Kinematik: yer değiştirme, hız, ivme, serbest düşme

Bu derste öğreneceklerin

Yer değiştirmeyi alınan yoldan, ortalama hızı ortalama süratten ayırabilecek ve bir doğru üzerindeki bağıl hızı bulabileceksin.
Düzgün hızlanan hareketin doğru denklemini seçecek ve “fren tuzağına” düşmeyeceksin.
x–t ve v–t grafiklerini okuyacaksın: eğim hız ya da ivme, alan yer değiştirmedir.
g = 10 m/s² ile serbest düşme ve düşey atış sorularını hesap makinesi olmadan yaklaşık bir dakikada çözeceksin.

CSCA fizik testi genellikle kinematikle açılır: kavşak önünde fren yapan bir araba, köprüden bırakılan bir taş, yukarı doğru atılan bir top, bir hız–zaman grafiği. Bu sorular kolay görünür ama her birinde küçük bir tuzak vardır: yer değiştirme yerine alınan yol, çoktan durmuş bir araba, top geri dönerken kaybolan bir işaret. Bu ders yalnızca doğru boyunca hareketi kapsar, ama böyle bir soruyu yaklaşık bir dakikada çözebilecek kadar derinlemesine. Açılı atışlar “Yatay ve eğik atış hareketi” dersinde, hareketin nedenleri ise “Kuvvetler ve denge” ile “Newton'un hareket yasaları ve uygulamaları” derslerinde işlenir.

Yer değiştirme, hız ve bağıl hareket

Doğru boyunca hareketi tanımlamak için önce bir referans sistemi (参考系) seçilir: bir başlangıç noktası ve pozitif yön. O zaman konum tek bir sayıdır, metre cinsinden x koordinatı; negatif de olabilir. Kinematikte her şey bu seçime bağlıdır, bu yüzden seçimi sorunun başında yap ve sonuna kadar değiştirme.

Tanım

Yer değiştirme ve alınan yol

Yer değiştirme (位移) konumun değişimidir, Δx = x₂ − x₁: başlangıç noktasından bitiş noktasına düz çizilen bir vektör. İşareti (yönü) vardır ve izlenen yola bağlı değildir. Alınan yol (路程) yörüngenin uzunluğudur: asla negatif olmayan ve |Δx| değerinden küçük olamayan skaler bir büyüklük.

Tanım

Ortalama ve anlık hız

Ortalama hız (平均速度) yer değiştirmenin zamana oranıdır; ortalama sürat (平均速率) ise alınan yolun zamana oranıdır. Anlık hız (瞬时速度) belirli bir andaki hızdır: çok kısa bir aralıktaki ortalama hız. Hız göstergesi onun büyüklüğünü gösterir.

v̄ = Δx / Δt ortalama sürat = s / tv̄ = Δx / Δt ortalama sürat = s / t

burada:

v̄ortalama hız (işareti yönü gösterir), m/s
Δxyer değiştirme, m
salınan yol, m
Δt, tzaman aralığı, s

İkisi yalnızca cisim geri dönmeden tek yönde hareket ettiğinde eşittir. Birimler: 1 m/s = 3,6 km/h; yani 72 km/h = 20 m/s ve 54 km/h = 15 m/s.

Çözümlü örnekler: hız ve sürat

1) Bir atlet 400 m’lik pistte bir tam turu 80 s’de koşuyor. Alınan yolu, yer değiştirmeyi, ortalama sürati ve ortalama hızı bul.
2) Bir araba 6 s’de doğuya 30 m, sonra 4 s’de batıya 10 m gidiyor. Ortalama hızını ve ortalama süratini bul.
3) Bir otomobil sürenin yarısında 60 km/h, yarısında 40 km/h hızla gidiyor. Ortalama sürati nedir? Yolun yarısını bir hızla, yarısını diğeriyle giderse?

Çözümü göster

1) Alınan yol 400 m, yer değiştirme 0 (atlet başladığı yere döndü). Ortalama sürat 400/80 = 5 m/s, ortalama hız 0.
2) Doğu pozitif: Δx = 30 − 10 = +20 m, alınan yol 40 m, t = 10 s. Ortalama hız 2 m/s doğuya, ortalama sürat 4 m/s.
3) Süreler eşitse: (60 + 40)/2 = 50 km/h. Yollar eşitse (her biri d): t = d/60 + d/40 = d/24, v = 2d/(d/24) = 48 km/h. Daha küçüktür, çünkü otomobil düşük hızla daha uzun süre gider.

Hız gözlemciye de bağlıdır. Trende oturan bir yolcu trene göre durgundur, perona göre ise 30 m/s hızla hareket eder. Tek bir doğru üzerinde tüm hızları yere göre işaretleriyle yaz, sonra çıkar.

v_AB = v_A − v_B

burada:

v_A, v_BA ve B cisimlerinin yere göre hızları (işaretleriyle), m/s
v_ABA’nın B’ye göre hızı (B’den görülen hız), m/s

Aynı yönde hızlar çıkarılır, zıt yönlerde toplanır. İki cisim arasındaki L uzaklığı t = L / |v_AB| sürede kapanır.

Çözümlü örnekler: bağıl hareket

1) 25 m/s hızla giden bir otomobil, aynı şeritte 15 m/s hızla giden bir kamyonun 200 m gerisindedir. Kamyona ne zaman yetişir?
2) Uzunlukları 150 m ve 100 m olan iki tren birbirine doğru 20 m/s ve 30 m/s hızla gidiyor. Birbirlerinin yanından ne kadar sürede geçerler (ön uçların karşılaştığı andan arka uçların ayrıldığı ana kadar)?
3) Bir yolcu, 20 m/s hızla giden trende vagon boyunca 1,5 m/s hızla yürüyor. Yere göre hızı nedir?

Çözümü göster

1) v_bağıl = 25 − 15 = 10 m/s; t = 200/10 = 20 s.
2) Hızlar toplanır: 20 + 30 = 50 m/s. Bir trene göre diğeri iki uzunluğu da kat etmelidir, 250 m; t = 250/50 = 5 s.
3) Trenin gidiş yönünde: 20 + 1,5 = 21,5 m/s; ters yönde: 20 − 1,5 = 18,5 m/s.

İvme ve dört hareket denklemi

Tanım

İvme

İvme (加速度) a = Δv/Δt hızın değişme hızıdır, birimi m/s². a ile v aynı işaretliyse cisim hızlanır, zıt işaretliyse yavaşlar: “yavaşlama” yalnızca hıza zıt yönlü bir ivmedir. a sabitse hareket düzgün hızlanan doğrusal hareket (匀变速直线运动) adını alır.

Denklemler nereden gelir? İvme sabitse hız zamanla doğrusal artar: v = v₀ + at. v–t grafiğinin altındaki alan yer değiştirmedir; bu alan bir yamuktur, bu yüzden x = (v₀ + v)t/2 olur ve v yerine yazılınca x = v₀t + at²/2 çıkar. Bu ikisinden t yok edilirse v² − v₀² = 2ax bulunur. Yani aslında tek bir fikir dört biçimde yazılır.

v = v₀ + at x = v₀t + at²/2 v² − v₀² = 2ax x = (v₀ + v)t / 2v = v₀ + at x = v₀t + at²/2 v² − v₀² = 2ax x = (v₀ + v)t / 2

burada:

v₀ilk hız, m/s
vt anındaki hız, m/s
asabit ivme, m/s²
tzaman, s
xt süresindeki yer değiştirme, m

Beş büyüklük, dört denklem: her denklemde büyüklüklerden biri yoktur (tabloya bak). Ne verilen ne de sorulan büyüklüğün bulunmadığı denklemi seç.

Denklem	İçermediği büyüklük	Ne zaman kullanılır
v = v₀ + at	x	hızlar ve zaman
x = v₀t + at²/2	v	son hız işin içinde yoksa
v² − v₀² = 2ax	t	zaman ne verilmiş ne sorulmuşsa (fren mesafesi)
x = (v₀ + v)t / 2	a	ivme gerekmiyorsa

1
Pozitif yönü seç
Genellikle ilk hızın yönü. Her vektöre (v₀, v, a, x) işaretini ver.
2
Beş büyüklüğü yaz
v₀, v, a, t, x: üçü bilinir, biri sorulur, biri “sessizdir”.
3
Denklemi seç
Sessiz büyüklüğün olmadığı denklemi al, önce harflerle çöz, sonra sayıları yerine koy.
4
Kontrol et
Birimler (km/h → m/s), işaretler ve cismin t anından önce durup durmadığı ya da geri dönüp dönmediği.

Çözümlü örnekler: dört denklem

1) 5 m/s hızla giden bir otomobil 4 s boyunca 2 m/s² ivmeyle hızlanıyor. Son hızını ve yer değiştirmesini bul.
2) 90 km/h hızla giden bir otomobil 5 m/s² ivmeyle fren yaparak duruyor. Fren mesafesini ve fren süresini bul.
3) Bir tren 10 s’de hızını 24 m/s’den 8 m/s’ye düzgün biçimde düşürüyor. Bu sürede ne kadar yol alır?

Çözümü göster

1) v = 5 + 2 · 4 = 13 m/s; x = 5 · 4 + 2 · 4²/2 = 20 + 16 = 36 m. Kontrol: (5 + 13)/2 · 4 = 36 m.
2) 90 km/h = 25 m/s. Zaman sessiz: 0 − 25² = 2 · (−5) · x ⇒ x = 625/10 = 62,5 m; t = 25/5 = 5 s.
3) İvme sessiz: x = (24 + 8)/2 · 10 = 160 m; a = −1,6 m/s² bulmaya gerek yok.

Δx = aT² v(t/2) = v̄ = (v₀ + v) / 2Δx = aT² v(t/2) = v̄ = (v₀ + v) / 2

burada:

Δxart arda iki eşit aralıktaki yer değiştirmelerin farkı, m
Ther aralığın süresi, s
v(t/2)v(t/2)aralığın orta anındaki anlık hız, m/s

Çin ders kitaplarının sürekli kullandığı iki kısa yol (逐差法): art arda eşit aralıklardaki yer değiştirmeler aT² kadar farklıdır ve aralığın orta anındaki hız ortalama hıza eşittir. Durgun hâlden başlayan cismin art arda eşit aralıklarda aldığı yollar 1 : 3 : 5 : 7 … oranındadır.

Çözümlü örnekler: kısa yollar

1) Düzgün hızlanan bir cisim 2 s’lik bir aralıkta 8 m, sonraki 2 s’de 16 m yol alıyor. a’yı ve iki aralık arasındaki andaki hızı bul.
2) Durgun hâlden başlayan bir cisim birinci saniyede 2 m yol alıyor. İkinci ve üçüncü saniyede ne kadar yol alır?

Çözümü göster

1) a = Δx/T² = (16 − 8)/2² = 2 m/s². 4 s’nin ortası iki aralığın sınırıdır: v = v̄ = (8 + 16)/4 = 6 m/s.
2) Oran 1 : 3 : 5: 6 m ve 10 m (ayrıca a = 4 m/s², çünkü t = 1 s için at²/2 = 2 m).

CSCA tarzı soru

Bir cisim durgun hâlden başlayarak sabit ivmeyle hareket ediyor. 3. saniye boyunca 10 m yol alıyor. Cismin ivmesi nedir?
A) 2 m/s² B) 4 m/s² C) 10/3 m/s² D) 20/9 m/s²

Çözümü göster

3. saniye t = 2 s’den t = 3 s’ye kadardır: a · 3²/2 − a · 2²/2 = 2,5a = 10 ⇒ a = 4 m/s², cevap B. (Daha hızlısı: 1 : 3 : 5 oranı birinci saniyede 2 m verir, bu da a/2’dir.)
A o 2 m’dir, yani ilk saniyedeki yol; ivme değil. C 10 m’yi 3 s’ye böler, sanki 10/3 bir ivmeymiş gibi. D ise 10 = a · 3²/2 yazar, 10 m’yi üç saniyenin tamamına ait sayar.

x–t ve v–t grafikleri

CSCA çoğu zaman sayılar yerine bir grafik verir; ya sözle anlatılmış ya da birkaç noktayla çizilmiş. Anlık hız, x–t grafiğine o noktada çizilen teğetin eğimidir; doğrusal bir parçada eğim basitçe “düşey artış / yatay artış” oranıdır. Neredeyse her şeyi iki kural çözer:

v = x–t grafiğinin eğimi a = v–t grafiğinin eğimi Δx = v–t grafiğinin altındaki alan

burada:

eğimdoğrusal bir parçanın iki noktası arasında Δ(düşey) / Δ(yatay); eğri için teğetin eğimi
alangrafik ile t ekseni arasındaki alan, m

t ekseninin üstündeki alan pozitif, altındaki alan negatif yer değiştirmedir. Yer değiştirme = işaretli toplam; alınan yol = mutlak değerlerin toplamı.

x–t grafiği: düz bir çizgi sabit hız demektir (daha dik = daha hızlı, aşağı inen = negatif yönde hareket); yatay çizgi durgunluktur; eğri değişen hızı gösterir, eğrinin tepesi (v = 0) ise dönüş noktasıdır.
v–t grafiği: yatay çizgi sabit hız; eğik düz çizgi düzgün hızlanan hareket demektir; çizginin t eksenini kestiği yerde cisim geri döner: hızın işareti değişir, ivme ise değişmez.
İki cisim: iki x–t grafiğinin kesiştiği yerde cisimler karşılaşır; iki v–t grafiğinin kesiştiği yerde ise yalnızca hızları eşittir; çoğu zaman bu, aralarındaki uzaklığın en büyük (ya da en küçük) olduğu andır.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

v₀ = 10 m/s ve a = −2 m/s² ile başla: araba t = 5 s’de durur ve geri döner. t = 10 s’de yer değiştirmesi 0, aldığı yol ise 50 m’dir. Kaydırıcıları değiştir, eğimi ve alanı izle.

Çözümlü örnekler: v–t grafiğini okumak

1) Bir cismin hızı 4 s’de 0’dan 12 m/s’ye düzgün artıyor, 6 s boyunca 12 m/s kalıyor, sonra 3 s’de düzgün azalarak 0 oluyor. İvmeleri ve yer değiştirmeyi bul.
2) Hız, t = 0’da +6 m/s’den t = 6 s’de −6 m/s’ye düzgün değişiyor. İvmeyi, yer değiştirmeyi ve alınan yolu bul.

Çözümü göster

1) Eğimler: 12/4 = 3 m/s², sonra 0, sonra −12/3 = −4 m/s². Yamuğun alanı: 12 · 4/2 + 12 · 6 + 12 · 3/2 = 24 + 72 + 18 = 114 m.
2) a = (−6 − 6)/6 = −2 m/s²; her an aynıdır, v = 0 olan t = 3 s anında da. Alanlar: +9 m (eksenin üstündeki üçgen) ve −9 m (altındaki): yer değiştirme 0, alınan yol 18 m.

CSCA tarzı soru

A ve B arabalarının x–t grafikleri düz çizgilerdir. A’nın çizgisi t = 0’da x = 0’dan t = 4 s’de x = 40 m’ye, B’ninki t = 0’da x = 20 m’den t = 4 s’de x = 40 m’ye gidiyor. Hangi ifade doğrudur?
A) t = 4 s’de arabaların hızları eşittir.
B) t = 4 s’de A arabası B’ye yetişir.
C) İlk 4 s’de arabaların yer değiştirmeleri eşittir.
D) B daha hızlıdır, çünkü önden başlar.

Çözümü göster

Eğimler: v_A = 40/4 = 10 m/s, v_B = 20/4 = 5 m/s. Çizgiler t = 4 s’de kesişir, yani arabalar aynı yerdedir: daha hızlı olan A, B’ye yetişir. Cevap B.
A, x–t çizgilerinin kesişmesini (aynı konum) hızların eşitliğiyle karıştırır. C yanlıştır: yer değiştirmeler 40 m ve 20 m’dir. D başlangıç konumunu hızla karıştırır: hız, çizginin yüksekliği değil eğimidir.

Serbest düşme ve düşey atış

Tanım

Serbest düşme

Serbest düşme (自由落体运动), bir cismin durgun hâlden yalnızca yer çekiminin etkisiyle yaptığı harekettir (hava direnci ihmal edilir): v₀ = 0 ve a = g ≈ 9,8 m/s² (aşağı yönlü) olan düzgün hızlanan hareket; CSCA soruları genellikle g = 10 m/s² alır. Boşlukta bütün cisimler, kütleleri ne olursa olsun, aynı ivmeyle düşer.

v = gt h = gt²/2 v² = 2ghv = gt h = gt²/2 v² = 2gh

burada:

hdüşülen yükseklik, m
gyer çekimi ivmesi, m/s²
tbırakıldıktan sonra geçen süre, s
vhız, m/s

Bunlar v₀ = 0 ve a = g için dört denklemdir. g = 10 m/s² ile 1, 2, 3, 4, 5 s sonra: hız 10, 20, 30, 40, 50 m/s; düşülen yükseklik 5, 20, 45, 80, 125 m.

Çözümlü örnekler: serbest düşme

1) Bir taş 125 m yükseklikten bırakılıyor. Ne kadar sürede düşer, yere hangi hızla çarpar ve son saniyede ne kadar yol alır?
2) Durgun hâlden bırakılan bir top yere 30 m/s hızla çarpıyor. Hangi yükseklikten bırakılmıştır ve kaç metre düştükten sonra hızı 15 m/s olmuştur?

Çözümü göster

1) t = √(2h/g) = √25 = 5 s; v = gt = 50 m/s. 4 s’de 80 m düşmüştü, yani son saniyede 125 − 80 = 45 m.
2) h = v²/(2g) = 900/20 = 45 m. v² ∝ h olduğundan hızın yarısına yüksekliğin dörtte birinde ulaşılır: 45/4 = 11,25 m.

Yukarı doğru atılan bir cismi iki ayrı hareket (çıkış ve iniş) olarak çözmek gerekmez. Yukarıyı pozitif al: uçuş boyunca a = −g sabit kalır, bu yüzden tek bir denklem takımı her an için geçerlidir; negatif h cismin atıldığı noktanın altında, negatif v ise artık düşmekte olduğunu gösterir.

v = v₀ − gt h = v₀t − gt²/2 H = v₀² / (2g) t↑ = v₀ / gv = v₀ − gt h = v₀t − gt²/2 H = v₀² / (2g) t↑ = v₀ / g

burada:

v₀yukarı doğru atış hızı, m/s
hatış noktasından yükseklik (yukarı pozitif), m
Hmaksimum yükseklik, m
t↑tepe noktasına çıkış süresi, s

Düşey yukarı atışta (竖直上抛运动) a = −g uçuş boyunca değişmez, tepe noktasında bile: orada v = 0 olur ama ivme yine g’dir. Hareket simetriktir: iniş çıkış kadar sürer ve her yükseklikte çıkarken ve inerken hızın büyüklüğü aynıdır.

Çözümlü örnekler: düşey atış

1) Bir top 30 m/s hızla düşey yukarı atılıyor. Tepe noktasına çıkış süresini, maksimum yüksekliği ve topun ele dönme süresini bul.
2) Aynı top t = 4 s’de nerededir ve nasıl hareket etmektedir?

Çözümü göster

1) t↑ = 30/10 = 3 s, H = 30²/20 = 45 m, 6 s sonra ele döner; yine 30 m/s hızla ama aşağı doğru.
2) h = 30 · 4 − 5 · 4² = 120 − 80 = 40 m; v = 30 − 40 = −10 m/s: top artık 10 m/s hızla düşmektedir. Simetri gereği 40 m’den t = 2 s’de de geçmiştir; o zaman 10 m/s hızla yükseliyordu.

CSCA tarzı soru

Bir balon sabit 10 m/s hızla düşey olarak yükseliyor. Balon yerden 40 m yüksekteyken ondan küçük bir taş bırakılıyor. Taş yere ne kadar sürede ulaşır? (g = 10 m/s², hava direnci ihmal ediliyor)
A) 2√2 s B) 4 s C) 2 s D) 3 s

Çözümü göster

Bırakıldığı anda taş balonun hızını korur: v₀ = +10 m/s (yukarı). Yukarı pozitif: −40 = 10t − 5t² ⇒ t² − 2t − 8 = 0 ⇒ t = 4 s, cevap B. Kontrol: 1 s yükselip 45 m’ye çıkar, sonra 45 m’den 3 s düşer.
A yukarı yönlü hızı hesaba katmaz (40 = 5t²). C ilk hızı aşağı yönlü alır (t² + 2t − 8 = 0). D yalnızca tepe noktasından düşüşü sayar, 1 s’lik yükselişi unutur.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Kinematik genellikle 48 fizik sorusunun ikisini ile dördünü oluşturur ve testin en hızlı kazanılan puanları arasındadır. Sınav İngilizce ya da Çince yapılır, bu yüzden temel terimleri iki dilde de tanı:

Terim (İngilizcesi)	中文	Pinyin
yer değiştirme — displacement	位移	wèiyí
alınan yol — distance travelled	路程	lùchéng
ortalama hız — average velocity	平均速度	píngjūn sùdù
anlık hız — instantaneous velocity	瞬时速度	shùnshí sùdù
ivme — acceleration	加速度	jiāsùdù
düzgün hızlanan doğrusal hareket — uniformly accelerated linear motion	匀变速直线运动	yúnbiànsù zhíxiàn yùndòng
ilk hız — initial velocity	初速度	chūsùdù
serbest düşme — free fall	自由落体运动	zìyóu luòtǐ yùndòng
düşey yukarı atış — vertical upward throw	竖直上抛运动	shùzhí shàngpāo yùndòng
yer çekimi ivmesi — gravitational acceleration	重力加速度	zhònglì jiāsùdù
referans sistemi — reference frame	参考系	cānkǎoxì
bağıl hız — relative velocity	相对速度	xiāngduì sùdù
hız–zaman grafiği — v–t graph	速度–时间图像	sùdù–shíjiān túxiàng

Kinematiğin temel terimleri İngilizce ve Çince.

Tipik soru kalıpları ve zaman kazandıran yollar (soru başına yaklaşık 75 s):

Üç veri, bir bilinmeyen: sessiz büyüklüğü bul ve uygun denklemi kullan; yaklaşık 30 s.
Fren: sorudaki süreyi kullanmadan önce durma süresini (v₀/a) bul.
Grafikler: “hangi ifade doğrudur” sorusunda her ifadeyi eğimle (hız, ivme) ya da alanla (yer değiştirme) sına.
Serbest düşme ve düşey atış: 5–20–45–80 tablosunu ve simetriyi kullan; balondan ya da asansörden bırakılan cisim, taşıyıcının hızıyla başlar.
n. saniye ve eşit aralıklar: durgun hâlden 1 : 3 : 5 : 7, diğer durumlarda Δx = aT².
Kovalama ve karşılaşma: bağıl hızı kullan; hızlar eşit olduğunda aradaki uzaklık en büyük (ya da en küçük) olur.

Önemli noktalar

Yer değiştirme Δx işaretlidir ve yalnızca uç noktalara bağlıdır; alınan yol yörüngenin uzunluğudur. Ortalama hız = Δx/t, ortalama sürat = s/t.
v = v₀ + at, x = v₀t + at²/2, v² − v₀² = 2ax, x = (v₀ + v)t/2: “sessiz” büyüklüğün olmadığı denklemi seç.
Fren yapan cismin durup durmadığını kontrol et: t_durma = v₀/a.
x–t grafiğinin eğimi hız, v–t grafiğinin eğimi ivme, v–t grafiğinin altındaki alan yer değiştirmedir.
Serbest düşme: v = gt, h = 5t² (g = 10): 5, 20, 45, 80 m. Düşey atış: H = v₀²/(2g), hareket simetriktir; tepe noktasında v = 0 ama a = g.
Bağıl hız v_AB = v_A − v_B; durgun hâlden art arda eşit aralıklarda 1 : 3 : 5, genel olarak Δx = aT².

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Aşağıdaki büyüklüklerden hangisi skalerdir?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla