Düzlemde vektörler — CSCA (Çin)

Bu derste öğreneceklerin

Vektörleri üçgen ve paralelkenar kurallarıyla toplamak, çıkarmak ve bir şekildeki vektörleri verilen iki vektörle yazmak
Koordinatlarla çalışmak: uzunluk, doğrusal bileşimler ve x₁y₂ − x₂y₁ = 0 paralellik koşulu
İç çarpımla açı, izdüşüm ve dikliği bulmak; |a⃗ ± b⃗|'yi uzunluklar ve açıdan hesaplamak
Üçgen problemlerini vektörlerle çözmek: kenarortay, ağırlık merkezi, kenarı bölen nokta, doğrusal üç nokta

Bakü'den kalkan bir feribot doğuya ilerlerken rüzgâr onu kuzeye iter: gemi ne tam doğuya ne tam kuzeye, bu iki hareketin toplamı yönünde gider. Kuvvetler, hızlar ve yer değiştirmeler böyle davranır: hem büyüklükleri hem yönleri vardır ve özel bir kurala göre toplanırlar. Böyle bir niceliğe vektör denir. CSCA matematik müfredatında vektörler, “Karmaşık sayılar” dersiyle birlikte “Vektörler ve karmaşık sayılar” satırını oluşturur. Vektör soruları kısadır — bir formül ve bir satır işlem; bu puanları kaybetmemek gerekir. Koordinat becerileri “Koordinat düzleminde doğrular ve çemberler” dersinden gelir; uzayda vektörler ise “Uzay geometrisi ve uzayda koordinat sistemi” dersindedir.

Vektörler ve doğrusal işlemler

Tanım

Vektör (向量)

Hem büyüklüğü hem yönü olan bir nicelik; başlangıç noktası A, bitiş noktası B olan yönlü AB⃗ doğru parçasıyla çizilir. Uzunluğu |AB⃗|, vektörün uzunluğudur (normu). Bir vektör kendine paralel taşınabilir: uzunlukları ve yönleri aynı olan vektörler nereye çizilirse çizilsin eşittir. Bu derste vektörleri okla yazıyoruz — a⃗, AB⃗; basılı kitaplarda çoğu zaman kalın harfle (a) gösterilirler.

Tanım

Sıfır, birim, zıt ve paralel vektörler

Sıfır vektörü 0⃗: uzunluğu 0'dır, belirli bir yönü yoktur. Birim vektör: uzunluğu 1'dir; a⃗/|a⃗|, a⃗ yönündeki birim vektördür. Zıt vektörler: uzunlukları eşit, yönleri zıttır; örneğin BA⃗ = −AB⃗. Paralel (doğrudaş) vektörler: yönleri aynı ya da zıttır. Çin ders kitapları 0⃗'ı her vektöre paralel sayar; bu, “hangi ifade doğrudur” sorularında sevilen bir tuzaktır.

Vektörler okları art arda izleyerek toplanır: A'dan B'ye, sonra B'den C'ye gidersek sonuç A'dan C'ye olan yoldur (üçgen kuralı). İki vektör aynı noktadan başlıyorsa paralelkenara tamamlarız: o noktadan çıkan köşegen toplamdır (paralelkenar kuralı). Çıkarma, zıt vektörü eklemektir; başlangıçlar ortaksa a⃗ − b⃗, b⃗'nin ucundan a⃗'nın ucuna yönelir. Bir λ sayısıyla çarpma vektörü |λ| kat uzatır, λ < 0 ise yönünü de ters çevirir.

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ AB⃗ + AD⃗ = AC⃗ (ABCD paralelkenar) AB⃗ − AC⃗ = CB⃗ |λa⃗| = |λ| · |a⃗|

burada:

AB⃗ + BC⃗üçgen kuralı: birinci vektörün ucu ikincinin başlangıcıdır
AB⃗ + AD⃗paralelkenar kuralı: başlangıç ortak, toplam köşegendir
AB⃗ − AC⃗başlangıç ortak: fark, çıkan vektörün ucundan diğerinin ucuna yönelir
λa⃗λ > 0: a⃗ ile aynı yön; λ < 0: zıt yön; λ = 0: 0⃗

Ok zinciri: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + … + YZ⃗ = AZ⃗; içteki harfler sadeleşir. Bilinen kurallar geçerlidir: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗, λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗.

İki köşegen de aynı iki vektordan gelir: toplam ortak başlangıçtan, fark ise uçlar arasından.

Örnek 1: ok zincirleri ve paralelkenar

1) AB⃗ + CD⃗ + BC⃗ ifadesini sadeleştirin.
2) AB⃗ − AD⃗ − DC⃗ ifadesini sadeleştirin.
3) ABCD paralelkenarında AB⃗ = a⃗, AD⃗ = b⃗ ve O köşegenlerin kesişim noktasıdır. AC⃗, BD⃗ ve OC⃗ vektörlerini a⃗ ve b⃗ cinsinden yazın.

Çözümü göster

1) Terimlerin yerini, oklar zincir oluşturacak biçimde değiştirelim: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗.
2) AB⃗ − AD⃗ = DB⃗ (ortak başlangıç A: D ucundan B ucuna); DB⃗ − DC⃗ = CB⃗.
3) Paralelkenar kuralı: AC⃗ = a⃗ + b⃗. BD⃗ = AD⃗ − AB⃗ = b⃗ − a⃗ (a⃗ − b⃗ değil; o, DB⃗'dir). Köşegenler birbirini ortalar: OC⃗ = ½AC⃗ = ½(a⃗ + b⃗).

Örnek 2 (CSCA biçimi): hangi ifade doğrudur?

Hangi ifade doğrudur? (a⃗ ≠ 0⃗)
A) |a⃗| = |b⃗| ise a⃗ = b⃗'dir.
B) a⃗ ∥ b⃗ ve b⃗ ∥ c⃗ ise a⃗ ∥ c⃗'dir.
C) −2a⃗ vektörü a⃗ ile zıt yönlüdür ve ondan iki kat uzundur.
D) AB⃗ ile BA⃗ eşit vektörlerdir.

Çözümü göster

A yanlış: uzunlukların eşitliği yönler hakkında bir şey söylemez. B yanlış: b⃗ = 0⃗ ise hem a⃗'ya hem c⃗'ye paraleldir; a⃗ ile c⃗ ise herhangi bir yönde olabilir. D yanlış: bunlar zıt vektörlerdir, BA⃗ = −AB⃗. C doğru: λ = −2 < 0 yönü ters çevirir, |−2| = 2 uzunluğu iki katına çıkarır ⇒ cevap C.
En çekici yanlış B'dir: “üçüncü bir doğruya paralel iki doğru birbirine paraleldir” kuralı doğrular için geçerlidir, vektörler için ise yalnızca b⃗ ≠ 0⃗ olduğunda.

Koordinatlar, uzunluk ve paralellik

Paralel olmayan herhangi iki e⃗₁, e⃗₂ vektörü bir taban oluşturur: düzlemdeki her vektör tek bir biçimde λ₁e⃗₁ + λ₂e⃗₂ olarak yazılabilir (düzlem vektörlerinin temel teoremi, 平面向量基本定理). En kullanışlı taban i⃗ = (1, 0) ve j⃗ = (0, 1)'dir: a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ ise (x, y) ikilisi a⃗'nın koordinatlarıdır. a⃗'nın başlangıcını orijine koyarsak bitiş noktasının koordinatları da aynıdır. Bundan sonra her işlem sıradan bir hesaba dönüşür.

AB⃗ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) a⃗ ± b⃗ = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂) λa⃗ = (λx₁, λy₁) |a⃗| = √(x₁² + y₁²)

burada:

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)vektörün başlangıç ve bitiş noktaları: koordinatlar “bitiş eksi başlangıç”tır
a⃗ = (x₁, y₁), b⃗ = (x₂, y₂)vektörlerin koordinatları; her işlem bileşen bileşen yapılır
|a⃗|vektörün uzunluğu (Pisagor); |AB⃗|, A ile B arasındaki uzaklıktır

AB'nin orta noktası ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)'dir. Eşit vektörlerin koordinatları eşittir; paralelkenarın dördüncü köşesi böyle bulunur.

Örnek 3: koordinatlarla işlem

1) A(1, 2), B(4, −2). AB⃗'yi, |AB⃗|'yi ve AB⃗ yönündeki birim vektörü bulun.
2) a⃗ = (3, 1), b⃗ = (0, −2). 2a⃗ − 3b⃗ vektörünü ve uzunluğunu bulun.
3) ABCD paralelkenarında A(−1, 0), B(2, 1), C(3, 4). D'yi bulun.

Çözümü göster

1) AB⃗ = (4 − 1, −2 − 2) = (3, −4), |AB⃗| = √(9 + 16) = 5, birim vektör (3/5, −4/5).
2) 2a⃗ − 3b⃗ = (6, 2) − (0, −6) = (6, 8), uzunluğu √(36 + 64) = 10.
3) ABCD'de AD ile BC kenarları eşit ve aynı yönlüdür: AD⃗ = BC⃗ = (1, 3). D = A + (1, 3) = (0, 3). Kısa yol: D = A + C − B. Harflerin sırası önemlidir: “ABDC” için cevap farklı olurdu.

a⃗ ∥ b⃗ (b⃗ ≠ 0⃗) ⇔ a⃗ = λb⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0

burada:

λa⃗ = λb⃗ eşitliğindeki sayı: λ > 0 aynı yön, λ < 0 zıt yön
x₁y₂ − x₂y₁“çapraz” fark: yalnızca koordinatlar orantılı olduğunda sıfırdır

A, B, C noktaları doğrusaldır ⇔ AB⃗ ∥ AC⃗. x₁/x₂ = y₁/y₂ orantısı yerine x₁y₂ − x₂y₁ = 0 biçimini kullan: bir koordinat 0 olduğunda da işe yarar.

Örnek 4: paralel vektörler ve doğrusal noktalar

1) a⃗ = (2, 3), b⃗ = (x, −6) ve a⃗ ∥ b⃗. x'i bulun.
2) A(1, 1), B(3, 5) ve C(4, 7) noktaları doğrusal mıdır?
3) a⃗ = (1, 2), b⃗ = (2, −1). k'nın hangi değeri için ka⃗ + b⃗ vektörü a⃗ − 2b⃗'ye paraleldir?

Çözümü göster

1) 2 · (−6) − 3x = 0 ⇒ x = −4; o zaman b⃗ = −2a⃗ ve vektörler zıt yönlüdür.
2) AB⃗ = (2, 4), AC⃗ = (3, 6): 2 · 6 − 3 · 4 = 0 ⇒ evet, noktalar doğrusaldır.
3) ka⃗ + b⃗ = (k + 2, 2k − 1), a⃗ − 2b⃗ = (−3, 4). (k + 2) · 4 − (−3)(2k − 1) = 10k + 5 = 0 ⇒ k = −½. Aşağıdaki kısa yol aynı sonucu tek satırda verir: k · (−2) − 1 · 1 = 0.

İç çarpım: açı, uzunluk, izdüşüm

Tanım

Vektörler arasındaki açı (夹角)

İki vektörü aynı noktadan çizeriz; aralarındaki θ açısı 0 ≤ θ ≤ π (0° ≤ θ ≤ 180°) koşulunu sağlar. θ = 0 aynı yön, θ = π zıt yön, θ = π/2 dik vektörler demektir: a⃗ ⊥ b⃗.

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|) a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|) a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

burada:

a⃗ · b⃗iç (skaler) çarpım (数量积) — vektör değil, bir sayıdır
θvektörler arasındaki açı, 0 ≤ θ ≤ π
x₁x₂ + y₁y₂koordinatlarla iç çarpım: karşılıklı koordinatları çarp ve topla

İşaret açıyı söyler: a⃗ · b⃗ > 0 ise θ dar açıdır (ya da 0), = 0 ise dik açı, < 0 ise θ geniş açıdır (ya da π). Ayrıca a⃗ · a⃗ = |a⃗|²; bu yüzden uzunlukla ilgili her soru bir iç çarpım sorusuna dönüşür.

Örnek 5: koordinatlarla açı ve diklik

1) a⃗ = (1, 2) ile b⃗ = (3, 1) arasındaki açıyı bulun.
2) a⃗ = (2, −1), b⃗ = (m, 4) ve a⃗ ⊥ b⃗. m'yi bulun.
3) m'nin hangi değerleri için a⃗ = (1, 2) ile b⃗ = (m, 1) arasındaki açı dar açıdır?

Çözümü göster

1) a⃗ · b⃗ = 3 + 2 = 5, |a⃗| = √5, |b⃗| = √10. cos θ = 5/√50 = 5/(5√2) = √2/2 ⇒ θ = π/4 (45°).
2) 2m + (−1) · 4 = 0 ⇒ m = 2.
3) Dar açı ⇔ a⃗ · b⃗ > 0 ve vektörler aynı yönlü değil. a⃗ · b⃗ = m + 2 > 0 ⇒ m > −2. Aynı yön: 1 · 1 − 2m = 0 ⇒ m = ½; o zaman b⃗ = ½a⃗ ve θ = 0. Cevap: m > −2, m ≠ ½.

|a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² ± 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|² (a⃗ + b⃗) · (a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|²

burada:

|a⃗ ± b⃗|toplamın (farkın) uzunluğu — paralelkenarın köşegenleri
2a⃗ · b⃗orta terim; θ = 90° olduğunda sıfırdır ve geriye Pisagor teoremi kalır

Uzunluğun karesini al ve (x ± y)² gibi aç; bu, kosinüs teoreminin vektör biçimidir (bkz. “Üçgen çözümü: sinüs ve kosinüs teoremleri”).

Örnek 6 (CSCA biçimi): |2a⃗ − b⃗|

|a⃗| = 2, |b⃗| = 3 ve a⃗ ile b⃗ arasındaki açı π/3'tür. |2a⃗ − b⃗| kaçtır?
A) 13 B) √13 C) √37 D) 1

Çözümü göster

a⃗ · b⃗ = 2 · 3 · cos(π/3) = 3. |2a⃗ − b⃗|² = 4|a⃗|² − 4a⃗ · b⃗ + |b⃗|² = 16 − 12 + 9 = 13 ⇒ |2a⃗ − b⃗| = √13, cevap B.
A'da karekök unutulmuştur; C, +4a⃗ · b⃗ alır (bu, |2a⃗ + b⃗|'dir); D ise vektörler paralelmiş gibi uzunlukları çıkarır: 2 · 2 − 3.

Örnek 7: koordinatsız uzunluklar ve açılar

1) |a⃗| = |b⃗| = 1 ve aralarındaki açı 2π/3'tür. |a⃗ + b⃗| ve |a⃗ − b⃗|'yi bulun.
2) |a⃗| = √2, |b⃗| = 2 ve (a⃗ − b⃗) ⊥ a⃗. a⃗ ile b⃗ arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

1) a⃗ · b⃗ = cos(2π/3) = −½. |a⃗ + b⃗|² = 1 − 1 + 1 = 1 ⇒ |a⃗ + b⃗| = 1; |a⃗ − b⃗|² = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ |a⃗ − b⃗| = √3. Şekil: bir açısı 120° olan eşkenar dörtgen; kısa köşegeni kenarına eşittir.
2) (a⃗ − b⃗) · a⃗ = |a⃗|² − a⃗ · b⃗ = 0 ⇒ a⃗ · b⃗ = 2. cos θ = 2/(√2 · 2) = √2/2 ⇒ θ = π/4.

a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümü (sayı): |a⃗| cos θ = a⃗ · b⃗ / |b⃗| izdüşüm vektörü: (a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümü (sayı): |a⃗| cos θ = a⃗ · b⃗ / |b⃗| izdüşüm vektörü: (a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗

burada:

|a⃗| cos θa⃗'nın b⃗ doğrultusundaki “gölgesinin” işaretli uzunluğu; θ geniş açıysa negatiftir
(a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗(a⃗ · b⃗ / |b⃗|²) · b⃗aynı gölge bir vektör olarak: b⃗'ye paraleldir, uzunluğu ||a⃗| cos θ|'dır

İç çarpımın geometrik anlamı: a⃗ · b⃗ = |b⃗| × (a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümü). Soruyu dikkatle oku: sayı mı soruluyor, vektör mü? Eski Çin ders kitapları |a⃗| cos θ sayısına 投影 der, bugünküler ise izdüşüm vektörünü (投影向量) kullanır.

