Trigonometrik fonksiyonlar ve özdeşlikler

Bu derste öğreneceklerin

Derece ile radyan arasında dönüşüm yapmak, yay uzunluğunu ve daire diliminin alanını bulmak
Birim çember, bölgelere göre işaretler ve özel açılarla her açının sin, cos ve tan değerini bulmak
Temel özdeşlikler ve indirgeme formülleriyle ifadeleri sadeleştirmek
Toplam, fark ve iki kat açı formüllerini ve a·sin x + b·cos x = R sin(x + φ) dönüşümünü uygulamak

CSCA'da hesap makinesi yasaktır, ama cos 75° ya da yalnızca cos α verildiğinde sin 2α sorulur. Bunların hiçbiri ezberlenmez: hepsi beş özel açıdan ve birkaç formülden kurulur; bu ders tam da o araç takımıdır. sin, cos ve tan grafikleri ile y = A sin(ωx + φ) «Trigonometrik fonksiyonların grafikleri» dersinde, üçgenler ise «Üçgen çözümü: sinüs ve kosinüs teoremleri» dersindedir.

Radyan ölçüsü ve birim çember

Tanım

Radyan (弧度)

Yayı yarıçapa eşit olan merkez açı. Tam tur 2π rad = 360°'dir; bu yüzden 180° = π rad ve 1 rad ≈ 57,3°. Birim çoğu zaman yazılmaz: sin 1, 1°'nin değil 1 radyanın sinüsüdür. Tam tur kadar farklı açıların, α + 2kπ (k ∈ Z), bitim kenarı (终边) aynıdır.

α (rad) = α° · π/180 l = |α| · r S = ½ · l · r = ½ · |α| · r²α (rad) = α° · π/180 l = |α| · r S = ½ · l · r = ½ · |α| · r²

burada:

αradyan cinsinden açı
lyay uzunluğu
ryarıçap
Sdaire diliminin alanı

Radyanla yay ve dilim formüllerinde 360°'ye gerek kalmaz; bu yüzden analiz ve Çin ders kitapları (弧度制) radyanı tercih eder.

Örnek 1: Radyan, yay ve daire dilimi

1) 135°'yi radyana çevir.
2) 11π/6'yı dereceye çevir.
3) Bir daire diliminin yarıçapı 10 cm, yay uzunluğu 15 cm'dir. Merkez açısını ve alanını bul.

Çözümü göster

1) 135 · π/180 = 3π/4.
2) (11/6) · 180° = 330°.
3) α = l/r = 15/10 = 1,5 rad; S = ½ · 15 · 10 = 75 cm².

Tanım

Her açının trigonometrik fonksiyonları (三角函数)

α'nın köşesini orijine, başlangıç kenarını x ekseninin pozitif yönüne koy. Bitim kenarı birim çemberi (单位圆) P(x, y) noktasında kesiyorsa sin α = y, cos α = x ve tan α = y/x (x ≠ 0).

sin α = y/r cos α = x/r tan α = y/x r = √(x² + y²)sin α = y/r cos α = x/r tan α = y/x r = √(x² + y²)

burada:

(x, y)α açısının bitim kenarı üzerindeki herhangi bir nokta (orijin dışında)
rnoktanın orijine uzaklığı

Birim çemberde r = 1 olduğundan nokta doğrudan (cos α, sin α) olur. x ve y'nin işaretleri bölgelere göre işaretleri verir: I. bölgede hepsi pozitif, II'de yalnız sin, III'te yalnız tan, IV'te yalnız cos.

Örnek 2: Noktadan değerler ve bölge

1) α açısının bitim kenarı P(5, −12) noktasından geçiyor. sin α, cos α ve tan α'yı bul.
2) cos α < 0 ve tan α < 0. α'nın bitim kenarı hangi bölgededir?

Çözümü göster

1) r = √(25 + 144) = 13: sin α = −12/13, cos α = 5/13, tan α = −12/5 (IV. bölge: yalnız cos pozitif).
2) cos < 0, II ve III. bölgelerde; tan < 0, II ve IV. bölgelerde. İkisi birden yalnızca II. bölgede sağlanır.

α	0	π/6 (30°)	π/4 (45°)	π/3 (60°)	π/2 (90°)	π (180°)
sin α	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1
tan α	0	√3/3	1	√3	tanımsız	0

Bu tabloyu ezbere bil: CSCA'daki diğer bütün kesin değerler aşağıdaki formüllerle bundan elde edilir.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

210° = 7π/6, III. bölgededir: sin = −1/2 ve cos = −√3/2 negatif, tan = √3/3 pozitiftir. Açıyı dört bölgeden geçir ve işaretleri izle.

Temel özdeşlikler ve indirgeme formülleri

sin²α + cos²α = 1 tan α = sin α / cos αsin²α + cos²α = 1 tan α = sin α / cos α

burada:

αherhangi bir açı (tan için cos α ≠ 0)

Aynı açının temel özdeşlikleri (同角三角函数关系). Birincisi birim çemberde Pisagor teoremidir: x² + y² = 1. Bir değerden diğer ikisi bulunur; işareti bölge belirler.

Örnek 3: Bir değerden diğerlerine

1) cos α = −12/13 ve α III. bölgede. sin α ve tan α'yı bul.
2) tan α = −2. (2 sin α − cos α)/(sin α + 3 cos α) ve sin α cos α ifadelerini bul.

Çözümü göster

1) sin²α = 1 − 144/169 = 25/169; III. bölgede sinüs negatiftir: sin α = −5/13; tan α = (−5/13) ÷ (−12/13) = 5/12.
2) Pay ve paydayı cos α'ya böl: (2 tan α − 1)/(tan α + 3) = (−4 − 1)/(−2 + 3) = −5.
sin α cos α için 1 = sin²α + cos²α'ya böl: sin α cos α / (sin²α + cos²α) = tan α / (tan²α + 1) = −2/5.

İndirgeme formülleri (诱导公式) her açının trigonometrik fonksiyonunu dar bir açınınkine getirir. Birim çemberin simetrisinden çıkarlar: −α'ya karşılık gelen nokta, α'nınkinin x eksenine göre yansımasıdır; π − α'nınki y eksenine göre yansımasıdır; π + α'nınki ise ona orijine göre simetriktir.

Açı	sin	cos	tan
−α	−sin α	cos α	−tan α
π − α	sin α	−cos α	−tan α
π + α	−sin α	−cos α	tan α
2π − α	−sin α	cos α	−tan α
π/2 − α	cos α	sin α	cot α
π/2 + α	cos α	−sin α	−cot α
3π/2 − α	−cos α	−sin α	cot α
3π/2 + α	−cos α	sin α	−cot α

Ayrıca: 2kπ eklemek hiçbir şeyi değiştirmez ve tan(α + kπ) = tan α; cot α = 1/tan α.

1
Negatif açıyı pozitif yap
sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α, tan(−α) = −tan α; ya da açı pozitif olana kadar 2π ekle.
2
Tam turları at
[0, 2π) aralığına düşene kadar 2π'nin (360°) katlarını çıkar.
3
Dar açıya indir
Açıyı dar bir α ile π − α, π + α veya 2π − α biçiminde yaz ve tabloyu kullan (işaret bölgeye göre).
4
Değeri oku
Özel açılar tablosunu kullan.

Örnek 4: Her açıdan dar açıya

1) cos 225° 2) sin(−13π/6) 3) tan 300° 4) sin(π + α) · cos(−α) / [cos(π/2 + α) · cos(π − α)] ifadesini sadeleştir.

Çözümü göster

1) 225° = 180° + 45°, III. bölge: cos 225° = −cos 45° = −√2/2.
2) −13π/6 + 4π = 11π/6 = 2π − π/6: sin(11π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
3) 300° = 360° − 60°: tan 300° = −tan 60° = −√3.
4) Pay: (−sin α)(cos α); payda: (−sin α)(−cos α) = sin α cos α. Oran −1'dir.

Örnek 5 (CSCA tarzı): İndirgeme ve temel özdeşlik

sin(π/2 + α) = −5/13 ve α ∈ (π/2, π). tan(π − α) kaçtır?
A) 12/5 B) −12/5 C) 5/12 D) −5/12

Çözümü göster

sin(π/2 + α) = cos α, yani cos α = −5/13. II. bölgede sin α > 0: sin α = 12/13 ve tan α = −12/5. Son olarak tan(π − α) = −tan α = 12/5, cevap A.
Diğerleri neden cazip: B) tan α'nın kendisidir, indirgemedeki işaret unutulmuştur; C) ve D) sin ile cos'un yerini değiştirmekten (tan = cos/sin) gelir.

Toplam, fark ve iki kat açı formülleri

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)

burada:

α, βherhangi açılar (tan için bütün tanjantlar ve payda tanımlı olmalı)

Toplam ve fark formülleri (两角和与差公式). Kosinüs formülünde çarpımlar arasındaki işaret parantezdekinin tersidir. 15°, 75°, 105° gibi açıları 45° ± 30° veya 60° ± 45° olarak hesaplatırlar.

Formüller nereden gelir? Birim çemberde P(cos α, sin α) ve Q(cos β, sin β) noktalarını al. OP ile OQ arasındaki açı α − β olduğundan skaler çarpım OP · OQ = 1 · 1 · cos(α − β) olur; koordinatlarla aynı çarpım cos α cos β + sin α sin β'dır. İşte bu cos(α − β)'dır. β yerine −β yazınca cos(α + β), sin x = cos(π/2 − x) eşitliğiyle sinüs formülleri, sin'i cos'a bölünce de tan formülü çıkar (skaler çarpım «Düzlem vektörleri» dersindedir).

Örnek 6: Toplam ve fark

1) sin 105° 2) tan 75° 3) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° 4) α ve β dar açılar, sin α = 3/5 ve cos β = 5/13. cos(α + β)'yı bul.

Çözümü göster

1) sin(60° + 45°) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4.
2) tan(45° + 30°) = (1 + √3/3)/(1 − √3/3) = (3 + √3)/(3 − √3) = 2 + √3.
3) cos α cos β + sin α sin β kalıbı cos(α − β)'dır: cos 60° = 1/2.
4) cos α = 4/5 ve sin β = 12/13 (dar açılar, pozitif): cos(α + β) = (4/5)(5/13) − (3/5)(12/13) = −16/65.

Örnek 7 (CSCA tarzı): Açıyı parçalama

α dar bir açı ve cos(α + π/6) = 3/5. sin α kaçtır?
A) (4√3 − 3)/10 B) (4√3 + 3)/10 C) (3√3 − 4)/10 D) (3√3 + 4)/10

Çözümü göster

α'nın kendisini arama; α = (α + π/6) − π/6 yaz. α + π/6 ∈ (π/6, 2π/3) olduğundan sinüsü pozitiftir: sin(α + π/6) = 4/5.
sin α = sin(α + π/6) cos(π/6) − cos(α + π/6) sin(π/6) = (4/5)(√3/2) − (3/5)(1/2) = (4√3 − 3)/10. Cevap A.
Diğerleri neden cazip: B) fark yerine toplam formülünü kullanır; C) ve D) 3/5 ile 4/5'in (yardımcı açının kosinüs ve sinüsünün) rollerini değiştirir.

sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α) cos²α = (1 + cos 2α)/2 sin²α = (1 − cos 2α)/2sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α) cos²α = (1 + cos 2α)/2 sin²α = (1 − cos 2α)/2

burada:

αherhangi bir açı (tan 2α için tan α ≠ ±1)

İki kat açı formülleri (二倍角公式), β = α alınmış toplam formülleridir. cos 2α sağdan sola okununca kuvvet azaltma formülleri (降幂公式) çıkar: kareler cos 2α'nın birinci kuvvetiyle değiştirilir.

Örnek 8: İki kat açı

1) tan α = 1/2. tan 2α, sin 2α ve cos 2α'yı bul.
2) sin 15° cos 15° 3) 1 − 2 sin² 75° 4) sin² 22,5°

Çözümü göster

1) tan 2α = 1/(1 − 1/4) = 4/3; sin 2α = 2 tan α/(1 + tan²α) = 1/(5/4) = 4/5; cos 2α = (1 − tan²α)/(1 + tan²α) = (3/4)/(5/4) = 3/5 (kontrol: (4/5)² + (3/5)² = 1).
2) ½ sin 30° = 1/4.
3) cos 150° = −√3/2.
4) (1 − cos 45°)/2 = (2 − √2)/4.

Yardımcı açı: a·sin x + b·cos x = R sin(x + φ)

a sin x + b cos x toplamı yine tek bir sinüs dalgasıdır. R = √(a² + b²)'yi parantez dışına al: a/R ve b/R sayıları (a/R)² + (b/R)² = 1'i sağlar; yani bir φ açısının cos φ ve sin φ değerleridir ve toplam formülüyle R(cos φ sin x + sin φ cos x) = R sin(x + φ) olur. Çin ders kitapları buna yardımcı açı formülü (辅助角公式) der.

a sin x + b cos x = R sin(x + φ), R = √(a² + b²), cos φ = a/R, sin φ = b/Ra sin x + b cos x = R sin(x + φ), R = √(a² + b²), cos φ = a/R, sin φ = b/R

burada:

Rgenlik: en büyük değer R, en küçük −R
φyardımcı açı; bölgesi a ve b'nin işaretlerinden seçilir

R sin(ωx + φ)'nin periyodu ve grafiği «Trigonometrik fonksiyonların grafikleri» dersindedir; burada yalnızca dönüşüm ve [−R, R] görüntü kümesi gerekir.

Örnek 9: Yardımcı açı

1) sin x + √3 cos x'i R sin(x + φ) biçiminde yaz.
2) sin x − cos x'i de aynı biçimde yaz.
3) 3 sin x + 4 cos x'in en büyük ve en küçük değerlerini bul.
4) y = sin x cos x + cos² x fonksiyonunun en büyük değerini bul.

Çözümü göster

1) R = √(1 + 3) = 2: 2((1/2) sin x + (√3/2) cos x) = 2 sin(x + π/3).
2) R = √2, cos φ = 1/√2, sin φ = −1/√2 ⇒ φ = −π/4: √2 sin(x − π/4).
3) R = √(9 + 16) = 5: en büyük 5, en küçük −5.
4) Önce dereceyi düşür: y = ½ sin 2x + (1 + cos 2x)/2 = ½(sin 2x + cos 2x) + ½ = (√2/2) sin(2x + π/4) + ½. En büyük değer (1 + √2)/2.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

a sin x + b cos x dalgası y = ±√(a² + b²) doğruları arasında. a = 3, b = 4 iken ±5'e değer; a ve b'yi değiştir, dalga her zaman iki doğru arasında kalır ve ikisine de değer.

Örnek 10 (CSCA tarzı): En büyük değer

f(x) = sin x + cos(x + π/6) fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
A) 2 B) 1 C) √3 D) √3/2

Çözümü göster

Aç: cos(x + π/6) = (√3/2) cos x − (1/2) sin x, yani f(x) = (1/2) sin x + (√3/2) cos x = sin(x + π/3). En büyük değer 1, cevap B.
Diğerleri neden cazip: A) iki maksimumu toplar (1 + 1), ama bunlar aynı x'te alınmaz; C) √3, yanlış işaretle açmaktan gelir: (3/2) sin x + (√3/2) cos x, R = √3; D) √3/2 yalnızca f(0)'dır.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Kesin değerler: indirgemeden sonra özel açılar ya da toplam ve fark formülleriyle 15°, 75°, 105°.
Bir değer verilir: sin α (ya da cos α, tan α) ve bölge → diğer fonksiyonlar, sin 2α, cos 2α, tan 2α; tuzak işarettir.
tan α verilir: homojen kesirler — cos α veya cos²α'ya böl.
Açıyı parçalama: α = (α + β) − β, 2α = (α + β) + (α − β); yardımcı açının işaretini aralığından bul.
En büyük / en küçük değer: iki kat açı formülleriyle dereceyi düşür, sonra a sin + b cos = R sin(… + φ); cevap ±R artı bir sabittir.
Zaman kazandıranlar (soru başına 75 s): özdeşlik seçeneğini α = 0 veya α = π/6 koyarak dene; hesaplamadan önce işareti bölgeye uymayan seçenekleri ele; «sin α verilmiş» sorularında çoğu zaman 3-4-5 ve 5-12-13 üçgenleri saklıdır.

Terim	中文	Pinyin
radyan — radian	弧度	húdù
radyan ölçüsü — radian measure	弧度制	húdùzhì
birim çember — unit circle	单位圆	dānwèiyuán
bitim kenarı — terminal side	终边	zhōngbiān
bölge — quadrant	象限	xiàngxiàn
sinüs / kosinüs / tanjant — sine / cosine / tangent	正弦 / 余弦 / 正切	zhèngxián / yúxián / zhèngqiē
trigonometrik fonksiyon — trigonometric function	三角函数	sānjiǎo hánshù
yay uzunluğu — arc length	弧长	húcháng
daire dilimi — sector	扇形	shànxíng
özdeşlik — identity	恒等式	héngděngshì
indirgeme formülleri — reduction formulas	诱导公式	yòudǎo gōngshì
toplam ve fark formülleri — sum and difference formulas	两角和与差公式	liǎngjiǎo hé yǔ chā gōngshì
iki kat açı formülleri — double-angle formulas	二倍角公式	èrbèijiǎo gōngshì
kuvvet azaltma formülleri — power-reduction formulas	降幂公式	jiàngmì gōngshì
yardımcı açı formülü — auxiliary-angle formula	辅助角公式	fǔzhùjiǎo gōngshì

İngilizce ve Çince temel terimler: sınava bu dillerden birinde girebilirsin. Çin ders kitaplarında tanjant «tan» diye yazılır.

Önemli noktalar

180° = π rad; yay l = |α| r, dilim S = ½ l r = ½ |α| r² (α radyan cinsinden).
Birim çemberde P = (cos α, sin α), tan α = y/x; pozitif olanlar: I'de hepsi, II'de sin, III'te tan, IV'te cos.
sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α/cos α; karekökten sonra işareti bölge belirler.
İndirgeme: π/2'nin tek katları sin ↔ cos değiştirir, çift katları değiştirmez; işaret, ilk fonksiyonun o bölgedeki işaretidir.
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1.
a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ): değerler [−√(a² + b²), √(a² + b²)] aralığını doldurur.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

4π/3 rad kaç derecedir?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla