Üçgen çözümü: sinüs ve kosinüs teoremleri

Bu derste öğreneceklerin

Kenarları, açıları ve çevrel çemberin yarıçapını bulmak, kenarlardan sinüslere ve tersine geçmek için a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R sinüs teoremini kullanmak.
Kosinüs teoremiyle iki kenar ve aralarındaki açıdan kenarı ya da üç kenardan açıyı bulmak.
S = ½ab sin C alanını bulmak, verilerin kaç üçgen tanımladığına ve üçgenin dar açılı, dik ya da geniş açılı olduğuna karar vermek.
Yükselme ve alçalma açıları, yönler ve ulaşılamayan uzaklıklar içeren ölçme problemlerini çözmek.

Karşıya geçemediğin bir nehrin genişliği ya da tırmanamadığın bir kulenin yüksekliği nasıl bulunur? Kendi tarafında bir uzaklık ve iki açı ölç, gerisini trigonometri yapar. Çin ders kitapları buna 解三角形 (üçgen çözümü) der ve bu konu CSCA tarzı testlerin gözdesidir, çünkü geometriyi sin ve cos değerleriyle birleştirir. Gösterim: ABC üçgeninde a, b, c kenarları sırasıyla A, B, C açılarının karşısındadır, R ise çevrel çemberin yarıçapıdır. Özel açıların değerleri ve toplam formülleri “Trigonometrik fonksiyonlar ve özdeşlikler”, bu fonksiyonların grafikleri ise “Trigonometrik fonksiyonların grafikleri” dersindedir.

Sinüs teoremi

Tanım

Üçgen çözümü

Bir üçgenin, en az biri kenar olan üç bilinen elemanından bilinmeyen kenarlarını ve açılarını bulmak. Yalnızca üç açı, üçgenin boyutunu değil, sadece biçimini belirler.

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2Ra / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

burada:

a, b, cA, B, C açılarının karşısındaki kenarlar
A, B, Cüçgenin açıları
Rçevrel çemberin yarıçapı (外接圆半径)

Sonuçlar: a = 2R sin A, sin A = a/(2R) ve a : b : c = sin A : sin B : sin C. İki açı ve bir kenar ya da iki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı bilindiğinde kullan.

Neden 2R? Çevrel çemberin BD çapını çiz. A ve D’deki çevre açılar aynı BC yayını gördüğünden ∠D = ∠A’dır (ya da sinüsü aynı olan 180° − A) ve BD çap olduğundan ∠BCD = 90°’dir. BCD dik üçgeninde a = BD · sin D = 2R sin A. Faydalı bir sonuç: her üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur: a > b ⇔ A > B ⇔ sin A > sin B.

Çözümlü örnekler: sinüs teoremi

1) △ABC’de A = 30°, B = 45° ve a = 2. b’yi, C’yi ve çevrel çemberin yarıçapı R’yi bul.
2) a = 3 ve A = 60°. R’yi bul.
3) A : B : C = 1 : 2 : 3. a : b : c oranını bul.

Çözümü göster

1) b = a sin B / sin A = 2 · (√2/2) / (1/2) = 2√2; C = 180° − 30° − 45° = 105°; 2R = a / sin A = 2 / (1/2) = 4, yani R = 2.
2) 2R = 3 / (√3/2) = 6/√3 = 2√3, yani R = √3.
3) A = 30°, B = 60°, C = 90° olduğundan a : b : c = sin 30° : sin 60° : sin 90° = 1/2 : √3/2 : 1 = 1 : √3 : 2; 1 : 2 : 3 değil.

Kosinüs teoremi

a² = b² + c² − 2bc cos A cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)a² = b² + c² − 2bc cos A cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)

burada:

aA açısının karşısındaki kenar
b, cA açısını oluşturan iki kenar
Ab ve c kenarları arasındaki açı (夹角)

Diğer kenarlar için de aynıdır: b² = a² + c² − 2ac cos B, c² = a² + b² − 2ab cos C. A = 90° iken cos A = 0 olur ve teorem Pisagor teoremine dönüşür. Birinci biçim iki kenar ve aralarındaki açıdan kenarı, ikincisi üç kenardan açıyı bulur.

Çözümlü örnekler: kosinüs teoremi

1) b = 3, c = 8 ve A = 60°. a’yı bul.
2) Bir üçgenin kenarları 5, 7 ve 8’dir. 7 kenarının karşısındaki açıyı bul.
3) △ABC’de b² + c² − a² = bc. A’yı bul.

Çözümü göster

1) a² = 9 + 64 − 2 · 3 · 8 · (1/2) = 73 − 24 = 49, yani a = 7.
2) cos θ = (5² + 8² − 7²) / (2 · 5 · 8) = (25 + 64 − 49)/80 = 40/80 = 1/2, yani θ = 60°.
3) cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = bc/(2bc) = 1/2, yani A = 60°. Verilen ifadeyi kosinüs formülünün payıyla karşılaştır; bütün püf noktası bu.

CSCA tarzı soru

△ABC’de a = 7, b = 8 ve c = 13. Üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
A) 90° B) 120° C) 135° D) 150°

Çözümü göster

En büyük açı en büyük kenar c’nin karşısındadır: cos C = (49 + 64 − 169)/(2 · 7 · 8) = −56/112 = −1/2, yani C = 120°: B. A için c² = a² + b² olmalıydı ama 169 > 113. C ve D için cos C = −√2/2 veya −√3/2 olmalıydı.

Alan, çözüm sayısı ve üçgenin türü

S = ½ab sin C = ½bc sin A = ½ca sin B

burada:

a, biki kenar
Caralarındaki açı
Süçgenin alanı

İki kenarın ve aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı. Sinüs teoremiyle birlikte buradan S = abc/(4R) de elde edilir.

Çözümlü örnekler: alan

1) a = 4, b = 5 ve C = 30°. S’yi bul.
2) △ABC’nin alanı 4√3, b = c = 4 ve A dar açıdır. A’yı ve a’yı bul.
3) Kenarı a olan eşkenar üçgenin alanını bul.

Çözümü göster

1) S = ½ · 4 · 5 · (1/2) = 5.
2) sin A = 2S/(bc) = 8√3/16 = √3/2 ve A dar olduğundan A = 60° (geniş bir A, 120° verirdi). O hâlde a² = 16 + 16 − 2 · 4 · 4 · (1/2) = 16, a = 4: üçgen eşkenardır.
3) S = ½ · a · a · sin 60° = √3a²/4.

CSCA tarzı soru

△ABC’de B = 60°, a = 4 ve alan 2√3’tür. b kaçtır?
A) 2 B) 2√3 C) 2√7 D) 4

Çözümü göster

S = ½ac sin B = ½ · 4 · c · (√3/2) = √3c = 2√3, yani c = 2. O hâlde b² = 16 + 4 − 2 · 4 · 2 · (1/2) = 12 ve b = 2√3: B. A, b değil c’dir. C, 2ac cos B’yi çıkarmak yerine ekler (16 + 4 + 8 = 28). D, a’dır; aslında b² + c² = 12 + 4 = 16 = a², yani A açısı diktir.

İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde (a, b ve A), veriler hiç üçgen, bir üçgen ya da iki üçgen tanımlayabilir. A açısını ve b = AC kenarını çiz; üçüncü köşe B, açının diğer kolu üzerinde C’den a uzaklıktadır. C merkezli a yarıçaplı çember bu kolu kesmeyebilir, ona teğet olabilir ya da onu iki noktada kesebilir. Her şey C’den inen h = b sin A yüksekliğine bağlıdır.

Burada h < a < b: iki üçgen. a < h iken yay kola ulaşmaz, a = h iken ona teğettir, a ≥ b iken ikinci kesişim A’nın gerisine düşer ve tek üçgen kalır.

h = b sin A

burada:

hC’den A açısının diğer koluna uzaklık (yükseklik)
aA’nın karşısındaki kenar
bA açısına komşu kenar

A dar: a < h — üçgen yok; a = h — bir dik üçgen; h < a < b — iki üçgen; a ≥ b — bir üçgen. A dik ya da geniş: a > b ise bir üçgen, a ≤ b ise hiç yok.

Çözümlü örnekler: kaç üçgen?

Üçgen sayısını bul:
1) A = 30°, b = 4, a = 3;
2) A = 60°, b = 2, a = √3;
3) A = 45°, b = 2, a = 3;
4) A = 30°, b = 3, a = 1.

Çözümü göster

1) h = 4 · 1/2 = 2 < 3 < 4: iki. Gerçekten sin B = 4 · (1/2)/3 = 2/3 olur ve hem dar B hem de geniş 180° − B uyar.
2) h = 2 · (√3/2) = √3 = a: bir, B = 90°.
3) a = 3 ≥ b = 2: bir; B < A olduğundan B dardır.
4) h = 3/2 > 1 = a: hiç yok; sinüs teoremi sin B = 3/2 > 1 verirdi.

c² < a² + b² ⇔ C < 90° c² = a² + b² ⇔ C = 90° c² > a² + b² ⇔ C > 90°

burada:

cen uzun kenar
Cen büyük açı (c’nin karşısında)

Bu, cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) formülünden çıkar: payın işareti cos C’nin işaretidir. En büyük açısı dar olan üçgen dar açılıdır; bu yüzden yalnızca en uzun kenarı kontrol et.

Çözümlü örnekler: üçgenin türü

1) Kenarlar 4, 5 ve 6’dır. Üçgen dar açılı mı, dik mi, geniş açılı mı?
2) Kenarları 2, 3 ve 4 olan üçgen için aynı soru.
3) △ABC’de a = 2b cos C. Bu nasıl bir üçgendir?

Çözümü göster

1) 6² = 36 < 4² + 5² = 41: dar açılı.
2) 4² = 16 > 2² + 3² = 13: geniş açılı.
3) cos C’yi kosinüs teoremiyle değiştir: a = 2b · (a² + b² − c²)/(2ab) = (a² + b² − c²)/a; buradan a² = a² + b² − c² ve b = c: üçgen ikizkenardır.

Ölçme problemleri

Tanım

Yükselme açısı, alçalma açısı, yön açısı

Yükselme açısı (仰角), yatay ile yukarıdaki bir cisme bakış doğrusu arasındaki açıdır; alçalma açısı (俯角) ise yatay ile aşağıdaki bir cisme bakış doğrusu arasındaki açıdır. N 30° E (北偏东30°) gibi bir yön şöyle okunur: yüzünü kuzeye çevir, sonra 30° doğuya dön.

1
Çiz ve işaretle
Durumu yukarıdan (yönler) ya da yandan (yükseklikler) çiz ve bilinen bütün uzunlukları ve açıları şekle yaz.
2
Üç elemanı bilinen bir üçgen bul
Bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180°’dir, üçgenin açılarının toplamı da; çoğu zaman anahtar üçüncü açıdır.
3
Sinüs ya da kosinüs teoremi
İki açı ve bir kenar: sinüs teoremi. İki kenar ve aralarındaki açı: kosinüs teoremi.
4
Dik üçgende bitir
Yükseklik ya da yatay uzaklık genellikle sonda bir dik üçgende sin veya cos ile bulunur.

Çözümlü örnekler: yükseklikler ve uzaklıklar

1) Düz bir zeminde bir kule duruyor. A noktasından kulenin tepesi T’nin yükselme açısı 30°’dir; kuleye doğru dümdüz 20 m yürüyüp B noktasına gelince bu açı 60° oluyor. Kulenin yüksekliğini bul.
2) A ve B noktaları bir nehrin aynı kıyısındadır, AB = 60 m. Karşı kıyıdaki C ağacı ∠CAB = 45° ve ∠CBA = 105° açılarıyla görülüyor. BC’yi bul.
3) İki gemi aynı anda limandan aralarındaki açı 120° olan rotalarla çıkıyor. İki saat sonra biri 30 km, öteki 50 km yol almış. Aralarındaki uzaklık nedir?

Çözümü göster

1) △ABT’de ∠A = 30°, ∠ABT = 180° − 60° = 120°; yani ∠ATB = 30° ve üçgen ikizkenardır: BT = AB = 20 m. Yükseklik BT · sin 60° = 10√3 m ≈ 17,3 m.
2) ∠C = 180° − 45° − 105° = 30°. BC, A’nın karşısındadır: BC = AB · sin A / sin C = 60 · (√2/2) / (1/2) = 60√2 m ≈ 84,9 m.
3) d² = 30² + 50² − 2 · 30 · 50 · cos 120° = 900 + 2500 + 1500 = 4900, d = 70 km.

CSCA tarzı soru

A noktasındaki bir gemi L fenerini N 15° E yönünde görüyor. Gemi tam kuzeye 20 km gidip B noktasına varıyor; B’den fener N 45° E yönünde. Gemi A noktasındayken fenere ne kadar uzaktaydı?
A) 10√2 km B) 20 km C) 20√2 km D) 40 km

Çözümü göster

△ABL’de ∠A = 15° ve ∠ABL = 180° − 45° = 135°’dir (A’ya dönüş yönü, yani tam güney, ile L’ye yön arasındaki açı). Yani ∠L = 180° − 15° − 135° = 30°. AL, B’nin karşısındadır: AL = AB · sin 135° / sin 30° = 20 · (√2/2) / (1/2) = 20√2 km: C. B üçgeni ikizkenar sayar, A oranı ters çevirir, D ise sin 135° yerine sin 90° kullanır.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Üçgen soruları sık çıkar: hem doğrudan hesaplama hem de “bu nasıl bir üçgendir” biçiminde. Temel terimleri İngilizce ve Çince tanı:

Terim (İngilizcesi)	中文	Pinyin
sinüs teoremi — law of sines	正弦定理	zhèngxián dìnglǐ
kosinüs teoremi — law of cosines	余弦定理	yúxián dìnglǐ
üçgen çözümü — solving a triangle	解三角形	jiě sānjiǎoxíng
çevrel çember — circumscribed circle	外接圆	wàijiēyuán
iki kenar arasındaki açı — included angle	夹角	jiājiǎo
karşı kenar — opposite side	对边	duìbiān
alan — area	面积	miànjī
dar açılı / geniş açılı üçgen — acute / obtuse triangle	锐角 / 钝角三角形	ruìjiǎo / dùnjiǎo sānjiǎoxíng
dik üçgen — right triangle	直角三角形	zhíjiǎo sānjiǎoxíng
ikizkenar / eşkenar üçgen — isosceles / equilateral triangle	等腰 / 等边三角形	děngyāo / děngbiān sānjiǎoxíng
yükselme açısı — angle of elevation	仰角	yǎngjiǎo
alçalma açısı — angle of depression	俯角	fǔjiǎo
yön açısı — bearing	方位角	fāngwèijiǎo
çözüm sayısı — number of solutions	解的个数	jiě de gèshù

Tipik soru kalıpları ve zaman kazandıran yollar (soru başına yaklaşık 75 s):

Kenar ya da açı bul: iki açı ve bir kenar → sinüsler; iki kenar ve aradaki açı → kosinüsler; üç kenar → en büyük açının kosinüsü.
b² + c² − a² = bc gibi ifadeler: hemen 2bc cos A ile karşılaştır: cos A = 1/2.
Sinüslerin oranı: sin A : sin B : sin C = a : b : c; açıların oranı kenarların oranı değildir.
Alan: S = ½ab sin C; S ve iki kenar verilmişse sin C = 2S/(ab); sinüsü aynı olan iki açıyı unutma.
Kaç üçgen: a’yı h = b sin A ile ve b ile karşılaştır.
Üçgenin türü: en uzun kenar c için a² + b² − c²’nin işareti; a cos A = b cos B gibi eşitlikleri sinüslerle yaz.
Ölçme: önce üçüncü açıyı bul; yükseklikler en sonda bir dik üçgende bulunur.

Önemli noktalar

Sinüs teoremi: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R; büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur.
Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc cos A; cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) açıyı tek türlü bulur.
Alan: S = ½ab sin C; C iki kenar arasındaki açıdır.
İki kenar ve karşı açı: a’yı h = b sin A ve b ile karşılaştır: 0, 1 ya da 2 üçgen.
Tür: en uzun kenar c için a² + b² − c²’nin işareti üçgenin dar açılı, dik ya da geniş açılı olduğunu gösterir.
Ölçme problemleri: üçüncü açıyı bul, sinüs ya da kosinüs teoremini uygula, bir dik üçgende bitir.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

△ABC’de a/sin A oranı neye eşittir (R çevrel çemberin yarıçapıdır)?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla