi şartlarda dengede kaldığını (bunu statik inceler) ve basit makinelerin kuvvetten nasıl kazanç sağladığını öğreneceksin. 2026 giriş sınavında da bir kaldıraç sorusu vardı.

Kuvvet kolu ve kuvvet momenti

Katı bir cisim sabit bir eksen etrafında dönebilir (kapı, anahtar, kaldıraç). Kuvvetin döndürme etkisi yalnızca büyüklüğüne değil, kuvvet koluna da bağlıdır.

Tanım

Kuvvet kolu (d)

dönme ekseninden (destek noktasından) kuvvetin etki çizgisine olan en kısa uzaklık, yani eksenden etki çizgisine indirilen dikmenin uzunluğu. Etki çizgisi eksenden geçerse kol sıfırdır ve kuvvet cismi döndürmez.

M = F · d

burada:

Mkuvvet momenti (tork), N · m
Fkuvvetin büyüklüğü, N
dkuvvet kolu, m; kuvvet l uzunluğundaki çubuğun ucuna çubukla α açısı yaparak uygulanıyorsa d = l · sin α

Cismi saat yönünün tersine döndüren kuvvetin momenti pozitif, saat yönünde döndürenin negatif alınır (bu bir anlaşmadır).

Örnek 1: kuvvet momentinin üç uygulaması

1) Bir somun anahtarına, somunun ekseninden 25 cm uzakta ve anahtara dik 40 N kuvvet uygulanıyor. Kuvvet momentini bul.
2) Bir kapıyı açmak için 6 N · m moment gerekiyor. Kapı kolu menteşelerden 75 cm uzakta. Kola kapıya dik hangi kuvvet uygulanmalı? Menteşelerden 15 cm uzaktan itersen ne olur?
3) 0,5 m uzunluğundaki bir anahtarın ucuna anahtarla 30° açı yapan 40 N kuvvet uygulanıyor. Kuvvet kolunu ve momenti bul.

Çözümü göster

1) M = F · d = 40 · 0,25 = 10 N · m (cm’yi metreye çevir).
2) F = M / d = 6 / 0,75 = 8 N; 15 cm’de: F = 6 / 0,15 = 40 N; kol 5 kat kısa, kuvvet 5 kat büyük olmalı.
3) d = l · sin 30° = 0,5 · 0,5 = 0,25 m; M = 40 · 0,25 = 10 N · m. Dik bir kuvvet 20 N · m verirdi: eğik kuvvet kolunun yarısını kaybeder.

Dengenin iki şartı ve momentler kuralı

Katı bir cismin dengede kalması için ne öteleme ne de dönme hareketine başlamaması gerekir. Bu yüzden aynı anda iki şart sağlanmalıdır:

ΣF = 0, ΣM = 0

burada:

ΣFcisme etki eden tüm kuvvetlerin vektörel toplamı (bileşkesi) — birinci şart
ΣMherhangi bir eksene göre tüm kuvvet momentlerinin cebirsel toplamı — ikinci şart

Dengedeki bir cisim için momentler herhangi bir noktaya göre yazılabilir. En uygunu bilinmeyen kuvvetin uygulandığı noktadır: kolu sıfır olur ve denklemden düşer.

Kaldıraç, sabit bir destek etrafında dönebilen katı bir cisimdir. Destek iki kuvvetin arasında olabilir (makas, eşit kollu terazi) ya da iki kuvvet de desteğin aynı tarafında bulunabilir (örneğin el arabası). Ağırlıksız bir kaldıraç için ikinci şart momentler kuralına dönüşür:

Momentler kuralı: F₁ · d₁ = F₂ · d₂; kısa kolda büyük kuvvet, uzun kolda küçük kuvvet bulunur.

F₁ · d₁ = F₂ · d₂, F₁ / F₂ = d₂ / d₁F₁ · d₁ = F₂ · d₂, F₁ / F₂ = d₂ / d₁

burada:

F₁, F₂kaldıracı zıt yönlerde döndürmeye çalışan kuvvetler, N
d₁, d₂bu kuvvetlerin kolları, m

Momentler kuralı: saat yönünde döndüren momentler saat yönünün tersine döndüren momentlere eşitse kaldıraç dengededir. Kuvvetler kollarla ters orantılıdır. Kaldıracın kendi ağırlığı verilmişse ağırlık merkezine (türdeş kaldıraçta ortasına) uygulanır.

Örnek 2: kaldıraç problemleri

1) Bir kaldıracın 0,2 m’lik kısa koluna 600 N yük asılmış, uzun kolu 1,2 m. Denge için uzun kolun ucuna hangi düşey kuvvet uygulanmalı?
2) 2 kg kütleli, 1 m uzunluğundaki türdeş bir kaldıraç sol ucundan 25 cm uzaktaki bir desteğe oturuyor. Kaldıracın yatay kalması için sol ucuna kaç kilogramlık yük asılmalı?

