Aritmetik diziler — CSCA (Çin)

Bu derste öğreneceklerin

Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir dizinin terimlerini bulmak (periyodik diziler dahil)
Verilen herhangi iki bilgiden aritmetik dizinin a₁, d, aₙ ve Sₙ değerlerini iki toplam formülüyle bulmak
a₁ ve d'yi bulmadan cevaba ulaşmak için aₘ + aₙ = aₚ + aₜ özelliğini ve orta terim kuralını kullanmak
En büyük veya en küçük Sₙ'yi bulmak ve Σ 1/(aₖaₖ₊₁) gibi teleskopik toplamları hesaplamak

Bir konser salonunun ilk sırasında 20 koltuk var ve her sonraki sırada 2 koltuk fazla. 15 sırada toplam kaç koltuk vardır? On beş sayıyı tek tek toplayabilirsin, ama dizi formülü cevabı tek satırda verir: 510. Diziler, resmî CSCA matematik programının on iki maddesinden biridir («aritmetik ve geometrik dizilerin genel terimi ve toplamları»); sorular kısadır: iki bilgi verilir, diziyi yeniden kurarsın ya da daha iyisi, bir özellik sayesinde doğrudan cevaba geçersin. Bu ders genel olarak dizileri ve aritmetik diziyi anlatır; sonraki ders «Geometrik diziler» bunun üzerine kurulur.

Diziler: genel terim ve indirgeme bağıntısı

Tanım

Dizi (数列)

Belirli bir sırayla yazılmış sayılar: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …; kısaca {aₙ} yazılır. Her sayı dizinin bir terimidir, n ise onun sıra numarasıdır. Aslında dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur (Çin ders kitaplarında n ∈ N*); bu yüzden grafiği kesintisiz bir eğri değil, ayrık noktalardır.

Tanım

Genel terim formülü (通项公式) ve indirgeme bağıntısı (递推公式)

Genel terim formülü herhangi bir terimi doğrudan sıra numarasından verir, örneğin aₙ = n² − 7n + 3. İndirgeme bağıntısı bir sonraki terimi önceki terim(ler)den verir, örneğin aₙ₊₁ = aₙ + n; bunun için a₁ = 1 gibi bir başlangıç değeri gerekir ve a₁₀'a ulaşmak için adım adım ilerlemek gerekir.

Her n için aₙ₊₁ > aₙ ise dizi artan, aₙ₊₁ < aₙ ise azalan dizidir; yani her şeyi aₙ₊₁ − aₙ farkının işareti belirler. Genel terim n'ye göre ikinci dereceden ise en küçük veya en büyük terim, tepe noktasına en yakın pozitif tam sayı n'dedir. CSCA sorularındaki indirgeme bağıntıları üç türlüdür: birkaç terimi hesaplamak yeter; terimler tekrar eder (periyodik dizi), periyodu bulup sıra numarasını küçültürsün; ya da akıllıca bir dönüşüm (örneğin terslerini almak) bağıntıyı aritmetik diziye çevirir.

Örnek 1: genel terim ve indirgeme bağıntısı

1) aₙ = n² − 7n + 3. Hangi terimler −9'a eşittir ve en küçük terim nedir?
2) a₁ = 1 ve aₙ₊₁ = aₙ + n. a₅'i bulun.

Çözümü göster

1) n² − 7n + 3 = −9 ⇒ n² − 7n + 12 = 0 ⇒ n = 3 veya n = 4, yani a₃ = a₄ = −9. Parabolün tepe noktası n = 3,5'te, 3 ile 4'ün tam ortasındadır; bu yüzden −9 aynı zamanda en küçük terimdir.
2) a₂ = 1 + 1 = 2, a₃ = 2 + 2 = 4, a₄ = 4 + 3 = 7, a₅ = 7 + 4 = 11. Dikkat: aₙ₊₁ = aₙ + n bağıntısında önceki terimin sıra numarası eklenir.

Örnek 2 (CSCA tarzı): periyodik dizi

Bir dizide a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = 1 − 1/aₙ. a₂₀₂₆ kaçtır?
A) −1 B) 1/2 C) 2 D) 3/2

Çözümü göster

a₂ = 1 − 1/2 = 1/2, a₃ = 1 − 2 = −1, a₄ = 1 − (−1) = 2 = a₁. Terimler 3 periyotla tekrar eder: 2, 1/2, −1, 2, 1/2, −1, …
2026 = 3 · 675 + 1, yani a₂₀₂₆ = a₁ = 2, cevap C.
A ve B döngünün diğer terimleridir, kalan yanlış sayılınca elde edilir; D (3/2) bir periyodun toplamıdır (2 + 1/2 − 1), yani başka bir sorunun cevabı.

Aritmetik dizi: genel terim ve toplam

Tanım

Aritmetik dizi (等差数列)

Her terimden bir önceki terim çıkarıldığında hep aynı d sayısının elde edildiği dizi: her n için aₙ₊₁ − aₙ = d. d sayısına ortak fark denir (公差); pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Türkiye'de ortak fark çoğunlukla r ile gösterilir; CSCA Çin gösterimini, yani d'yi kullanır.

aₙ = a₁ + (n − 1)d aₙ = aₘ + (n − m)d d = (aₙ − aₘ)/(n − m)aₙ = a₁ + (n − 1)d aₙ = aₘ + (n − m)d d = (aₙ − aₘ)/(n − m)

burada:

a₁ilk terim (首项)
dortak fark
n, mterimlerin sıra numaraları (pozitif tam sayılar)

a₁'den aₙ'ye d büyüklüğünde n − 1 adım vardır; aₘ'den aₙ'ye ise n − m adım. aₙ = dn + (a₁ − d) biçiminde yazıldığında genel terim n'nin doğrusal bir fonksiyonudur: (n, aₙ) noktaları eğimi d olan bir doğru üzerindedir.

Örnek 3: genel terim — üç kısa durum

1) a₁ = 5 ve d = −3. a₂₀'yi bulun.
2) a₄ = 10 ve a₉ = 25. d, a₁ ve a₂₀'yi bulun.
3) 100, 4, 11, 18, … dizisinin bir terimi midir? Peki 102?

Çözümü göster

1) a₂₀ = 5 + 19 · (−3) = 5 − 57 = −52.
2) d = (25 − 10)/(9 − 4) = 3; a₁ = a₄ − 3d = 10 − 9 = 1; a₂₀ = a₄ + 16d = 10 + 48 = 58.
3) aₙ = 4 + 7(n − 1) = 7n − 3. 7n − 3 = 100 ⇒ n = 103/7, tam sayı değil, yani 100 bir terim değildir. 7n − 3 = 102 ⇒ n = 15: 102 = a₁₅.

Aritmetik dizi nasıl tanınır? Üç denk ölçüt vardır: (1) aₙ₊₁ − aₙ sabittir; (2) genel terim doğrusaldır: aₙ = pn + r (o zaman d = p); (3) her terim komşularının aritmetik ortalamasıdır: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Üçüncüsü aritmetik ortalamayı verir (等差中项): a, A, b ardışık terimlerse A = (a + b)/2 olur. aₙ₊₂ − 2aₙ₊₁ + aₙ = 0 gibi bir indirgeme bağıntısı aslında (3) numaralı ölçütün başka bir yazılışıdır. Bazen dizi gizlenir: {aₙ}'nin kendisi değil, 1/aₙ veya aₙ − c gibi bir ifade aritmetik dizi olur.

Örnek 4: aritmetik diziyi tanımak

1) x + 1, 2x ve 4x − 5 bir aritmetik dizinin ardışık terimleridir. x'i bulun.
2) a₁ = 1 ve aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 2aₙ). Genel terimi ve a₈'i bulun.

Çözümü göster

1) Ortadaki terim komşularının aritmetik ortalamasıdır: 2 · 2x = (x + 1) + (4x − 5) ⇒ 4x = 5x − 4 ⇒ x = 4; terimler 5, 8, 11'dir (d = 3).
2) Terslerini alalım: 1/aₙ₊₁ = (1 + 2aₙ)/aₙ = 1/aₙ + 2. Demek ki {1/aₙ}, ilk terimi 1 ve ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizidir: 1/aₙ = 2n − 1, aₙ = 1/(2n − 1), a₈ = 1/15. Kontrol: bağıntıya göre a₂ = 1/(1 + 2) = 1/3 = 1/(2 · 2 − 1).

İlk n terimin toplamı. Toplamı iki kez yazalım, düz ve ters sırayla:
Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁.
Her sütunda iki terimin toplamı aynı a₁ + aₙ sayısıdır: biri d kadar artarken diğeri d kadar azalır. n sütun vardır, dolayısıyla 2Sₙ = n(a₁ + aₙ). aₙ yerine a₁ + (n − 1)d yazılırsa ikinci biçim elde edilir. Son terim biliniyorsa birinci biçimi, d biliniyorsa ikinci biçimi kullan.

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n − 1)d/2Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n − 1)d/2

burada:

Sₙilk n terimin toplamı (前n项和)
aₙtoplanan son terim
nterim sayısı (项数)

Toplamın iki biçimi. Sözle: toplam = terim sayısı × ilk ve son terimin ortalaması. Demek ki Sₙ/n = (a₁ + aₙ)/2 ortalama terimdir.

Örnek 5: toplam — üç kısa durum

1) 1 + 3 + 5 + … + 99 toplamını bulun.
2) Dersin başındaki salon: 1. sırada 20 koltuk, her sonraki sırada 2 fazla, 15 sıra. Kaç koltuk vardır?
3) a₁ = 2 ve d = 3. Hangi n için Sₙ = 57 olur?

Çözümü göster

1) aₙ = 2n − 1 = 99 ⇒ n = 50 terim. S₅₀ = 50 · (1 + 99)/2 = 2500 (ilk n tek sayının toplamı n²'dir).
2) a₁ = 20, d = 2, n = 15: S₁₅ = 15 · 20 + 15 · 14 · 2/2 = 300 + 210 = 510. Birinci biçimle kontrol: a₁₅ = 20 + 28 = 48, S₁₅ = 15 · (20 + 48)/2 = 15 · 34 = 510.
3) 2n + 3n(n − 1)/2 = 57 ⇒ 3n² + n − 114 = 0 ⇒ n = (−1 + 37)/6 = 6 (diğer kök −19/3 bir sıra numarası olamaz). Kontrol: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Örnek 6 (CSCA tarzı): bir terim ve bir toplam verilmiş

Bir aritmetik dizide a₅ = 11 ve S₆ = 39. a₁₂ kaçtır?
A) 29 B) 32 C) 35 D) 38

Çözümü göster

S₆ = 6(a₁ + a₆)/2 = 3(a₁ + a₆) = 39 ⇒ a₁ + a₆ = 13, yani 2a₁ + 5d = 13. Ayrıca a₁ + 4d = 11; iki katı 2a₁ + 8d = 22. Çıkarınca 3d = 9 ⇒ d = 3, a₁ = −1.
a₁₂ = a₅ + 7d = 11 + 21 = 32, cevap B.
C (35) = a₁ + 12d, «n − 1 yerine n adım» hatasıdır; A (29) a₁₁'dir; D (38) a₅'e 9 adım ekler.

Özellikler ve en büyük Sₙ

m + n = p + t ⇒ aₘ + aₙ = aₚ + aₜ 2aₙ = aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ (S₂ₖ − Sₖ) − Sₖ = k²d

burada:

m, n, p, ttoplamları eşit olan sıra numaraları
kaₙ'nin soluna ve sağına adım sayısı; bir bloktaki terim sayısı
Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖk ardışık terimden oluşan blokların toplamları

Sıra numaralarının toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (等差数列的性质). İki tarafta da aynı sayıda terim olmalıdır: a₁ + a₉ = a₄ + a₆ = 2a₅, ama a₁ + a₉ ≠ a₁₀. k terimlik ardışık bloklar, yani Sₖ, S₂ₖ − Sₖ, S₃ₖ − S₂ₖ, yine ortak farkı k²d olan bir aritmetik dizi oluşturur.

Örnek 7: özellikler — üç kısa durum

1) a₂ + a₁₂ = 22. a₇'yi ve S₁₃'ü bulun.
2) a₃ + a₄ + a₅ = 12. S₇'yi bulun.
3) S₄ = 8 ve S₈ = 20. S₁₂'yi bulun.

Çözümü göster

1) 2 + 12 = 7 + 7, yani 2a₇ = 22, a₇ = 11 ve S₁₃ = 13a₇ = 143.
2) a₃ + a₅ = 2a₄, bu yüzden 3a₄ = 12, a₄ = 4 ve S₇ = 7a₄ = 28.
3) S₄ = 8, S₈ − S₄ = 12, S₁₂ − S₈ blokları ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizidir: S₁₂ − S₈ = 16, S₁₂ = 36. Üç durumda da a₁ ve d'ye gerek kalmadı.

Örnek 8 (CSCA tarzı): üç terim grubu

Bir aritmetik dizide a₁ + a₄ + a₇ = 45 ve a₂ + a₅ + a₈ = 39. S₉ kaçtır?
A) 135 B) 129 C) 117 D) 84

Çözümü göster

a₂ + a₈ = 2a₅, bu yüzden ikinci koşul 3a₅ = 39, a₅ = 13 verir. S₉ = 9a₅ = 117, cevap C; birinci koşula gerek bile yoktur (ondan a₄ = 15 ve d = −2 çıkar, uyumludur).
A (135) = 9 · 15, a₄'ü S₉'un ortadaki terimi sanar; B (129) d = +2 alır ve a₃ + a₆ + a₉ için 33 yerine 45 bulur; D (84) yalnızca verilen iki grubu toplar, a₃ + a₆ + a₉'u unutur.

Sₙ'nin en büyük (veya en küçük) değeri. a₁ > 0 ve d < 0 ise terimler pozitif başlar, sonra negatife döner. Pozitif terimler eklendikçe toplam büyür, ilk negatif terim ise onu küçültmeye başlar. Demek ki Sₙ, aₙ ≥ 0 olan son n'de en büyüktür. a₁ < 0 ve d > 0 iken her şey tersinedir: Sₙ, aₙ ≤ 0 olan son n'de en küçüktür. Cebirsel olarak toplamın ikinci formülü n'ye göre sabit terimi olmayan ikinci dereceden bir ifadedir; grafiği başlangıç noktasından geçen bir paraboldür.

Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n n₀ = 1/2 − a₁/dSₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n n₀ = 1/2 − a₁/d

burada:

d/2d/2baş katsayı: d < 0 iken parabolün kolları aşağı bakar ve Sₙ'nin en büyük değeri vardır; d > 0 iken en küçük değeri vardır
n₀parabolün tepe noktası (simetri ekseni)

n'ye göre ikinci dereceden bir fonksiyon olarak Sₙ. Cevap n₀'a en yakın pozitif tam sayıdır; n₀ «,5» ile bitiyorsa iki komşu sayı da cevaptır. Tersine, Sₙ = An² + Bn (sabit terimsiz) her zaman d = 2A olan bir aritmetik dizinin toplamıdır (bunu kanıtlayan aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ yöntemi «Geometrik diziler» dersindedir).

1
aₙ'yi yaz
aₙ = a₁ + (n − 1)d.
2
İşaretin değiştiği yeri bul
aₙ ≥ 0 ve aₙ₊₁ < 0 koşullarını çöz; ikisini birden sağlayan n cevaptır (a₁ < 0, d > 0 iken en küçük Sₙ için aₙ ≤ 0 çözülür).
3
Sıfır terimi kontrol et
Bir aₖ = 0 ise Sₖ₋₁ = Sₖ olur ve hem n = k − 1 hem de n = k en büyük toplamı verir.
4
Ya da parabolle
Tepe noktası n₀'ı bul ve en yakın pozitif tam sayıyı al. Yalnızca Sₘ = Sₖ verilmişse simetri ekseni n₀ = (m + k)/2'dir ve ayrıca Sₘ₊ₖ = 0 olur.

Örnek 9: en büyük ve en küçük toplam

1) a₁ = 25 ve d = −4. Sₙ'nin en büyük değerini bulun.
2) aₙ = 2n − 15. Sₙ'nin en küçük değerini bulun.
3) a₁ = 18 ve d = −3. Hangi n için Sₙ en büyüktür?

Çözümü göster

1) aₙ = 29 − 4n ≥ 0 ⇒ n ≤ 7,25, yani n = 7 (a₇ = 1, a₈ = −3). S₇ = 7 · 25 + 21 · (−4) = 175 − 84 = 91. Sₙ = −2n² + 27n parabolünün tepe noktası n₀ = 6,75'tedir; en yakın tam sayı 7'dir, sonuç uyumludur.
2) n ≤ 7 için aₙ < 0 (a₇ = −1, a₈ = 1). En küçük toplam S₇ = 7 · (−13 − 1)/2 = −49'dur; gerçekten Sₙ = n² − 14n = (n − 7)² − 49.
3) aₙ = 21 − 3n, a₇ = 0. Sıfır terimi eklemek toplamı değiştirmez: S₆ = S₇ = 63, ikisi de en büyüktür; cevap «n = 6 veya n = 7».

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Parabol Sₙ'yi, doğru ise aₙ'yi gösterir (a₁ = a, ortak fark d). Yalnızca n = 1, 2, 3, … tam sayıları anlamlıdır. a₁ = 25 ve d = −4 iken doğru sıfırı n = 7,25'te keser, parabol ise n = 6,75'te tepe yapar: ikisi de S₇ = 91'i gösterir. a = 18 ve d = −3 dene: doğru tam n = 7'de sıfır olur ve S₆ = S₇.

Örnek 10 (CSCA tarzı): Sₘ = Sₖ

Bir aritmetik dizide a₁ > 0 ve S₅ = S₁₂. Hangi n için Sₙ en büyüktür?
A) n = 8 B) n = 9 C) n = 8 veya n = 9 D) n = 17

Çözümü göster

S₁₂ − S₅ = a₆ + a₇ + … + a₁₂ = 0. Bu 7 terimin ortadaki terimi a₉'dur, yani 7a₉ = 0 ve a₉ = 0. a₁ > 0 ve a₉ = 0 olduğundan d < 0: a₁, …, a₈ pozitif, a₁₀, a₁₁, … negatiftir. a₉ = 0 eklemek bir şey değiştirmez, bu yüzden en büyük S₈ = S₉'dur: cevap C.
Parabolle: simetri ekseni n₀ = (5 + 12)/2 = 8,5, yani 8 ile 9'un tam ortası. A ve B cevabın yalnızca yarısını verir; D (17 = 5 + 12) Sₙ'nin yeniden 0 olduğu yerdir, en büyük değer değildir.

Teleskopik toplamlar: daha zor toplamlara köprü

Bazı toplamlar aritmetik değildir, ama her terim iki komşu ifadenin farkı olarak yazılabilir ve neredeyse her şey sadeleşir (Çince adı 裂项相消, «terimleri ayır ve sadeleştir» demektir): (b₁ − b₂) + (b₂ − b₃) + … + (bₙ − bₙ₊₁) = b₁ − bₙ₊₁. En sık görülen durumu aritmetik dizi verir: paydada iki komşu terimin çarpımı. «Geometrik diziler» dersindeki kaydırıp çıkarma yöntemiyle birlikte bu, CSCA toplamlarının ana aracıdır.

1/(aₖaₖ₊₁) = (1/d)(1/aₖ − 1/aₖ₊₁) 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) 1/(√(k + 1) + √k) = √(k + 1) − √k1/(aₖaₖ₊₁) = (1/d)(1/aₖ − 1/aₖ₊₁) 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) 1/(√(k + 1) + √k) = √(k + 1) − √k

burada:

aₖ, aₖ₊₁d ≠ 0 olan ve sıfır terimi bulunmayan bir aritmetik dizinin komşu terimleri
ktoplamdaki terimin sıra numarası

Ayır, sonra sadeleştir. 1/d çarpanını sağ tarafı ortak paydada yazarak kontrol et: 1/aₖ − 1/aₖ₊₁ = (aₖ₊₁ − aₖ)/(aₖaₖ₊₁) = d/(aₖaₖ₊₁).

Örnek 11: iki teleskopik toplam

1) 1/(1 · 3) + 1/(3 · 5) + … + 1/(19 · 21).
2) 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + … + 1/(√100 + √99).

Çözümü göster

1) Çarpanlar komşu tek sayılardır, d = 2: her terim ½(1/(2k − 1) − 1/(2k + 1)) biçimindedir. Toplam ½(1 − 1/21) = ½ · 20/21 = 10/21.
2) Paydayı rasyonel yapalım: 1/(√(k + 1) + √k) = √(k + 1) − √k. Toplam (√2 − 1) + (√3 − √2) + … + (√100 − √99) = √100 − 1 = 9.

Örnek 12 (CSCA tarzı): 1/(aₙaₙ₊₁) toplamı

Bir aritmetik dizide a₁ = 2 ve a₄ = 11. bₙ = 1/(aₙaₙ₊₁) olsun. {bₙ} dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
A) 15/32 B) 5/32 C) 1/6 D) 9/58

Çözümü göster

d = (11 − 2)/3 = 3, aₙ = 3n − 1, dolayısıyla a₁₁ = 32.
b₁ + … + b₁₀ = (1/3)(1/a₁ − 1/a₁₁) = (1/3)(1/2 − 1/32) = (1/3) · 15/32 = 5/32, cevap B.
A (15/32) 1/d çarpanını unutur; D (9/58) 1/a₁₁ yerine 1/a₁₀ = 1/29'da durur; C (1/6) n → ∞ iken toplamın limitidir, 10 terimin toplamı değil.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

İki bilgi → dizi: iki terim ya da bir terim ve bir toplam; a₁ ve d için sistem kur ya da d = (aₙ − aₘ)/(n − m) formülünü kullan.
Ortadaki terim: simetrik terimlerin toplamı → S₂ₖ₋₁ = (2k − 1)aₖ; çoğu zaman verilerle a₁ ve d hiç bulunamaz.
En büyük Sₙ: aₙ'nin işaret değiştirmesi ya da parabolün ekseni; Sₘ = Sₖ eksenin (m + k)/2 olduğunu gösterir.
İndirgeme bağıntıları: terimleri hesapla (periyodik dizide sıra numarasını periyoda göre küçült) ya da dönüştür (tersler, aₙ₊₂ − 2aₙ₊₁ + aₙ = 0).
Teleskopik toplamlar: 1/d çarpanıyla 1/(aₙaₙ₊₁) toplamları; kök farkları.
Zaman kazandıranlar (soru başına 75 s): seçenekleri n = 1 ve n = 2 ile dene; denklem sistemi kurmadan önce orta terim kuralını dene; toplamı ilk birkaç terimi toplayarak kontrol et.

Terim	中文	Pinyin
dizi — sequence	数列	shùliè
terim — term	项	xiàng
genel terim formülü — general term formula	通项公式	tōngxiàng gōngshì
indirgeme bağıntısı — recursive formula	递推公式	dìtuī gōngshì
aritmetik dizi — arithmetic sequence	等差数列	děngchā shùliè
ortak fark — common difference	公差	gōngchā
ilk terim — first term	首项	shǒuxiàng
aritmetik ortalama — arithmetic mean	等差中项	děngchā zhōngxiàng
ilk n terimin toplamı — sum of the first n terms	前n项和	qián n xiàng hé
terim sayısı — number of terms	项数	xiàngshù
artan / azalan dizi — increasing / decreasing sequence	递增数列 / 递减数列	dìzēng shùliè / dìjiǎn shùliè
periyodik dizi — periodic sequence	周期数列	zhōuqī shùliè
en büyük değer — maximum value	最大值	zuìdàzhí
teleskopik toplam — telescoping sum	裂项相消法	lièxiàng xiāngxiāo fǎ

İngilizce ve Çince temel terimler: sınava bu dillerden birinde girebilirsin.

Önemli noktalar

Dizi, n ∈ N* değişkeninin bir fonksiyonudur; genel terimle ya da başlangıç değeri olan bir indirgeme bağıntısıyla verilir.
Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d = aₘ + (n − m)d; genel terim n'ye göre doğrusaldır.
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n − 1)d/2; terim sayısı tek ise S₂ₖ₋₁ = (2k − 1)aₖ.
m + n = p + t ⇒ aₘ + aₙ = aₚ + aₜ; a ile b'nin aritmetik ortalaması (a + b)/2'dir.
a₁ > 0 ve d < 0 iken Sₙ son negatif olmayan terimde en büyüktür; sıfır terimi iki cevap verir.
Teleskopik toplam: 1/(aₖaₖ₊₁) = (1/d)(1/aₖ − 1/aₖ₊₁).

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

İlk terimi a₁ ve ortak farkı d olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla