Formüller ve kolay yollar

Her eleman alt kümede ya vardır ya yoktur: eleman başına 2 seçenek, toplam 2ⁿ. Öz alt kümeler için kümenin kendisini, boş olmayan öz alt kümeler için ayrıca ∅’yi çıkarırız.

Birleşim “veya”, kesişim “ve”, tümleyen “değil” demektir. Tümleyen her zaman U’ya göre alınır; sayı kümeleri için U verilmemişse U = R’dir. Her zaman A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B; A ∩ B = A ve A ∪ B = B eşitliklerinin ikisi de A ⊆ B demektir.

De Morgan kuralları: tümleyen birleşimi kesişime, kesişimi de birleşime çevirir. “(A veya B) değil” = “A değil ve B değil”.

|A| ile |B| toplanınca ortak kısım iki kez sayılır, bu yüzden bir kez çıkarılır.

Tekleri topla, ikilileri çıkar, üçlüyü geri ekle: merkez 3 kez eklenir ve 3 kez çıkarılır, bu yüzden bir kez daha eklenmelidir.

Küme resmi: çözüm kümesi küçük olan koşul büyük olanı gerektirir. “Küçük ⇒ büyük”: küçük küme yeter şart, büyük küme gerek şarttır (Çin ders kitaplarında 小范围推出大范围).

Yönü değiştiren tek kural: negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek. İşareti bilinmeyen bir ifadeyle, örneğin x − 3 ile, hiç çarpılmaz.

“Büyük — köklerin dışı, küçük — kökler arası” (a > 0 iken). a < 0 ise önce eşitsizliği −1 ile çarp ve yönünü değiştir.

“Her x için ≥ 0” ise D ≤ 0 (teğetlik serbest). “Her x için < 0” ise a < 0 ve D < 0.

|x − c| < a: x, c’den a’dan az uzaktadır; |x − c| > a: a’dan fazla uzaktadır. |f(x)| < a için −a < f(x) < a çift eşitsizliğini çöz.

Bileşke fonksiyon (复合函数): sıra önemlidir, genel olarak f(g(x)) ≠ g(f(x)). D(f) = [m, n] ise f(g(x))’in tanım kümesi m ≤ g(x) ≤ n eşitsizliklerinin çözüm kümesidir.

Artan + artan artandır; −f yönü tersine çevirir, f işaret değiştirmiyorsa 1/f de öyle. y = f(g(x)) için: f ve g aynı yönde değişiyorsa bileşke artar, zıt yönlerde değişiyorsa azalır (同增异减). Her fonksiyonun monotonluğunu türev verir: “Türevin uygulamaları: monotonluk ve ekstremumlar”.

tek ± tek = tek, çift ± çift = çift; tek · tek = çift, çift · çift = çift, tek · çift = tek; tıpkı + ve − işaretleri gibi. Yalnızca çift kuvvetleri (ve sabiti) olan polinom çift, yalnızca tek kuvvetleri olan polinom tektir.

Parantez içindeki değişiklikler yatay ve “ters yönde” çalışır (x − 2 sağa kaydırır, 2x daraltır); dışarıdakiler düşey ve “yazıldığı gibi” çalışır. Çinli öğrenciler ötelemeleri 左加右减，上加下减 diye akılda tutar: “sola ekle, sağa çıkar; yukarı ekle, aşağı çıkar”.

f ve f⁻¹’in grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. En önemli çift olan y = aˣ ile y = logₐ x, “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersindedir. Dikkat: f⁻¹(x), 1/f(x) değildir.

Çift fonksiyon [0, +∞)’da azalansa eşitsizlik ters döner: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| > |x₂|.

Birinci bölgede bütün kuvvet eğrileri (1, 1)’de kesişir: “1’den sonra büyük üs kazanır, 1’den önce kaybeder” (2³ > 2², ama 0,5³ < 0,5²). Tek-çiftlik, sadeleşmiş α = p/q kesrine bağlıdır: q tek, p çift ise çift (x^(2/3)); q tek, p tek ise tek (x^(3/5)); q çift ise yalnızca x ≥ 0 için tanımlı, ne tek ne çift (x^(3/4)).

y = a^(kx + m) + n için üssün 0 olduğu nokta a’ya bağlı değildir: kx + m = 0, y = 1 + n.

Eşit tabanlar ⇒ eşit üsler, çünkü y = aˣ monotondur. Eşitsizlikte 1’den büyük taban işareti korur, 0 ile 1 arasındaki taban ise ters çevirir. Logaritmalardan farklı olarak tanım kümesi adımı yoktur: aˣ her x için tanımlıdır. Tabanlar eşitlenemiyorsa (2ˣ = 5) cevap bir logaritmadır, x = log₂ 5; “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersine bak.

“Aynı taraf ⇒ 1’den büyük”: 1,2^0,3 > 1 (iki çarpan da pozitif), 0,7^(−2) > 1 (ikisi de negatif), 0,7^0,3 < 1 ve 1,2^(−0,3) < 1 (işaretler zıt).

Tanım ve temel özdeşlikler. a^(logₐ N) = N temel logaritma özdeşliğidir (对数恒等式): üs alma ve logaritma birbirini «geri alır». Çin ders kitapları ve CSCA lg ve ln yazımını kullanır.

Her iki durumda küçük olan ifade pozitif olmalıdır; büyük olan o zaman kendiliğinden pozitiftir. Sayıyı önce logaritma olarak yaz: 3 = log₂ 8, −1 = log_(1/3) 3.

sin x için eksenler x = π/2 + kπ, merkezler (kπ, 0); cos x için eksenler x = kπ, merkezler (π/2 + kπ, 0)’dır. Komşu eksenler arasında T/2, bir eksen ile en yakın merkez arasında T/4 uzaklık vardır. Tanjant eğrisinin ekseni yoktur, merkezleri (kπ/2, 0) noktalarıdır.

Diğer sıra — önce sıkıştırma, sonra öteleme — da olur, ama o zaman öteleme φ/ω kadardır, çünkü sin(ωx + φ) = sin ω(x + φ/ω): öteleme her zaman ωx’e değil, x’in kendisine uygulanır.

|a| < 1 iken sin x = a denkleminin her periyotta x = π/2 + 2kπ eksenine göre simetrik iki kökü, cos x = a denkleminin x = 2kπ’ye göre simetrik iki kökü vardır; tan x = a denkleminin ise her π periyodunda bir kökü vardır.

İki kenarın ve aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı. Sinüs teoremiyle birlikte buradan S = abc/(4R) de elde edilir.

A dar: a < h — üçgen yok; a = h — bir dik üçgen; h < a < b — iki üçgen; a ≥ b — bir üçgen. A dik ya da geniş: a > b ise bir üçgen, a ≤ b ise hiç yok.

Bu, cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) formülünden çıkar: payın işareti cos C’nin işaretidir. En büyük açısı dar olan üçgen dar açılıdır; bu yüzden yalnızca en uzun kenarı kontrol et.

Sıra numaralarının toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (等差数列的性质). İki tarafta da aynı sayıda terim olmalıdır: a₁ + a₉ = a₄ + a₆ = 2a₅, ama a₁ + a₉ ≠ a₁₀. k terimlik ardışık bloklar, yani Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖ, yine ortak farkı k²d olan bir aritmetik dizi oluşturur.

Aritmetik dizideki sıra numarası özelliğinin çarpım hâli. k terimlik ardışık bloklar, yani Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖ, ortak çarpanı qᵏ olan bir geometrik dizi oluşturur (Sₖ ≠ 0 iken). Ayrıca a₁a₂…a₂ₖ₋₁ = aₖ²ᵏ⁻¹: tek sayıda terimin çarpımı, ortadaki terimin bu kuvvetidir.

Yalnızca geometrik değil, her dizi için geçerlidir. Sₙ − Sₙ₋₁ son terim aₙ'dir, ama yalnızca n ≥ 2 için, çünkü S₀ kuralın parçası değildir. n ≥ 2 için bulunan formülün a₁ = S₁'i de verip vermediğini her zaman kontrol et; vermiyorsa cevap parçalı yazılır.

Kuvvet ve trigonometrik fonksiyonlar. Ezbere bilinmesi gereken özel durumlar: (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x².

Bileşke fonksiyonun (复合函数) türevi: dış fonksiyonun türevi × iç fonksiyonun türevi. Çin okul programı bileşke fonksiyonları f(ax + b) biçimiyle sınırlar; bu yüzden öncelikle bu durumu bekleyin.

x₀ noktasındaki teğetin denklemi (nokta–eğim biçimi).

Türevin fiziksel anlamı: hız konumun, ivme ise hızın değişim hızıdır («Kinematik: yer değiştirme, hız, ivme, serbest düşme» dersine bakın).

Yeter şarttır ama gerek şart değildir: y = x³ tüm sayı doğrusunda artandır, oysa y′(0) = 0'dır. Parametreli bir soruda («f, I'da artandır») I üzerinde f′(x) ≥ 0 istenir (sıfır yalnızca tek tek noktalarda olabilir).

Birinci türev testi. Tek başına f′(x₀) = 0 yetmez: y = x³ için y′(0) = 0'dır ama y′ iki yanda da pozitiftir, ekstremum yoktur.

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyon en büyük (最大值) ve en küçük (最小值) değerine her zaman ulaşır: ya bir kritik noktada ya da bir uçta. İşaret tablosuna gerek yok; sayıları karşılaştırmak yeter.

Newton–Leibniz formülü, analizin temel teoremi (微积分基本定理). [a, b]'de f ≥ 0 ise integral eğrinin altındaki alandır; v(t) ≥ 0 hızı için alınan yoldur.

Dik doğruların eğimleri birbirinin ters işaretli çarpmaya göre tersidir: 2 ve −1/2, −3/4 ve 4/3. Bu koşul iki eğimin de var olmasını gerektirir: dikey bir doğru her yatay doğruya diktir, ama eğimi yoktur.

Bu koşullar dikey doğrular dahil bütün doğrular için geçerlidir; bu yüzden parametreli sorularda en güvenli yoldur. Paralel doğru A ile B’yi korur, yalnızca C’yi değiştirir; dik doğru A ile B’nin yerini değiştirir ve birinin işaretini çevirir: Ax + By + C = 0 → Bx − Ay + C′ = 0.

Bu, |PC| = √((x − a)² + (y − b)²) = r uzaklık formülünün karesidir. |PC|, r’den küçük, r’ye eşit ya da r’den büyük olduğunda P noktası sırasıyla çemberin içinde, üzerinde ya da dışındadır. Bazı İngilizce kitaplar merkezi (h, k) diye yazar; CSCA ve Çin ders kitapları (a, b) kullanır.

Çincede bu üç durumun adı 相交 (kesişir), 相切 (teğet) ve 相离 (ayrık) şeklindedir. Cebirsel kontrol aynı sonucu verir: doğrunun denklemi çemberinkinde yerine konunca ikinci dereceden bir denklem çıkar ve Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 bu üç duruma karşılık gelir.

Merkezden kirişe inen dikme kirişi ikiye böler; bu yüzden r, d ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur (çizime bak).

İlk iki formül çemberin bir noktasındaki teğeti verir (“bir x yerine x₀, bir y yerine y₀ yaz”). Bunlar doğrudur, çünkü teğet değme noktasında yarıçapa diktir; aynı dik açı Pisagor teoremiyle |PT|’yi verir. Çemberin dışındaki bir noktadan tam iki teğet, üzerindeki bir noktadan bir teğet çizilir, içindeki bir noktadan ise hiç çizilemez.

İki çember kesişiyorsa genel denklemlerini birbirinden çıkarmak x² ve y²’yi yok eder ve iki ortak noktadan geçen doğruyu bırakır: ortak kirişin (公共弦) doğrusu.

Yedek eksenin B₂(0, b) ucu iki odağa eşit uzaklıktadır ve bu uzaklıkların toplamı 2a’dır; yani |B₂F₁| = |B₂F₂| = a. OB₂F₂ dik üçgeninin dik kenarları b ve c, hipotenüsü a’dır: elipste üç sayının en büyüğü a’dır.

Kiriş için: |AF₁| + |AF₂| = 2a ve |BF₁| + |BF₂| = 2a, ayrıca |AF₁| + |BF₁| = |AB|. Toplayınca, kirişin yönü ne olursa olsun |AB| + |AF₂| + |BF₂| = 4a bulunur.

Elipsin bir noktasının odağa uzaklığına odak yarıçapı (焦半径) denir. |PF₂|² = (x₀ − c)² + y₀² ifadesinde y₀² = b²(1 − x₀²/a²) yerine konunca (a − ex₀)² bulunur; yani odak yarıçapı x₀’a doğrusal bağlıdır: odağa yakın köşede en küçük (a − c), uzak köşede en büyüktür (a + c).

Aynı kiriş formülü parabol ve hiperbol dahil her eğri için geçerlidir; |x₁ − x₂| denklemi çözmeden Vieta formüllerinden bulunur.

F₂'ye yakın kolda |PF₁| − |PF₂| = 2a, F₁'e yakın kolda ise tersidir. Hiperbolün bir noktası odağa en fazla c − a kadar yaklaşabilir (köşede).

Ok zinciri: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + … + YZ⃗ = AZ⃗; içteki harfler sadeleşir. Bilinen kurallar geçerlidir: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗, λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗.

AB'nin orta noktası ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)'dir. Eşit vektörlerin koordinatları eşittir; paralelkenarın dördüncü köşesi böyle bulunur.

A, B, C noktaları doğrusaldır ⇔ AB⃗ ∥ AC⃗. x₁/x₂ = y₁/y₂ orantısı yerine x₁y₂ − x₂y₁ = 0 biçimini kullan: bir koordinat 0 olduğunda da işe yarar.

Uzunluğun karesini al ve (x ± y)² gibi aç; bu, kosinüs teoreminin vektör biçimidir (bkz. “Üçgen çözümü: sinüs ve kosinüs teoremleri”).

Katsayılar “çaprazdır”: D, C'ye ne kadar yakınsa AC⃗'nin katsayısı o kadar büyüktür. Orta nokta için t = ½; ağırlık merkezinin koordinatları köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Çin ders kitapları: 实数 (b = 0), 虚数 (b ≠ 0), 纯虚数 (a = 0, b ≠ 0). Dikkat: birçok İngilizce kitapta “imaginary number” yalnızca bi biçimindeki sayılara denir; Çince anlamda ise 3 + 2i zaten 虚数'dir. Karmaşık sayılar eşit ya da farklı olabilir, ama ikisi birden gerçek değilse < ya da > ile karşılaştırılamaz.

Bölgeler: I — a > 0, b > 0; II — a < 0, b > 0; III — a < 0, b < 0; IV — a > 0, b < 0. Eksenler üzerindeki bir sayı hiçbir bölgeye ait değildir.

Akılda tutmaya değer kareler: (a + bi)² = (a² − b²) + 2abi, (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i.

Kuvvetler i → −1 → −i → 1 döngüsünde 4 adımda bir tekrar eder; bu yüzden ardışık dört kuvvetin toplamı her zaman 0'dır. Negatif üsler de öyle: i⁻¹ = −i, i⁻² = −1.

Yanal yüzeyi aç: silindir 2πr × h boyutlarında bir dikdörtgen verir; koni ise yarıçapı l, yay uzunluğu 2πr olan bir daire dilimi verir, dilimin merkez açısı 360° · r/l’dir. Prizma ve piramitte tüm yüzlerin alanlarını toplaman yeter.

Kendine sor: iş tek bir seçimden sonra mı bitiyor (topla), yoksa ancak bütün adımlardan sonra mı (çarp)?

Son formül, “Kümeler ve küme işlemleri” dersindeki içerme–dışlama kuralıdır: aksi hâlde ortak AB kısmı iki kez sayılırdı. Tümleyen olaylar her zaman ayrıktır ama tersi doğru değildir.

A ile B bağımsızsa Ā ile B, A ile B̄ ve Ā ile B̄ de bağımsızdır. İkiden tam biri: P = p₁(1 − p₂) + (1 − p₁)p₂.

Histogramdan tahminler: ortalama ≈ Σ orta nokta × göreli sıklık; mod ≈ en yüksek sütunun orta noktası; medyan, solundaki alanın 0,5 olduğu x noktasıdır.

Medyan, mod ve yüzdelikler ortalama gibi değişir (a > 0 için); açıklık ve standart sapma |a| ile çarpılır. b kaydırması yayılımı hiçbir zaman değiştirmez.

E(X), deney çok kez tekrarlandığında X'in ortalama değeridir; D(X) ise X'in bu değer çevresindeki yayılımını ölçer. Bunlar veri dersindeki bağıntılardır; göreli sıklıkların yerine olasılıklar yazılmıştır. Çin ders kitapları E(X) ve D(X) yazar.

Verilerdeki kuralların aynısı («Verilerin sayısal özellikleri» dersine bak): b kaydırması beklenen değeri değiştirir, varyansı ise hiçbir zaman.

B(1, p) iki noktalı dağılımdır. Binom değişkeni için D/E = 1 − p; p ve n'yi geri bulmanın hızlı yolu.

Çin ders kitapları tam bu değerleri verir (eski kitaplarda 0,6826; 0,9544; 0,9974); CSCA soruları bunları çoğu zaman sorunun içinde yazar. μ ve σ ne olursa olsun her normal dağılım için geçerlidir.

Aynı yönde hızlar çıkarılır, zıt yönlerde toplanır. İki cisim arasındaki L uzaklığı t = L / |v_AB| sürede kapanır.

t ekseninin üstündeki alan pozitif, altındaki alan negatif yer değiştirmedir. Yer değiştirme = işaretli toplam; alınan yol = mutlak değerlerin toplamı.

Hooke yasası (胡克定律) esneklik sınırı içinde geçerlidir. Kuvvet her zaman yayı doğal boyuna döndürecek yöndedir.

Sürtünme N'ye ve μ'ye bağlıdır; temas alanına, kinetik sürtünme ise hıza da bağlı değildir.

Paralelkenar kuralı (平行四边形定则). θ 0°'den 180°'ye büyüdükçe R, F₁ + F₂'den |F₁ − F₂|'ye kadar küçülür.

Dik bileşenlere ayırma (正交分解): eğik kuvveti birbirine dik iki bileşenle değiştir, sonra her eksen için dengeyi ayrı yaz.

Başka kuvvet olmadan eğik düzlemdeki cisim. Sabit hızla aşağı kayıyorsa μmg cos θ = mg sin θ, yani μ = tan θ; kütleden bağımsızdır.

Newton'un ikinci yasası (牛顿第二定律). Vektörel bir yasadır ve her an geçerlidir: net kuvvet değiştiği anda ivme de değişir. 1 N = 1 kg · m/s².

Başka kuvvet olmadan pürüzlü eğik düzlemde kayan cisim. Aşağı kayarken sürtünme yukarı yönlüdür ve çıkarılır; yukarı kayarken hem ağırlık bileşeni hem sürtünme aşağı yönlüdür ve toplanır. μ ≥ tan θ ise durgun cisim kaymaya başlamaz.

Asansörde ağırlık mg değişmez; yalnızca destek kuvveti değişir.

Çin ders kitapları W = Fl cos α yazar (l = yer değiştirme); CSCA'da iş W, güç P ile gösterilir, bazı okul kitaplarında ise A ve N kullanılır. İşi yalnızca hareket doğrultusundaki F cos α bileşeni yapar.

İşler skalerdir: onları vektör gibi değil, işaretli sayılar gibi topla.

Yer çekiminin işi yalnızca ilk ve son yüksekliğe bağlıdır, yola asla bağlı değildir: inerken pozitiftir ve Ep azalır; çıkarken negatiftir ve Ep artar.

Isı, yere göre ölçülen yola değil bağıl kayma uzaklığına bağlıdır. Sabit bir zeminde kayan blok için s_rel, bloğun aldığı yoldur.

İşin aksine itme, cisim yerinden kıpırdamasa bile sıfır değildir: önemli olan yol değil, zamandır.

Çincesi 动量定理 («momentum teoremi»). Newton'un ikinci yasasının F = Δp/Δt biçimidir: net kuvvetin itmesi, cismin momentumundaki değişime eşittir.

Koşullar: 1) dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır (sürtünmesiz yatay yüzey: yer çekimi ile tepki kuvveti dengelenir); 2) kısa bir çarpışma ya da patlamada dış kuvvetler iç kuvvetlerden çok küçüktür, momentum yaklaşık olarak korunur; 3) dış kuvvetlerin bileşkesi bir doğrultuda sıfırsa, yalnızca o doğrultudaki momentum bileşeni korunur.

Kayışta küçük tekerlek daha hızlı döner; ortak milde eksene uzak olan nokta daha hızlı hareket eder.

Basit sarkaçta potansiyel enerji mgh'dir ama tablo aynıdır. Kinetik ve potansiyel enerjinin her biri bir salınımda iki kez tekrarlanır, yani T/2 periyoduyla (2f frekansıyla) değişir.

Yük kuantumludur: 1 C, 1/e = 6,25 · 10¹⁸ elektrona karşılık gelir.

Vektörel toplam: aynı yönde — büyüklükler toplanır; zıt yönde — çıkarılır; dik — E = √(E₁² + E₂²).

Yalnızca düzgün alan için. Yük, alanın onu ittiği yönde hareket ettiğinde iş pozitiftir.

Alanın yaptığı iş potansiyel enerjideki azalmaya eşittir: pozitif iş → E_p azalır; negatif iş (yük alana karşı götürülür) → E_p artar, tıpkı yukarı kaldırılan bir taş gibi.

Çin ders kitaplarında hem q’nun hem de U_AB’nin işareti formüle konur; W’nin işareti E_p’nin azaldığını (W > 0) ya da arttığını (W < 0) gösterir. Aynı yasa bazı kitaplarda A = qU biçiminde yazılır.

e yüklü bir parçacık durgun hâlden U voltluk gerilimle hızlandırılınca U elektronvolt enerji kazanır; 2e yüklü parçacık 2U eV kazanır.

Yalnızca direnç için: P = I²R = U²/R. Bobin direnci r_M olan bir motor: harcanan güç UI, ısı gücü I²r_M, mekanik güç UI − I²r_M.

α açısı B ile yüzeyin normali arasında ölçülürse aynı akı Φ = BS cos α olur. Φ bobinin sarım sayısına bağlı değildir. Halka 180° ters çevrilince akı işaret değiştirir: ΔΦ = 2BS. Akı değişimleri, “Elektromanyetik indüksiyon: Faraday ve Lenz yasaları” dersindeki indüksiyon akımlarını oluşturur.

Kuvvet, tel B'ye dikken en büyüktür (F = BIL), paralelken sıfırdır. Kuvvet her zaman hem tele hem B'ye diktir.

v ⟂ B: F = qvB (en büyük); v ∥ B: F = 0, parçacık doğrusal hareketine devam eder. Yön: sol el kuralı, dört parmak pozitif yükün hızı yönünde; negatif yük (elektron) için parmakları hıza zıt yönde tut.

Yön sağ el kuralıyla (右手定则) bulunur: alan çizgileri avuç içine girer, başparmak v yönünü, dört parmak çubuktaki akımı gösterir. Çubuk kaynaktır; bu yüzden parmaklar potansiyeli yüksek ucu gösterir (kaynağın içinde akım −’den +’ya akar).

Çin ders kitaplarında ve CSCA sorularında kullanılan biçim (热力学第一定律). Her büyüklüğün işareti gazın bakış açısından belirlenir: gaza giren her şey pozitiftir.

Aynı yasanın okul biçimi: alınan ısının bir kısmı iç enerjiyi artırır, bir kısmı gazın yaptığı işe gider. Türkiye'deki ders kitaplarında ve birçok İngilizce kitapta ΔU = Q − W yazılır; oradaki W gazın yaptığı iştir. Harfler farklı, fizik aynı.

Grafikte sağa gitmek (genleşme): gaz iş yapar, W < 0. Sola gitmek (sıkışma): W > 0. Düşey bir parçanın (V sabit) alanı sıfırdır: iş yoktur.

Sonuçlar: gelen ve yansıyan ışınlar arasındaki açı 2i'dir; gelen ışın sabitken ayna θ kadar döndürülürse yansıyan ışın 2θ döner. Pürüzlü yüzeyler ışığı her yöne saçar (dağınık yansıma, 漫反射), ama her küçük parça yine i′ = i kuralına uyar.

sin θ ≤ 1 olduğundan yalnızca k < d/λ olan mertebeler görülür. Dalga boyu uzun olan ışık daha çok sapar: ağ spektrumunda kırmızı en dıştadır — moru en çok kıran prizmanın tersine.

Malus yasası. Kutuplanmamış ışık, ekseni nasıl yönelmiş olursa olsun, ilk polarizörde şiddetinin yarısını kaybeder.

Dalga boyu ne kadar kısaysa frekans o kadar yüksektir — «Fotoelektrik olay» dersinde göreceğimiz gibi fotonların enerjisi de.

Uzunluklar 10⁵ kat farklıdır; demek ki alanlar 10¹⁰, hacimler 10¹⁵ kat farklıdır. Bu yüzden alfa parçacıklarının çoğu hiçbir çekirdeğe yaklaşmadan geçer.

Nötr bir atomda Z tane elektron vardır. Çekirdeğin hangi elemente ait olduğunu yalnızca Z belirler.

Her bozunmada ve her çekirdek tepkimesinde kütle numaralarının toplamı ve yüklerin toplamı korunur. Gama ışıması ne A'yı ne de Z'yi değiştirir: uyarılmış ürün çekirdek fazla enerjisini bir foton olarak verir.

Δm kilogram cinsindense c² ile çarp ve joule bul; u cinsindense 931,5 ile çarp ve MeV bul.

Bir allotropun diğerine dönüşmesi kimyasal bir değişimdir (yeni madde oluşur), ama yükseltgenme-indirgenme tepkimesi değildir: oksijenin yükseltgenme basamağı 0 kalır. Şimşekte ve ozon jeneratörlerinde gerçekleşir.

Tanecik boyutu üç dağılma sistemi arasındaki temel farktır (分散质粒子直径). Tyndall etkisi ise kolloidi çözeltiden ayırmak için kullanılan bir yöntemdir yalnızca.

Demir(III) hidroksit kolloidinin (Fe(OH)₃胶体) hazırlanması: Çin ders kitaplarının ve CSCA sorularının standart kolloidi.

Saf bir madde erirken ya da kaynarken ısının tamamı tanecikleri birbirinden ayırmaya harcanır; bu yüzden sıcaklık sabit kalır: ısınma eğrisinde yatay bir basamak.

Çapraz kural: x = b, y = a, sonra ortak çarpanı sadeleştir. Birden fazla alınan çok atomlu iyon parantez içinde yazılır: Ca₃(PO₄)₂, Ca₃P₂O₈ değil.

Atomlar için yazılmış kütlenin korunumu yasası (质量守恒定律). Termokimyasal ve iyon denklemleri de ona uyar; iyon denkleminde ayrıca yük de denk olmalıdır.

Önce değişen elementleri bu iki sayıyla denkleştir (EKOK’a göre çapraz çarp), sonra kalanları, genellikle H ve O’yu, deneme yoluyla tamamla.

Bir iyon denkleminde hem atomlar hem yük denk olmalıdır. 2Fe³⁺ + Fe → 3Fe²⁺ doğrudur (+6 = +6); Fe³⁺ + Fe → 2Fe²⁺ denkleminde atomlar denktir ama +3 ≠ +4.

Isı, tepkimeye giren miktarla orantılıdır. CSCA’nın sevdiği iki tanım: yanma ısısı (燃烧热), 1 mol yakıtın kararlı ürünlere (CO₂(g), H₂O(l)) kadar tamamen yanmasına aittir; kuvvetli asit ile kuvvetli bazın nötrleşme ısısı (中和热) oluşan her mol H₂O için 57,3 kJ’dür.

Girenlerin bağları kırılır, ürünlerin bağları oluşur: «kırılan eksi oluşan». Ürünlerin bağları daha güçlüyse ΔH < 0 olur.

Seyreltmede çözünenin mol sayısı (ve kütlesi) değişmez. V₁ ve V₂ ikisi de mL olabilir; birim sadeleşir.

c(H⁺) · c(OH⁻) = Kw eşitliği asidik ya da bazik her sulu çözeltide geçerlidir. Kw sıcaklıkla artar: 100 °C dolayında 10⁻¹² mertebesindedir (sorularda Kw = 1 × 10⁻¹² verilir); bu yüzden orada nötr suyun pH’ı ≈ 6’dır ve yine nötrdür, çünkü c(H⁺) = c(OH⁻). Kw’nin kaynağı olan suyun iyonlaşması “Elektrolit çözeltileri teorisi” dersinin konusudur.

Seyreltme asitte c(H⁺)’yi (bazda c(OH⁻)’yi) 10ⁿ kat azaltır. Çok seyreltik çözeltiler pH 7’ye kendi taraflarından yaklaşır: suyun kendisi 10⁻⁷ mol/L H⁺ ve OH⁻ verir.

Bazik oksitlerin üç tipik tepkimesi. Çin ders kitapları denkleştirilmiş denklemlerde «→» yerine «=» yazar; anlamı aynıdır.

Asidik oksitlerin üç tipik tepkimesi; t° ısıtma demektir.

Asit + baz nötrleşmedir, bir sonraki bölümde. HNO₃ ve derişik H₂SO₄ metallerle H₂ çıkarmadan tepkimeye girer; bkz. «Yaygın ametaller ve bileşikleri».

Alkaliler turnusolu maviye, fenolftaleini pembeye çevirir. Suda çözünmeyen bazlar indikatörün rengini değiştirmez ama asitlerle yine tepkimeye girer.

Her kuvvetli asit ve baz için geçerlidir ve denklem yazma zahmetini kaldırır. Kütle verildiyse önce mole geç: n = m/M (bkz. «Madde miktarı: mol»).

Aynı mantık H₂SO₄ + NaOH (NaHSO₄ ya da Na₂SO₄) ve H₃PO₄ (NaH₂PO₄, Na₂HPO₄, Na₃PO₄) için de geçerlidir. Na₂CO₃ ve NaHCO₃’ün kendi özellikleri «Başlıca metaller ve bileşikleri» dersindedir.

Asit, baz ve tuzlar arasındaki çift yer değiştirme tepkimeleri (复分解反应) yalnızca çökelek, gaz ya da su oluşursa yürür; bu kuralın iyon açıklaması «İyon tepkimeleri ve iyonların tanınması» dersindedir.

Al(OH)₃ yalnızca kuvvetli bazlarda çözünür: amonyak çözeltisinde ve karbonik asitte çözünmez. ZnO ve Zn(OH)₂ de aynı şekilde tepkimeye girer (ZnCl₂ ya da Na₂[Zn(OH)₄] oluşur). Alüminyum metalinin kendisi «Başlıca metaller ve bileşikleri» dersindedir.

Tek adımda «oksit → baz» ya da «oksit → asit» yalnızca oksit suyla tepkimeye giriyorsa olur: CuO → Cu(OH)₂, Fe₂O₃ → Fe(OH)₃ ve SiO₂ → H₂SiO₃ iki adım ister (önce bir tuz elde edilir).

Çin ders kitapları gözlemleri (renk, duman, sis, alev) çok sorar: «duman» (烟) katı tanecikler, «sis» (雾) sıvı damlacıklardır.

Çamaşır suyunu asidik bir temizleyiciyle karıştırmak tehlikelidir: NaClO + 2HCl → NaCl + Cl₂↑ + H₂O. Cl₂’nin laboratuvarda elde edilmesi «Yaygın gazların elde edilmesi ve tanınması», klor-alkali sanayisi «Kimya sanayisi süreçleri» dersindedir.

Ters tepkimeler (Br₂ + 2KCl, I₂ + 2KBr) gerçekleşmez. Cl⁻, Br⁻ ve I⁻ iyonlarının AgNO₃ ile tanınması «İyon tepkimeleri ve iyonların tanınması» dersindedir.

SO₂’nin dört «yüzü». KMnO₄’ün ya da bromlu suyun renksizleşmesi ağartma değil indirgenmedir; «ağartma» yalnızca fuksin testidir.

Bakır derişik H₂SO₄ ile ancak ısıtılınca tepkimeye girer; seyreltik H₂SO₄ ile hiç girmez.

NO ve NO₂, duman-sis (smog) ve asit yağmurlarının nedenleri arasındadır. 2NO₂ ⇌ N₂O₄ dengesi «Kimyasal denge» dersindedir.

Amonyum tuzları suda çözünen beyaz kristallerdir. Isıtılınca ayrışırlar (NH₄Cl → NH₃↑ + HCl↑; tüpün soğuk kısmında yeniden NH₄Cl oluşur, süblimleşmeye benzer ama kimyasal bir değişimdir; NH₄HCO₃ → NH₃↑ + CO₂↑ + H₂O), alkalilerle ısıtılınca da NH₃ verirler: NH₄⁺ + OH⁻ → NH₃↑ + H₂O. Bu yüzden amonyumlu gübreler sönmüş kireç ya da bitki külü gibi bazik maddelerle karıştırılmamalıdır. NH₄⁺’ün tanınması «İyon tepkimeleri ve iyonların tanınması», NH₃’ün elde edilmesi «Yaygın gazların elde edilmesi ve tanınması» dersindedir.

İki durumda da çözelti Cu²⁺ yüzünden maviye döner. Bakır fazlaysa derişik asit harcandıkça seyrelir ve NO₂ yerine NO vermeye başlar.

1 mol Ca(OH)₂ için: CO₂ ≤ 1 mol ise çökelek CO₂ kadardır; 1 < CO₂ < 2 mol ise çökelek (2 − n(CO₂)) mol’dür; CO₂ ≥ 2 mol ise çökelek kalmaz.

Cam üretiminde yüksek sıcaklıkta: Na₂CO₃ + SiO₂ → Na₂SiO₃ + CO₂↑ ve CaCO₃ + SiO₂ → CaSiO₃ + CO₂↑.

Metallerin aktiflik sırası: aktiflik soldan sağa azalır.

«Fark yöntemi» (差量法): kütle değişimi, tepkimeye giren madde miktarıyla orantılıdır.

Sodyum peroksit oksijen açığa çıkarır — solunum cihazlarında ve denizaltılarda oksijen kaynağıdır.

Sodyum hidrojen karbonatın ısıyla bozunması: iki katıyı ayırt etmek ve Na₂CO₃’ü NaHCO₃ safsızlığından arındırmak için kullanılır.

Alüminyumun asitlerle ve bazlarla tepkimesi.

Al³⁺ çözeltisine damla damla NaOH eklenir: beyaz çökelti önce artar, sonra çözünür.

Fe²⁺ ile Fe³⁺ arasındaki dönüşümler: toplam yük iki tarafta eşit olmalıdır.

Çeliğin elektrokimyasal korozyonu (Çin ders kitaplarında: Fe − 2e⁻ = Fe²⁺).

Bilinen değerleri yerine koy ve tek bilinmeyeni bul. Bir elementin atomları farklı basamaklardaysa (Fe₃O₄, Na₂S₂O₃) bunların ortalaması çıkar; kesirli de olabilir.

Atom başına değil, formül başına say: K₂Cr₂O₇ → 2Cr³⁺, 2 · 3 = 6 elektron alır. Denklemde formül başına değişimleri en küçük ortak katlarına kadar çarp.

Yükseltgen, yükseltgenme ürününden; indirgen, indirgenme ürününden güçlüdür. Bu yüzden verilen iki üç tepkime tam bir sıraya bağlanır.

Katsayılar elektrot tepkimelerinden gelir: Cu²⁺ + 2e⁻ → Cu, 2Cl⁻ → Cl₂↑ + 2e⁻, 2H₂O → O₂↑ + 4H⁺ + 4e⁻ (ya da 4OH⁻ → O₂↑ + 2H₂O + 4e⁻), Ag⁺ + e⁻ → Ag.

Sağdaki yüklerin toplamı sıfırdır. Asidik tuzlar: NaHCO₃ → Na⁺ + HCO₃⁻ (HCO₃⁻ ayrılmaz), ama çözeltide NaHSO₄ → Na⁺ + H⁺ + SO₄²⁻. Çok protonlu zayıf asitler basamak basamak iyonlaşır: önce H₂CO₃ ⇌ H⁺ + HCO₃⁻.

Atom denkliğiyle birlikte. Bir redoks iyon denkleminde verilen elektronlar alınan elektronlara da eşit olmalıdır; yalnızca atomları kontrol edersen birçok yanlış şık doğru görünür.

Hidrokarbon serilerinin genel formülleri (CₙH₂ₙ sikloalkanlara, CₙH₂ₙ₋₂ ise dienlere de uyar).

Yer değiştirme (取代反应) — alkanların karakteristik tepkimesi.

Katılma (加成反应) ve katılma polimerleşmesi (加聚反应).

Benzenin tepkimeleri: iki yer değiştirme ve bir katılma.

Sodyum yalnızca –OH grubunun hidrojeninin yerine geçer, karbona bağlı H’nin asla. Tepkime sudakinden daha sakindir: etanolün O–H hidrojeni daha az etkindir. Aynı oran –COOH için de geçerlidir: 2 –COOH ~ H₂.

Etanolün diğer yükseltgenmeleri: yanar (C₂H₅OH + 3O₂ → 2CO₂ + 3H₂O); güçlü yükseltgenler, asitlendirilmiş K₂Cr₂O₇ (turuncu → yeşil) veya KMnO₄ (mor → renksiz), onu asetik aside kadar yükseltger.

İki tepkimede de aldehit yükseltgenir (indirgendir). Bunlar –CHO grubunun ayıraç testleridir; glikoz, formik asit ve formiyatlar da bu testleri verir.

Na dört maddenin hepsiyle, NaOH yalnızca asitlerle, NaHCO₃ ise yalnızca karbonik asitten güçlü asitlerle, yani –COOH ile tepkimeye girer.

Adlandırma: alkol kısmı + asit kısmı «-at» — CH₃COOC₂H₅ etil asetat, HCOOCH₃ metil formiyat. Esterleşme bir tür yer değiştirme tepkimesidir.

Ester her zaman aynı C–O bağından kopar: asit kısmı –OH’ı, alkol kısmı H’yi geri alır.

Sabunlaşma (皂化反应), yağın bazik hidrolizidir: 1 mol yağ 3 mol NaOH harcar ve 1 mol gliserol verir.

Alkol fermantasyonu 1 mol glikozdan 2 mol etanol ve 2 mol CO₂ oluşturur.

İyon oluşurken yalnızca elektron sayısı değişir: katyon q elektron vermiş, anyon |q| elektron almıştır. Çekirdek (Z ve A) aynı kalır.

Tablodaki sayı izotopların ağırlıklı ortalamasıdır; bu yüzden klor için 35,5 yazılır, oysa kütlesi 35,5 olan bir klor atomu yoktur. Bu sayıyı mol başına grama çevirmek «Madde miktarı: mol» dersinin işidir.

Ana grup atomları için ek kurallar: dış katmanda 8'den fazla elektron bulunmaz (K katmanında 2), 4s de 3d'den önce dolar. Bu yüzden potasyum 2, 8, 9 değil, 2, 8, 8, 1'dir.

Elektron dizilimi aynı olan iyonlar (izoelektronik iyonlar) yalnızca Z'ye göre sıralanır: O²⁻ > F⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺; hepsinde 10 elektron vardır ve proton arttıkça elektronlar daha sıkı çekilir.

IVA–VIIA grupları için |en yüksek| + |en düşük| = 8. İstisnalar: florun pozitif yükseltgenme basamağı yoktur, oksijen ise hiçbir zaman +6'ya ulaşmaz. Metallerin negatif yükseltgenme basamağı olmaz.

Δχ = 0: apolar kovalent; 0 < Δχ < yaklaşık 1,7: polar kovalent (Δχ büyüdükçe polarlık artar); metal ile ametal arasında Δχ > yaklaşık 1,7: büyük ölçüde iyonik. Sınır yalnızca bir yol göstericidir: H–F (Δχ = 1,9) çok polar bir kovalent bağdır, AlCl₃ (Δχ = 1,5) ise kovalent bir bileşiktir.

C 4, N 3, O 2, halojenler 1 bağ yapar: oktete eksik olan elektron sayısı kadar. Kalan değerlik elektronları ortaklanmamış çiftler (孤电子对) olarak kalır: N'de 1, O'da 2, Cl'de 3.

Bu, Çin ders kitaplarının formülüdür (中心原子上的孤电子对数). 2 bölge → doğrusal, 180°; 3 → düzlem, 120°; 4 → düzgün dörtyüzlü, 109,5°; ortaklanmamış çiftler açıları küçültür.

Aynı oran Δc için, tek bir kapta ise Δn için de geçerlidir. Herhangi bir v(X)’i kendi katsayısına bölersen tüm tepkime için tek bir sayı elde edersin; farklı maddelerle yazılmış hızlar böyle karşılaştırılır.

Yaklaşık bir kural (van ’t Hoff). Çin ders kitapları onu sözle anlatır: sıcaklık her 10 °C arttığında hız genellikle 2–4 kat artar. Aynı değişim için gereken süre de aynı oranda kısalır: τ₂ = τ₁ / γ^((t₂ − t₁)/10).

Enerji diyagramında tepkenler ve ürünler iki seviyedir, eğri ise aralarında bir «tepeye» tırmanır. E₁ tepenin tepkenlerden, E₂ ürünlerden yüksekliğidir. Ekzotermik tepkimede ürünler daha aşağıdadır ve E₁ < E₂’dir. Katalizör tepenin zirvesini alçaltır; E₁ ve E₂ aynı miktarda azalır, ΔH değişmez.

Q < K: ürün «az», bu yüzden Q, K’ye ulaşana kadar v(ileri) > v(geri). Q > K: ürün fazla, geri tepkime baskın gelir.

Kw hem saf suda hem de her seyreltik sulu çözeltide (asidik, bazik ya da nötr) geçerlidir. Eklenen H⁺ ya da OH⁻ (asit, baz) suyun iyonlaşmasını bastırır; H⁺ ya da OH⁻ bağlayan iyonlar (hidroliz olan tuzlar) onu artırır.

Na₂CO₃ çözeltisinin üç denkliği. Derişim sırası: c(Na⁺) > c(CO₃²⁻) > c(OH⁻) > c(HCO₃⁻) > c(H⁺); OH⁻ iki hidroliz basamağından ve sudan gelir, bu yüzden HCO₃⁻’ten fazladır.

Ksp, çözünürlükleri doğrudan yalnızca aynı türdeki tuzlar için karşılaştırır (AgCl, AgBr, AgI hepsi 1 : 1). Ag₂CrO₄’ün Ksp’si AgCl’ninkinden küçüktür ama daha çok çözünür. 25 °C’ta: Ksp(AgCl) = 1,8 × 10⁻¹⁰, Ksp(AgI) = 8,5 × 10⁻¹⁷, Ksp(BaSO₄) = 1,1 × 10⁻¹⁰.

Her okuma, göz menisküsün en alt noktasıyla aynı hizadayken yapılır. Sonuç her zaman 0,01 mL duyarlılıkla yazılır: 22,3 mL değil, 22,30 mL.

Kural «cisim solda, ağırlıklar sağda»dır (左物右码). Binici kullanılmıyorsa kefeleri karıştırmak sonucu değiştirmez.

Son iki tepkimede MnO₂ katalizördür: tepkimeden sonra kütlesi ve kimyasal özellikleri aynıdır, süzülerek geri alınabilir. Birinci tepkimede ise MnO₂ bir üründür. O₂ su üstünde (az çözünür) veya ağzı yukarı kapta (M = 32 > 29) toplanır. Tanıma: kor hâlindeki kıymık alev alır.

H₂ su üstünde veya ağzı aşağı kapta (M = 2) toplanır. Saf olmayan çinko saf çinkodan hızlı tepkimeye girer; birkaç damla CuSO₄ çözeltisi de tepkimeyi hızlandırır: çinkonun üzerine çöken bakır küçük galvanik hücreler oluşturur (bkz. «Redoks tepkimeleri»).

CO₂ havadan ağırdır (M = 44) ve suda belirgin biçimde çözünür; bu yüzden genellikle ağzı yukarı kapta toplanır. Kabın dolduğunu anlamak için yanan kıymık kabın ağzına (içine değil) tutulur: söner.

Isıtmadan KMnO₄ (veya KClO₃) da derişik HCl ile Cl₂ verir, örneğin 2KMnO₄ + 16HCl(derişik) → 2KCl + 2MnCl₂ + 5Cl₂↑ + 8H₂O. Klor zehirlidir: düzenek mutlaka bir atık gaz tutucusuyla bitmelidir.

Isıtmadan hızlı yöntem: derişik amonyak çözeltisini katı CaO veya NaOH üzerine damlatmak. NH₃ çok iyi çözünür (1 hacim suda ≈ 700 hacim) ve havadan hafiftir: yalnızca kuru, ağzı aşağı bir kapta toplanır; havayla karışmasın diye ağzına gevşek bir pamuk konur.

Neden amonyak sentezinden farklı olarak normal basınç? Atmosfer basıncında SO₂'nin dönüşümü zaten %90'ın üzerindedir; pahalı yüksek basınç donanımı çok az katkı sağlardı.

İlişki yöntemi (关系式法): ilk ham maddeyi son ürüne korunan tek bir element üzerinden bağla ve ara denklemleri atla. Kayıp olmadığı varsayılır; kayıplar aşağıda verim yoluyla hesaba katılır.

Amonyaktan nitrik asit. Absorpsiyon kulesine ek hava verildiğinde azotun tamamı aside geçer: 4NO₂ + O₂ + 2H₂O → 4HNO₃.

İyon değiştirici membranlı hücreyle klor-alkali endüstrisi (氯碱工业). Çin ders kitapları elektrot denklemlerini solda «− 2e⁻» ve «=» işaretiyle yazar: 2Cl⁻ − 2e⁻ = Cl₂↑.