İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Orta28 dk6 / 68

Logaritma ve logaritma fonksiyonu

Logaritmanın tanımı ve kuralları, taban değiştirme, lg ve ln, y = logₐ x fonksiyonunun grafiği ve özellikleri, önce tanım kümesiyle çözülen denklem ve eşitsizlikler ve logaritmaları hesap makinesiz karşılaştırma — CSCA tarzında.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Üstel ve logaritmik yazım arasında geçiş yapmak ve logaritmaları hesap makinesiz hesaplamak
  • Logaritma kurallarını ve taban değiştirme kuralını lg ve ln dahil uygulamak
  • y = logₐ x fonksiyonunun grafiğini ve monotonluğunu kullanarak tanım kümesi bulmak ve değerleri karşılaştırmak
  • Logaritmik denklem ve eşitsizlikleri tanım kümesinden başlayarak çözmek

2ˣ = 8 kolaydır: x = 3. Peki 2ˣ = 5? Hiçbir tam sayı uymaz: 2² = 4 küçük, 2³ = 8 büyük kalır. Kesin cevap yeni bir sayıdır: log₂ 5 ≈ 2,32, yani «5'i elde etmek için 2'nin yükseltilmesi gereken kuvvet». Logaritmalar resmî müfredatın «temel elementer fonksiyonlar» maddesindedir ve CSCA onları birkaç sabit yolla sorar: bir ifadenin değerini bulmak, üç sayıyı karşılaştırmak, tanım kümesini bulmak, denklem ya da eşitsizlik çözmek. Her şey «Kuvvet ve üstel fonksiyonlar» dersine dayanır: logaritma tersinden okunan bir üstür.

Logaritma nedir

Tanım
Logaritma (对数)

a > 0, a ≠ 1 olmak üzere aᵇ = N ise b sayısına N'nin a tabanına göre logaritması denir: b = logₐ N. a taban (底数), N ise logaritması alınan sayıdır (真数, «gerçek sayı»). N mutlaka pozitif olmalıdır, çünkü aᵇ her zaman pozitiftir: log₂(−4) ve log₂ 0 tanımsızdır.

logₐ N = b ⇔ aᵇ = N logₐ 1 = 0 logₐ a = 1 a^(logₐ N) = N logₐ aᵇ = b
burada:
  • ataban: a > 0, a ≠ 1
  • Nlogaritması alınan sayı, her zaman N > 0
  • lg N, ln Nlg N = log₁₀ N (onluk logaritma), ln N = logₑ N (doğal logaritma, e ≈ 2,718)

Tanım ve temel özdeşlikler. a^(logₐ N) = N temel logaritma özdeşliğidir (对数恒等式): üs alma ve logaritma birbirini «geri alır». Çin ders kitapları ve CSCA lg ve ln yazımını kullanır.

Örnek 1: Tanımdan hesaplama

1) log₃ 81 2) log₂ (1/8) 3) log₄ 8 4) 5^(log₅ 7) 5) lg 0,001 6) logₓ 9 = 2 denklemini çöz.

Çözümü göster
1) 3⁴ = 81, yani 4.
2) 1/8 = 2⁻³, yani −3.
3) İkisini de 2'nin kuvveti olarak yaz: 4ᵇ = 2²ᵇ = 2³ ⇒ b = 3/2.
4) Temel logaritma özdeşliğinden 7.
5) 0,001 = 10⁻³, yani −3.
6) x² = 9; taban pozitif ve 1'den farklı olmalı: x = 3 (x = −3 olmaz).

Logaritma kuralları ve taban değiştirme

Her logaritma kuralı tersinden okunan bir üs kuralıdır. M = aᵐ ve N = aⁿ ise MN = aᵐ⁺ⁿ olur, yani logₐ(MN) = m + n: logaritmanın içindeki çarpma dışarıda toplamaya, bölme çıkarmaya, kuvvet ise katsayıya dönüşür.

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N logₐ Mⁿ = n · logₐ Mlogₐ(MN) = logₐ M + logₐ N logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N logₐ Mⁿ = n · logₐ M
burada:
  • M, Npozitif sayılar
  • nherhangi bir gerçek sayı

Çarpım, bölüm ve kuvvet kuralları. Yalnızca pozitif M, N ve aynı a tabanı için geçerlidir.

Örnek 2: Kurallarla sadeleştirme

Hesapla: 1) lg 8 + lg 125 2) log₃ 54 − log₃ 2 3) ½ log₂ 36 − log₂ 3

Çözümü göster
1) lg(8 · 125) = lg 1000 = 3.
2) log₃(54/2) = log₃ 27 = 3.
3) ½ log₂ 36 = log₂ 36^(1/2) = log₂ 6 ve log₂ 6 − log₂ 3 = log₂ 2 = 1.
Her seferinde önce tek bir logaritmada topla, sonra hesapla.
logₐ b = log_c b / log_c a = lg b / lg a = ln b / ln a logₐ b · log_b a = 1 logₐ b · log_b c = logₐ c log_(aᵐ) bⁿ = (n/m) · logₐ blogₐ b = log_c b / log_c a = lg b / lg a = ln b / ln a logₐ b · log_b a = 1 logₐ b · log_b c = logₐ c log_(aᵐ) bⁿ = (n/m) · logₐ b
burada:
  • cherhangi bir yeni taban (c > 0, c ≠ 1)
  • a, ba > 0, a ≠ 1, b > 0 (sonraki formüllerde ayrıca b ≠ 1)
  • m, ntabanın ve logaritması alınan sayının üsleri (m ≠ 0)

Taban değiştirme kuralı (换底公式) ve üç sonucu. İspat: logₐ b = x ise aˣ = b olur; iki tarafın c tabanında logaritmasını al: x · log_c a = log_c b.

Örnek 3: Taban değiştirme

1) log₈ 32 2) log₂₇ 9 3) lg 2 = a ve lg 3 = b. log₆ 12'yi a ve b cinsinden yaz.

Çözümü göster
1) log_(2³) 2⁵ = (5/3) · log₂ 2 = 5/3.
2) log_(3³) 3² = 2/3.
3) Onluk logaritmaya geç: log₆ 12 = lg 12 / lg 6 = lg(2² · 3) / lg(2 · 3) = (2a + b)/(a + b).
Örnek 4 (CSCA tarzı): Logaritma zinciri

log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 16 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4 B) 2 C) 8 D) log₂ 15

Çözümü göster
Zincir kuralı: log₂ 3 · log₃ 5 = log₂ 5, sonra log₂ 5 · log₅ 16 = log₂ 16 = 4. Cevap A.
Diğerleri neden cazip: B) 2, log₄ 16'dır; taban ile logaritması alınan sayıyı karıştırınca çıkar. C) 8, log₂ 16'yı 16/2 gibi hesaplamaktır. D) log₂ 15, logaritmaların çarpımını çarpımın logaritmasıyla karıştırmaktır (3 · 5 = 15).

Logaritma fonksiyonu y = logₐ x

Tanım
Logaritma fonksiyonu (对数函数)

y = logₐ x (a > 0, a ≠ 1), tanım kümesi (0, +∞). y = aˣ fonksiyonunun tersidir; bu yüzden grafiği üstel fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir (bkz. «Kuvvet ve üstel fonksiyonlar», ters fonksiyonlar için genel olarak «Fonksiyonlar ve özellikleri»).

Özellika > 10 < a < 1
Tanım kümesi(0, +∞)(0, +∞)
Görüntü kümesiRR
Her grafiğin geçtiği nokta(1, 0)(1, 0)
Monotonlukartanazalan
logₐ x > 0 olduğu yerx > 10 < x < 1
x → 0⁺ ikeny → −∞y → +∞
Her iki durumda y ekseni düşey asimptottur. log_(1/a) x = −logₐ x olduğundan logₐ x ve log_(1/a) x grafikleri x eksenine göre simetriktir.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Birinci eğri y = logₐ x (a > 1), ikinci eğri y = log_(1/a) x; x eksenine göre onun yansımasıdır. a'yı değiştir: iki eğri de (1, 0) noktasından geçer; x > 1 iken taban büyüdükçe grafik x eksenine yaklaşır.

İki hızlı sonuç. Tanım kümesi: y = logₐ f(x) fonksiyonunda logaritmanın içi pozitif olmalıdır, f(x) > 0; x tabanda da varsa taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Sabit nokta (定点): her a için logₐ 1 = 0 olduğundan y = logₐ(kx + m) + c grafiği taban ne olursa olsun kx + m = 1 olan noktadan geçer.

Örnek 5: Tanım kümesi ve sabit nokta

1) y = lg(4 − x²) fonksiyonunun tanım kümesini bul.
2) y = log_(x−1)(5 − x) fonksiyonunun tanım kümesini bul.
3) y = logₐ(2x − 3) + 1 grafiği her a için hangi noktadan geçer?

Çözümü göster
1) 4 − x² > 0 ⇒ x² < 4 ⇒ (−2, 2).
2) Taban: x − 1 > 0 ve x − 1 ≠ 1; logaritmanın içi: 5 − x > 0. Yani 1 < x < 5 ve x ≠ 2: (1, 2) ∪ (2, 5).
3) 2x − 3 = 1 ⇒ x = 2, o zaman y = 0 + 1 = 1: (2, 1).

y = logₐ f(x) fonksiyonunun monotonluğu. Yalnızca tanım kümesinin içinde çalış. a > 1 iken logaritma f'nin yönünü korur, 0 < a < 1 iken tersine çevirir. Çinli öğrenciler bunu 同增异减 diye ezberler: «yönler aynıysa artan, farklıysa azalan».

Örnek 6 (CSCA tarzı): Bileşke logaritmanın arttığı aralık

y = log_(1/2)(x² − 4x + 3) fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
A) (−∞, 2) B) (3, +∞) C) (−∞, 1) D) (2, +∞)

Çözümü göster
Tanım kümesi: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) > 0 ⇒ x < 1 veya x > 3.
İçteki parabol (−∞, 1) aralığında azalır, (3, +∞) aralığında artar.
1/2 < 1 tabanı yönü tersine çevirir; bu yüzden y, parabolün azaldığı yerde artar: C) (−∞, 1).
Diğerleri neden cazip: A) tepe noktası x = 2'yi kullanır ama tanım kümesini unutur (x = 1,5'te logaritma tanımsızdır); B) parabolün arttığı aralıktır, ancak taban 1'den büyük olsaydı doğru olurdu; D) iki hatayı birleştirir.

Hesap makinesiz karşılaştırma. Monotonluk logaritmaları karşılaştırmanın da anahtarıdır. Şu dört adımı sırayla dene:

  1. 1
    Aynı taban

    Monotonluğu kullan: log₃ 5 < log₃ 7 (taban > 1), ama log₀,₅ 5 > log₀,₅ 7 (taban < 1).

  2. 2
    Aynı sayının logaritması

    Sayı da tabanlar da 1'den büyükse büyük taban küçük değer verir: log₂ 7 > log₃ 7 > log₅ 7 (taban değiştirmeyle logₐ 7 = 1 / log₇ a).

  3. 3
    Dayanak sayılar: 0 ve 1

    Önce işareti bul, sonra 1 = logₐ a ile karşılaştır. log₃ 2, 0 ile 1 arasında; log₂ 3, 1'den büyük; log₀,₅ 3 negatiftir.

  4. 4
    Ara değer

    İki sayı aynı dayanaklar arasındaysa 1/2 veya 3/2 gibi bir ara sayı koy ve kuvvetleri karşılaştır: log₂ 3 > 3/2, çünkü 2^(3/2) = 2√2 ≈ 2,83 < 3.

Örnek 7 (CSCA tarzı): Üç sayıyı sıralama

a = log₃ 2, b = log₅ 3, c = 2/3. Hangi sıralama doğrudur?
A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) b < c < a

Çözümü göster
İki logaritma da 0 ile 1 arasındadır (her sayı kendi tabanından küçüktür); bu yüzden her birini c = 2/3 ile karşılaştır.
a < 2/3 ⇔ 2 < 3^(2/3) ⇔ 2³ < 3², yani 8 < 9 — doğru.
b > 2/3 ⇔ 3 > 5^(2/3) ⇔ 3³ > 5², yani 27 > 25 — doğru.
Yani a < c < b, cevap B.
Diğerleri neden cazip: D) yalnızca tabanlara bakar («büyük taban, küçük logaritma») ve logaritmaların içindeki sayıların farklı olduğunu unutur; A) ve C) ara sayı kullanmadan yapılan tahminlerden gelir.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler

  1. 1
    Tanım kümesini yaz

    Her logaritmanın içi > 0; x içeren taban > 0 ve ≠ 1. Bunu her dönüşümden önce yap (定义域优先, «önce tanım kümesi»).

  2. 2
    Tek tabana getir

    Kurallarla birleştir, tabanı değiştir ya da denklem logaritmaya göre ikinci dereceyse t = logₐ x değişkenini kullan.

  3. 3
    Logaritmadan kurtul

    logₐ f = b ⇔ f = aᵇ; logₐ f = logₐ g ⇔ f = g. Eşitsizlikte a > 1 iken işareti koru, 0 < a < 1 iken ters çevir.

  4. 4
    Tanım kümesiyle kesiştir

    Yabancı kökleri (增根) at, eşitsizliğin çözüm kümesini tanım kümesiyle kesiştir.

a > 1: logₐ f(x) > logₐ g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0 0 < a < 1: logₐ f(x) > logₐ g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)
burada:
  • f(x), g(x)logaritmaların içindeki ifadeler
  • aortak taban

Her iki durumda küçük olan ifade pozitif olmalıdır; büyük olan o zaman kendiliğinden pozitiftir. Sayıyı önce logaritma olarak yaz: 3 = log₂ 8, −1 = log_(1/3) 3.

Örnek 8: Üç tip denklem

Çöz: 1) log₃(2x + 1) = 2 2) lg(x + 3) + lg x = 1 3) (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0

Çözümü göster
1) 2x + 1 = 3² = 9 ⇒ x = 4 (içteki 9 pozitiftir).
2) Tanım kümesi: x > 0. lg(x(x + 3)) = 1 ⇒ x² + 3x = 10 ⇒ x = 2 veya x = −5. Tanım kümesinde yalnızca x = 2 vardır; −5 yabancı köktür.
3) t = log₂ x: t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1 veya t = 2 ⇒ x = 2 veya x = 4.
Örnek 9 (CSCA tarzı): Farklı tabanlar

log₂ x + log₄ x = 6 denkleminin çözümü nedir?
A) x = 16 B) x = 64 C) x = 8 D) x = 4

Çözümü göster
log₄ x = log_(2²) x = ½ log₂ x, yani (3/2) log₂ x = 6 ⇒ log₂ x = 4 ⇒ x = 16. Cevap A.
Kontrol: log₂ 16 + log₄ 16 = 4 + 2 = 6 ✓.
Diğerleri neden cazip: B) 64 = 2⁶, iki logaritmayı da 2 tabanlı saymaktır; C) 8, log₂ x = 3'ten gelir (6'yı «iki logaritmaya» bölmek); D) 4, log₂ x = 4 ile x = 4'ü karıştırmaktır.
Örnek 10: Eşitsizlikler

Çöz: 1) log₂(x − 1) < 3 2) log_(1/3)(x + 2) > −1

Çözümü göster
1) 3 = log₂ 8 ve 2 > 1 tabanı işareti korur: 0 < x − 1 < 8 ⇒ 1 < x < 9. (Yalnızca x − 1 < 8, yani x < 9 yazmak tanım kümesini unutmaktır.)
2) −1 = log_(1/3) 3 ve 1/3 < 1 tabanı işareti çevirir: 0 < x + 2 < 3 ⇒ −2 < x < 1.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

  • İfadenin değeri: kurallarla birleştir, domino kuralını ve a^(logₐ N) = N özdeşliğini kullan; cevap genellikle küçük bir tam sayı veya basit bir kesirdir; lg 7 gibi bir şey çıkıyorsa hatayı ara.
  • a, b, c'yi sırala: önce işaretler, sonra 0 ve 1 dayanakları, sonra bir ara sayı (1/2, 2/3, 3/2, 2); karışık sorularda logaritmaların yanında 2^0,3 gibi üstel bir değer de olur (bkz. «Kuvvet ve üstel fonksiyonlar»).
  • Tanım kümesi: logaritma çoğu zaman karekök veya kesirle birlikte gelir; bütün koşullar tek bir sisteme yazılır.
  • Grafik bilgileri: sabit nokta, hangi grafiğin hangi tabana ait olduğu ve logₐ f(x)'in monotonluk aralıkları.
  • Denklemler ve eşitsizlikler: önce tanım kümesi; seçeneklerde çoğu zaman yabancı kök veya tanım kümesi dikkate alınmamış cevap bulunur.
  • Zaman kazandıranlar (soru başına 75 s): denklemi çözmek yerine seçenekleri yerine koy; «hangi aralık» sorularında her seçenekten bir nokta dene; soruda lg 2 ≈ 0,301 verilmişse kesin değer değil tahmin bekleniyordur.
Terim中文Pinyin
logaritma — logarithm对数duìshù
taban — base底数dǐshù
logaritması alınan sayı — argument真数zhēnshù
onluk logaritma — common logarithm常用对数chángyòng duìshù
doğal logaritma — natural logarithm自然对数zìrán duìshù
taban değiştirme kuralı — change-of-base formula换底公式huàndǐ gōngshì
temel logaritma özdeşliği — logarithmic identity对数恒等式duìshù héngděngshì
logaritma fonksiyonu — logarithmic function对数函数duìshù hánshù
ters fonksiyon — inverse function反函数fǎnhánshù
tanım kümesi — domain定义域dìngyìyù
artan / azalan fonksiyon — increasing / decreasing function增函数 / 减函数zēng hánshù / jiǎn hánshù
sabit nokta — fixed point定点dìngdiǎn
logaritmik denklem — logarithmic equation对数方程duìshù fāngchéng
yabancı kök — extraneous root增根zēnggēn
İngilizce ve Çince temel terimler: sınava bu dillerden birinde girebilirsin.

Önemli noktalar

  • logₐ N = b ⇔ aᵇ = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0); logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, a^(logₐ N) = N; lg = log₁₀, ln = logₑ.
  • Çarpım → toplam, bölüm → fark, kuvvet → katsayı; logₐ(M + N) için kural yoktur.
  • Taban değiştirme: logₐ b = lg b / lg a; logₐ b · log_b c = logₐ c; log_(aᵐ) bⁿ = (n/m) logₐ b.
  • y = logₐ x: tanım kümesi (0, +∞), (1, 0) noktasından geçer, a > 1 iken artan, 0 < a < 1 iken azalandır; logₐ f(x), a > 1 iken f'nin yönünü korur, a < 1 iken tersine çevirir.
  • Karşılaştırma: işaretler, sonra 0 ve 1, sonra ara sayı; a ve x 1'in aynı tarafındaysa logₐ x > 0.
  • Denklem ve eşitsizlikler: önce tanım kümesi; 0 < a < 1 iken eşitsizliği ters çevir; yabancı kökleri at.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
log₂ (1/16) kaçtır?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla