- ||PF₁| − |PF₂|| = 2a tanımını odaklara uzaklıkları bulmak ve hiperbolü tanımak için kullanmak
- Odakları x ya da y ekseninde olan standart denklemden c² = a² + b² ile a, b, c'yi, odakları ve köşeleri okumak
- Asimptotları yazmak, dışmerkezliği bulmak ve birinden diğerine iki yönde geçmek
- İkizkenar hiperbolü (a = b, e = √2) tanımak ve asimptotlar ile e üzerine tipik CSCA sorularını çözmek
«Elips» dersinde iki odağa uzaklıkların toplamı sabitti. Toplam yerine farkı sabit tutarsan bambaşka bir eğri ortaya çıkar: hiperbol, bir çift doğruya yaklaşarak sonsuza uzanan iki ayrı kol. Onu zaten tanıyorsun: y = k/x fonksiyonunun grafiği 45° döndürülmüş bir hiperboldür. Hiperbol navigasyonda da kullanılır: iki radyo istasyonundan gelen sinyallerin varış süreleri arasındaki fark, istasyonlara olan uzaklıkların farkını belirler; yani gemi bir hiperbolün üzerindedir. Sınav sorularında hiperbolle ilgili neredeyse her şey üç sayıya, a, b ve c'ye, ayrıca asimptotlara ve dışmerkezliğe dayanır.
Tanım: uzaklıklar farkı sabit
Düzlemde, sabit iki F₁ ve F₂ noktasına (odaklara) uzaklıkları farkının mutlak değeri, odaklar arası uzaklıktan küçük sabit bir 2a sayısına eşit olan P noktalarının kümesi: ||PF₁| − |PF₂|| = 2a, burada 0 < 2a < |F₁F₂| = 2c.
2a neden 2c'den küçük olmalı? PF₁F₂ üçgeninde her kenar diğer iki kenarın farkından büyüktür, bu yüzden ||PF₁| − |PF₂|| < |F₁F₂| olur. 2a = 2c ise «eğri», F₁F₂ doğrusu üzerinde iki ışına dönüşür; 2a > 2c ise böyle nokta hiç yoktur. Mutlak değer de önemlidir: |PF₁| − |PF₂| = 2a koşulunu sağlayan noktalar yalnızca F₂'ye yakın kolu, |PF₂| − |PF₁| = 2a koşulunu sağlayanlar ise diğer kolu oluşturur.
F₁F₂ doğru parçasının orta noktası hiperbolün merkezidir. Eğri, odaklardan geçen doğruyu iki köşe noktasında keser; aralarındaki doğru parçası 2a uzunluğundaki asal eksendir. Merkezden geçen, ona dik ve 2b uzunluğundaki doğru parçası yedek eksendir: eğri onu hiç kesmez ama asimptotları b belirler. Odaklar arasındaki 2c uzaklığına odaklar arası uzaklık denir.
- Phiperbolün herhangi bir noktası
- F₁, F₂odaklar; |F₁F₂| = 2c
- 2aasal eksenin uzunluğu (köşeler arası uzaklık)
F₂'ye yakın kolda |PF₁| − |PF₂| = 2a, F₁'e yakın kolda ise tersidir. Hiperbolün bir noktası odağa en fazla c − a kadar yaklaşabilir (köşede).
1) F₁(−5, 0), F₂(5, 0) ve bir P noktası |PF₁| − |PF₂| = 6 olacak şekilde hareket ediyor. P hangi kümeyi çizer?
2) P noktası, odakları F₁ (sol) ve F₂ (sağ) olan x²/9 − y²/7 = 1 hiperbolü üzerinde ve |PF₁| = 10. |PF₂|'yi bulun.
3) Aynı hiperbol, ancak |PF₁| = 2. |PF₂|'yi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) a = 3, c² = 9 + 7 = 16, c = 4. ||PF₁| − |PF₂|| = 6 eşitliğinden |PF₂| = 4 ya da 16 bulunur. İkisi de c − a = 1'den küçük değil, yani ikisi de mümkün: 4 ya da 16 (P sağ ya da sol kolda).
