Koordinat düzleminde doğrular ve çemberler

Bu derste öğreneceklerin

Bir doğrunun eğimini ve eğim açısını bulmak, denklemini verilere en uygun biçimde yazmak
Denklemlerden paralel ve dik doğruları tanımak, noktanın doğruya ve paralel doğruların birbirine uzaklığını hesaplamak
Çember denklemini genel biçimden standart biçime çevirmek, merkezi ve yarıçapı bulmak
Uzaklıkları karşılaştırarak doğru ile çemberin ve iki çemberin konumunu belirlemek, teğetleri ve kiriş uzunluklarını bulmak

Koordinat başlangıcındaki bir radar istasyonu 10 km yarıçap içindeki her şeyi görüyor. Bir gemi 3x + 4y − 40 = 0 doğrusu boyunca ilerliyor (birim: km). Radar gemiyi görecek mi, görecekse yolun hangi kısmında? Çizim gerekmez: istasyonun rotaya uzaklığı |−40|/√(3² + 4²) = 8 km’dir, bu da 10 km’den azdır; demek ki gemi radar bölgesinden geçer ve yolunun bölge içindeki kısmı 2√(10² − 8²) = 12 km uzunluğundadır. Doğru, çember, uzaklık ve kiriş: bütün ders tek bir örnekte. CSCA’nın resmî müfredatında “Düzlemde analitik geometri: doğrular, çemberler, elipsler, hiperboller, paraboller” satırı yer alır. Doğrular ve çemberler ilk sıradadır, çünkü “Elips”, “Hiperbol” ve “Parabol” derslerindeki eğriler aynı araçlarla kurulur. Açılara ve dikliğe vektörlerle yaklaşım “Düzlemde vektörler” dersindedir.

Eğim, eğim açısı ve doğru denklemi

Dikey olmayan her doğru sabit bir oranla yükselir ya da alçalır. Bu oranı iki sayı anlatır: doğrunun x ekseniyle yaptığı açı ve bu açının tanjantı olan eğim. Çin ders kitapları, dolayısıyla CSCA da eğimi k ile yazar: y = kx + b; birçok İngilizce kitapta ise m kullanılır: y = mx + c. Bu, aynı sayıdır.

Tanım

Eğim açısı (倾斜角)

x ekseninin pozitif yönünü doğrunun üzerine gelene kadar saat yönünün tersine döndürmek için gereken α açısı. Kural olarak 0° ≤ α < 180°: yatay bir doğruda α = 0°, dikey bir doğruda α = 90°’dir.

Tanım

Eğim (斜率)

Dikey olmayan bir doğru için k = tan α. Eğim, x 1 arttığında y’nin ne kadar değiştiğini gösterir. Dikey x = a doğrusunun eğim açısı 90°’dir ama eğimi yoktur, çünkü tan 90° tanımsızdır.

k = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)k = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

burada:

keğim
αeğim açısı, 0° ≤ α < 180°, α ≠ 90°
(x₁, y₁), (x₂, y₂)doğrunun iki noktası, x₁ ≠ x₂

k > 0: doğru yükselir (0° < α < 90°); k < 0: alçalır (90° < α < 180°); k = 0: yataydır. x₁ = x₂ ise doğru dikeydir ve eğimi yoktur.

α	k = tan α	α	k = tan α
0°	0	90°	yok
30°	√3/3	120°	−√3
45°	1	135°	−1
60°	√3	150°	−√3/3

Bunları ezberle: hesap makinesi olmadan CSCA ancak bu açıları kullanabilir. Sağ yarı sol yarının aynadaki görüntüsüdür: tan(180° − α) = −tan α.

Örnek 1: eğim ve eğim açısı

1) A(−1, 4) ve B(2, 1) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve eğim açısını bul.
2) A(1, 3), B(2, 5) ve C(4, m) noktaları aynı doğru üzerindedir. m’yi bul.
3) M(3, −2) ve N(3, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimi ve eğim açısı nedir?

Çözümü göster

1) k = (1 − 4)/(2 − (−1)) = −3/3 = −1. tan α = −1 ve 0° ≤ α < 180° olduğundan α = 135°.
2) Aynı doğru üzerindeki noktalar eşit eğim verir: k_AB = (5 − 3)/(2 − 1) = 2, dolayısıyla (m − 3)/(4 − 1) = 2 ve m = 9.
3) x₁ = x₂ = 3: bu, x = 3 dikey doğrusudur; bu yüzden α = 90° ve eğim tanımsızdır (formül sıfıra bölmeyi gerektirirdi).

Örnek 2 (CSCA tarzı): genel denklemden eğim açısı

x − √3y + 1 = 0 doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?
A) 30° B) 60° C) 120° D) 150°

Çözümü göster

y’yi yalnız bırak: y = x/√3 + 1/√3, yani k = 1/√3 = √3/3 ve α = 30°. Cevap A.
B) 60°, k = √3’e karşılık gelir: kesir ters okunmuş. D) 150°, k = −√3/3’e karşılık gelir: x karşı tarafa geçirilirken işaret kaybolmuş. C) iki hatayı birleştirir. Daha hızlısı (sonraki bölüme bak): k = −A/B = −1/(−√3) = √3/3.

Doğru denkleminin beş biçimi. Bir doğru, bir noktası ve eğimiyle, iki noktasıyla ya da eksenleri kestiği noktalarla belirlenir. Her veri türünün kendi denklem biçimi vardır ve her biçim Ax + By + C = 0 genel denklemine dönüştürülebilir; CSCA şıkları genellikle bu biçimde yazar.

Biçim	Denklem	Verilen	Gösteremediği doğrular
nokta-eğim (`点斜式`)	y − y₀ = k(x − x₀)	(x₀, y₀) noktası ve k	dikey doğrular
eğim-kesişim (`斜截式`)	y = kx + b	k ve y eksenini kestiği değer b	dikey doğrular
iki nokta (`两点式`)	(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)	iki nokta	eksenlere paralel doğrular
eksen kesişimleri (`截距式`)	x/a + y/b = 1	a ≠ 0 ve b ≠ 0 kesişim değerleri	eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğrular
genel (`一般式`)	Ax + By + C = 0	A ve B aynı anda 0 değil	her doğruyu gösterir

Ax + By + C = 0: k = −A/B, b = −C/B (B ≠ 0)Ax + By + C = 0: k = −A/B, b = −C/B (B ≠ 0)

burada:

A, B, Ckatsayılar; A ile B aynı anda sıfır olamaz
keğim
by eksenini kestiği değer: doğru y eksenini (0, b) noktasında keser

Eksen kesişimi bir uzunluk değil koordinattır, bu yüzden negatif olabilir. Ax + By + C = 0 doğrusu x eksenini −C/A’da keser (A ≠ 0). B = 0 ise doğru dikeydir: x = −C/A.

Örnek 3: denklem yazma

Her doğrunun genel denklemini yaz.
1) P(2, −1) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğru.
2) A(1, 2) ve B(3, −2) noktalarından geçen doğru.
3) x eksenini 3’te, y eksenini −2’de kesen doğru.

Çözümü göster

1) Nokta-eğim biçimi: y + 1 = 3(x − 2), yani y = 3x − 7 ve 3x − y − 7 = 0.
2) k = (−2 − 2)/(3 − 1) = −2; y − 2 = −2(x − 1), yani 2x + y − 4 = 0. B ile kontrol: 6 − 2 − 4 = 0 ✓.
3) Kesişim biçimi: x/3 + y/(−2) = 1. 6 ile çarp: 2x − 3y = 6, yani 2x − 3y − 6 = 0.

Örnek 4 (CSCA tarzı): eşit kesişimler

Bir doğru P(2, 3) noktasından geçiyor ve eksenleri eşit değerlerde kesiyor. Denklemi nedir?
A) x + y − 5 = 0 B) 3x − 2y = 0 C) x + y − 5 = 0 veya 3x − 2y = 0 D) x − y + 1 = 0

Çözümü göster

1. durum, iki kesişim de sıfırdan farklı: x/a + y/a = 1 ve P noktası 2 + 3 = a verir, dolayısıyla x + y − 5 = 0. 2. durum, iki kesişim de 0: doğru orijinden geçer, y = (3/2)x, yani 3x − 2y = 0. Cevap C.
A, yalnızca kesişim biçimini kullanan öğrencinin cevabıdır; oysa bu biçim orijinden geçen doğruyu gösteremez. D’nin kesişimleri −1 ve 1’dir: uzunlukları eşit ama kendileri eşit değil.

Paralel ve dik doğrular; uzaklıklar

l₁ ∥ l₂ ⇔ k₁ = k₂ ve b₁ ≠ b₂ l₁ ⊥ l₂ ⇔ k₁ · k₂ = −1

burada:

k₁, k₂y = k₁x + b₁ ve y = k₂x + b₂ doğrularının eğimleri
b₁, b₂y eksenini kestikleri değerler

Dik doğruların eğimleri birbirinin ters işaretli çarpmaya göre tersidir: 2 ve −1/2, −3/4 ve 4/3. Bu koşul iki eğimin de var olmasını gerektirir: dikey bir doğru her yatay doğruya diktir, ama eğimi yoktur.

A₁A₂ + B₁B₂ = 0 ⇔ l₁ ⊥ l₂ A₁B₂ − A₂B₁ = 0 ⇔ l₁ ∥ l₂ veya doğrular çakışık

burada:

A₁, B₁, A₂, B₂l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 ve l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 doğrularının katsayıları

Bu koşullar dikey doğrular dahil bütün doğrular için geçerlidir; bu yüzden parametreli sorularda en güvenli yoldur. Paralel doğru A ile B’yi korur, yalnızca C’yi değiştirir; dik doğru A ile B’nin yerini değiştirir ve birinin işaretini çevirir: Ax + By + C = 0 → Bx − Ay + C′ = 0.

Örnek 5: paralel ve dik doğrular

1) (1, −2) noktasından geçen ve 3x − y + 4 = 0 doğrusuna paralel olan doğruyu bul.
2) (2, 3) noktasından geçen ve 2x + y − 1 = 0 doğrusuna dik olan doğruyu bul.
3) a’nın hangi değeri için ax + 2y + 1 = 0 ve x + (a + 1)y − 2 = 0 doğruları diktir?

Çözümü göster

1) A ve B korunur: 3x − y + C = 0. Nokta 3 + 2 + C = 0 verir, C = −5: 3x − y − 5 = 0.
2) A ile B’nin yerini değiştir ve bir işareti çevir: x − 2y + C = 0. Nokta 2 − 6 + C = 0 verir, C = 4: x − 2y + 4 = 0. Kontrol: −2 ve 1/2 eğimlerinin çarpımı −1 ✓.
3) A₁A₂ + B₁B₂ = a · 1 + 2(a + 1) = 3a + 2 = 0, yani a = −2/3.

Örnek 6 (CSCA tarzı): parametreli paralellik

x + ay + 6 = 0 ve (a − 2)x + 3y + 2a = 0 doğruları paraleldir. a kaçtır?
A) −1 B) 3 C) −1 veya 3 D) 1

Çözümü göster

A₁B₂ − A₂B₁ = 1 · 3 − a(a − 2) = 0, dolayısıyla a² − 2a − 3 = 0 ve a = 3 veya a = −1.
Şimdi çakışmayı kontrol et. a = 3 iken iki denklem de x + 3y + 6 = 0 olur: bu aynı doğrudur, bu yüzden a = 3 elenir. a = −1 iken: x − y + 6 = 0 ve −3x + 3y − 2 = 0, yani x − y + 2/3 = 0 — paraleldir. Cevap A.
C tuzaktır: ikinci dereceden denklemden sonra durur. B ise çakışma durumunun kendisidir.

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)

burada:

(x₀, y₀)nokta
A, B, Cdoğrunun genel denkleminin katsayıları
C₁, C₂Ax + By + C₁ = 0 ve Ax + By + C₂ = 0 paralel doğrularının sabit terimleri; A ve B aynı olmalı

Uzaklık, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur. İkinci formül, birincinin doğrulardan birinin bir noktasına uygulanmasıdır; bu yüzden önce iki denklemde A ve B’yi eşitle.

Örnek 7: uzaklıklar

1) (2, −1) noktasının 3x + 4y + 8 = 0 doğrusuna uzaklığını bul.
2) 2x − y + 3 = 0 ve 4x − 2y − 1 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı bul.
3) Orijinin x + y + c = 0 doğrusuna uzaklığı √2’dir. c’yi bul.

Çözümü göster

1) d = |3 · 2 + 4 · (−1) + 8|/√(9 + 16) = 10/5 = 2.
2) İkinci denklemi 2’ye böl: 2x − y − 1/2 = 0. O zaman d = |3 − (−1/2)|/√(4 + 1) = (7/2)/√5 = 7√5/10.
3) |c|/√2 = √2, yani |c| = 2 ve c = ±2: orijinin iki yanında birer doğru.

Çemberin denklemi

Tanım

Çember (圆)

Düzlemde sabit bir C(a, b) noktasına (merkez, 圆心) aynı r uzaklığında (yarıçap, 半径) bulunan bütün noktaların kümesi.

(x − a)² + (y − b)² = r²

burada:

(a, b)merkez
ryarıçap, r > 0
(x, y)çemberin herhangi bir noktası

Bu, |PC| = √((x − a)² + (y − b)²) = r uzaklık formülünün karesidir. |PC|, r’den küçük, r’ye eşit ya da r’den büyük olduğunda P noktası sırasıyla çemberin içinde, üzerinde ya da dışındadır. Bazı İngilizce kitaplar merkezi (h, k) diye yazar; CSCA ve Çin ders kitapları (a, b) kullanır.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² − 4F > 0): merkez (−D/2, −E/2), r = √(D² + E² − 4F)/2x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² − 4F > 0): merkez (−D/2, −E/2), r = √(D² + E² − 4F)/2

burada:

D, E, Fgenel denklemin katsayıları

Bu, parantezleri açılmış standart denklemdir. x² ve y²’nin katsayıları eşit olmalı, xy terimi bulunmamalıdır. D² + E² − 4F = 0 ise denklem tek bir nokta belirtir; negatifse hiçbir nokta belirtmez.

Örnek 8: çember denklemleri

1) Merkezi (−1, 2) olan ve (2, 6) noktasından geçen çemberin denklemini yaz.
2) x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.
3) m’nin hangi değerleri için x² + y² + 2x − 4y + m = 0 denklemi bir çember belirtir?
4) O(0, 0), A(4, 0) ve B(0, 2) noktalarından geçen çemberi bul.

Çözümü göster

1) r = √(3² + 4²) = 5, yani (x + 1)² + (y − 2)² = 25.
2) Tam kareye tamamla: (x − 3)² + (y + 1)² = 9 + 1 − 6 = 4. Merkez (3, −1), r = 2.
3) D² + E² − 4F = 4 + 16 − 4m > 0, yani m < 5.
4) O noktası F = 0 verir; A: 16 + 4D = 0, D = −4; B: 4 + 2E = 0, E = −2. Buna göre x² + y² − 4x − 2y = 0, merkez (2, 1), r = √5. Daha hızlısı: ∠AOB = 90° olduğundan AB bir çaptır ve orta noktası (2, 1) merkezdir.

Doğru ve çember; iki çember

Bir doğrunun çemberi kesip kesmediğini tek bir sayı belirler: merkezin doğruya uzaklığı d. İki denklemden oluşan sistemi çözüp diskriminanta bakmak aynı sonucu verir, ama daha uzun sürer.

d < r: iki ortak nokta d = r: teğet d > r: ortak nokta yok

burada:

d(a, b) merkezinin doğruya uzaklığı: d = |Aa + Bb + C|/√(A² + B²)
rçemberin yarıçapı

Çincede bu üç durumun adı 相交 (kesişir), 相切 (teğet) ve 相离 (ayrık) şeklindedir. Cebirsel kontrol aynı sonucu verir: doğrunun denklemi çemberinkinde yerine konunca ikinci dereceden bir denklem çıkar ve Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 bu üç duruma karşılık gelir.

|AB| = 2√(r² − d²)

burada:

|AB|kirişin uzunluğu
dmerkezin doğruya uzaklığı

Merkezden kirişe inen dikme kirişi ikiye böler; bu yüzden r, d ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur (çizime bak).

Kirişin yarısı, d uzaklığı ve r yarıçapı bir dik üçgen oluşturur.

Örnek 9: konum ve kiriş

1) 3x + 4y − 5 = 0 doğrusu (x − 1)² + (y − 1)² = 4 çemberini keser mi, ona teğet midir, yoksa ortak noktaları yok mu?
2) Doğrunun çemberde ayırdığı kirişin uzunluğunu bul.
3) b’nin hangi değerleri için y = x + b doğrusu x² + y² = 8 çemberine teğettir?

Çözümü göster

1) Merkez (1, 1), r = 2; d = |3 + 4 − 5|/5 = 2/5 < 2: doğru çemberi iki noktada keser.
2) |AB| = 2√(4 − 4/25) = 2√(96/25) = 2 · 4√6/5 = 8√6/5.
3) Doğruyu x − y + b = 0 biçiminde yaz. d = |b|/√2, r = 2√2’ye eşit olmalı; yani |b| = 4 ve b = ±4.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

x² + y² = r² çemberi ve y = kx + b doğrusu. b’yi değiştir: d = |b|/√(k² + 1) < r olduğu sürece doğru çemberi keser, |b| = r√(k² + 1) olduğunda ona teğet olur. r = 3 ve k = 1 için bu, b = ±3√2 ≈ ±4,24 değerinde olur.

x₀x + y₀y = r² (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r² |PT| = √(|PC|² − r²)

burada:

(x₀, y₀)çember üzerindeki değme noktası (ilk formül: merkez O’da)
|PT|dışarıdaki P noktasından T değme noktasına kadar teğet parçasının uzunluğu
|PC|P’nin merkeze uzaklığı

İlk iki formül çemberin bir noktasındaki teğeti verir (“bir x yerine x₀, bir y yerine y₀ yaz”). Bunlar doğrudur, çünkü teğet değme noktasında yarıçapa diktir; aynı dik açı Pisagor teoremiyle |PT|’yi verir. Çemberin dışındaki bir noktadan tam iki teğet, üzerindeki bir noktadan bir teğet çizilir, içindeki bir noktadan ise hiç çizilemez.

1
Konumu kontrol et
|PC|’yi r ile karşılaştır. Dışarıdaki noktadan iki teğet çizilir; çember üzerindeki nokta için yukarıdaki formülü kullan.
2
Önce dikey doğruyu dene
Merkezin x = x₀ doğrusuna uzaklığını bul. Bu uzaklık r’ye eşitse, bu dikey doğru teğetlerden biridir; eğim yöntemi onu bulamaz.
3
Eğimli denklemi kur
y − y₀ = k(x − x₀) denklemini kx − y + y₀ − kx₀ = 0 biçiminde yaz ve d = r koşulunu kur.
4
k’yi bul
k için denklemin iki kökü olur; ikinci teğet dikey doğruysa tek kökü olur. İki doğruyu da genel biçimde yaz.

Örnek 10: teğetler

1) x² + y² = 25 çemberine (3, −4) noktasındaki teğeti bul.
2) P(3, 2) noktasından (x − 1)² + y² = 4 çemberine çizilen teğetleri ve teğet parçasının uzunluğunu bul.

Çözümü göster

1) x₀x + y₀y = r² formülü 3x − 4y = 25, yani 3x − 4y − 25 = 0 verir. Kontrol: yarıçapın eğimi −4/3, teğetin eğimi 3/4, çarpımları −1 ✓.
2) |PC|² = (3 − 1)² + 2² = 8 > 4: P çemberin dışında, yani iki teğet var. x = 3 dikey doğrusu merkezden |3 − 1| = 2 = r uzaklıkta, bu yüzden x = 3 bir teğettir. Eğim yöntemiyle: kx − y + 2 − 3k = 0 ve d = |2 − 2k|/√(k² + 1) = 2; buradan 4 − 8k + 4k² = 4k² + 4 ve k = 0: y = 2. Yalnızca bir k çıktı; ikinci teğet dikey doğrudur. Teğet parçası: √(8 − 4) = 2.

Durum	Koşul	Ortak noktalar	Ortak teğetler
birbirinin dışında (`外离`)	d > R + r	0	4
dıştan teğet (`外切`)	d = R + r	1	3
kesişen (`相交`)	\|R − r\| < d < R + r	2	2
içten teğet (`内切`)	d = \|R − r\| > 0	1	1
biri diğerinin içinde (`内含`)	d < \|R − r\|	0	0

d merkezler arası uzaklık, R ve r yarıçaplardır. Eş merkezli çemberler (d = 0) son satırın özel bir durumudur.

(D₁ − D₂)x + (E₁ − E₂)y + F₁ − F₂ = 0

burada:

D₁, E₁, F₁; D₂, E₂, F₂iki çemberin genel denklemlerinin katsayıları

İki çember kesişiyorsa genel denklemlerini birbirinden çıkarmak x² ve y²’yi yok eder ve iki ortak noktadan geçen doğruyu bırakır: ortak kirişin (公共弦) doğrusu.

Örnek 11: iki çember

1) x² + y² = 36 ve (x − 3)² + (y + 4)² = 1 çemberleri birbirine göre nasıl konumlanmıştır ve kaç ortak teğetleri vardır?
2) x² + y² − 4 = 0 ve x² + y² − 4x + 4y − 4 = 0 çemberlerinin ortak kiriş doğrusunu ve kirişin uzunluğunu bul.

Çözümü göster

1) Merkezler O(0, 0) ve C(3, −4), yarıçaplar 6 ve 1; d = √(9 + 16) = 5 = 6 − 1. Çemberler içten teğettir ve değme noktasında bir ortak teğetleri vardır.
2) Çıkaralım: (x² + y² − 4) − (x² + y² − 4x + 4y − 4) = 4x − 4y = 0; ortak kiriş y = x doğrusu üzerindedir. Bu doğru birinci çemberin O merkezinden geçer, bu yüzden kiriş o çemberin çapıdır: uzunluğu 4.

Örnek 12 (CSCA tarzı): doğru ailesi ve çember

Her gerçek k için y = kx + 1 doğrusu ile x² + y² − 2x − 3 = 0 çemberi:
A) teğettir B) iki noktada kesişir C) ortak noktası yoktur D) k’ye bağlı olarak kesişir ya da teğettir

Çözümü göster

Her y = kx + 1 doğrusu M(0, 1) noktasından geçer. Çember (x − 1)² + y² = 4’tür ve M için (0 − 1)² + 1² = 2 < 4, yani M çemberin içindedir. İç noktadan geçen her doğru çemberi iki noktada keser. Cevap B.
D, aceleyle ve işaret hatasıyla hesaplanan diskriminantın sonucudur; sabit noktayı kontrol etmek on saniye sürer ve cebir gerektirmez.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Eğim ve açı: k = −A/B’yi genel denklemden oku ve özel açılar tablosunu kullan; bir eğim aralığı, 90°’de ikiye bölünebilen bir açı aralığı verir.
Doğru denklemleri: nokta ve eğim verilmişse nokta-eğim biçimini kullan; paralel doğru için A ve B’yi koru, dik doğru için yerlerini değiştir ve bir işareti çevir; kaybolabilecek durumu ara (dikey doğru, orijinden geçen doğru).
Parametreler: dik doğrular için A₁A₂ + B₁B₂ = 0; paralel doğrular için A₁B₂ − A₂B₁ = 0, ardından doğruları çakıştıran değeri ele.
Uzaklıklar: noktanın doğruya uzaklığı formülü; paralel doğrularda önce A ve B’yi eşitle. Parametreli uzaklık sorularının genellikle iki cevabı olur (±).
Çemberler: tam kareye tamamla (merkez (−D/2, −E/2)), D² + E² − 4F > 0 koşulunu kontrol et ve geometriden yararlan: çembere çizilen dik açı çapı görür.
Doğru ve çember, iki çember: d’yi r ile (ya da R + r ve |R − r| ile) karşılaştır; kiriş 2√(r² − d²); bir noktadaki teğet x₀x + y₀y = r²; çemberin içindeki sabit nokta “her zaman keser” demektir ve bu noktadan geçen en kısa kiriş, o noktadan geçen yarıçapa diktir.
Zaman kazandıranlar (soru başına yaklaşık 75 s): sistem çözmek nadiren gerekir; d ile r’yi karşılaştırmak ve şıkları yerine koymak daha hızlıdır. Şıklar doğru denklemleriyse önce hangilerinin verilen noktadan geçtiğine bak: çoğu zaman tek şık kalır.

Sınava İngilizce ya da Çince girilebilir. Bu dersin terimleri her iki dilde:

Terim	中文	Pinyin
eğim — slope	斜率	xiélǜ
eğim açısı — angle of inclination	倾斜角	qīngxiéjiǎo
eksen kesişimi — intercept	截距	jiéjù
doğrunun genel denklemi — general equation of a line	直线的一般式方程	zhíxiàn de yībānshì fāngchéng
paralel — parallel	平行	píngxíng
dik — perpendicular	垂直	chuízhí
noktanın doğruya uzaklığı — distance from a point to a line	点到直线的距离	diǎn dào zhíxiàn de jùlí
çember — circle	圆	yuán
merkez — centre	圆心	yuánxīn
yarıçap — radius	半径	bànjìng
kiriş — chord	弦	xián
teğet — tangent line	切线	qiēxiàn
kesişir / teğet / ayrık — intersect / tangent / separate	相交 / 相切 / 相离	xiāngjiāo / xiāngqiè / xiānglí
ortak kiriş — common chord	公共弦	gōnggòngxián

Önemli noktalar

k = tan α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), 0° ≤ α < 180°; dikey doğruda α = 90°’dir ve eğim yoktur.
Biçimler: y − y₀ = k(x − x₀), y = kx + b, x/a + y/b = 1, Ax + By + C = 0 (k = −A/B); kesişim biçimi orijinden geçen doğruları kaçırır.
∥: k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ (genel biçimde A₁B₂ = A₂B₁ ve çakışık değil); ⊥: k₁k₂ = −1 veya A₁A₂ + B₁B₂ = 0.
d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²); paralel doğrular için A ve B eşitken |C₁ − C₂|/√(A² + B²).
(x − a)² + (y − b)² = r²; x² + y² + Dx + Ey + F = 0 çemberinin merkezi (−D/2, −E/2), yarıçapı √(D² + E² − 4F)/2’dir.
Doğru ve çember: d’yi r ile karşılaştır; kiriş 2√(r² − d²); teğet x₀x + y₀y = r²; iki çember: d’yi R + r ve |R − r| ile karşılaştır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Eğim açısı 135° olan doğrunun eğimi kaçtır?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla