İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Orta26 dk21 / 68

Klasik olasılık

CSCA için klasik olasılık: örneklem uzayı ve olaylar, P = m/n, listeleyerek sayma, çarpma ilkesi, permütasyon ve kombinasyon, tümleyen, ayrık ve bağımsız olaylar, temel geometrik olasılık.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Bir deneyin örneklem uzayını yazmak ve çıktılar eş olası olduğunda P = m/n olasılığını hesaplamak.
  • Çıktıları listeleyerek, çarpma ilkesiyle, permütasyon ve kombinasyonla saymak.
  • Tümleyen, ayrık ve bağımsız olayları, “en az biri” soruları dâhil, kullanmak.
  • Uzunluk ve alanla temel geometrik olasılık problemlerini çözmek.

İki para atılıyor. “İki yazı”, “iki tura” ve “bir yazı bir tura” eş olası mıdır, her birinin olasılığı 1/3 müdür? Birçok kişi “evet” der ve yanılır: “bir yazı bir tura” iki şekilde gelir, YT ve TY; bu yüzden olasılığı 1/2’dir, diğer ikisinin her birinin olasılığı ise 1/4’tür. Klasik olasılık (古典概型), eş olası çıktıları doğru listeleme ve onları hızlı sayma becerisidir. CSCA müfredatı onu “Olasılık ve istatistik” bölümünde ilk sırada sayar: “klasik olasılık modeli ve olasılık hesabı”. Bölümün diğer iki satırı sonraki derslerdedir: “Verilerin sayısal özellikleri” ve “Normal dağılım”; olayları betimleyen küme işlemleri ise “Kümeler ve küme işlemleri” dersindedir.

Örneklem uzayı, olaylar ve klasik model

Tanım
Örneklem uzayı ve olay

Örneklem uzayı Ω (样本空间), rastgele bir deneyin tüm olası çıktılarının kümesidir; her çıktı bir örneklem noktasıdır. Olay (随机事件), Ω’nın bir alt kümesidir. Ω’nın kendisi kesin olay, ∅ ise imkânsız olaydır. Zar atılıyor: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; “çift sayı gelir” olayı ise A = {2, 4, 6}’dır.

Aşağıdaki formülü kullanmak için çıktılar eş olası (等可能) olmalıdır. Bu yüzden aynı görünen nesneleri numaralandırırız: iki para için Ω = {YY, YT, TY, TT}, yani üç değil dört eş olası çıktı; iki zar için ise 6 · 6 = 36 sıralı ikili vardır.

Tanım
Klasik olasılık modeli

Bir deneyin sonlu sayıda çıktısı varsa ve hepsi eş olasıysa, bu bir klasik olasılık modelidir (古典概型). Hilesiz bir zarın atılması böyledir; hedefe atış böyle değildir (halkalara isabet eş olası değildir), bir aralıktan gerçek sayı seçmek de böyle değildir (sonsuz çıktı vardır, son bölüme bak).

P(A) = m / n, 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0P(A) = m / n, 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0
burada:
  • neş olası tüm çıktıların sayısı (Ω’nın eleman sayısı)
  • mA olayına uygun çıktıların sayısı
  • P(A)A olayının olasılığı (概率)

Önce çıktıları eş olası yap, sonra say; m ve n aynı şekilde sayılmalıdır (ikisi de sıralı ya da ikisi de sırasız).

Çözümlü örnekler: çıktıları listeleme

1) Bir zar atılıyor. 4’ten büyük bir sayı gelme ve asal sayı gelme olasılığını bul.
2) Üç para atılıyor. Tam iki yazı gelme olasılığını bul.
3) İki zar atılıyor. Toplamın 9 olma ve iki sayının eşit olma olasılığını bul.

Çözümü göster
1) 4’ten büyük: {5, 6}, P = 2/6 = 1/3. Asal: {2, 3, 5}, P = 3/6 = 1/2 (1 asal değildir).
2) Ω’da 2³ = 8 çıktı vardır; tam iki yazı: YYT, YTY, TYY, yani P = 3/8.
3) Toplam 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), P = 4/36 = 1/9. Eşit sayılar: (1, 1), …, (6, 6), P = 6/36 = 1/6.
+123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112
İki zarın toplamları: 36 eş olası hücre. 7 toplamı bütün bir köşegeni doldurur (6 hücre), 2 ve 12 toplamlarının ise yalnızca birer hücresi vardır.

P = m/n formülüne neden güveniriz? Deneyi birçok kez tekrarla: bir olayın göreli sıklığı (频率, gerçekleşme sayısının deneme sayısına oranı) belirli bir sayının çevresinde durulur ve eş olası çıktılarda bu sayı m/n’dir. Klasik formül uzun dönemli sıklığı öngörür, sonraki birkaç denemenin sonucunu ise vaat etmez: altı zar atışında hiç 6 gelmeyebilir.

Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Zarı birçok kez at: her yüzün göreli sıklığı 1/6 ≈ 0,167’ye yaklaşır. Klasik olasılık tam olarak bu uzun dönemli sıklığı öngörür.
CSCA tarzı soru

Üç mektup, adresleri yazılı üç zarfa rastgele, her zarfa bir mektup olacak şekilde konuyor. Tam olarak bir mektubun kendi zarfına girme olasılığı nedir?
A) 1/3 B) 1/6 C) 1/2 D) 2/3

Çözümü göster
1, 2, 3 mektuplarının 3! = 6 eş olası dizilişini listele: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Tam biri yerinde olanlar: 132, 213, 321; yani P = 3/6 = 1/2. Cevap C.
A hiçbir mektubun kendi zarfında olmama olasılığıdır (231, 312). B yalnızca bir dizilişi sayar (örneğin 132) ve doğru zarftaki mektubun üçünden herhangi biri olabileceğini unutur. D üçünün de doğru olduğu durumu da ekler.

Sayma: çarpma ilkesi, permütasyon ve kombinasyon

Listeleme birkaç düzine çıktıya kadar işe yarar. Daha fazlasında iki ilkeyle sayılır. Toplama ilkesi (分类加法): bir iş birbirinden ayrı birkaç yoldan (sınıftan) biriyle yapılabiliyorsa yol sayıları toplanır. Çarpma ilkesi (分步乘法): iş art arda birkaç adımda yapılıyorsa ve her adımdaki seçenek sayısı önceki seçimlere bağlı değilse sayılar çarpılır.

N = n₁ + n₂ + … + nₖ (birkaç sınıftan biri) N = n₁ · n₂ · … · nₖ (birkaç adım)
burada:
  • n₁, n₂, …, nₖher sınıftaki ya da her adımdaki yol sayısı
  • Ntoplam yol sayısı

Kendine sor: iş tek bir seçimden sonra mı bitiyor (topla), yoksa ancak bütün adımlardan sonra mı (çarp)?

Çözümlü örnekler: sayma ilkeleri

1) A’dan B’ye 3 yol, B’den C’ye 2 yol, A’dan doğrudan C’ye ise 2 yol vardır. A’dan C’ye kaç yol gider?
2) 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarıyla, rakamlar tekrar edebiliyorsa kaç üç basamaklı sayı yazılabilir? Tekrar edemiyorsa?
3) 4 mektup 3 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?

Çözümü göster
1) B üzerinden: 3 · 2 = 6 (iki adım); doğrudan: 2 (başka bir sınıf). Toplam 6 + 2 = 8.
2) Tekrarlı 5 · 5 · 5 = 125; tekrarsız 5 · 4 · 3 = 60.
3) Her mektup 3 kutudan birini bağımsız olarak seçer: 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ = 81. 4³ = 64 değil: mektupları kutular seçmez.

a, b, c harflerini al ve ikisini seç. Sıra önemliyse (başkan ve sekreter) 3 · 2 = 6 sonuç vardır: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Önemli değilse (nöbetçi ikili) ab ile ba aynı ikilidir, bu yüzden yalnızca 6/2 = 3 kalır: {a, b}, {a, c}, {b, c}. Her grubun içindeki sıralamaların sayısına bölmek, kombinasyonların permütasyonlardan nasıl elde edildiğini gösterir.

Aₙᵏ = n(n − 1)…(n − k + 1) = n! / (n − k)! Aₙⁿ = n! Cₙᵏ = Aₙᵏ / k! = n! / (k!(n − k)!) Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏAₙᵏ = n(n − 1)…(n − k + 1) = n! / (n − k)! Aₙⁿ = n! Cₙᵏ = Aₙᵏ / k! = n! / (k!(n − k)!) Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
burada:
  • n!1 · 2 · … · n (0! = 1)
  • Aₙᵏn nesneden seçilen k nesnenin permütasyonları (排列): sıra önemlidir
  • Cₙᵏn nesneden k’lı kombinasyonlar (组合): sıra önemli değildir

k nesnenin her kombinasyonu k! farklı şekilde sıralanabilir; bu yüzden Aₙᵏ = k! · Cₙᵏ. Türkiye’deki ders kitapları bunları P(n, k) ve C(n, k) diye yazar; Çin ders kitapları ise Aₙᵏ ve Cₙᵏ kullanır.

Çözümlü örnekler: permütasyon ve kombinasyon

1) 4 farklı kitap bir rafa kaç şekilde dizilebilir? 8 kişinin her biri diğerleriyle tokalaşırsa kaç tokalaşma olur? 8 kişi arasından bir başkan ve bir sayman kaç şekilde seçilebilir?
2) 5 erkek ve 4 kız öğrenciden 2 erkek ve 1 kızdan oluşan bir takım seçiliyor. Kaç farklı takım kurulabilir?
3) Bir torbada 4 kırmızı ve 3 mavi top var; aynı anda 2 top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma ve renklerinin farklı olma olasılığını bul.

Çözümü göster
1) 4! = 24; tokalaşma sırasız bir ikilidir: C₈² = 8 · 7/2 = 28; başkan ve sayman farklı görevlerdir: A₈² = 8 · 7 = 56.
2) İki adım: C₅² · C₄¹ = 10 · 4 = 40.
3) n = C₇² = 21. İkisi de kırmızı: C₄² = 6, P = 6/21 = 2/7. Farklı renkler: 4 · 3 = 12, P = 12/21 = 4/7. Sağlama: mavi–mavi C₃² = 3 ve 6 + 12 + 3 = 21.
CSCA tarzı soru

4 erkek ve 3 kız öğrenci arasından rastgele 3 öğrenci seçiliyor. Seçilenlerden tam 2’sinin erkek olma olasılığı nedir?
A) 12/35 B) 18/35 C) 22/35 D) 6/35

Çözümü göster
n = C₇³ = 35; m = C₄² · C₃¹ = 6 · 3 = 18, yani P = 18/35. Cevap B.
A tam bir erkek seçilme olasılığıdır (C₄¹ · C₃² = 12). C “en az iki erkek” olayıdır (18 + 4 = 22). D yalnızca erkek ikililerini sayar (C₄² = 6) ve kızı seçmeyi unutur.

Tümleyen, ayrık ve bağımsız olaylar

Tanım
Ayrık ve tümleyen olaylar

A ile B birlikte gerçekleşemiyorsa ayrık (bağdaşmaz) olaylardır (互斥事件): A ∩ B = ∅. Ayrıca bunlardan biri mutlaka gerçekleşiyorsa tümleyen olaylardır (对立事件): A ∪ B = Ω; bu durumda B = Ā’dır. Zar atılıyor: “1” ile “6” ayrıktır ama tümleyen değildir; “çift” ile “tek” ise tümleyendir.

P(Ā) = 1 − P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (A ∩ B = ∅) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
burada:
  • ĀA’nın tümleyeni (“A gerçekleşmedi”)
  • A ∪ BA veya B (en az biri)
  • AB = A ∩ BA ve B birlikte

Son formül, “Kümeler ve küme işlemleri” dersindeki içerme–dışlama kuralıdır: aksi hâlde ortak AB kısmı iki kez sayılırdı. Tümleyen olaylar her zaman ayrıktır ama tersi doğru değildir.

Çözümlü örnekler: tümleyen ve toplama

1) Bir zar atılıyor. A = “1 ya da 2”, B = “6”, C = “çift sayı”, D = “3’ten büyük sayı”. P(A ∪ B) ve P(C ∪ D)’yi bul.
2) Bir zar iki kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığını bul.
3) P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 ve P(A ∪ B) = 0,8. P(AB)’yi bul. A ile B ayrık mıdır?

Çözümü göster
1) A ile B ayrıktır: P(A ∪ B) = 2/6 + 1/6 = 1/2. C ile D {4, 6}’da kesişir: P(C ∪ D) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 2/3 (sağlama: C ∪ D = {2, 4, 5, 6}).
2) Tümleyen: iki atışta da 6 gelmemesi, 36 çıktının 5 · 5 = 25’i. P = 1 − 25/36 = 11/36.
3) P(AB) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3 ≠ 0, yani ayrık değildirler.
Tanım
Bağımsız olaylar

Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa A ile B bağımsız olaylardır (相互独立事件). Farklı atıcılar, farklı makineler ve geri koyarak (有放回) çekiliş bağımsız olaylar verir; geri koymadan (不放回) çekiliş vermez, çünkü ilk çekiliş torbanın içeriğini değiştirir.

Bağımsızlık aletlerle değil sayılarla ilgili bir önermedir: A ile B ancak ve ancak P(AB) = P(A) · P(B) olduğunda bağımsızdır. Tek bir zar atışı bile bağımsız olaylar verebilir: A = “çift” ve B = “1 ya da 2” için P(AB) = P({2}) = 1/6 = 1/2 · 1/3. Sınav problemlerinde ise bağımsızlık genellikle durumdan anlaşılır (farklı kişiler, ayrı makineler, geri koyarak çekiliş) ve doğrudan çarpım kuralı kullanılır.

P(AB) = P(A) · P(B) P(en az biri) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ)
burada:
  • p₁, …, pₙbağımsız olayların olasılıkları
  • 1 − pᵢi’inci olayın gerçekleşmeme olasılığı

A ile B bağımsızsa Ā ile B, A ile B̄ ve Ā ile B̄ de bağımsızdır. İkiden tam biri: P = p₁(1 − p₂) + (1 − p₁)p₂.

Çözümlü örnekler: bağımsız olaylar

1) İki makine birbirinden bağımsız çalışıyor; bütün gün arızasız çalışma olasılıkları 0,9 ve 0,8’dir. İkisinin de çalışma, hiçbirinin çalışmama, tam birinin çalışma ve en az birinin çalışma olasılığını bul.
2) Bir torbada 4 beyaz ve 2 siyah top var. Art arda iki top çekiliyor. İlk top geri konursa ve konmazsa ikisinin de siyah olma olasılığını bul.
3) Bir atıcı her atışta hedefi bağımsız olarak 0,5 olasılıkla vuruyor. En az bir isabet olasılığının 0,9’u aşması için en az kaç atış gerekir?

Çözümü göster
1) İkisi de: 0,9 · 0,8 = 0,72; hiçbiri: 0,1 · 0,2 = 0,02; tam biri: 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 = 0,26; en az biri: 1 − 0,02 = 0,98. Sağlama: 0,72 + 0,26 + 0,02 = 1.
2) Geri koyarak: (2/6) · (2/6) = 1/9. Geri koymadan: (2/6) · (1/5) = 1/15; bu, C₂²/C₆² = 1/15 ile aynıdır.
3) 1 − 0,5ⁿ > 0,9 ⇔ 0,5ⁿ < 0,1: 0,5³ = 0,125 fazla büyüktür, 0,5⁴ = 0,0625 uygundur; yani n = 4.
CSCA tarzı soru

İki para atılıyor. Hangi olay çifti ayrıktır ama tümleyen DEĞİLDİR?
A) “en az bir yazı” ve “en az bir tura”
B) “en az bir yazı” ve “iki tura”
C) “iki yazı” ve “en fazla bir yazı”
D) “tam bir yazı” ve “iki yazı”

Çözümü göster
“Tam bir yazı” = {YT, TY} ile “iki yazı” = {YY}’nin ortak çıktısı yoktur ama TT ikisine de dâhil değildir; yani ayrıktırlar ve tümleyen değildirler. Cevap D.
A: YT ikisine de dâhildir, yani ayrık bile değildirler. B ve C tümleyen çiftlerdir (birlikte Ω’yı kaplarlar); bu, sorunun istediğinden fazlasıdır.

Geometrik olasılık

Tanım
Geometrik olasılık

Çıktılar bir doğru parçasının, bir bölgenin ya da bir cismin noktalarıysa sonsuz sayıdadır ve P = m/n kullanılamaz. Nokta rastgele ve düzgün seçildiğinde (eşit büyüklükteki parçalar eş olasıdır) bir olayın olasılığı, kapladığı uzunluk, alan ya da hacim payıdır; buna geometrik olasılık modeli (几何概型) denir.

P(A) = (A bölgesinin uzunluğu, alanı ya da hacmi) / (Ω’nın uzunluğu, alanı ya da hacmi)P(A) = (A bölgesinin uzunluğu, alanı ya da hacmi) / (Ω’nın uzunluğu, alanı ya da hacmi)
burada:
  • Ωbütün doğru parçası, bölge ya da cisim
  • Aolayın gerçekleştiği kısım

Tek bir noktanın uzunluğu 0’dır, bu yüzden olasılığı da 0’dır; bu nedenle burada “<” ile “≤” aynı cevabı verir.

Çözümlü örnekler: geometrik olasılık

1) [0, 5] aralığından rastgele bir x sayısı seçiliyor. x² − 3x + 2 < 0 olma olasılığını bul.
2) Otobüs 12 dakikada bir geliyor, sen de durağa rastgele bir anda geliyorsun. En fazla 3 dakika bekleme olasılığını bul.
3) Kenarı 2 olan bir karenin içinde rastgele bir nokta seçiliyor. Merkeze uzaklığının 1’den az olma ve verilen bir köşeye uzaklığının 1’den az olma olasılığını bul.

Çözümü göster
1) x² − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2: 5’te 1 uzunluk, P = 1/5.
2) Uygun olan, otobüsten önceki son 3 dakikadır, 12’de 3, P = 1/4.
3) Merkez çevresindeki yarıçapı 1 olan daire karenin içindedir: P = π · 1²/2² = π/4. Köşe çevresinde dairenin yalnızca dörtte biri karenin içindedir: P = (π/4)/4 = π/16.

Her biri bir aralıktan seçilen iki rastgele x ve y sayısı, bir dikdörtgenin rastgele bir (x, y) noktasını oluşturur; bu yüzden iki rastgele an hakkındaki sorular (bir kafeye gelen iki arkadaş, iki otobüs) alan sorularına dönüşür. Dikdörtgeni çiz, koşulun sağlandığı bölgeyi tara ve alanları karşılaştır; bu bölge genellikle x + y = 1 ya da y = x gibi doğrularla sınırlıdır.

CSCA tarzı soru

Köşeleri (0, 0), (2, 0), (2, 2) ve (0, 2) olan karenin içinde rastgele bir (x, y) noktası seçiliyor. x + y ≥ 1 olma olasılığı nedir?
A) 7/8 B) 1/8 C) 3/4 D) 1/2

Çözümü göster
x + y < 1 olan noktalar köşeleri (0, 0), (1, 0), (0, 1) olan, alanı 1/2 olan üçgeni oluşturur. Karenin alanı 4’tür; yani P = 1 − (1/2)/4 = 7/8. Cevap A.
B, tümleyen olayın (x + y < 1) olasılığıdır. C üçgenin alanını 1 alır. D kareyi ikiye bölen x + y = 2 köşegenini kullanır.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

CSCA’daki olasılık soruları zarlar, paralar, toplar, kartlar, sıraya dizilen kişiler, atıcılar ya da rastgele noktalar hakkında kısa sözel problemlerdir. Temel terimleri İngilizce ve Çince tanı:

Terim (İngilizcesi)中文Pinyin
probability概率gàilǜ
sample space样本空间yàngběn kōngjiān
random event随机事件suíjī shìjiàn
classical probability model古典概型gǔdiǎn gàixíng
equally likely等可能děng kěnéng
addition principle分类加法计数原理fēnlèi jiāfǎ jìshù yuánlǐ
multiplication principle分步乘法计数原理fēnbù chéngfǎ jìshù yuánlǐ
permutation (arrangement)排列páiliè
combination组合zǔhé
mutually exclusive events互斥事件hùchì shìjiàn
complementary events对立事件duìlì shìjiàn
independent events相互独立事件xiānghù dúlì shìjiàn
geometric probability model几何概型jǐhé gàixíng
with / without replacement有放回 / 不放回yǒu fànghuí / bù fànghuí
Klasik olasılığın temel terimleri İngilizce ve Çince.

Tipik soru kalıpları ve zaman kazandıran yollar (soru başına yaklaşık 75 s):

  • Zarlar, paralar, toplar: çıktılar eş olası olsun diye aynı nesneleri numaralandır; iki zar için 6 × 6 tablosunu kullan (n = 36).
  • Aynı anda birkaç nesne çekmek: hem m’de hem n’de kombinasyon; art arda çekmek: ikisinde de çarpma ilkesi. İkisini asla karıştırma.
  • “En az biri”: 1 − P(hiçbiri); “ikiden tam biri”: p₁(1 − p₂) + (1 − p₁)p₂.
  • Olaylarla ilgili önermeler: ayrık — ortak çıktı yok; tümleyen — ortak çıktı yok ve dışarıda hiçbir şey kalmıyor; bağımsız — P(AB) = P(A)P(B).
  • Dizilişler: “yan yana” blok demektir; “yan yana değil” boşluklar demektir; rakam problemlerinde önce kısıtlı yeri doldur (başa 0 gelemez).
  • Geometrik olasılık: doğru parçasını ya da bölgeyi çiz, uzunlukları ya da alanları karşılaştır; sınır cevabı etkilemez.

Önemli noktalar

  • Klasik model: sonlu sayıda eş olası çıktı, P(A) = m/n; önce çıktıları eş olası yap (paraları, zarları ve topları numaralandır).
  • Art arda gelen adımlarda çarp, ayrı durumlarda topla; sıra önemliyse Aₙᵏ = n!/(n − k)!, önemli değilse Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!).
  • P(Ā) = 1 − P(A); “en az biri” = 1 − P(hiçbiri).
  • Ayrık olaylar: P(A ∪ B) = P(A) + P(B); genel durumda P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB); bağımsız olaylar: P(AB) = P(A)P(B).
  • Geometrik olasılık, istenen bölgenin ve tüm bölgenin uzunluk, alan ya da hacimlerinin oranıdır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Bu deneylerden hangisi bir klasik olasılık modelidir?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla