Kvant fizikasının əsasları — Fizika

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Fotonun enerjisini və impulsunu hesablamaq, fotoeffekt üçün Eynşteyn tənliyini tətbiq etmək
De Broyl dalğa uzunluğunu və qeyri-müəyyənlik prinsipindən irəli gələn məhdudiyyətləri tapmaq
Potensial çuxurda enerji səviyyələrini çıxarmaq və hidrogen spektrini hesablamaq

XIX əsrin sonunda klassik fizika bir neçə sadə təcrübəni izah edə bilmədi: qızmış cisimlərin şüalanma spektrini, işığın metaldan elektron qoparmasını və atomların yalnız müəyyən rənglərdə işıq buraxmasını. Bu «böhran» yeni nəzəriyyəyə — kvant fizikasına gətirdi. Bu gün lazerlər, LED lampalar, günəş panelləri, tranzistorlar və MRT tomoqrafları kvant qanunları əsasında işləyir.

1900
Maks Plank şüalanmanın porsiyalarla — kvantlarla buraxıldığını fərz edir
1905
Eynşteyn fotoeffekti işıq kvantları — fotonlarla izah edir
1913
Nils Bor hidrogen atomunun modelini yaradır
1924
Lui de Broyl hissəciklərin dalğa xassələrini irəli sürür
1926
Ervin Şredinger dalğa tənliyini yazır
1927
Heyzenberqin qeyri-müəyyənlik prinsipi; elektron difraksiyası təcrübədə müşahidə olunur

Fotonlar və fotoeffekt

E = h · ν = h · c / λ, p = h / λE = h · ν = h · c / λ, p = h / λ

burada:

hPlank sabiti, 6,63 · 10⁻³⁴ C · s
νişığın tezliyi, Hs
λdalğa uzunluğu, m

Atom fizikasında enerji elektronvoltla ölçülür: 1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ C.

Fotoeffektdə təcrübə üç fakt göstərir: elektronların maksimal kinetik enerjisi işığın intensivliyindən yox, tezliyindən asılıdır; hər metal üçün qırmızı sərhəd — tezliyin elə minimumu var ki, ondan aşağıda heç bir elektron çıxmır; elektronlar gecikmədən çıxır. Eynşteyn izah etdi: bir foton bütün enerjisini bir elektrona verir, onun bir hissəsi metaldan çıxmağa (çıxış işi A), qalanı kinetik enerjiyə sərf olunur.

h · ν = A + E_k,max, E_k,max = e · U₀, ν₀ = A / hh · ν = A + E_k,max, E_k,max = e · U₀, ν₀ = A / h

burada:

Ametaldan çıxış işi, eV və ya C
U₀saxlayıcı gərginlik — fotocərəyanı dayandıran gərginlik, V
ν₀fotoeffektin qırmızı sərhədi, Hs

Nümunə 1: bənövşəyi işıq metal üzərində

Çıxış işi 2,3 eV olan metal 400 nm dalğa uzunluqlu işıqla işıqlandırılır. Fotonun enerjisini, elektronların maksimal kinetik enerjisini, saxlayıcı gərginliyi və qırmızı sərhədin dalğa uzunluğunu tap.

Həllini göstər

E = hc/λ = 6,63 · 10⁻³⁴ · 3 · 10⁸ / (4 · 10⁻⁷) ≈ 4,97 · 10⁻¹⁹ C ≈ 3,1 eV.
E_k,max = 3,1 − 2,3 = 0,8 eV, deməli, U₀ ≈ 0,8 V.
λ₀ = hc / A ≈ 1243 eV · nm / 2,3 eV ≈ 540 nm — yaşıl işıq. Daha uzun dalğalı (sarı, qırmızı) işıq, nə qədər parlaq olsa da, elektron qoparmır.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

E_k,max (eV) tezliyin funksiyası kimi; x — tezlik, 10¹⁴ Hs vahidi ilə, a — çıxış işi (eV). Düz xəttin mailliyi h-dır və bütün metallar üçün eynidir, x oxunu kəsdiyi nöqtə qırmızı sərhəddir; mənfi hissə «elektron çıxmır» deməkdir.

Hissəciklərin dalğa xassələri

λ = h / p = h / (m · v), Δx · Δp ≥ ħ / 2, ħ = h / (2π)λ = h / p = h / (m · v), Δx · Δp ≥ ħ / 2, ħ = h / (2π)

burada:

λde Broyl dalğa uzunluğu, m
Δx, Δpkoordinatın və impulsun qeyri-müəyyənlikləri
ħgətirilmiş Plank sabiti, ≈ 1,055 · 10⁻³⁴ C · s

Nümunə 2: elektron və top

a) 100 V gərginliklə sürətləndirilmiş elektronun de Broyl dalğa uzunluğunu tap. b) 10 m/s sürətlə uçan 0,1 kq-lıq topun dalğa uzunluğu nə qədərdir?

Həllini göstər

a) E_k = eU = p²/(2m) → p = √(2meU) = √(2 · 9,11 · 10⁻³¹ · 1,6 · 10⁻¹⁹ · 100) ≈ 5,4 · 10⁻²⁴ kq · m/s.
λ = h/p ≈ 6,63 · 10⁻³⁴ / 5,4 · 10⁻²⁴ ≈ 1,2 · 10⁻¹⁰ m = 0,12 nm — atomlar arasındakı məsafə qədər; buna görə kristallarda elektron difraksiyası müşahidə olunur.
b) λ = 6,63 · 10⁻³⁴ / (0,1 · 10) = 6,6 · 10⁻³⁴ m — heç bir cihazla ölçülə bilməyəcək qədər kiçik, ona görə gündəlik cisimlərin dalğa xassəsi görünmür.

Nümunə 3: atomdakı elektron dayana bilərmi?

Elektron ölçüsü təxminən 10⁻¹⁰ m olan atomun daxilindədir. Onun sürətinin minimal qeyri-müəyyənliyini qiymətləndir.

Həllini göstər

Δp ≥ ħ / (2Δx) = 1,055 · 10⁻³⁴ / (2 · 10⁻¹⁰) ≈ 5,3 · 10⁻²⁵ kq · m/s.
Δv = Δp / m ≈ 5,3 · 10⁻²⁵ / 9,11 · 10⁻³¹ ≈ 5,8 · 10⁵ m/s.
Elektron atomun içində «sakit dura» bilməz — bu, atomların sabitliyinin və sıfır nöqtəsi enerjisinin səbəbidir.

Şredinger tənliyi və potensial çuxur

Kvant mexanikasında hissəciyin halı dalğa funksiyası ψ(x) ilə təsvir olunur: |ψ(x)|² dx — hissəciyin x ilə x + dx arasında tapılması ehtimalıdır. Stasionar hallar üçün ψ Şredinger tənliyini ödəyir. Eni L olan sonsuz dərin çuxurda içəridə U = 0, divarlarda isə ψ(0) = ψ(L) = 0 olmalıdır. Tənlik d²ψ/dx² = −k²ψ şəklini alır, k² = 2mE/ħ²; həlli ψ = C sin kx, sərhəd şərti isə kL = nπ verir. Enerji yalnız diskret qiymətlər alır — kvantlanır.

−(ħ² / 2m) · d²ψ/dx² + U(x) · ψ = E · ψ, Eₙ = n² · h² / (8mL²), ψₙ = √(2/L) · sin(nπx / L)−(ħ² / 2m) · d²ψ/dx² + U(x) · ψ = E · ψ, Eₙ = n² · h² / (8mL²), ψₙ = √(2/L) · sin(nπx / L)

burada:

ψdalğa funksiyası; |ψ|² ehtimal sıxlığıdır
U(x)potensial enerji, C
nkvant ədədi, n = 1, 2, 3, …
Lçuxurun eni, m

Nümunə 4: 0,5 nm-lik çuxurda elektron

Elektron eni 0,5 nm olan sonsuz dərin potensial çuxurdadır. E₁ və E₂ enerjilərini və 2 → 1 keçidində buraxılan fotonun dalğa uzunluğunu tap.

Həllini göstər

E₁ = h² / (8mL²) = (6,63 · 10⁻³⁴)² / (8 · 9,11 · 10⁻³¹ · (5 · 10⁻¹⁰)²) ≈ 2,4 · 10⁻¹⁹ C ≈ 1,5 eV.
E₂ = 4E₁ ≈ 6,0 eV.
ΔE = 3E₁ ≈ 4,5 eV → λ = 1243 / 4,5 ≈ 275 nm (ultrabənövşəyi).
Çuxur daraldıqca səviyyələr arasındakı məsafə artır — kvant nöqtələrinin rəngi məhz belə «kökləndirilir».

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Eni L = 1 olan çuxurda ehtimal sıxlığı |ψₙ|² = 2 sin²(nπx). n-i artır: n qarın və n − 1 düyün yaranır. n = 1-də hissəcik ən çox mərkəzdə, divarların yanında isə heç vaxt tapılmır.

Atom spektrləri

Eₙ = −13,6 eV / n², h · ν = E_m − E_nEₙ = −13,6 eV / n², h · ν = E_m − E_n

burada:

Eₙhidrogen atomunun n-ci səviyyəsinin enerjisi (mənfi — elektron bağlıdır)
E_m, E_nkeçiddən əvvəlki və sonrakı səviyyələrin enerjiləri

Hər element yalnız öz səviyyələri arasındakı fərqlərə uyğun fotonlar buraxır — bu, onun «barmaq izi»dir.

Nümunə 5: hidrogenin qırmızı xətti

Hidrogen atomunda elektron n = 3 səviyyəsindən n = 2 səviyyəsinə keçir. Fotonun enerjisini və dalğa uzunluğunu tap.

Həllini göstər

ΔE = 13,6 · (1/4 − 1/9) = 13,6 · 5/36 ≈ 1,89 eV.
λ = 1243 / 1,89 ≈ 658 nm — qırmızı işıq. Bu, Balmer seriyasının ölçülmüş 656 nm-lik məşhur Hα xəttidir (fərq sabitlərin yuvarlaqlaşdırılmasındandır).

Əsas fikirlər

Foton: E = hν = hc/λ, p = h/λ; E (eV) ≈ 1240 / λ (nm).
Fotoeffekt: hν = A + E_k,max; elektronların enerjisi tezlikdən, sayı intensivlikdən asılıdır.
De Broyl: λ = h/p; qeyri-müəyyənlik: Δx · Δp ≥ ħ/2.
Sonsuz çuxurda Eₙ = n²h²/(8mL²); hidrogendə Eₙ = −13,6 eV/n², foton hν = E_m − E_n.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

Dalğa uzunluğu 620 nm olan fotonun enerjisi təxminən nə qədərdir?