Örnek 8: izdüşümler

1) a⃗ = (4, 2), b⃗ = (3, 4). a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümünü, izdüşüm vektörünü ve b⃗'nin a⃗ üzerine izdüşümünü bulun.
2) |a⃗| = 4, |b⃗| = 3 ve aralarındaki açı 2π/3'tür. a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümünü ve izdüşüm vektörünü bulun.

Çözümü göster

1) a⃗ · b⃗ = 12 + 8 = 20, |b⃗| = 5. İzdüşüm 20/5 = 4; izdüşüm vektörü (20/25) · (3, 4) = (12/5, 16/5) (uzunluğu 4 ✓). b⃗'nin a⃗ üzerine izdüşümü 20/|a⃗| = 20/(2√5) = 2√5'tir; farklı bir sayı: izdüşüm simetrik değildir.
2) |a⃗| cos θ = 4 · (−½) = −2: gölge b⃗'nin tersine yönelir. İzdüşüm vektörü: −2 · b⃗/|b⃗| = −⅔b⃗.

Üçgende vektörler

Bir şekilde aynı köşeden çıkan paralel olmayan iki vektörü — üçgende genellikle AB⃗ ile AC⃗'yi — taban olarak seçer, diğer bütün vektörleri onlarla yazarız. CSCA sorularının çoğunu üç sonuç çözer: kenarortay, bir kenarı verilen oranda bölen nokta ve ağırlık merkezi. Dördüncü sonuç, bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını söyler.

D, BC'nin orta noktası: AD⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗) D ∈ BC, BD⃗ = t · BC⃗: AD⃗ = (1 − t)AB⃗ + t · AC⃗ G ağırlık merkezi: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗, AG⃗ = ⅓(AB⃗ + AC⃗) OP⃗ = λOA⃗ + μOB⃗: P, AB doğrusu üzerindedir ⇔ λ + μ = 1

burada:

tBD : BC oranı (0 ≤ t ≤ 1 için D doğru parçası üzerindedir)
Gkenarortayların kesişim noktası; her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler
OAB doğrusu dışında herhangi bir nokta

Katsayılar “çaprazdır”: D, C'ye ne kadar yakınsa AC⃗'nin katsayısı o kadar büyüktür. Orta nokta için t = ½; ağırlık merkezinin koordinatları köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Örnek 9: kenarortay, bölen nokta, ağırlık merkezi

1) ABC üçgeninde D noktası BC üzerindedir ve BD⃗ = 2DC⃗. AD⃗'yi AB⃗ ve AC⃗ cinsinden yazın.
2) G, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir; AB⃗ = a⃗, AC⃗ = b⃗. BG⃗'yi yazın.
3) O noktası AB doğrusu üzerinde değildir, OP⃗ = ⅓OA⃗ + x · OB⃗ ve P, AB doğrusu üzerindedir. x'i bulun.

Çözümü göster

1) BD = ⅔BC, yani t = ⅔: AD⃗ = AB⃗ + ⅔BC⃗ = AB⃗ + ⅔(AC⃗ − AB⃗) = ⅓AB⃗ + ⅔AC⃗.
2) AG⃗ = ⅓(a⃗ + b⃗), BG⃗ = AG⃗ − AB⃗ = −⅔a⃗ + ⅓b⃗.
3) λ + μ = 1: ⅓ + x = 1 ⇒ x = ⅔.

1
Orijini seç
Dik açıyı ya da simetri noktasını orijine, kenarları eksenler boyunca yerleştir (kare, dikdörtgen, dik üçgen; eşkenar üçgende bir kenarın orta noktası).
2
Koordinatları yaz
Gereken bütün noktaların koordinatlarını yaz; orta nokta, uçların koordinatlarının ortalamasıdır.
3
Vektörleri kur
Her vektör “bitiş eksi başlangıç”tır.
4
Hesapla
İç çarpım x₁x₂ + y₁y₂, uzunluk √(x² + y²), cos θ; sonra seçeneklerle karşılaştır.

Örnek 10 (CSCA biçimi): eşkenar üçgen

Kenarı 2 olan ABC eşkenar üçgeninde AB⃗ · BC⃗ kaçtır?
A) 2 B) −2 C) 2√3 D) −1

Çözümü göster

Vektörleri ortak başlangıca taşıyalım: AB⃗ ile BC⃗ arasındaki açı 180° − 60° = 120°'dir. AB⃗ · BC⃗ = 2 · 2 · cos 120° = 4 · (−½) = −2, cevap B.
A en sık yapılan hatadır: üçgenin 60°'lik açısını almak. C, cos yerine sin 60° kullanır. D uzunluklardan birini unutur.

Örnek 11 (CSCA biçimi): dikdörtgende koordinat yöntemi

ABCD dikdörtgeninde AB = 4, BC = 3 ve M, CD kenarının orta noktasıdır. AM⃗ · BM⃗ kaçtır?
A) 5 B) 13 C) −5 D) 0

Çözümü göster

Koordinatlar: A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3), M(2, 3). AM⃗ = (2, 3), BM⃗ = (−2, 3). AM⃗ · BM⃗ = −4 + 9 = 5, cevap A.
B, |AM⃗|²'dir; AM⃗'nin kendisiyle iç çarpımı. C, BM⃗ yerine MB⃗ alır. D, AMB açısını dik sayar; bu yalnızca AB = 2BC olduğunda doğrudur.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

CSCA matematik testinde 60 dakikada 48 soru vardır; soru başına yaklaşık 75 saniye. Vektör soruları 1–3 adımlıktır; tipik kalıplar:

koordinatlar verilir: doğrusal bileşim, uzunluk, birim vektör, ∥ ya da ⊥ koşulundan parametre;
uzunluklar ve açı verilir: a⃗ · b⃗, |a⃗ ± b⃗| ya da açı; uzunluğun karesini al;
izdüşüm: önce sayı mı vektör mü sorulduğuna bak;
şekilde vektörler: bir vektörü verilen iki vektörle yaz, orta nokta ya da ağırlık merkezi, λ + μ = 1;
üçgende, karede, dikdörtgende iç çarpım: açı ortak başlangıçtan ya da koordinatlarla;
“hangi ifade doğrudur”: sıfır vektörü, eşit ve paralel vektörler, iç çarpımın özellikleri.

Terim (İngilizcesi)	中文	Pinyin
vektör — vector	向量	xiàngliàng
vektörün uzunluğu — magnitude	向量的模	xiàngliàng de mó
sıfır vektörü / birim vektör — zero vector / unit vector	零向量 / 单位向量	líng xiàngliàng / dānwèi xiàngliàng
zıt vektörler — opposite vectors	相反向量	xiāngfǎn xiàngliàng
paralel vektörler — collinear (parallel) vectors	共线向量 / 平行向量	gòngxiàn xiàngliàng / píngxíng xiàngliàng
üçgen / paralelkenar kuralı — triangle / parallelogram rule	三角形法则 / 平行四边形法则	sānjiǎoxíng fǎzé / píngxíng sìbiānxíng fǎzé
bir vektörün bir sayıyla çarpımı — scalar multiplication	数乘	shùchéng
taban — basis	基底	jīdǐ
iç çarpım — dot (scalar) product	数量积	shùliàngjī
vektörler arasındaki açı — angle between vectors	夹角	jiājiǎo
izdüşüm vektörü — projection vector	投影向量	tóuyǐng xiàngliàng
dik — perpendicular	垂直	chuízhí
ağırlık merkezi — centroid	重心	zhòngxīn

Sınav İngilizce ya da Çince verilir; terimleri iki dilde de tanı.

Önemli noktalar

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗; paralelkenarda ortak başlangıçtan çıkan köşegen a⃗ + b⃗, uçlar arasındaki a⃗ − b⃗'dir; AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
AB⃗ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁), |a⃗| = √(x² + y²); a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0.
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ bir sayıdır; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0; açı, vektörler aynı noktadan çizilince ölçülür.
|a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² ± 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|²; a⃗'nın b⃗ üzerine izdüşümü a⃗ · b⃗/|b⃗|, izdüşüm vektörü (a⃗ · b⃗/|b⃗|²)b⃗'dir.
Kenarortay: AD⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗); ağırlık merkezi: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗; OP⃗ = λOA⃗ + μOB⃗ ve P ∈ AB ⇔ λ + μ = 1.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

a⃗ = (3, −2), b⃗ = (4, 5). a⃗ · b⃗ kaçtır?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla