Müxtəlif say sistemlərində hesab əməlləri

Məktəbdə 9 + 1 = 10 yazanda əslində təklər mərtəbəsi dolur və 1 onluqlar mərtəbəsinə keçir. İkilik sistemdə mərtəbə daha tez dolur: 1 + 1 = 10₂. Kompüterin prosessoru bütün hesablamaları ikilik sistemdə, məhz sütunla toplama qaydası ilə aparır. Bu dərsdə sütunla əməlləri istənilən əsasa köçürəcəyik — yeganə fərq odur ki, mərtəbə 10-da yox, b-də dolur. Ədədləri çevirməyi «Səkkizlik və onaltılıq say sistemləri» dərsində öyrəndik; indi onlarla birbaşa hesablayacağıq. DİM-də bu mövzu «Müxtəlif say sistemlərində hesab əməlləri» adlanır.

Sütunla toplama: köçürmə qaydası

Toplama onluq sistemdəki kimi sağdan sola, mərtəbə-mərtəbə aparılır. Mərtəbədəki cəm s əsasdan kiçikdirsə (s < b), olduğu kimi yazılır. s ≥ b olarsa, mərtəbəyə s − b yazılır, 1 isə növbəti mərtəbəyə keçirilir (yadda saxlanılır). İkilik sistemin bütün toplama cədvəli dörd sətirdir: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10₂, 1 + 1 + 1 = 11₂.

Niyə məhz belə? Mərtəbədə b vahid yığılanda onlar birlikdə növbəti mərtəbənin düz 1 vahidinə bərabər olur, çünki hər mərtəbənin çəkisi sağdakından b dəfə böyükdür. Məsələn, səkkizlikdə təklər mərtəbəsində 13 vahid = 8 + 5: səkkizi növbəti mərtəbəyə 1 kimi keçir, 5 yerində qalır. Onluqdakı «1 yadda qalır» qaydası bunun b = 10 halıdır. Aşağıda ikilik toplama sütun şəklində göstərilib.

   111111 
    101101
+    11011
----------
   1001000

Sütunla çıxma: borc alma

Çıxmada üstdəki rəqəm alttakından kiçikdirsə, soldakı mərtəbədən 1 vahid borc alınır. Onluq sistemdə bu vahid 10, b əsaslı sistemdə isə b vahiddir: ikilikdə 2, səkkizlikdə 8, onaltılıqda 16. Qonşu mərtəbədə 0 durursa, borc daha soldakı mərtəbədən alınır və yol boyu sıfırlar b − 1-ə çevrilir — onluqdakı 1000 − 1 = 999 kimi.

Vurma və bölmə

İkilik sistemin vurma cədvəli ən sadədir: 0·0 = 0·1 = 1·0 = 0, 1·1 = 1. Ona görə ikilik vurma sürüşdürmə və toplamadan ibarətdir: vuruğun hər 1-i üçün birinci ədəd həmin mərtəbə qədər sola sürüşdürülüb yazılır, sonra bu sətirlər toplanır. Başqa əsaslarda sütunla vurma onluqdakı kimidir, yalnız köçürmə b-yə bölməklə tapılır. Bölmə də onluqdakı kimi aparılır; ikilikdə qismətin hər rəqəmi 0 və ya 1 olur. Sürüşdürmə niyə vurmadır? Ədəd bir mərtəbə sola keçəndə hər rəqəmi b dəfə ağır mərtəbəyə düşür, yəni bütün ədəd b-yə vurulur.

Qarışıq əsaslı ifadələr və yoxlama

DİM tapşırıqlarında tez-tez müxtəlif əsaslarda yazılmış ədədlərlə ifadə verilir, cavab isə müəyyən əsasda soruşulur. Ən etibarlı yol: bütün ədədləri onluğa çevir, hesabla, nəticəni tələb olunan əsasa çevir. Əsaslar 2, 8 və 16-dırsa, hamısını ikiliyə keçirib ikilikdə toplamaq da olar. Seçdiyin variantı onluğa çevirib yoxlamaq bir dəqiqə çəkir və səhvi tutur.

n bitlik yaddaşda daşma

Kompüter ədədi sabit uzunluqlu yaddaş yuvasında saxlayır. n bitə 0-dan 2ⁿ − 1-ə qədər ədədlər yerləşir: 8 bitə 0…255, 16 bitə 0…65535. Cəm bu həddi keçəndə ən soldakı köçürmə yuvaya sığmır və itir — buna daşma deyilir. Saxlanan nəticə cəmin 2ⁿ-ə bölünməsindən alınan qalıqdır, yəni proqram gözlənilməz kiçik ədəd görür.

Python-da int(s, b) b əsaslı yazılışı onluğa, bin(), oct(), hex() isə geri çevirir, ona görə istənilən cavabı bir neçə sətirlə yoxlamaq olar. Python-un tam ədədləri daşmır, ona görə 8 bitlik yuvanı % 256 ilə təqlid edirik:

a = int('101101', 2) + int('11011', 2)
print(a, bin(a))
b = int('3657', 8) + int('1426', 8)
print(b, oct(b))
c = int('A03', 16) - int('4F8', 16)
print(c, hex(c))
print((200 + 100) % 256)

72 0b1001000
2757 0o5305
1291 0x50b
44

Bu dərsdə əsas həmişə məlum idi. «Say sistemləri: naməlum əsas məsələləri» dərsində isə tərsinə — bərabərliyə görə əsası tapmağı öyrənəcəyik; DİM-in kodlaşdırılan tapşırıqlarının çoxu məhz belədir.