- «Nesne–özellik» ve «nesne–nesne» türündeki tabloları tanımak ve kurmak.
- Sözel koşulları «+ / –» tablosuna aktarıp mantık problemini adım adım çözmek.
- Sayı koşullarını (herkeste 2 eşya, toplam n kişi) ve sıralama koşullarını (solda, sağda, aritmetik ortalama) kullanmak.
- «Hangi önerme doğrudur» sorusunda her seçeneği tabloya göre kontrol etmek.
Dört arkadaş, dört soyadı, beş altı kısa cümle ve bir soru: «Hangi önerme doğrudur?» Böyle bir mantık problemi Azerbaycan’daki 2025–2026 üniversite giriş sınavlarında (I. grup, bilişim) her kitapçıkta bir kez çıktı ve «Tablo bilgi modeli» konusuna aittir. Cümleleri akılda tutmaya çalışınca her şey karışır; onları tabloya aktarınca problem neredeyse kendiliğinden çözülür.
«Modeller ve modelleme» dersinde tablonun bir bilgi modeli türü olduğunu gördük. Bu derste tabloyu problem çözme aracı olarak kullanacağız.
Tablo modelinin iki türü
Satırlara nesneler, sütunlara onların özellikleri yazılır; hücrede nesnenin o özelliğinin değeri bulunur. Örnekler: sınıf defteri, kütüphane kataloğu (yazar, kitabın adı, yıl), fiyat listesi.
Hem satırlara hem sütunlara nesneler yazılır; hücre iki nesne arasındaki ilişkiyi gösterir: mesafeyi, maçın sonucunu ya da «+» (uyuyor) ve «–» (uymuyor) işaretini. Mantık problemlerinin tabloları bu türdendir.
Aşağıdaki tablo dört köy (K, L, M, N) arasındaki yolların uzunluğunu kilometre olarak gösterir. Bu bir «nesne–nesne» tablosudur. İki özelliğine dikkat et: ana köşegende sıfırlar vardır (bir köyün kendine uzaklığı 0’dır) ve tablo köşegene göre simetriktir (K’den L’ye uzaklık L’den K’ye uzaklıkla aynıdır).
| K | L | M | N | |
|---|---|---|---|---|
| K | 0 | 12 | 7 | 15 |
| L | 12 | 0 | 9 | 6 |
| M | 7 | 9 | 0 | 10 |
| N | 15 | 6 | 10 | 0 |
- nnesne (köy, takım) sayısı
n nesnenin farklı çiftlerinin sayısı: simetrik tabloda tam bu kadar farklı sayı gerekir; sıfırdan farklı hücreler ise iki katıdır, n · (n − 1).
Yukarıdaki tabloya göre hangi önerme doğrudur?
A) L köyüne en yakın köy M’dir
B) K’den L’ye, oradan N’ye gitmek K’den N’ye doğrudan gitmekten kısadır
C) Tabloda sıfırdan farklı 6 hücre vardır
D) En büyük mesafe K ile N arasındadır
E) K ile M arasındaki mesafe M ile N arasındakinden büyüktür
Ek soru: 6 köy olsaydı tabloda kaç farklı mesafe olurdu?
Çözümü gösterÇözümü gizle
B: 12 + 6 = 18 km, doğrudan ise 15 km ✗.
C: 16 hücrenin 4’ü köşegendedir, sıfırdan farklı 12 hücre vardır ✗.
D: tablodaki en büyük sayı 15, yani K ve N ✓.
E: 7 < 10 ✗.
Doğru cevap: D.
Ek soru: 6 · 5 / 2 = 15 farklı mesafe (sıfırdan farklı hücre ise 30).
| Gün | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Pazartesi | Matematik | Bilişim | Tarih |
| Salı | Fizik | Matematik | Edebiyat |
| Çarşamba | Bilişim | Kimya | Matematik |
Ders programına göre hangi önerme doğrudur?
A) Matematik her gün aynı numaralı derstir
B) Bilişim iki kez, iki farklı günde yapılır
C) Salı günü 2. ders fiziktir
D) Kimya pazartesidir
E) Tarih 3 kez yapılır
Çözümü gösterÇözümü gizle
Doğru cevap: B. Böyle bir soruda tabloyu satır satır ve sütun sütun «okumak» yeterlidir.
«+ / –» yöntemi adım adım
En sık görülen problemde iki kümenin elemanları bire bir eşleştirilir: her kişinin bir soyadı, her soyadının bir sahibi vardır. Böyle bir problem için «nesne–nesne» tablosu kurulur ve hücrelere «+» (evet) veya «–» (hayır) yazılır.
- 1Tabloyu kur
Satırlara bir kümenin (adlar), sütunlara ötekinin (soyadlar, projeler, yerler) elemanlarını yaz.
- 2Doğrudan bilgiler
«X, Y değildir» → «–», «X, Y’dir» → «+».
- 3Gizli bilgiler
«X ve Y futbol oynuyor» — X ile Y iki farklı kişidir, yani X’in soyadı Y değildir. Farklı özellikli kişiler (futbolcu ile satranççı, 5 alan ile 3 alan) da aynı kişi olamaz.
- 4Satır–sütun kuralı
«+» koyar koymaz o satırın ve sütunun diğer hücrelerine «–» yaz. Bir satırda veya sütunda tek boş hücre kaldıysa ve «+» yoksa oraya «+» yaz.
- 5Kontrol et
Tablo dolunca tüm koşulları yeniden kontrol et, sonra seçenekleri tek tek tabloyla karşılaştır.
Bire bir eşleme kuralı: n × n tabloda sonunda n tane «+» ve n · (n − 1) tane «–» olur.
Aysel, Murad ve Leyla üç kulübe gidiyor: satranç, yüzme ve resim (her biri bir kulübe, her kulüpte bir kişi). Murad ne yüzmeye ne de resme gidiyor. Aysel yüzmeye gitmiyor. Hangi önerme doğrudur?
A) Leyla satranca gidiyor B) Murad yüzmeye gidiyor C) Leyla resme gidiyor D) Aysel satranca gidiyor E) Aysel resme gidiyor
Çözümü gösterÇözümü gizle
Aysel: satranç «–», yüzme «–» → resim «+».
Leyla’ya yalnız yüzme kalır → «+».
Doğru cevap: E.
Tural, Nihad, Rauf ve Elmar’ın soyadları Tahirov, Nuriyev, Ramazanov ve Eyvazov’dur (her birinin bir soyadı var). Her biri ya futbol ya da satranç oynuyor. Bilinenler:
— Tural ve Ramazanov futbol, Nihad ve Eyvazov ise satranç oynuyor;
— Tahirov Nuriyev’den büyük, Elmar ise Nuriyev’den küçük;
— Rauf satranç oynamıyor;
— Nihad Tural’dan büyük.
Doğru önermeyi belirleyin.
A) Nihad’ın soyadı Nuriyev’dir B) Elmar Tural’dan büyüktür C) Rauf satranç oynuyor D) Tahirov Tural’dan büyüktür E) Eyvazov futbol oynuyor
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) İkinci koşul: Elmar Nuriyev’den küçük, Tahirov ise Nuriyev’den de büyük → Elmar ≠ Nuriyev, Elmar ≠ Tahirov.
3) Rauf satranç oynamıyor, Eyvazov ise satranççı → Rauf ≠ Eyvazov.
4) Eyvazov sütununda üç «–» → Elmar, Eyvazov’dur. Ramazanov sütununda Tural, Nihad ve Elmar için «–» → Rauf, Ramazanov’dur.
5) Tural ile Nihad’a Tahirov ve Nuriyev kalır. Tural Tahirov olsaydı Nihad Nuriyev olurdu ve Tural Nihad’dan büyük çıkardı; bu dördüncü koşula aykırıdır. Demek ki Tural Nuriyev, Nihad Tahirov’dur.
Seçenekler: A ✗; B — Elmar Nuriyev’den, yani Tural’dan küçüktür ✗; C ✗; D — Tahirov Nihad’dır ve Tural’dan büyüktür ✓; E — Eyvazov (Elmar) satranççıdır ✗.
Doğru cevap: D.
Sayı koşullu problemler
Bazen bir nesneye birkaç «+» düşer: her projede 2 kişi çalışır, her alıcı 2 eşya almıştır. O zaman «her satırda bir +» kuralı işlemez; onun yerine satır ve sütun toplamları verilir. «+» işaretleri iki yolla sayılabilir — satırlara göre ve sütunlara göre — ve sonuç aynı olmalıdır. Bu hem bir kontroldür hem de çoğu zaman çözümün anahtarıdır.
Kontrol toplamı: 6 kişinin her biri 2 eşya aldıysa sütun toplamları da 6 · 2 = 12 etmelidir.
Bir şirketin 8 çalışanı — Aysel, Bahar, Kamal, Leyla, Emin, Fidan, Samir ve Zaur — 4 projede çalışıyor: Atlas, Delta, Neo ve Sigma. Her projede tam 2 kişi var, her çalışan bir projede çalışıyor. Bilinenler:
— Kamal Sigma’da çalışıyor;
— Leyla ile Fidan aynı projede, bu proje ne Atlas ne de Sigma;
— Atlas’ta çalışanlardan biri Bahar, diğeri Zaur değil;
— Samir Neo’da çalışıyor;
— ne Aysel ne de Zaur Kamal’la aynı projede.
