- Çekim yasasını ve g’nin yüksekliğe bağlılığını oran problemlerinde uygulamak
- Yer çekimi kuvvetini ağırlıktan, kütleyi ağırlıktan ayırt etmek
- İvmeli asansörde ve köprüde ağırlığı hesaplamak
- Ağırlıksızlığı ve aşırı yüklenmeyi açıklamak
Yüksek bir binanın asansöründe banyo tartısının üzerine çık. Asansör yukarı doğru harekete başlarken tartı daha fazla, aşağı doğru başlarken daha az gösterir; oysa kütlen değişmemiştir. Uzay istasyonundaki astronot ise Dünya onu çekmeye devam etse de “ağırlıksızdır”. Bu derste yer çekimi kuvvetini ağırlıktan ayırmayı ve ağırlığın ne zaman artıp azaldığını hesaplamayı öğreneceksin.
Evrensel çekim yasası ve yer çekimi kuvveti
Newton, Evrendeki bütün cisimlerin birbirini çektiğini buldu. Çekim kuvveti kütlelerin çarpımıyla doğru, merkezler arasındaki uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Elmayı yere düşüren kuvvet, Ay’ı yörüngede tutan kuvvetle aynıdır. Gezegenler ve uydular «Dairesel hareket ve kütle çekimi» dersinde ayrıntılı incelenir.
- Fçekim kuvveti, N
- m₁, m₂cisimlerin kütleleri, kg
- rmerkezler arasındaki uzaklık, m
- Gevrensel çekim sabiti, 6,67 · 10⁻¹¹ N · m² / kg²: aralarında 1 m bulunan 1’er kg’lık iki cismin çekim kuvveti
Dünya’nın cisimleri kendine çektiği kuvvete yer çekimi kuvveti denir. Cismin kendisine etki eder, düşey aşağı (Dünya’nın merkezine doğru) yönelir ve kütleyle doğru orantılıdır. Dünya yüzeyinde g = G · M / R² ≈ 9,8 N/kg’dır (problemlerde 10 N/kg). Dünya’dan uzaklaştıkça g azalır.
- mcismin kütlesi, kg
- g₀Dünya yüzeyindeki yer çekimi ivmesi
- ghh yüksekliğindeki yer çekimi ivmesi
- RDünya’nın yarıçapı (≈ 6400 km)
Yer çekimi kuvveti ve yüksekliğe bağlılığı.
Dünya çevresinde bir kütle çekim alanı oluşturur. Alanın bir noktadaki şiddeti, o noktaya konan 1 kg’lık cisme etki eden kuvvettir: g = F / m (N/kg). Bu yüzden g’nin iki anlamı vardır: alan şiddeti (N/kg) ve yer çekimi ivmesi (m/s²); birimler aynıdır, çünkü 1 N/kg = 1 m/s².
Murad’ın kütlesi 50 kg. Dünya’da (g = 9,8 N/kg) ve Ay’da (g = 1,6 N/kg) ona etki eden yer çekimi kuvvetini bul. Murad’ın Ay’daki kütlesi ne olur?
Çözümü gösterÇözümü gizle
Kütle cismin kendi özelliğidir ve değişmez: Ay’da da 50 kg’dır.
1) İki cisim arasındaki uzaklık 3 katına çıkarıldı. Çekim kuvveti nasıl değişir?
2) Dünya yüzeyinden R yükseklikte (R, Dünya’nın yarıçapı) g kaçtır (g₀ = 10 m/s²)?
3) Hangi yükseklikte yer çekimi ivmesi yüzeydekinden 9 kat küçüktür?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) g = g₀ · R² / (2R)² = g₀ / 4 = 2,5 m/s².
3) (R + h)² / R² = 9 → R + h = 3R → h = 2R (≈ 12 800 km).
Ağırlık ve kütle
Bir cismin Dünya’nın çekimi nedeniyle desteğine bastırdığı ya da askısını gerdiği kuvvet (P). Bu kuvvet desteğe, yer çekimi kuvveti ise cismin kendisine etki eder. Newton’un üçüncü yasasına göre P, tepki kuvvetine eşittir: P = N. Durgunken ya da sabit hızla hareket ederken P = mg’dir. (Türkiye’deki kitaplarda bu kuvvete çoğu zaman “görünür ağırlık” denir ve tartının gösterdiği değerdir.)
| Özellik | Kütle | Ağırlık (P) |
|---|---|---|
| Nedir? | eylemsizliğin ölçüsü | desteğe etki eden kuvvet |
| Birim | kg | N |
| Alet | eşit kollu terazi | dinamometre |
| Ay’da ya da asansörde | değişmez | değişir |
İvmeli asansörde ağırlık
Asansördeki cisme iki kuvvet etki eder: mg (aşağı) ve tepki kuvveti N (yukarı). İvme yukarı yönlüyse Newton’un ikinci yasasından N − mg = ma, yani N = m(g + a). İvme aşağı yönlüyse N = m(g − a). Ağırlık P = N’dir. P’nin mg’ye oranına aşırı yüklenme (g kuvveti) n denir.
- aasansörün ivmesinin büyüklüğü, m/s²
- naşırı yüklenme: n > 1 — P artmış, n = 0 — ağırlıksızlık
| Asansörün hareketi | İvme | Ağırlık (P) |
|---|---|---|
| yukarı doğru hızlanıyor | yukarı | P > mg |
| sabit hızla gidiyor ya da duruyor | a = 0 | P = mg |
| yukarı giderken fren yapıyor | aşağı | P < mg |
| aşağı doğru hızlanıyor | aşağı | P < mg |
| aşağı giderken fren yapıyor | yukarı | P > mg |
| serbest düşüyor | a = g | P = 0 |
Kütlesi 50 kg olan Aysel asansörde tartının üzerinde duruyor. Asansör a) 2 m/s² ivmeyle yukarı doğru harekete başlarken, b) 2 m/s² ivmeyle aşağı doğru harekete başlarken, c) sabit hızla giderken tartı kaç newton gösterir? a) durumunda aşırı yüklenme nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
n = 600 / 500 = 1,2; Aysel kendini 1,2 kat “ağır” hisseder.
Aşağı inen bir asansör kata yaklaşırken 3 m/s²’lik ivmeyle fren yapıyor. Asansördeki 70 kg kütleli bir insanın ağırlığını (P) hesaplayın (g = 10 m/s²).
A) 490 N B) 700 N C) 910 N D) 210 N E) 1400 N
Çözümü gösterÇözümü gizle
P = m(g + a) = 70 · 13 = 910 N (C).
A (490 N), hızın yönüne bakıp P = m(g − a) yazma hatasıdır.
Tümsek ve çukur köprüde otomobil
Köprü bir çember yayıysa otomobil çembersel hareket yapar ve merkezcil ivme a = v² / R çemberin merkezine yönelir (bkz. «Dairesel hareket ve kütle çekimi»). Tümsek köprünün tepesinde merkez aşağıdadır; ivme aşağı yönlüdür ve P azalır. Çukur köprünün en alt noktasında merkez yukarıdadır; P artar.
- votomobilin hızı, m/s
- Rköprünün eğrilik yarıçapı, m
v = √(g · R) olduğunda tümsek köprünün tepesinde P = 0 olur: ağırlıksızlık.
Kütlesi 2 t olan bir otomobil, eğrilik yarıçapı 45 m olan bir köprüde 15 m/s hızla gidiyor. Otomobil köprüye a) tümsek köprünün tepesinde, b) çukur köprünün en alt noktasında hangi kuvvetle bastırır? c) Hangi hızda tümsek köprünün tepesinde ağırlıksızlık olur?
Çözümü gösterÇözümü gizle
a) P = 2000 · (10 − 5) = 10 kN.
b) P = 2000 · (10 + 5) = 30 kN.
c) v = √(g · R) = √450 ≈ 21 m/s.
Ağırlıksızlık ve aşırı yüklenme
Bir cisim desteğiyle birlikte yalnızca yer çekimi etkisiyle hareket ettiğinde (a = g, aşağı) desteğe bastırmaz: P = m(g − g) = 0. Bu duruma ağırlıksızlık denir. Havadaki atlet, serbest düşen asansör ve yörüngedeki uzay istasyonu ağırlıksızdır: istasyon Dünya’nın çevresinde sürekli “düşer”. Yer çekimi kuvveti ise etki etmeye devam eder! Roket kalkışında ya da uçağın keskin dönüşünde tersine aşırı yüklenme (n > 1) oluşur.
Bir uçak yarıçapı 500 m olan dikey bir döngü (looping) yapıyor ve en alt noktadan 100 m/s hızla geçiyor. 80 kg kütleli pilotun koltuğa bastırma kuvvetini ve aşırı yüklenmeyi bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
P = m(g + a) = 80 · 30 = 2400 N; n = 2400 / 800 = 3; pilot kendini 3 kat “ağır” hisseder.
Hangi öncüller doğrudur? I. Ağırlıksızlıkta cisme etki eden yer çekimi kuvveti sıfırdır. II. P (desteğe bastırma kuvveti) desteğe ya da askıya etki eder. III. İvmesi yukarı yönlü asansörde cismin P’si mg’den büyüktür.
A) yalnız I B) yalnız II C) II ve III D) I ve III E) I, II, III
Çözümü gösterÇözümü gizle
Cevap: C.
Önemli noktalar
- F = G · m₁ · m₂ / r²; yer çekimi kuvveti F = mg, g yükseklikle azalır: gh = g₀R² / (R + h)².
- Yer çekimi kuvveti cisme, P desteğe etki eder; durgunken P = mg.
- Asansörde P = m(g ± a): ivme yukarıysa “+”, aşağıysa “−”; hızın yönü önemsizdir.
- Tümsek köprüde P = m(g − v²/R), çukurda P = m(g + v²/R).
- Ağırlıksızlıkta (a = g) P sıfırdır, ama yer çekimi kuvveti etki eder.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.