Формулы и лайфхаки

Каждый элемент либо входит в подмножество, либо нет: 2 варианта на элемент, всего 2ⁿ. Для собственных подмножеств убираем само множество, для непустых собственных — ещё и ∅.

Объединение — «или», пересечение — «и», дополнение — «не». Дополнение всегда берётся до U; если для числовых множеств U не указано, U = R. Всегда A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B, а равенства A ∩ B = A и A ∪ B = B означают A ⊆ B.

Законы де Моргана: дополнение превращает объединение в пересечение, а пересечение — в объединение. «Не (A или B)» = «не A и не B».

В сумме |A| + |B| общая часть посчитана дважды, поэтому её вычитают один раз.

Сложи одиночные, вычти попарные, добавь тройное: центр трижды прибавлен и трижды вычтен, поэтому его нужно прибавить ещё раз.

Картина на языке множеств: условие с меньшим множеством решений влечёт условие с большим. «Малое ⇒ большое»: меньшее множество — достаточное условие, большее — необходимое (в китайских учебниках 小范围推出大范围).

Единственное правило, меняющее знак: умножение или деление на отрицательное число. На выражение неизвестного знака, например x − 3, умножать вообще нельзя.

«Больше — вне корней, меньше — между корнями» (при a > 0). Если a < 0, сначала умножь неравенство на −1 и смени знак.

Для «≥ 0 при всех x» нужно D ≤ 0 (касание допускается). Для «< 0 при всех x» — a < 0 и D < 0.

|x − c| < a: x удалено от c меньше чем на a; |x − c| > a: больше чем на a. Для |f(x)| < a решай двойное неравенство −a < f(x) < a.

Сложная функция (复合函数): порядок важен, в общем случае f(g(x)) ≠ g(f(x)). Если D(f) = [m; n], то область определения f(g(x)) — множество решений неравенств m ≤ g(x) ≤ n.

Возрастающая + возрастающая = возрастающая; −f меняет направление, 1/f тоже (если f сохраняет знак). Для y = f(g(x)): если f и g меняются в одном направлении, сложная функция возрастает, если в разных — убывает (同增异减). Монотонность любой функции даёт производная: урок «Применения производной: монотонность и экстремумы».

нечётная ± нечётная = нечётная, чётная ± чётная = чётная; нечётная · нечётная = чётная, чётная · чётная = чётная, нечётная · чётная = нечётная — как знаки «+» и «−». Многочлен только с чётными степенями (и константой) — чётный, только с нечётными — нечётный.

Изменения внутри скобок действуют по горизонтали и «наоборот» (x − 2 сдвигает вправо, 2x сжимает); снаружи — по вертикали и «как написано». Китайские школьники запоминают сдвиги так: 左加右减，上加下减 — «влево — прибавь, вправо — вычти; вверх — прибавь, вниз — вычти».

Графики f и f⁻¹ симметричны относительно прямой y = x. Самая важная пара, y = aˣ и y = logₐ x, — в уроке «Логарифмы и логарифмическая функция». Внимание: f⁻¹(x) — это не 1/f(x).

Если чётная функция убывает на [0; +∞), знак меняется: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| > |x₂|.

В первой четверти все степенные кривые пересекаются в (1; 1): «после 1 большой показатель выигрывает, до 1 — проигрывает» (2³ > 2², но 0,5³ < 0,5²). Чётность зависит от несократимой дроби α = p/q: q нечётно, p чётно — чётная (x^(2/3)); q нечётно, p нечётно — нечётная (x^(3/5)); q чётно — определена только при x ≥ 0, ни чётная, ни нечётная (x^(3/4)).

Для y = a^(kx + m) + n точка, где показатель равен 0, не зависит от a: kx + m = 0, y = 1 + n.

Равные основания ⇒ равные показатели, потому что y = aˣ монотонна. В неравенстве основание больше 1 сохраняет знак, а основание между 0 и 1 меняет его. В отличие от логарифмов, шага «область определения» нет: aˣ определена при любом x. Если основания уравнять нельзя (2ˣ = 5), ответ — логарифм, x = log₂ 5, см. урок «Логарифмы и логарифмическая функция».

«Одна сторона ⇒ больше 1»: 1,2^0,3 > 1 (оба множителя положительны), 0,7^(−2) > 1 (оба отрицательны), 0,7^0,3 < 1 и 1,2^(−0,3) < 1 (знаки разные).

Определение и основные тождества. a^(logₐ N) = N — основное логарифмическое тождество (对数恒等式): возведение в степень и логарифмирование «отменяют» друг друга. В китайских учебниках и в CSCA пишут lg и ln.

В обоих случаях положительным должен быть меньший аргумент — тогда больший положителен автоматически. Число сначала запиши как логарифм: 3 = log₂ 8, −1 = log_(1/3) 3.

У sin x оси x = π/2 + kπ и центры (kπ; 0); у cos x оси x = kπ и центры (π/2 + kπ; 0). Соседние оси отстоят на T/2, ось и ближайший центр — на T/4. У тангенсоиды осей нет, а центры — точки (kπ/2; 0).

Возможен и другой порядок — сначала сжатие, потом сдвиг, — но тогда сдвиг равен φ/ω, так как sin(ωx + φ) = sin ω(x + φ/ω): сдвиг всегда действует на сам x, а не на ωx.

При |a| < 1 у sin x = a на каждом периоде два корня, симметричных относительно оси x = π/2 + 2kπ, у cos x = a — два корня, симметричных относительно x = 2kπ; у tg x = a — один корень на каждом периоде π.

Половина произведения двух сторон на синус угла между ними. Вместе с теоремой синусов отсюда получается и S = abc/(4R).

A острый: a < h — треугольника нет; a = h — один прямоугольный; h < a < b — два; a ≥ b — один. A прямой или тупой: при a > b один треугольник, при a ≤ b — ни одного.

Это следует из cos C = (a² + b² − c²)/(2ab): знак числителя — это знак cos C. Треугольник остроугольный, если его наибольший угол острый, поэтому проверяй только наибольшую сторону.

Если суммы номеров равны, равны и суммы членов (等差数列的性质). С обеих сторон должно быть одинаковое число членов: a₁ + a₉ = a₄ + a₆ = 2a₅, но a₁ + a₉ ≠ a₁₀. Последовательные блоки по k членов — Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖ — снова образуют арифметическую прогрессию с разностью k²d.

Мультипликативный вариант свойства номеров из арифметической прогрессии. Последовательные блоки по k членов — Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖ — образуют геометрическую прогрессию со знаменателем qᵏ (при Sₖ ≠ 0). Кроме того, a₁a₂…a₂ₖ₋₁ = aₖ²ᵏ⁻¹: произведение нечётного числа членов равно среднему члену в этой степени.

Верно для любой последовательности, не только геометрической. Sₙ − Sₙ₋₁ — это последний член aₙ, но только при n ≥ 2, потому что S₀ в условие не входит. Всегда проверяй, даёт ли формула для n ≥ 2 также a₁ = S₁; если нет, ответ записывают по частям.

Степенная и тригонометрические функции. Частные случаи, которые стоит знать наизусть: (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x².

Производная сложной функции (复合函数): производная внешней функции × производная внутренней. Китайская школьная программа ограничивает сложные функции видом f(ax + b), поэтому прежде всего ждите этот случай.

Уравнение касательной в точке x₀ (через точку и угловой коэффициент).

Физический смысл производной: скорость — это скорость изменения координаты, ускорение — скорость изменения скорости (см. урок «Кинематика: перемещение, скорость, ускорение, свободное падение»).

Достаточное условие, но не необходимое: y = x³ возрастает на всей прямой, хотя y′(0) = 0. В задаче с параметром («f возрастает на I») требуют f′(x) ≥ 0 на I (нули — лишь в отдельных точках).

Проверка по первой производной. Одного f′(x₀) = 0 недостаточно: у y = x³ y′(0) = 0, но y′ > 0 с обеих сторон — экстремума нет.

Непрерывная на отрезке функция всегда достигает наибольшего (最大值) и наименьшего (最小值) значений — в критической точке или на конце. Схема знаков не нужна: достаточно сравнить числа.

Формула Ньютона — Лейбница, основная теорема анализа (微积分基本定理). Если f ≥ 0 на [a; b], интеграл равен площади под кривой; для скорости v(t) ≥ 0 — пройденному пути.

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку: 2 и −1/2, −3/4 и 4/3. Признак требует, чтобы оба коэффициента существовали: вертикальная прямая перпендикулярна любой горизонтальной, хотя углового коэффициента у неё нет.

Эти условия верны для всех прямых, включая вертикальные, поэтому в задачах с параметром они самые надёжные. Параллельная прямая сохраняет A и B и меняет только C; перпендикулярная меняет A и B местами и один знак: Ax + By + C = 0 → Bx − Ay + C′ = 0.

Это возведённая в квадрат формула расстояния |PC| = √((x − a)² + (y − b)²) = r. Точка P лежит внутри окружности, на ней или вне её, если |PC| меньше r, равно r или больше r. В некоторых англоязычных книгах центр обозначают (h; k); CSCA и китайские учебники пишут (a; b).

По-китайски эти три случая называются 相交 (пересекаются), 相切 (касаются) и 相离 (не имеют общих точек). Алгебраическая проверка даёт тот же результат: подстановка прямой в уравнение окружности даёт квадратное уравнение, и Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 соответствуют трём случаям.

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому r, d и половина хорды образуют прямоугольный треугольник (см. рисунок).

Первые две формулы дают касательную в точке окружности («одно x заменяем на x₀, одно y — на y₀»). Они верны, потому что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; тот же прямой угол по теореме Пифагора даёт |PT|. Из точки вне окружности проходят ровно две касательные, из точки на окружности — одна, из точки внутри — ни одной.

Если две окружности пересекаются, вычитание их общих уравнений убирает x² и y² и оставляет прямую через обе общие точки — прямую общей хорды (公共弦).

Конец малой оси B₂(0; b) равноудалён от обоих фокусов, а сумма этих расстояний равна 2a, поэтому |B₂F₁| = |B₂F₂| = a. В прямоугольном треугольнике OB₂F₂ катеты b и c, гипотенуза a: в эллипсе a — наибольшее из трёх чисел.

Для хорды: |AF₁| + |AF₂| = 2a и |BF₁| + |BF₂| = 2a, а |AF₁| + |BF₁| = |AB|. Сложив, получаем |AB| + |AF₂| + |BF₂| = 4a при любом направлении хорды.

Расстояние от точки эллипса до фокуса называют фокальным радиусом (焦半径). Подстановка y₀² = b²(1 − x₀²/a²) в |PF₂|² = (x₀ − c)² + y₀² даёт (a − ex₀)², то есть фокальный радиус линейно зависит от x₀: он наименьший, a − c, в ближайшей к фокусу вершине и наибольший, a + c, в дальней.

Та же формула длины хорды годится для любой кривой, в том числе для параболы и гиперболы; |x₁ − x₂| находят по теореме Виета, не решая уравнение.

На ветви, ближайшей к F₂: |PF₁| − |PF₂| = 2a, на другой ветви — наоборот. Ближе всего точка гиперболы подходит к фокусу в вершине: на расстояние c − a.

Цепочка стрелок: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + … + YZ⃗ = AZ⃗ — внутренние буквы сокращаются. Выполняются обычные законы: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗, λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗.

Середина отрезка AB: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). У равных векторов равные координаты — так находят четвёртую вершину параллелограмма.

Точки A, B, C лежат на одной прямой ⇔ AB⃗ ∥ AC⃗. Пользуйся формой x₁y₂ − x₂y₁ = 0, а не пропорцией x₁/x₂ = y₁/y₂: она работает и тогда, когда одна из координат равна 0.

Возведи длину в квадрат и раскрой скобки, как (x ± y)², — это теорема косинусов в векторной форме (см. «Решение треугольников: теорема синусов и теорема косинусов»).

Коэффициенты «перекрёстные»: чем ближе D к C, тем больше коэффициент при AC⃗. Для середины t = ½; координаты точки пересечения медиан — средние арифметические координат вершин.

В китайских учебниках: 实数 (b = 0), 虚数 (b ≠ 0), 纯虚数 (a = 0, b ≠ 0). Внимание: во многих англоязычных книгах «imaginary number» — только число вида bi, а в китайском смысле 3 + 2i уже 虚数. Комплексные числа могут быть равны или не равны, но, если они не оба действительные, сравнивать их знаками < и > нельзя.

Четверти: I — a > 0, b > 0; II — a < 0, b > 0; III — a < 0, b < 0; IV — a > 0, b < 0. Число на оси не лежит ни в одной четверти.

Квадраты, которые стоит помнить: (a + bi)² = (a² − b²) + 2abi, (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i.

Степени идут по кругу i → −1 → −i → 1 с периодом 4, поэтому сумма четырёх последовательных степеней всегда равна 0. Так же с отрицательными показателями: i⁻¹ = −i, i⁻² = −1.

Разверни боковую поверхность: у цилиндра получится прямоугольник 2πr × h, у конуса — сектор радиуса l с дугой длины 2πr, его центральный угол равен 360° · r/l. У призмы и пирамиды просто сложи площади всех граней.

Спроси себя: дело закончено после одного выбора (складывай) или только после всех шагов (умножай)?

Последняя формула — включение–исключение из урока «Множества и операции над ними»: иначе общая часть AB была бы посчитана дважды. Противоположные события всегда несовместны, но не наоборот.

Если A и B независимы, то независимы и Ā и B, A и B̄, Ā и B̄. Ровно одно из двух: P = p₁(1 − p₂) + (1 − p₁)p₂.

Оценки по гистограмме: среднее ≈ Σ середина интервала × относительная частота; мода ≈ середина самого высокого столбца; медиана — точка x, левее которой площадь равна 0,5.

Медиана, мода и процентили меняются так же, как среднее (при a > 0); размах и стандартное отклонение умножаются на |a|. Сдвиг b разброс никогда не меняет.

E(X) — среднее значение X при многократном повторении опыта, D(X) — мера разброса вокруг него. Это формулы урока о данных, где относительные частоты заменены вероятностями. Китайские учебники пишут E(X) и D(X).

Те же правила, что и для данных (см. урок «Числовые характеристики данных»): сдвиг b меняет математическое ожидание, но никогда не меняет дисперсию.

B(1, p) — двухточечное распределение. Для биномиальной величины D/E = 1 − p — быстрый способ найти p и n.

Китайские учебники дают именно эти значения (в старых книгах 0,6826; 0,9544; 0,9974); в заданиях CSCA их обычно приводят в условии. Они верны для любого нормального распределения, каковы бы ни были μ и σ.