Aysel kiminle aynı projede çalışıyor?
A) Kamal B) Emin C) Bahar D) Zaur E) Leyla
Çözümü gösterÇözümü gizle
1) Kamal — Sigma, Bahar — Atlas, Samir — Neo.
2) Leyla ile Fidan birlikte Delta’da veya Neo’da olabilir. Neo’da Samir var ve yalnızca 1 yer kaldı → Leyla ile Fidan Delta’da. Delta doldu.
3) Aysel, Emin ve Zaur’a üç yer kalıyor: Atlas (1), Neo (1), Sigma (1). Zaur Atlas’ta değil ve Kamal’la (Sigma) değil → Zaur Neo’da.
4) Aysel Kamal’la değil → Aysel Atlas’ta, Emin Sigma’da.
Sonuç: Atlas — Aysel, Bahar; Delta — Leyla, Fidan; Neo — Samir, Zaur; Sigma — Kamal, Emin. Doğru cevap: C.
Aynur, Kamran, Nigar, Davud ve Elnur pazardan elma, armut, erik ve şeftali aldı. Bilinenler:
— herkes 2 farklı tür meyve aldı;
— elmayı 3 kişi, armudu 2 kişi, eriği 2 kişi, şeftaliyi 3 kişi aldı;
— Aynur ile Davud aynı meyveleri aldı;
— Kamran elma, Elnur erik, Nigar ise şeftali almadı;
— kimse hem elma hem armut almadı;
— Kamran’ın ve Nigar’ın aldıkları aynı değil.
Hangi önerme doğrudur?
A) Davud armut aldı B) Elnur elma aldı C) Nigar elma ve erik aldı D) Kamran şeftali aldı E) Aynur erik aldı
Çözümü gösterÇözümü gizle
1) Anahtar: elmayı 3, armudu 2 kişi aldı, toplam 5 — kişi sayısı kadar — ve kimse ikisini birlikte almadı. Demek ki herkes elma ve armuttan tam birini, erik ve şeftaliden de tam birini aldı.
2) Nigar şeftali almadı → erik; Elnur erik almadı → şeftali. Aynur ile Davud erik alsaydı erik alan 3 kişi olurdu (2 değil) → ikisi de şeftali aldı. Şeftali zaten 3 (Aynur, Davud, Elnur) → Kamran erik aldı.
3) Kamran elma almadı → armut. Aynur ile Davud armut alsaydı armut 3 olurdu → ikisi de elma aldı. Nigar ile Elnur’dan biri elma, biri armut aldı. Nigar armut alsaydı onun aldıkları Kamran’ınkiyle aynı olurdu (armut, erik) → Nigar elma, Elnur armut.
Doğru cevap: C.
Sıralama problemleri
Sıralama probleminde nesneler yerlerle eşleştirilir: rafta soldan sağa 1., 2., … kitap, kuyrukta 1., 2., … kişi. Tablonun sütunları yer numaralarıdır, koşullar ise «solunda», «sağında», «hemen yanında», «aralarında iki kişi var» gibi ifadelerdir. Sayılı koşullarda çoğu zaman aritmetik ortalama kullanılır.
- a₁, …, aₙsayılar (sayfa sayıları, puanlar)
- nsayıların adedi
Aritmetik ortalama. Onu bulup hangi nesneye ait olduğunu belirlemek, sıralama probleminin çoğu zaman ilk adımıdır.
Beyaz, yeşil, mavi, kırmızı ve siyah kapaklı beş kitap rafta soldan sağa sayfa sayıları artacak biçimde dizilmiş. Kitapların sayfa sayıları 120, 135, 145, 150 ve 200’dür. Bilinenler:
— kırmızı kitabın sayfa sayısı bütün kitapların sayfa sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir;
— mavi kitap yeşil kitabın sağında, siyah kitabın solundadır;
— beyaz kitap ya en soldadır ya da en sağdadır;
— siyah kitap kırmızıdan kalındır.
Mavi kitap kaç sayfadır?
A) 120 B) 135 C) 145 D) 150 E) 200
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Siyah kitap kırmızıdan kalın → siyah 200 sayfa, 5. yer.
3) Beyaz kitap en sağda olamaz (orada siyah var) → beyaz 1. yerde.
4) Yeşil ile maviye 2. ve 3. yerler kalır, mavi yeşilin sağında → yeşil 2. (135), mavi 3. (145).
Doğru cevap: C.
Anar, Bahar, Tahir, Sevda ve Emil kuyrukta duruyor. Bilinenler:
— Bahar ne birinci ne de sonuncudur;
— Anar ile Emil’in arasında tam iki kişi var;
— Tahir, Bahar’ın hemen arkasında duruyor;
— Sevda, Anar’dan öndedir.
Hangi önerme doğrudur?
A) Sevda kuyrukta birincidir B) Tahir, Bahar’dan öndedir C) Bahar dördüncüdür D) Emil ile Tahir’in arasında iki kişi var E) Anar üçüncüdür
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 1 ve 4 olursa: kalan 2, 3, 5. yerlerde Bahar ve hemen arkasındaki Tahir yalnızca 2 ve 3’e sığar, Sevda 5. olur. Ama Sevda Anar’dan önde olmalı, Anar ise 1. veya 4. — çelişki.
3) Demek ki Anar ile Emil 2. ve 5. yerlerde. Kalan 1, 3, 4: Bahar 3., Tahir 4., Sevda 1.
4) Anar ile Emil’den hangisinin 2., hangisinin 5. olduğu belli değil — ama soruyu cevaplamak için gerekmez.
A ✓; B, C, E ✗; D — Emil 5. veya 2., Tahir 4.: aralarında ya kimse yok ya da bir kişi var ✗.
Doğru cevap: A.
Samir, Leyla, Murad ve Fidan testten 60, 70, 80 ve 90 puan aldı (hepsi farklı). Leyla’nın puanı Samir’in ve Murad’ın puanlarının aritmetik ortalamasına eşittir. Fidan Leyla’dan, Samir ise Murad’dan fazla puan aldı. Hangi önerme doğrudur?
A) Murad 70 puan aldı B) Samir 60 puan aldı C) Leyla 80 puan aldı D) Leyla Samir’den fazla puan aldı E) Fidan en yüksek puanı aldı
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Leyla 80 alsaydı Samir ile Murad 70 ve 90 alırdı, Fidan’a 60 kalırdı — ama Fidan Leyla’dan fazla aldı ✗.
3) Demek ki Leyla 70, Samir ile Murad 60 ve 80, Fidan 90. Samir Murad’dan fazla → Samir 80, Murad 60.
Doğru cevap: E.
Üç özellikli problemler ve sık hatalar
Bazen her kişinin iki özelliği aranır: şehri ve mesleği. O zaman iki tablo kurulur (ad–şehir ve ad–meslek) ve «doktor Şeki’de yaşıyor» gibi koşullar onları birbirine bağlar: bir tabloda bulunan her «+» ötekinde de sonuç verir.
Nermin, Orhan ve Perviz Bakü, Gence ve Şeki’de yaşıyor; biri doktor, biri öğretmen, biri mühendis. Bilinenler:
— doktor Şeki’de yaşıyor;
— Orhan öğretmen değil ve Bakü’de yaşamıyor;
— Nermin Gence’de yaşıyor;
— Perviz mühendis değil.
Hangi önerme doğrudur?
A) Öğretmen Bakü’de yaşıyor B) Nermin doktordur C) Orhan Gence’de yaşıyor D) Perviz mühendistir E) Mühendis Şeki’de yaşıyor
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Şehirden mesleğe geçiş: doktor Şeki’de yaşıyor, Şeki’de ise Orhan yaşıyor → Orhan doktordur.
3) Ad–meslek tablosu: Perviz ne mühendis ne doktor → öğretmen; Nermin → mühendis.
Sonuç: Nermin — Gence, mühendis; Orhan — Şeki, doktor; Perviz — Bakü, öğretmen.
Doğru cevap: A.
Tablolar yalnızca mantık problemleri için değildir: sonraki derslerde bir grafın komşuluk matrisinin de «nesne–nesne» tablosu olduğunu göreceksin. Sonraki ders: «Ağaç bilgi modeli».
Önemli noktalar
- «Nesne–özellik» tablosunda satırlar nesne, sütunlar özelliktir; «nesne–nesne» tablosunda ikisi de nesnedir, hücre aralarındaki ilişkiyi gösterir.
- Mesafe tablosu simetriktir, köşegeni sıfırdır; n nesne için n · (n − 1) / 2 farklı sayı yeter.
- Bire bir eşleme probleminde her satır ve sütunda tam bir «+» olur; «+» konunca satır ve sütun «–» ile doldurulur.
- «X ve Y …» X ≠ Y demektir; farklı özellikli kişiler aynı kişi olamaz.
- Sayı koşullarında satır toplamlarının toplamı sütun toplamlarınınkine eşittir — bu bir kontrol ve çoğu zaman çözümün anahtarıdır.
- Cevap, tabloya göre kesinlikle doğru olan önermedir; bazen soru tam çözümü gerektirmez.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.