Çözümü göster

1) F · 1,2 = 600 · 0,2 → F = 600 · 0,2 / 1,2 = 100 N: kuvvetten 6 kat kazanç.
2) Kaldıracın 20 N’luk ağırlığı ortasına, yani desteğin 50 − 25 = 25 cm sağına etki eder. Yükün kolu da 25 cm: m · 10 · 0,25 = 20 · 0,25 → m = 2 kg.

Örnek 3 (çoktan seçmeli): kaldıraç hangi yöne döner?

Ağırlıksız bir kaldıraç O destek noktası etrafında dönebiliyor. Desteğin 2 m soluna düşey aşağı 6 N, 3 m sağına düşey aşağı 5 N kuvvet etki ediyor. Kaldıraç:
A) saat yönünde döner B) saat yönünün tersine döner C) dengede kalır D) destek üzerinde sola kayar E) destek üzerinde sağa kayar

Çözümü göster

Kuvvetleri değil momentleri karşılaştır: soldaki kuvvet kaldıracı saat yönünün tersine döndürür, M₁ = 6 · 2 = 12 N · m; sağdaki saat yönünde döndürür, M₂ = 5 · 3 = 15 N · m.
15 > 12 → kaldıraç saat yönünde döner (A).
B seçeneğini kuvvetleri karşılaştıranlar (6 N > 5 N) seçer.

Örnek 4 (çoktan seçmeli): iki desteğe oturan kiriş

2 m uzunluğunda, 10 kg kütleli türdeş bir kiriş uçlarından iki desteğe oturarak yatay duruyor. Kirişin sol ucundan 0,5 m uzağa 20 kg kütleli bir yük konmuş. Sol ve sağ desteklerin kirişe uyguladığı kuvvetleri bulun (g = 10 m/s²).
A) 150 N; 150 N B) 200 N; 100 N C) 100 N; 200 N D) 150 N; 50 N E) 250 N; 50 N

Çözümü göster

Kirişe dört kuvvet etki eder: kirişin 100 N’luk ağırlığı (ortada), yükün 200 N’luk ağırlığı ve desteklerin F_sol ve F_sağ kuvvetleri.
Sağ desteğe göre momentler (F_sağ denklemden düşer): F_sol · 2 = 100 · 1 + 200 · 1,5 = 400 → F_sol = 200 N.
Birinci şart: F_sol + F_sağ = 300 N → F_sağ = 100 N. Cevap: B.
Sol desteğe göre kontrol: F_sağ · 2 = 100 · 1 + 200 · 0,5 = 200 → 100 N ✓. D seçeneği kirişin kendi ağırlığını unutunca, C destekleri karıştırınca çıkar.

Örnek 5 (kodlanan cevap): destek noktası nerede?

1,2 m uzunluğundaki ağırlıksız bir kaldıracın uçlarına düşey aşağı 10 N ve 50 N kuvvetler uygulanmış, kaldıraç dengede. Destek noktasının 10 N’luk kuvvetin uygulandığı noktaya uzaklığını santimetre cinsinden hesaplayın.

Çözümü göster

Uzaklık x olsun: 10 · x = 50 · (1,2 − x) → 60x = 60 → x = 1 m.
Kontrol: 10 · 1 = 50 · 0,2 = 10 N · m ✓.
Cevap kâğıdına yazılır: 100.

Ağırlık merkezi ve denge türleri

Bir cismin bütün taneciklerine etki eden ağırlık kuvvetlerinin bileşkesi tek bir noktaya, ağırlık merkezine uygulanır. Türdeş bir çubuğun ağırlık merkezi ortasında, türdeş bir kürenin ve diskin merkezinde, dikdörtgen levhanın köşegenlerinin kesiştiği noktadadır. Ağırlık merkezi cismin dışında da olabilir (halka, bumerang). İki cisimden oluşan bir sistem için:

x_c = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)x_c = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)

burada:

x_cağırlık merkezinin koordinatı
m₁, m₂cisimlerin kütleleri
x₁, x₂cisimlerin (ağırlık merkezlerinin) koordinatları

Bu, momentler kuralının ta kendisidir: ağırlık merkezine göre ağırlık kuvvetlerinin momentleri toplamı sıfırdır; sistem bu noktadan desteklenirse dengede kalır.

Örnek 6: ağırlık merkezi nerede?

1) 60 cm uzunluğundaki ağırlıksız bir çubuğun uçlarında 1 kg ve 2 kg kütleli bilyeler var. Sistemin ağırlık merkezi 1 kg’lık bilyeden ne kadar uzakta?
2) 3 kg kütleli, 1 m uzunluğundaki türdeş bir çubuğun bir ucuna 1 kg’lık yük bağlanmış. Ağırlık merkezi yükten ne kadar uzakta?

Çözümü göster

1) x_c = (1 · 0 + 2 · 60) / (1 + 2) = 40 cm; ağır bilyeye daha yakın.
2) Çubuğun kütlesi ortasında (0,5 m) toplanmış sayılır: x_c = (1 · 0 + 3 · 0,5) / (1 + 3) = 0,375 m.

Kararlı denge: cisim dengeden biraz ayrılırsa geri döner; ağırlık merkezi olabilecek en alçak konumdadır (asılı cisim, kâsenin dibindeki bilye).
Kararsız denge: küçük bir eğilmeden sonra cisim dengeden daha da uzaklaşır; ağırlık merkezi en yüksek konumdadır (tümsek bir yüzeyin tepesindeki bilye, ucu üstünde duran kalem).
Nötr (kayıtsız) denge: cisim her yeni konumda da dengede kalır; ağırlık merkezinin yüksekliği değişmez (yatay masadaki top, ağırlık merkezinden geçen bir eksene takılı tekerlek).

Bir taban üzerinde duran cisim (kutu, otobüs, Pisa Kulesi), ağırlık merkezinden geçen düşey doğru tabanın içinden geçtiği sürece devrilmez. Taban ne kadar geniş ve ağırlık merkezi ne kadar alçaksa cisim o kadar kararlıdır.

Makaralar

Makara, bir eksen etrafında dönen, oluğundan ip geçen bir tekerdir. Sabit makaranın ekseni sabitlenmiştir: kolları makaranın yarıçapına eşit, eşit kollu bir kaldıraç gibidir; bu yüzden kuvvetten kazanç sağlamaz, yalnızca kuvvetin yönünü değiştirir (F = P). Hareketli makara yükle birlikte yükselir: desteği ipin bir kolundadır, kolları r ve 2r olan bir kaldıraç gibidir; kuvvetten 2 kat kazandırır ama ipin ucu 2 kat uzun yol alır.

Sabit makara kuvvetin yönünü, hareketli makara büyüklüğünü değiştirir.

F = P / n, s = n · hF = P / n, s = n · h

burada:

Fipin serbest ucuna uygulanan kuvvet, N
Pyükün (hareketli makaralarla birlikte) ağırlığı, N
nyükü taşıyan ip kollarının sayısı: sabit makarada n = 1, bir hareketli makarada n = 2
s, hipin ucunun ve yükün yer değiştirmeleri, m

Sürtünme ve ipin ağırlığı ihmal edilir. Makara sistemi (palanga) kuvvetten n kat kazandırır, ipin ucu ise n kat uzun yol alır.

Örnek 7: makaralarla yük kaldırmak

1) 400 N ağırlığındaki bir yük hareketli makarayla sabit hızla kaldırılıyor. İpe hangi kuvvet uygulanır? Yükü 3 m kaldırmak için ipin ucu ne kadar çekilmeli?
2) Hareketli makaranın kütlesi 2 kg, yükün kütlesi 18 kg. Hangi kuvvet gerekir?
3) Bir palangada yük ipin 4 koluna asılı (n = 4). 1200 N’luk yükü kaldırmak için gereken kuvveti ve yük 0,5 m yükselirken ipin ucunun aldığı yolu bul.

Çözümü göster

1) F = 400 / 2 = 200 N; s = 2 · 3 = 6 m.
2) Makara da yükle birlikte yükselir: F = (180 + 20) / 2 = 100 N (90 N değil).
3) F = 1200 / 4 = 300 N; s = 4 · 0,5 = 2 m. Her durumda F · s = P · h: işten kazanç yoktur.

Eğik düzlem, mekaniğin altın kuralı ve verim

Bir yükü h yüksekliğine dik olarak kaldırmak yerine l uzunluğundaki bir eğik düzlem boyunca çekebiliriz. Bütün basit makinelerin ortak bir yasası vardır: hiçbiri işten kazanç sağlamaz. Kuvvetten kaç kat kazanırsak yoldan o kadar kaybederiz; bu, mekaniğin altın kuralıdır.

F · l = P · h, F = P · h / l = P · sin αF · l = P · h, F = P · h / l = P · sin α

burada:

Fyükü düzlem boyunca sabit hızla çeken kuvvet (sürtünme yok), N
l, heğik düzlemin uzunluğu ve yüksekliği, m
Pyükün ağırlığı, P = mg, N
αdüzlemin yatayla yaptığı açı, sin α = h / l

İdeal (sürtünmesiz) eğik düzlem için altın kural: yapılan F · l işi, yükü doğrudan kaldırmak için gereken P · h işine eşittir. Düzlem ne kadar uzun (az eğimli) olursa kuvvet o kadar küçüktür.

Örnek 8: altın kural

1) 5 m uzunluğunda, 1 m yüksekliğindeki sürtünmesiz bir eğik düzlemde 1000 N ağırlığındaki yükü sabit hızla çekmek için hangi kuvvet gerekir?
2) 60 kg kütleli bir yük 30° eğimli sürtünmesiz bir düzlemde yukarı çekiliyor. Kuvvet nedir?
3) Bir kaldıraçla 500 N’luk yük 4 cm kaldırılırken kuvvetin uygulandığı nokta 20 cm aşağı iniyor. Sürtünme yoksa kuvvet nedir?

Çözümü göster

1) F = P · h / l = 1000 · 1 / 5 = 200 N; 5 kat kazanç, ama yol 5 kat uzun.
2) F = mg · sin 30° = 600 · 0,5 = 300 N.
3) F · 20 = 500 · 4 → F = 100 N: kaldıracın kollarını bilmek gerekmez, yolların oranı yeterlidir.

Gerçek bir makinede sürtünme vardır; makaranın, ipin, kaldıracın da kendi ağırlığı vardır. Bu yüzden yaptığımız harcanan (toplam) iş, yükü kaldırmak için gereken yararlı işten büyüktür. Makinenin ne kadar iyi olduğunu verim gösterir:

η = W_y / W_h · %100 = P · h / (F · s) · %100η = W_y / W_h · %100 = P · h / (F · s) · %100

burada:

ηverim
W_yyararlı iş: W_y = P · h = mgh, J
W_hharcanan iş: W_h = F · s; s, kuvvetin uygulandığı noktanın yoludur (eğik düzlemde l, hareketli makarada 2h), J

Her zaman η < %100’dür: altın kural yalnızca ideal makine için geçerlidir. Yararlı iş aynıysa verim düştükçe gereken kuvvet artar.

Örnek 9: verimin hesaplanması

1) 100 kg kütleli bir yük 4 m uzunluğunda, 1 m yüksekliğindeki eğik düzlemde 400 N kuvvetle sabit hızla çekiliyor. Verimi bul.
2) Hareketli makarayla 40 kg kütleli yük 3 m yüksekliğe kaldırılıyor, ipe 250 N kuvvet uygulanıyor. Verim nedir?

Çözümü göster

1) W_y = mgh = 1000 · 1 = 1000 J; W_h = F · l = 400 · 4 = 1600 J; η = 1000 / 1600 · %100 = %62,5.
2) W_y = 400 · 3 = 1200 J; ipin ucu 2 · 3 = 6 m yol alır: W_h = 250 · 6 = 1500 J; η = 1200 / 1500 · %100 = %80. s = h alınırsa η = %160 çıkar; bu imkânsızdır ve hatayı gösterir.

Örnek 10 (kodlanan cevap): verimden kuvvet

Verimi %75 olan bir eğik düzlemle 30 kg kütleli bir yük 1,5 m yüksekliğe çıkarılıyor. Düzlemin uzunluğu 5 m. Yükü düzlem boyunca sabit hızla çeken kuvveti newton cinsinden hesaplayın (g = 10 m/s²).

Çözümü göster

W_y = mgh = 300 · 1,5 = 450 J.
W_h = W_y / η = 450 / 0,75 = 600 J.
F = W_h / l = 600 / 5 = 120 N.
Cevap kâğıdına yazılır: 120.

Kendini dene

1.Kolu 0,4 m olan 25 N’luk kuvvetin momenti N · m’dir.
2.Bir kaldıracın kolları 0,3 m ve 0,9 m; kısa koldaki 90 N’luk yükü uzun koldaki N’luk kuvvet dengeler.
3.Hareketli makarayla 300 N’luk yükü kaldırmak için N kuvvet gerekir.
4.Yararlı iş 300 J, harcanan iş 400 J ise verim yüzde olur.

Önemli noktalar

Kuvvet momenti M = F · d; kol, eksenden etki çizgisine olan en kısa uzaklıktır.
Denge şartları: ΣF = 0 ve ΣM = 0; kaldıraç için F₁ · d₁ = F₂ · d₂.
Kararlı dengede ağırlık merkezi en alçakta, kararsız dengede en yüksekte bulunur; nötr dengede yüksekliği değişmez.
Sabit makara yalnızca kuvvetin yönünü değiştirir; hareketli makara kuvvetten 2 kat kazandırır, ipin yolu ise 2 kat artar.
Altın kural: basit makine işten kazanç sağlamaz (F · s = P · h); verim η = W_y / W_h · %100 her zaman %100’den küçüktür.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Kuvvet momentinin SI birimi nedir?