Farklı sayı sistemlerinde aritmetik işlemler

Okulda 9 + 1 = 10 yazdığında aslında birler basamağı dolar ve 1 onlar basamağına geçer. İkilik sistemde basamak daha çabuk dolar: 1 + 1 = 10₂. Bilgisayarın işlemcisi bütün hesaplamaları ikilik sistemde, tam da alt alta toplama kuralıyla yapar. Bu derste alt alta işlemleri her tabana taşıyacağız; tek fark, basamağın 10’da değil b’de dolmasıdır. Sayıları çevirmeyi “Sekizlik ve on altılık sayı sistemleri” dersinde öğrendik; şimdi onlarla doğrudan hesap yapacağız.

Alt alta toplama: elde kuralı

Toplama onluk sistemdeki gibi sağdan sola, basamak basamak yapılır. Bir basamaktaki toplam s tabandan küçükse (s < b) olduğu gibi yazılır. s ≥ b ise basamağa s − b yazılır, 1 de bir sonraki basamağa elde olarak aktarılır. İkilik sistemin bütün toplama tablosu dört satırdır: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10₂, 1 + 1 + 1 = 11₂.

Neden böyle? Bir basamakta b birim toplanınca bunlar birlikte bir sonraki basamağın tam 1 birimine eşit olur, çünkü her basamağın değeri sağındakinin b katıdır. Örneğin sekizlikte birler basamağında 13 birim = 8 + 5: sekizi sonraki basamağa 1 olarak geçer, 5 yerinde kalır. Onluktaki “elde var 1” kuralı bunun b = 10 durumudur. Aşağıda ikilik bir toplama alt alta gösterilmiştir.

   111111 
    101101
+    11011
----------
   1001000

Alt alta çıkarma: basamak bozma

Çıkarmada üstteki rakam alttakinden küçükse soldaki basamaktan 1 alınır (basamak bozulur). Onluk sistemde bu 1, 10 değerindedir; b tabanında ise b değerindedir: ikilikte 2, sekizlikte 8, on altılıkta 16. Komşu basamakta 0 varsa daha soldaki basamaktan alınır ve yol üstündeki sıfırlar b − 1’e dönüşür; onluktaki 1000 − 1 = 999 gibi.

Çarpma ve bölme

İkilik sistemin çarpım tablosu en basitidir: 0·0 = 0·1 = 1·0 = 0, 1·1 = 1. Bu yüzden ikilik çarpma kaydırma ve toplamadan ibarettir: ikinci çarpandaki her 1 için birinci çarpan o basamak kadar sola kaydırılarak yazılır, sonra satırlar toplanır. Diğer tabanlarda alt alta çarpma onluktaki gibidir, yalnızca elde b’ye bölerek bulunur. Bölme de onluktaki gibi yapılır; ikilikte bölümün her rakamı 0 ya da 1’dir. Kaydırma neden çarpmadır? Sayı bir basamak sola kayınca her rakamı b kat daha değerli bir basamağa geçer, yani sayının tamamı b ile çarpılmış olur.

Farklı tabanlı ifadeler ve sağlama

DİM sorularında sık sık farklı tabanlarda yazılmış sayılarla bir ifade verilir ve cevap belirli bir tabanda istenir. En güvenli yol: bütün sayıları onluğa çevir, hesapla, sonucu istenen tabana çevir. Tabanlar 2, 8 ve 16 ise hepsini ikiliğe çevirip ikilikte toplamak da olur. Seçtiğin seçeneği onluğa çevirip kontrol etmek bir dakika sürer ve hatayı yakalar.

n bitlik bellekte taşma

Bilgisayar bir sayıyı sabit uzunluktaki bir bellek hücresinde saklar. n bite 0’dan 2ⁿ − 1’e kadar sayılar sığar: 8 bite 0…255, 16 bite 0…65535. Toplam bu sınırı aşınca en soldaki elde hücreye sığmaz ve kaybolur; buna taşma denir. Saklanan sonuç, toplamın 2ⁿ’ye bölümünden kalandır; yani program beklenmedik biçimde küçük bir sayı görür.

Python’da int(s, b) b tabanındaki yazılışı onluğa, bin(), oct(), hex() ise geri çevirir; böylece her cevap birkaç satırla kontrol edilebilir. Python’un tam sayıları taşmaz, bu yüzden 8 bitlik hücreyi % 256 ile taklit ederiz:

a = int('101101', 2) + int('11011', 2)
print(a, bin(a))
b = int('3657', 8) + int('1426', 8)
print(b, oct(b))
c = int('A03', 16) - int('4F8', 16)
print(c, hex(c))
print((200 + 100) % 256)

72 0b1001000
2757 0o5305
1291 0x50b
44

Bu derste taban hep biliniyordu. “Sayı sistemleri: tabanı bilinmeyen problemler” dersinde tersini, yani eşitlikten tabanı bulmayı öğreneceğiz; DİM’in kodlanan sorularının çoğu tam olarak böyledir.