В одном направлении скорости вычитаются, навстречу — складываются. Расстояние L между телами сокращается до нуля за t = L / |v_AB|.

Площадь над осью t — положительное перемещение, под осью — отрицательное. Перемещение — сумма со знаками, путь — сумма модулей.

Закон Гука (胡克定律) выполняется в пределах упругости. Сила всегда направлена так, чтобы вернуть пружине исходную длину.

Трение зависит от N и μ; оно не зависит от площади соприкосновения, а трение скольжения — и от скорости.

Правило параллелограмма (平行四边形定则). Когда θ растёт от 0° до 180°, R убывает от F₁ + F₂ до |F₁ − F₂|.

Ортогональное разложение (正交分解): замени наклонную силу двумя перпендикулярными составляющими, затем запиши равновесие по каждой оси отдельно.

Тело на наклонной плоскости без других сил. Если оно скользит вниз равномерно, μmg cos θ = mg sin θ, то есть μ = tg θ — от массы не зависит.

Второй закон Ньютона (牛顿第二定律). Это векторный закон, он выполняется в каждый момент: когда меняется равнодействующая, в тот же миг меняется ускорение. 1 Н = 1 кг · м/с².

Тело на шероховатой наклонной плоскости без других сил. При скольжении вниз трение направлено вверх и вычитается; при скольжении вверх и составляющая тяжести, и трение направлены вниз и складываются. Если μ ≥ tg θ, покоящееся тело не начнёт скользить.

Сила тяжести mg в лифте не меняется; меняется только сила реакции опоры.

В китайских учебниках пишут W = Fl cos α (l — перемещение); в CSCA работа обозначается W, мощность — P, а в школьных учебниках часто A и N. Работу совершает только составляющая F cos α вдоль движения.

Работы — скаляры: складывай их как числа со знаками, а не как векторы.

Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты, но не от траектории: при спуске она положительна и Ep уменьшается, при подъёме отрицательна и Ep растёт.

Теплота определяется путём относительного скольжения, а не путём относительно земли. Для бруска, скользящего по неподвижному полу, s_rel — просто путь бруска.

В отличие от работы, импульс силы не равен нулю, даже если тело не сдвинулось: важно время, а не путь.

По-китайски 动量定理. Это второй закон Ньютона в форме F = Δp/Δt: импульс равнодействующей равен изменению импульса тела.

Условия: 1) сумма внешних сил равна нулю (гладкая горизонтальная поверхность: сила тяжести и реакция опоры уравновешены); 2) при коротком ударе или взрыве внешние силы много меньше внутренних — импульс сохраняется приближённо; 3) если сумма внешних сил равна нулю вдоль одного направления, сохраняется только проекция импульса на него.

На ремне быстрее вращается меньшее колесо; на общей оси быстрее движется точка, дальше отстоящая от оси.

У математического маятника потенциальная энергия равна mgh, но картина та же. Кинетическая и потенциальная энергия повторяются дважды за одно колебание, то есть меняются с периодом T/2 (с частотой 2f).

Заряд квантован: 1 Кл соответствует 1/e = 6,25 · 10¹⁸ электронов.

Векторная сумма: сонаправлены — модули складываются; противоположны — вычитаются; перпендикулярны — E = √(E₁² + E₂²).

Только для однородного поля. Работа положительна, когда заряд движется туда, куда его толкает поле.

Работа поля равна убыли потенциальной энергии: положительная работа → E_p уменьшается; отрицательная (заряд перемещают против поля) → E_p растёт, как у поднимаемого камня.

В китайских учебниках в формулу подставляют знаки и q, и U_AB; знак W показывает, уменьшается E_p (W > 0) или растёт (W < 0). В российских учебниках тот же закон записывают как A = qU.

Частица с зарядом e, разогнанная из покоя напряжением U вольт, получает U электронвольт; заряд 2e — 2U эВ.

Для чистого резистора: P = I²R = U²/R. Двигатель с сопротивлением обмотки r_M: потребляемая мощность UI, тепловая I²r_M, механическая UI − I²r_M.

Если угол α отсчитывать между B и нормалью к поверхности, тот же поток равен Φ = BS cos α. Φ не зависит от числа витков катушки. Когда контур переворачивают на 180°, поток меняет знак: ΔΦ = 2BS. Изменение потока порождает индукционные токи урока «Электромагнитная индукция: закон Фарадея и правило Ленца».

Сила максимальна, F = BIL, когда проводник перпендикулярен B, и равна нулю, когда он параллелен B. Она всегда перпендикулярна и проводнику, и B.

v ⟂ B: F = qvB (максимум); v ∥ B: F = 0, и частица продолжает двигаться по прямой. Направление: правило левой руки, четыре пальца — по скорости положительного заряда; для отрицательного заряда (электрона) — против скорости.

Направление — по правилу правой руки (右手定则): линии индукции входят в ладонь, большой палец — по v, четыре пальца показывают ток в стержне. Стержень — источник, поэтому пальцы указывают на его конец с более высоким потенциалом (внутри источника ток идёт от − к +).

Форма из китайских учебников и заданий CSCA (热力学第一定律). Знаки всех величин ставятся с точки зрения газа: всё, что поступает в газ, положительно.

Тот же закон в школьной форме, принятой в России и Азербайджане: полученная теплота идёт частично на увеличение внутренней энергии, частично на работу газа. Во многих англоязычных учебниках пишут ΔU = Q − W, и там W — работа самого газа. Буквы разные, физика одна.

Движение вправо по графику (расширение): газ совершает работу, W < 0. Влево (сжатие): W > 0. У вертикального отрезка (V = const) площадь нулевая — работы нет.

Следствия: угол между падающим и отражённым лучами равен 2i; если зеркало повернуть на θ при неподвижном падающем луче, отражённый луч повернётся на 2θ. Шероховатые поверхности рассеивают свет во все стороны (диффузное отражение, 漫反射), но каждый малый участок по-прежнему подчиняется закону i′ = i.

Так как sin θ ≤ 1, видны только порядки с k < d/λ. Чем больше длина волны, тем сильнее отклонение: в спектре решётки красный дальше всех от центра — в отличие от призмы, которая сильнее всего отклоняет фиолетовый.

Закон Малюса. Неполяризованный свет теряет в первом поляризаторе половину интенсивности, как бы ни была направлена его ось.

Чем короче волна, тем выше частота — и, как покажет урок «Фотоэффект», тем больше энергия фотонов.

Длины различаются в 10⁵ раз, значит, площади — в 10¹⁰, а объёмы — в 10¹⁵ раз. Поэтому большинство α-частиц пролетает, не приближаясь ни к одному ядру.

В нейтральном атоме Z электронов. Какой это химический элемент, определяет только Z.

В любом распаде и любой ядерной реакции сохраняются сумма массовых чисел и сумма зарядов. γ-излучение не меняет ни A, ни Z: возбуждённое дочернее ядро просто отдаёт лишнюю энергию в виде фотона.

Если Δm в килограммах, умножь на c² и получишь джоули; если в а. е. м. — умножь на 931,5 и получишь МэВ.

Превращение одной аллотропной модификации в другую — химическое явление (образуется новое вещество), но не окислительно-восстановительная реакция: степень окисления кислорода остаётся 0. Оно происходит при грозе и в озонаторах.

Размер частиц — существенное отличие трёх видов дисперсных систем (分散质粒子直径). Эффект Тиндаля — лишь способ отличить коллоид от раствора.

Получение коллоида гидроксида железа(III) (Fe(OH)₃胶体) — стандартного коллоида китайских учебников и заданий CSCA.

Пока чистое вещество плавится или кипит, вся теплота идёт на разъединение частиц, поэтому температура постоянна — горизонтальная площадка на кривой нагревания.

Правило «крест-накрест»: x = b, y = a, затем сократи общий множитель. Сложный ион, взятый несколько раз, пишут в скобках: Ca₃(PO₄)₂, а не Ca₃P₂O₈.

Закон сохранения массы (质量守恒定律), записанный для атомов. Ему подчиняются и термохимические, и ионные уравнения; в ионном уравнении должен сходиться ещё и заряд.

Сначала уравняй меняющиеся элементы по этим двум числам (крест-накрест до НОК), затем остальное — обычно H и O — подбором.

В ионном уравнении должны сходиться и атомы, и заряд. 2Fe³⁺ + Fe → 3Fe²⁺ верно (+6 = +6); в Fe³⁺ + Fe → 2Fe²⁺ атомы уравнены, но +3 ≠ +4.

Теплота пропорциональна количеству прореагировавшего вещества. Два понятия, которые любит CSCA: теплота сгорания (燃烧热) относится к полному сгоранию 1 моль топлива до устойчивых продуктов (CO₂(g), H₂O(l)); теплота нейтрализации (中和热) сильной кислоты сильным основанием — 57,3 кДж на моль образовавшейся H₂O.

Связи исходных веществ рвутся, связи продуктов образуются — «разорванные минус образованные». Если связи в продуктах прочнее, ΔH < 0.

При разбавлении количество (и масса) растворённого вещества не меняется. V₁ и V₂ можно оба брать в мл — единица сокращается.

Равенство c(H⁺) · c(OH⁻) = Kw выполняется в любом водном растворе — кислом или щелочном. Kw растёт с температурой: около 100 °C оно порядка 10⁻¹² (в задачах дают Kw = 1 · 10⁻¹²), поэтому нейтральная вода там имеет pH ≈ 6 — и остаётся нейтральной, так как c(H⁺) = c(OH⁻). Откуда берётся Kw — ионизация воды — тема урока «Теория растворов электролитов».

Разбавление уменьшает c(H⁺) кислоты (или c(OH⁻) основания) в 10ⁿ раз. Очень разбавленные растворы приближаются к pH 7 со своей стороны: сама вода даёт 10⁻⁷ моль/л H⁺ и OH⁻.

Три типичные реакции основных оксидов. В китайских учебниках в уравнениях пишут «=» вместо «→»; смысл тот же.

Три типичные реакции кислотных оксидов; t° — нагревание.

Кислота + основание — нейтрализация, о ней в следующем разделе. HNO₃ и концентрированная H₂SO₄ реагируют с металлами без выделения H₂ — см. «Важнейшие неметаллы и их соединения».

Щёлочи окрашивают лакмус в синий, фенолфталеин — в малиновый цвет. Нерастворимые основания окраску индикаторов не меняют, но с кислотами реагируют.

Работает для любых сильных кислот и оснований и избавляет от записи уравнения. Если даны массы, сначала перейдите к молям: n = m/M (см. «Количество вещества: моль»).

Та же логика работает для H₂SO₄ + NaOH (NaHSO₄ или Na₂SO₄) и для H₃PO₄ (NaH₂PO₄, Na₂HPO₄, Na₃PO₄). Свойства самих Na₂CO₃ и NaHCO₃ — в уроке «Важнейшие металлы и их соединения».

Реакции обмена между кислотами, основаниями и солями (复分解反应) идут, только если образуется осадок, газ или вода; ионный взгляд на это правило — в уроке «Ионные реакции и качественные реакции на ионы».

Al(OH)₃ растворяется только в сильных основаниях: ни в растворе аммиака, ни в угольной кислоте он не растворяется. ZnO и Zn(OH)₂ реагируют так же (получаются ZnCl₂ или Na₂[Zn(OH)₄]). Сам металлический алюминий — в уроке «Важнейшие металлы и их соединения».

Одностадийный переход «оксид → основание» или «оксид → кислота» возможен, только если оксид реагирует с водой: CuO → Cu(OH)₂, Fe₂O₃ → Fe(OH)₃ и SiO₂ → H₂SiO₃ требуют двух стадий (сначала получают соль).

В китайских учебниках много спрашивают о наблюдениях (цвет, дым, туман, пламя): «дым» (烟) — твёрдые частицы, «туман» (雾) — капельки жидкости.

Смешивать отбеливатель с кислотным чистящим средством опасно: NaClO + 2HCl → NaCl + Cl₂↑ + H₂O. Лабораторное получение Cl₂ — в уроке «Получение и распознавание важнейших газов», хлорщелочное производство — в уроке «Химические производства».

Обратные реакции (Br₂ + 2KCl, I₂ + 2KBr) не идут. Определение Cl⁻, Br⁻ и I⁻ с помощью AgNO₃ — в уроке «Ионные реакции и качественные реакции на ионы».

Четыре «лица» SO₂. Обесцвечивание KMnO₄ или бромной воды — восстановление, а не отбеливание; «отбеливание» — только проба с фуксином.

Медь с концентрированной H₂SO₄ реагирует только при нагревании; с разбавленной H₂SO₄ медь не реагирует совсем.

NO и NO₂ — среди причин смога и кислотных дождей. Равновесие 2NO₂ ⇌ N₂O₄ разбирается в уроке «Химическое равновесие».

Соли аммония — растворимые белые кристаллы. При нагревании разлагаются (NH₄Cl → NH₃↑ + HCl↑, в холодной части пробирки снова образуется NH₄Cl — похоже на возгонку, но это химическое превращение; NH₄HCO₃ → NH₃↑ + CO₂↑ + H₂O), а со щелочами при нагревании выделяют NH₃: NH₄⁺ + OH⁻ → NH₃↑ + H₂O. Поэтому аммонийные удобрения нельзя смешивать со щелочными веществами — гашёной известью или печной золой. Определение NH₄⁺ — в уроке «Ионные реакции и качественные реакции на ионы», получение NH₃ — в уроке «Получение и распознавание важнейших газов».

В обоих случаях раствор синеет из-за Cu²⁺. При избытке меди концентрированная кислота по мере расходования разбавляется и начинает давать NO вместо NO₂.

На 1 моль Ca(OH)₂: CO₂ ≤ 1 моль — осадка столько же, сколько CO₂; 1 < CO₂ < 2 моль — осадка (2 − n(CO₂)) моль; CO₂ ≥ 2 моль — осадка не остаётся.

При варке стекла при высокой температуре: Na₂CO₃ + SiO₂ → Na₂SiO₃ + CO₂↑ и CaCO₃ + SiO₂ → CaSiO₃ + CO₂↑.

Ряд активности металлов: активность уменьшается слева направо.

«Метод разности» (差量法): изменение массы пропорционально количеству прореагировавшего вещества.

Пероксид натрия выделяет кислород — это источник кислорода в дыхательных аппаратах и на подводных лодках.

Термическое разложение гидрокарбоната натрия — позволяет различить два твёрдых вещества и очистить Na₂CO₃ от примеси NaHCO₃.

Алюминий с кислотами и со щелочами.

NaOH по каплям приливают к раствору Al³⁺: белый осадок сначала растёт, потом растворяется.

Превращения Fe²⁺ ⇄ Fe³⁺: суммарный заряд слева и справа должен совпадать.

Электрохимическая коррозия стали (в китайских учебниках пишут Fe − 2e⁻ = Fe²⁺).

Подставь известные значения и найди единственное неизвестное. Если атомы одного элемента находятся в разных степенях (Fe₃O₄, Na₂S₂O₃), получится их среднее значение, возможно дробное.

Считай на формулу, а не на атом: K₂Cr₂O₇ → 2Cr³⁺ принимает 2 · 3 = 6 электронов. В уравнении доводи изменения на формулу до наименьшего общего кратного.

Окислитель сильнее продукта окисления, восстановитель сильнее продукта восстановления. Поэтому две-три данные реакции складываются в полный ряд.

Коэффициенты берутся из электродных реакций: Cu²⁺ + 2e⁻ → Cu, 2Cl⁻ → Cl₂↑ + 2e⁻, 2H₂O → O₂↑ + 4H⁺ + 4e⁻ (или 4OH⁻ → O₂↑ + 2H₂O + 4e⁻), Ag⁺ + e⁻ → Ag.

Сумма зарядов справа равна нулю. Кислые соли: NaHCO₃ → Na⁺ + HCO₃⁻ (HCO₃⁻ не расщепляют), но в растворе NaHSO₄ → Na⁺ + H⁺ + SO₄²⁻. Многоосновные слабые кислоты диссоциируют ступенчато: сначала H₂CO₃ ⇌ H⁺ + HCO₃⁻.

Вместе с балансом атомов. В ионном уравнении ОВР отданные электроны должны ещё и равняться принятым; если проверять только атомы, многие неверные варианты выглядят правильными.

Общие формулы рядов углеводородов (CₙH₂ₙ подходит и циклоалканам, CₙH₂ₙ₋₂ — и диенам).

Замещение (取代反应) — характерная реакция алканов.

Присоединение (加成反应) и полимеризация (加聚反应).

Реакции бензола: два замещения и одно присоединение.

Натрий замещает только водород группы –OH и никогда — водород при углероде. Реакция идёт спокойнее, чем с водой: водород O–H в этаноле менее подвижен. То же соотношение верно и для –COOH: 2 –COOH ~ H₂.

Другие реакции окисления этанола: он горит (C₂H₅OH + 3O₂ → 2CO₂ + 3H₂O), а сильные окислители — подкисленный K₂Cr₂O₇ (оранжевый → зелёный) или KMnO₄ (фиолетовый → бесцветный) — окисляют его до уксусной кислоты.

В обеих реакциях альдегид окисляется (он восстановитель). Это качественные реакции на группу –CHO; их дают также глюкоза, муравьиная кислота и её эфиры.

Na реагирует со всеми четырьмя веществами, NaOH — только с кислотами, а NaHCO₃ — только с кислотами сильнее угольной, то есть с –COOH.

Название: спиртовая часть + кислотная часть («-ат») — CH₃COOC₂H₅ этилацетат, HCOOCH₃ метилформиат. Этерификация — разновидность реакции замещения.

Сложный эфир всегда расщепляется по той же связи C–O: кислотная часть забирает –OH, спиртовая — H.

Омыление (皂化反应) — щелочной гидролиз жира: 1 моль жира расходует 3 моль NaOH и даёт 1 моль глицерина.

При спиртовом брожении из 1 моль глюкозы получается 2 моль этанола и 2 моль CO₂.

При образовании иона меняется только число электронов: катион отдал q электронов, анион принял |q|. Ядро (Z и A) не меняется.

Число в таблице — взвешенное среднее изотопов; поэтому у хлора 35,5, хотя атома хлора массой 35,5 не существует. Перевести его в граммы на моль — задача урока «Количество вещества: моль».

Дополнительные правила для элементов главных подгрупп: на внешнем слое не больше 8 электронов (на K-слое 2), а 4s заполняется раньше 3d. Поэтому калий — 2, 8, 8, 1, а не 2, 8, 9.

Ионы с одинаковой электронной конфигурацией (изоэлектронные) упорядочиваются только по Z: O²⁻ > F⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺ — у всех по 10 электронов, и чем больше протонов, тем сильнее они стянуты.

Для групп IVA–VIIA: |высшая| + |низшая| = 8. Исключения: у фтора нет положительных степеней окисления, а кислород никогда не достигает +6. У металлов отрицательных степеней окисления нет.

Δχ = 0: ковалентная неполярная; 0 < Δχ < примерно 1,7: ковалентная полярная (чем больше Δχ, тем полярнее); Δχ > примерно 1,7 между металлом и неметаллом: преимущественно ионная. Граница лишь ориентир: H–F (Δχ = 1,9) — сильно полярная ковалентная связь, а AlCl₃ (Δχ = 1,5) — ковалентное соединение.

C образует 4 связи, N — 3, O — 2, галогены — 1: столько, сколько электронов не хватает до октета. Остальные валентные электроны остаются неподелёнными парами (孤电子对): у N одна, у O две, у Cl три.

Это формула китайских учебников (中心原子上的孤电子对数). 2 области → линейная, 180°; 3 → плоская, 120°; 4 → тетраэдрическая, 109,5°; неподелённые пары уменьшают углы.

То же отношение верно для Δc, а в одном сосуде — и для Δn. Разделив любую v(X) на её коэффициент, получаешь одно число для всей реакции — так и сравнивают скорости, записанные через разные вещества.

Приближённое правило Вант-Гоффа. В китайских учебниках его формулируют словами: при нагревании на каждые 10 °C скорость обычно растёт в 2–4 раза. Время, нужное для того же изменения, уменьшается во столько же раз: τ₂ = τ₁ / γ^((t₂ − t₁)/10).

На энергетической диаграмме реагенты и продукты — два уровня, а кривая между ними поднимается на «горку». E₁ — высота горки над реагентами, E₂ — над продуктами. У экзотермической реакции продукты ниже и E₁ < E₂. Катализатор опускает вершину горки: E₁ и E₂ уменьшаются на одну и ту же величину, а ΔH не меняется.

Q < K: продукта «слишком мало», поэтому v(прям.) > v(обр.), пока Q не вырастет до K. Q > K: продукта слишком много, побеждает обратная реакция.

Kw выполняется и в чистой воде, и в любом разбавленном водном растворе — кислом, щелочном или нейтральном. Добавленные H⁺ или OH⁻ (кислота, щёлочь) подавляют диссоциацию воды; ионы, связывающие H⁺ или OH⁻ (гидролизующиеся соли), усиливают её.

Три баланса раствора Na₂CO₃. Порядок концентраций: c(Na⁺) > c(CO₃²⁻) > c(OH⁻) > c(HCO₃⁻) > c(H⁺) — OH⁻ дают обе ступени гидролиза и вода, поэтому его больше, чем HCO₃⁻.

Ksp напрямую сравнивает растворимость только солей одного типа (AgCl, AgBr, AgI — все 1 : 1). У Ag₂CrO₄ Ksp меньше, чем у AgCl, но растворяется он лучше. При 25 °C: Ksp(AgCl) = 1,8 · 10⁻¹⁰, Ksp(AgI) = 8,5 · 10⁻¹⁷, Ksp(BaSO₄) = 1,1 · 10⁻¹⁰.

Каждый отсчёт берут по нижнему краю мениска, глаз — на его уровне. Результат всегда записывают с точностью 0,01 мл: 22,30 мл, а не 22,3 мл.

Правило «груз слева, гири справа» (左物右码). Если рейтер не используется, перестановка чашек результат не меняет.

В двух последних реакциях MnO₂ — катализатор: после реакции его масса и химические свойства те же, его можно выделить фильтрованием. В первой реакции MnO₂ — продукт. O₂ собирают над водой (мало растворим) или в сосуд горлом вверх (M = 32 > 29). Проба: тлеющая лучина вспыхивает.

H₂ собирают над водой или в сосуд горлом вниз (M = 2). Технический цинк реагирует быстрее чистого, а несколько капель раствора CuSO₄ ускоряют реакцию: осевшая на цинке медь образует микрогальванические элементы (см. урок «Окислительно-восстановительные реакции»).

CO₂ тяжелее воздуха (M = 44) и заметно растворим в воде, поэтому его обычно собирают в сосуд горлом вверх. Проверка заполнения: горящая лучина у горла сосуда (не внутри) гаснет.

Без нагревания Cl₂ с концентрированной HCl даёт и KMnO₄ (или KClO₃), например: 2KMnO₄ + 16HCl(конц.) → 2KCl + 2MnCl₂ + 5Cl₂↑ + 8H₂O. Хлор ядовит: установка обязательно заканчивается поглотителем избытка газа.

Быстрый способ без нагревания: капать концентрированный раствор аммиака на твёрдый CaO или NaOH. NH₃ очень хорошо растворим (≈ 700 объёмов в 1 объёме воды) и легче воздуха: его собирают только в сухой сосуд горлом вниз, а к отверстию кладут комочек ваты, чтобы газ не перемешивался с воздухом.

Почему, в отличие от синтеза аммиака, давление обычное? Уже при атмосферном давлении превращение SO₂ выше 90 %, и дорогое оборудование высокого давления почти ничего бы не добавило.

Метод соотношений (关系式法): свяжи исходное сырьё с конечным продуктом через один сохраняющийся элемент и пропусти промежуточные уравнения. Он предполагает отсутствие потерь — потери учитывают через выход (ниже).

Получение азотной кислоты из аммиака. Если в поглотительную башню подают дополнительный воздух, весь азот переходит в кислоту: 4NO₂ + O₂ + 2H₂O → 4HNO₃.

Хлорщелочное производство (氯碱工业) в электролизёре с ионообменной мембраной. Китайские учебники записывают электродные уравнения с «− 2e⁻» в левой части и знаком «=»: 2Cl⁻ − 2e⁻ = Cl₂↑.