3) |PF₂| = 2 ± 6 = 8 ya da −4. Uzaklık negatif olamaz: |PF₂| = 8, P sol kolda.
Standart denklemler ve c² = a² + b²
Odakları x ekseni üzerinde F₁(−c, 0) ve F₂(c, 0) noktalarına yerleştirelim, tanımı iki nokta arası uzaklık formülüyle yazalım, iki kez kare alarak köklerden kurtulalım ve b² = c² − a² diyelim. Aşağıdaki ilk denklem çıkar: elipsteki hesabın aynısı, yalnızca bir işaret değişir. Odaklar y ekseni üzerindeyse x ile y yer değiştirir.
- a > 0asal yarı eksen: köşeler (±a, 0) ya da (0, ±a)
- b > 0yedek yarı eksen
- cmerkezden odağa uzaklık: odaklar (±c, 0) ya da (0, ±c)
Solda odaklar x ekseninde, ortada y ekseninde. Hiperbolde üç sayının en büyüğü c'dir; a² ise hangi payda büyük olursa olsun her zaman pozitif karenin altındadır.
| Özellik | x²/a² − y²/b² = 1 | y²/a² − x²/b² = 1 |
|---|---|---|
| Odaklar | (±c, 0) | (0, ±c) |
| Köşeler | (±a, 0) | (0, ±a) |
| Asal eksen | x ekseni üzerinde, uzunluğu 2a | y ekseni üzerinde, uzunluğu 2a |
| Asimptotlar | y = ±(b/a)x | y = ±(a/b)x |
| Dışmerkezlik | e = c/a | e = c/a |
Odakların nerede olduğunu nasıl anlarız? Elipste büyük ekseni büyük payda gösterir, hiperbolde ise işaret belirler: odaklar, önünde artı işareti olan değişkenin ekseni üzerindedir. y²/4 − x²/9 = 1 denkleminde a² = 4, b² = 9'dur; a, b'den küçüktür ve bu tamamen mümkündür. Genel olarak mx² + ny² = 1 denklemi, ancak ve ancak m ile n zıt işaretliyse (mn < 0) bir hiperbol belirtir.
1) y²/16 − x²/9 = 1 hiperbolünün odaklarını, köşelerini ve iki ekseninin uzunluklarını bulun.
2) 4x² − y² = 16 denklemini standart biçime getirin ve odakları bulun.
3) Merkezi orijinde olan bir hiperbolün odakları x ekseni üzerinde, odaklar arası uzaklığı 6, asal ekseni 4'tür. Denklemini yazın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 16'ya bölelim: x²/4 − y²/16 = 1. a = 2, b = 4, c² = 4 + 16 = 20, c = 2√5. Odaklar (±2√5, 0).
3) 2c = 6, 2a = 4 ⇒ c = 3, a = 2, b² = 9 − 4 = 5: x²/4 − y²/5 = 1.
x²/(5 − k) + y²/(k − 2) = 1 denklemi, odakları y ekseni üzerinde olan bir hiperbol belirtiyor. k'nin değer aralığı nedir?
A) 2 < k < 5
B) k < 2
C) k < 2 ya da k > 5
D) k > 5
Çözümü gösterÇözümü gizle
C caziptir ama yalnızca hiperbol olma koşuludur: k < 2 iken artı işareti x²'ye geçer ve odaklar x eksenine düşer. A elips koşuludur (iki payda da pozitif), B ise odakları x ekseninde olan bir hiperbol verir.
Asimptotlar
x²/a² − y²/b² = 1 denklemini y'ye göre çözelim: y = ±(b/a)·√(x² − a²). |x| büyükken √(x² − a²) kökü neredeyse |x|'e eşittir; bu yüzden kollar y = ±(b/a)x doğrularına giderek yaklaşır ama onlara hiç değmez. Bu doğrular asimptotlardır (渐近线). Hızlı çizim: merkezin çevresine kenarları 2a ve 2b olan bir dikdörtgen çiz; köşegenleri asimptotlardır, köşegenin yarısı ise √(a² + b²) = c'dir, yani odaklar dikdörtgenin köşelerinden geçen çemberin üzerindedir.
