Özel görelilik — Fizik

Bu derste öğreneceklerin

Göreliliğin iki postulatını ve sonuçlarını açıklamak
Lorentz çarpanıyla zaman genişlemesini ve boy kısalmasını hesaplamak
Hızları göreli olarak toplamak
Göreli momentumu, durgun enerjiyi ve kinetik enerjiyi bulmak

GPS uydularındaki atom saatleri görelilik düzeltmesi yapılmadan çalışsaydı, navigasyon birkaç saat içinde kullanılamaz hâle gelirdi. Atmosferin üst katmanlarında oluşan müonlar yalnızca birkaç mikrosaniye yaşar ama yere ulaşır. Her iki olguyu da Albert Einstein'ın 1905'te geliştirdiği özel görelilik kuramı açıklar.

İki postulat

Görelilik ilkesi: fizik yasaları bütün eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır; hiçbir deney “mutlak durgunluğu” saptayamaz.
Işık hızının değişmezliği: ışığın boşluktaki hızı bütün eylemsiz sistemlerde aynıdır, c ≈ 3 · 10⁸ m/s, ve kaynağın hareketine bağlı değildir.

İkinci postulat günlük deneyimle çelişir: trende ileri atılan top yere göre daha hızlı gider, ışık ise gitmez. Sonuç olarak zaman ve uzaklık mutlak değildir: bir sistemde eşzamanlı olan iki olay başka bir sistemde eşzamanlı olmayabilir; buna eşzamanlılığın göreliliği denir.

Zaman genişlemesi ve boy kısalması

Bir “ışık saati” düşünelim: ışık, aralarında L uzaklık olan iki ayna arasında gidip gelir. Saatle birlikte hareket eden gözlemci için bir “tık” Δt₀ = 2L/c sürer. Saat v hızıyla hareket ederse yerdeki gözlemci ışığın eğik bir yol izlediğini görür: (cΔt/2)² = L² + (vΔt/2)². Buradan Δt = Δt₀ / √(1 − v²/c²) bulunur.

γ = 1 / √(1 − v²/c²), Δt = γ · Δt₀, L = L₀ / γγ = 1 / √(1 − v²/c²), Δt = γ · Δt₀, L = L₀ / γ

burada:

γLorentz çarpanı (γ ≥ 1)
Δt₀özzaman — saatin durduğu sistemde ölçülen aralık, s cinsinden
L₀öz uzunluk — cismin durduğu sistemde ölçülen uzunluk, m cinsinden

Yalnızca hareket doğrultusundaki boyut kısalır; dik boyutlar değişmez.

v / c	γ
0,1	1,005
0,6	1,25
0,8	1,667
0,99	7,09
0,999	22,4

Düşük hızlarda γ ≈ 1'dir ve görelilik etkileri fark edilmez.

Örnek 1: müonlar yere nasıl ulaşır?

Bir müonun ortalama öz yaşam süresi 2,2 μs'dir. Müon 0,995c hızla hareket ediyor. Dünya'ya göre yaşam süresini ve bu sürede aldığı ortalama yolu bulun. Görelilik olmasaydı cevap ne olurdu?

Çözümü göster

γ = 1 / √(1 − 0,995²) ≈ 10,0.
Δt = γ · Δt₀ ≈ 10 · 2,2 = 22 μs.
Yol: 0,995 · 3 · 10⁸ · 22 · 10⁻⁶ ≈ 6,6 km.
Görelilik olmadan: 0,995 · 3 · 10⁸ · 2,2 · 10⁻⁶ ≈ 660 m; müonlar aşağıya ulaşamazdı.
Müonun kendi sisteminde ise atmosfer γ kat kısalır: sonuç aynıdır.

Lorentz dönüşümleri ve hız toplama

x′ = γ(x − vt), t′ = γ(t − vx/c²), u = (u′ + v) / (1 + u′v/c²)x′ = γ(x − vt), t′ = γ(t − vx/c²), u = (u′ + v) / (1 + u′v/c²)

burada:

x′, t′olayın S′ sistemindeki konumu ve zamanı (S′, S'ye göre x boyunca v hızıyla hareket eder)
u′, ucismin S′ ve S sistemlerindeki hızları

v ≪ c iken Galileo dönüşümlerine indirgenir: x′ = x − vt, t′ = t, u = u′ + v.

Boy kısalması da Lorentz dönüşümlerinden çıkar. Bir çubuk S′ sisteminde durgundur, uçları x′₁ ve x′₂'dedir, L₀ = x′₂ − x′₁. S'de uzunluğu ölçmek için iki ucun konumunu aynı t anında kaydederiz: x′₂ − x′₁ = γ(x₂ − vt) − γ(x₁ − vt) = γ(x₂ − x₁). Dolayısıyla L = x₂ − x₁ = L₀/γ.

Örnek 2: birbirine doğru uçan gemiler

a) İki uzay gemisi, her biri Dünya'ya göre 0,6c hızla birbirine doğru uçuyor. Birinci geminin pilotu ikinci geminin hızını kaç ölçer? b) 100 m uzunluğundaki bir gemi 0,8c hızla uçuyor. Dünya'dan ölçülen uzunluğu nedir?

Çözümü göster

a) u = (0,6c + 0,6c) / (1 + 0,6 · 0,6) = 1,2c / 1,36 ≈ 0,88c; 1,2c değil, c'den küçük!
b) γ = 5/3, L = L₀ / γ = 100 · 3/5 = 60 m.

Göreli momentum ve enerji

p = γ · m · v, E = γ · m · c², E₀ = m · c², E_k = (γ − 1) · m · c², E² = (pc)² + (mc²)²

burada:

mcismin kütlesi (durgun kütle, değişmez), kg cinsinden
Etoplam enerji, J cinsinden
E₀durgun enerji, J cinsinden

Düşük hızlarda binom açılımı γ = (1 − β²)^(−1/2) ≈ 1 + β²/2 verir. O zaman E_k = (γ − 1)mc² ≈ mc² · v²/(2c²) = mv²/2 olur; klasik formül yeniden elde edilir. v → c iken γ → ∞: kütleli bir cismi ışık hızına çıkarmak için sonsuz enerji gerekir.

Örnek 3: hızlı bir elektron

Bir elektron (m = 9,11 · 10⁻³¹ kg) 0,8c hızla hareket ediyor. Durgun enerjisini, kinetik enerjisini ve momentumunu bulun. E² = (pc)² + (mc²)² eşitliğini doğrulayın.

Çözümü göster

E₀ = mc² = 9,11 · 10⁻³¹ · 9 · 10¹⁶ ≈ 8,2 · 10⁻¹⁴ J ≈ 0,51 MeV.
γ = 5/3: E_k = (5/3 − 1) · 0,51 ≈ 0,34 MeV.
p = γmv = (5/3) · 9,11 · 10⁻³¹ · 2,4 · 10⁸ ≈ 3,64 · 10⁻²² kg · m/s.
Kontrol: pc ≈ 1,093 · 10⁻¹³ J, mc² ≈ 0,820 · 10⁻¹³ J, √(1,093² + 0,820²) · 10⁻¹³ ≈ 1,366 · 10⁻¹³ J = γmc². ✓
Klasik mv²/2 ise yalnızca ≈ 0,16 MeV verirdi.

Örnek 4: bir gramın enerjisi

1 g kütleye eşdeğer durgun enerjiyi bulun ve kilovatsaat cinsinden ifade edin.

Çözümü göster

E₀ = mc² = 10⁻³ · (3 · 10⁸)² = 9 · 10¹³ J.
1 kWh = 3,6 · 10⁶ J olduğundan E₀ = 2,5 · 10⁷ kWh = 25 milyon kWh.
Nükleer tepkimelerde kütlenin yalnızca küçük bir kısmı enerjiye dönüşür, ama bu bile kimyasal yanmadan milyonlarca kat fazladır.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

x = v/c. Birinci eğri γ, ikincisi onun düşük hız yaklaşımı 1 + β²/2'dir. Yaklaşık v ≈ 0,3c'ye kadar eğriler neredeyse çakışır; v → c iken γ sınırsız büyür.

Önemli noktalar

Postulatlar: fizik yasaları bütün eylemsiz sistemlerde aynıdır; c bütün gözlemciler için aynıdır.
γ = 1/√(1 − v²/c²); Δt = γΔt₀ (zaman genişler), L = L₀/γ (boy kısalır).
Hız toplama: u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²); sonuç asla c'yi aşmaz.
p = γmv, E = γmc², E₀ = mc², E_k = (γ − 1)mc², E² = (pc)² + (mc²)².

Kendini test et

10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 10

v = 0,6c'de Lorentz çarpanı kaçtır?