- b/a, a/bb/a, a/basimptotların eğimleri: her zaman √(y²'nin paydası) ÷ √(x²'nin paydası)
Hızlı yol: sağ taraftaki 1'i 0 yap ve y'yi çöz: x²/a² − y²/b² = 0 ⇒ y = ±(b/a)x.
Zaman kazandıran bir bilgi daha: (c, 0) odağından bx − ay = 0 asimptotuna uzaklık |bc|/√(b² + a²) = bc/c = b'dir. Yani «odaktan asimptota uzaklık» doğrudan yedek yarı eksendir.
1) x²/25 − y²/4 = 1 hiperbolünün asimptotlarını bulun.
2) y²/9 − x²/4 = 1 hiperbolünün asimptotlarını bulun.
3) Bir hiperbolün asimptotları y = ±(1/2)x ve hiperbol (4, √3) noktasından geçiyor. Denklemini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Odaklar y ekseni üzerinde: eğim = √9 ÷ √4 = 3/2, yani y = ±(3/2)x (±(2/3)x değil).
3) Bu asimptotlara sahip bütün hiperboller x²/4 − y² = λ biçimindedir. Noktayı yerine koyalım: 16/4 − 3 = 1 ⇒ λ = 1, yani x²/4 − y² = 1.
Dışmerkezlik ve ikizkenar hiperbol
- edışmerkezlik (离心率)
- b/ab/aodaklar x eksenindeyken asimptotun eğimi
c > a olduğundan her zaman e > 1'dir. e büyüdükçe asimptotlar (odaklar x eksenindeyken) dikleşir ve kollar daha geniş açılır.
Formül e'yi asimptotlara bağlar; bu yüzden sınav birini verip diğerini sorabilir. Bir asimptot asal eksenle θ açısı yapıyorsa b/a = tan θ ve e = √(1 + tan²θ) = 1/cos θ olur: θ = 45° için e = √2, θ = 60° için e = 2. Önce odakların hangi eksende olduğunu kontrol et: aynı asimptotlar diğer konumda başka bir e verir.
1) x²/4 − y²/5 = 1 için e'yi bulun.
2) Odakları x ekseninde olan bir hiperbolün asimptotları y = ±√3x. e'yi bulun.
3) Asimptotlar yine y = ±√3x, ama odaklar y ekseninde. e'yi bulun.
4) Odakları x ekseninde olan bir hiperbolde e = 5/3. Asimptotları bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) b/a = √3 ⇒ e = √(1 + 3) = 2.
3) Şimdi a/b = √3, yani b/a = 1/√3 ve e = √(1 + 1/3) = 2/√3 = 2√3/3.
4) b/a = √(25/9 − 1) = √(16/9) = 4/3: y = ±(4/3)x.
a = b olan hiperbol, örneğin x² − y² = a². Asal ve yedek eksenleri eşittir, y = ±x asimptotları birbirine diktir, c = a√2 ve dışmerkezlik her zaman e = √2'dir.
y = k/x (k ≠ 0) grafiği de bir ikizkenar hiperboldür: 45° döndürülmüş x² − y² = 2k hiperbolüdür, asimptotları koordinat eksenleridir ve yine e = √2'dir. Örneğin y = 2/x için köşeler (√2, √2) ve (−√2, −√2), odaklar ise (2, 2) ve (−2, −2) noktalarıdır. Tersi de işe yarar: asimptotlar dik ⇔ a = b ⇔ e = √2.
1) Merkezi orijinde ve odakları x ekseninde olan bir ikizkenar hiperbol (3, 1) noktasından geçiyor. Denklemini ve odaklarını bulun.
2) Bir hiperbolün asimptotları birbirine dik. Dışmerkezliğini bulun.
3) x² − y² = −2 hiperbolünün odaklarını bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) b/a ve −b/a eğimlerinin çarpımı −1 ⇒ b = a ⇒ e = √2.
3) y²/2 − x²/2 = 1: odaklar y ekseninde, c² = 2 + 2 = 4, odaklar (0, ±2).
F₁ ve F₂, x²/4 − y²/5 = 1 hiperbolünün odaklarıdır; P ise hiperbol üzerinde PF₁ ⊥ PF₂ olan bir noktadır. F₁PF₂ üçgeninin alanı kaçtır?
A) 10
B) 5
C) 4
D) 9
Çözümü gösterÇözümü gizle
A (10) ½'yi unutur; C ve D ise a² ile c²'dir. Kısa yol: P'de dik açı varsa alan her zaman b²'dir; herhangi bir θ açısı için S = b²·cot(θ/2).
y²/a² − x²/b² = 1 (a > 0, b > 0) hiperbolünün dışmerkezliği 2'dir. Asimptotları nelerdir?
A) y = ±√3x
B) y = ±2x
C) y = ±(√3/3)x
D) y = ±(1/2)x
Çözümü gösterÇözümü gizle
A, odaklar x eksenindeyken doğru olurdu; en sık düşülen tuzak budur. B e'nin kendisini eğim sanır, D ise onun tersini.
CSCA bu konuyu nasıl sorar
- Asimptotlar ↔ dışmerkezlik: biri verilir, diğeri sorulur; e² = 1 + k² ile e² = 1 + 1/k² arasındaki seçimi odakların konumu belirler.
- Verilenlerden denklem: odaklar ve köşe, odak ve asimptot, asimptotlar ve nokta (λ ailesi).
- Tanım: |PF₁|'den |PF₂|, «c − a'dan küçük değil» kontrolüyle; P'de dik açılı F₁PF₂ üçgeni (S = b²).
- Parametreler: mx² + ny² = 1 ya da x²/(…) + y²/(…) = 1 ne zaman hiperboldür ve odakları hangi eksendedir.
- İkizkenar hiperbol: a = b, y = ±x asimptotları, e = √2; «asimptotlar dik» aynı anlama gelir.
- Elipsle karışık sorular: odakları bir elipsinkilerle aynı olan hiperbol; c'yi orada elips kuralıyla («Elips» dersine bak), burada c² = a² + b² ile bul.
| Terim (İngilizcesi) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| hiperbol — hyperbola | 双曲线 | shuāngqūxiàn |
| odak — focus (çoğulu foci) | 焦点 | jiāodiǎn |
| odaklar arası uzaklık — focal distance | 焦距 | jiāojù |
| köşe — vertex | 顶点 | dǐngdiǎn |
| asal eksen — real (transverse) axis | 实轴 | shízhóu |
| yedek eksen — imaginary (conjugate) axis | 虚轴 | xūzhóu |
| merkez — centre | 中心 | zhōngxīn |
| sağ / sol kol — right / left branch | 右支 / 左支 | yòuzhī / zuǒzhī |
| asimptot — asymptote | 渐近线 | jiànjìnxiàn |
| dışmerkezlik — eccentricity | 离心率 | líxīnlǜ |
| standart denklem — standard equation | 标准方程 | biāozhǔn fāngchéng |
| ikizkenar hiperbol — equilateral hyperbola | 等轴双曲线 | děngzhóu shuāngqūxiàn |
| eşlenik hiperboller — conjugate hyperbolas | 共轭双曲线 | gòng'è shuāngqūxiàn |
Önemli noktalar
- Tanım: ||PF₁| − |PF₂|| = 2a, 0 < 2a < 2c; mutlak değer olmadan tek kol kalır ve hiçbir nokta odağa c − a'dan yakın değildir.
- x²/a² − y²/b² = 1 (odaklar x ekseninde) ve y²/a² − x²/b² = 1 (y ekseninde): büyük payda değil artı işareti belirler; c² = a² + b².
- Asimptotlar: 1 yerine 0 yaz — y = ±(b/a)x ya da y = ±(a/b)x; asimptotları aynı hiperboller x²/a² − y²/b² = λ; odağın asimptota uzaklığı b'dir.
- e = c/a = √(1 + b²/a²) > 1; asimptotun eğimi k ise e² = 1 + k² (odaklar x ekseninde) ya da e² = 1 + 1/k² (y ekseninde).
- İkizkenar hiperbol: a = b, dik asimptotlar y = ±x, e = √2; y = k/x grafiği de böyledir.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.
Konu testi: 20 soru · 25 dk
Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.