Hareket grafikleri — Fizik

Bu derste öğreneceklerin

x–t, vₓ–t ve aₓ–t grafiklerinden hareketin türünü belirlemek
Eğimden hızı ve ivmeyi, alandan yer değiştirmeyi ve hız değişimini bulmak
Bir grafiği diğerine dönüştürmek ve eksenlerde değerleri göstererek çizmek
İki cismin karşılaşma anını ve aralarındaki uzaklığı bulmak, eylemsiz referans sistemlerini seçmek

Bir otomobilin GPS takip cihazı her saniye konumunu kaydeder. Bu sayıları grafiğe dökersen otomobilin nerede durduğunu, nerede hızlandığını ve nerede geri döndüğünü bir bakışta görürsün. Fizikte grafik, hareketin bir “fotoğrafıdır”. Azerbaycan’ın DİM giriş sınavında grafik okumak en çok ölçülen becerilerden biridir: 2026’da fizik sorularının yaklaşık üçte birinde grafik veya diyagram vardı. Bu derste x–t, vₓ–t ve aₓ–t grafiklerinden her şeyi okumayı öğreneceksin.

Üç grafik ve hareketin türü

Doğrusal hareketi bir Ox ekseni boyunca inceleriz. x–t (konum-zaman) grafiği konumun, vₓ–t (hız-zaman) grafiği hızın, aₓ–t (ivme-zaman) grafiği ise ivmenin zamanla değişimini gösterir. Buradaki vₓ ve aₓ işaretli değerlerdir: cisim eksen yönünde gidiyorsa vₓ > 0, ters yönde gidiyorsa vₓ < 0 olur. Bu yüzden vₓ–t ve aₓ–t grafikleri zaman ekseninin altında da olabilir; bu, hızın veya ivmenin eksenin tersine yöneldiği anlamına gelir.

Hareket	x–t	vₓ–t	aₓ–t
Durgunluk	zaman eksenine paralel doğru	zaman ekseni üzerinde (vₓ = 0)	zaman ekseni üzerinde
Düzgün doğrusal	eğik doğru	zaman eksenine paralel doğru	zaman ekseni üzerinde (aₓ = 0)
Düzgün hızlanan (\|v\| artar)	parabol, giderek dikleşir	eksenden uzaklaşan eğik doğru	zaman eksenine paralel doğru (aₓ ≠ 0)
Düzgün yavaşlayan (\|v\| azalır)	parabol, giderek yatıklaşır	eksene yaklaşan eğik doğru	paralel doğru, işareti vₓ’in tersi

vₓ = Δx / Δtvₓ = Δx / Δt

burada:

vₓhız (işaretli), m/s
Δx = x₂ − x₁grafikteki iki noktanın konum farkı, m
Δt = t₂ − t₁bu noktaların zaman farkı, s

x–t grafiğinin eğimi hızdır: doğru ne kadar dikse hızın büyüklüğü o kadar fazladır; doğru alçalıyorsa vₓ < 0’dır.

Örnek 1: x–t grafiğinden hız

Üç cismin x–t grafiği birer doğrudur: 1) (0 s, 2 m) ve (4 s, 14 m) noktalarından geçer; 2) (0 s, 20 m) ve (5 s, 0) noktalarından geçer; 3) x = 6 m’de zaman eksenine paraleldir. Her cismin hızını bul ve hareket denklemini yaz.

Çözümü göster

1) vₓ = (14 − 2) / (4 − 0) = 3 m/s; x = 2 + 3t.
2) vₓ = (0 − 20) / 5 = −4 m/s — cisim eksenin tersine 4 m/s büyüklüğünde hızla gider; x = 20 − 4t.
3) Δx = 0, yani vₓ = 0: cisim x = 6 m’de durmaktadır.

Eğim ve alan: grafik bize ne söyler?

Her grafiğin iki anahtarı vardır. Eğim, grafikteki büyüklüğün ne kadar hızlı değiştiğini gösterir: x–t grafiğinin eğimi hız, vₓ–t grafiğinin eğimi ivmedir. Alan, grafik ile zaman ekseni arasındaki şeklin alanıdır: vₓ–t altında yer değiştirmeyi, aₓ–t altında hız değişimini verir. Zaman ekseninin altındaki alan eksi alınır.

aₓ = Δvₓ / Δtaₓ = Δvₓ / Δt

burada:

aₓivme (işaretli), m/s²
Δvₓvₓ–t grafiğindeki iki noktanın hız farkı, m/s

vₓ–t grafiğinin eğimi ivmedir.

sₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · tsₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · t

burada:

sₓyer değiştirme, m
v₀ₓ, vₓaralığın başındaki ve sonundaki hız, m/s

vₓ–t altındaki yamuğun alanı. Düzgün doğrusal harekette bu bir dikdörtgendir: sₓ = vₓ · t. Aynı şekilde aₓ–t altındaki dikdörtgen Δvₓ = aₓ · t verir.

Alınan yol (s) negatif olamaz: tüm alanların mutlak değerlerinin toplamıdır. Yer değiştirme (sₓ) ise alanların işaretli toplamıdır. Cisim geri dönmüyorsa ikisi eşittir.

Örnek 2: zaman eksenini kesen vₓ–t grafiği

Bir cismin vₓ–t grafiği t = 0’da 6 m/s, t = 5 s’de −4 m/s değerinden geçen bir doğrudur. İvmeyi, cismin durduğu anı, 5 s’deki yer değiştirmeyi ve alınan yolu bul.

Çözümü göster

aₓ = (−4 − 6) / 5 = −2 m/s².
vₓ = 0 olduğunda cisim durur ve geri döner: 6 − 2t = 0 → t = 3 s.
0–3 s: üçgen zaman ekseninin üstündedir, S₁ = ½ · 3 · 6 = 9 m.
3–5 s: üçgen eksenin altındadır, S₂ = ½ · 2 · 4 = 4 m (eksi işaretle).
Yer değiştirme: sₓ = 9 − 4 = 5 m; alınan yol: s = 9 + 4 = 13 m.

Örnek 3: aₓ–t grafiğinden hız

Bir cismin aₓ–t grafiği üç bölümden oluşur: 0–4 s arasında aₓ = 3 m/s², 4–6 s arasında aₓ = 0, 6–10 s arasında aₓ = −2 m/s². İlk hız v₀ₓ = 2 m/s. 4., 6. ve 10. saniyenin sonundaki hızı bul, vₓ–t grafiğini tarif et ve 10 s’deki yer değiştirmeyi hesapla.

Çözümü göster

aₓ–t altındaki alan Δvₓ’tir.
0–4 s: Δvₓ = 3 · 4 = 12 m/s → vₓ(4) = 2 + 12 = 14 m/s.
4–6 s: Δvₓ = 0 → vₓ(6) = 14 m/s.
6–10 s: Δvₓ = −2 · 4 = −8 m/s → vₓ(10) = 6 m/s.
vₓ–t grafiği: 2’den 14 m/s’ye yükselen eğik parça, 14 m/s’de yatay parça ve 14’ten 6 m/s’ye inen eğik parça.
Yer değiştirme — üç şeklin alanı: (2 + 14) / 2 · 4 + 14 · 2 + (14 + 6) / 2 · 4 = 32 + 28 + 40 = 100 m.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

v₀ = 6 m/s, a = −2 m/s² — Örnek 2’deki hareket. vₓ–t doğrusunun zaman eksenini kestiği an (3 s), x–t parabolünün tepe noktasına karşılık gelir: cisim burada durup geri döner. Sonra alan zaman ekseninin altında birikir.

Bir grafikten diğerine

1
x–t → vₓ–t
Her bölümün eğimini bul. Doğru → sabit vₓ (yatay parça); parabol → vₓ doğrusal değişir; parabolün tepe noktasında vₓ = 0.
2
vₓ–t → aₓ–t
Her doğru parçasının eğimi aₓ’tir: eğik parça → sabit aₓ ≠ 0, yatay parça → aₓ = 0.
3
aₓ–t → vₓ–t
İlk hızdan başla ve her bölümün alanını (Δvₓ) ekle.
4
vₓ–t → x–t
İlk konumdan başla ve alanları ekle: vₓ > 0 iken x artar, vₓ < 0 iken azalır, vₓ = 0 anında x–t grafiğinin tepe noktası olur.

x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2

burada:

x₀ilk konum, m
v₀ₓilk hız (işaretli), m/s
aₓivme (işaretli), m/s²

Düzgün hızlanan hareketin konum denklemi; grafiği bir paraboldür, aₓ < 0 ise kolları aşağı bakar. Formül «İvme ve düzgün hızlanan hareket» dersinde ayrıntılı açıklanır.

Örnek 4: denklemden üç grafiğe

Bir cismin konumu x = 4 + 6t − t² bağıntısıyla değişiyor (tüm büyüklükler SI’da). vₓ(t) ve aₓ(t) bağıntılarını yaz ve üç grafiği tarif et. Cisim ne zaman ve nerede geri döner?

Çözümü göster

x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 ile karşılaştırırız: x₀ = 4 m, v₀ₓ = 6 m/s, aₓ/2 = −1 → aₓ = −2 m/s².
vₓ = 6 − 2t; aₓ = −2 m/s² (sabit).
Geri dönüş: vₓ = 0 → t = 3 s; x(3) = 4 + 18 − 9 = 13 m.
x–t: kolları aşağı bakan, tepe noktası (3 s, 13 m) olan parabol, x(0) = 4 m.
vₓ–t: 6 m/s’den başlayıp t = 3 s’de zaman eksenini kesen eğik doğru.
aₓ–t: zaman ekseninin altında, −2 m/s²’de yatay doğru.
Bu, Örnek 2’deki hareketin ta kendisidir: x(5) − x(0) = 9 − 4 = 5 m.

Aynı grafikte iki cisim

Aynı eksende hareket eden iki cismin x–t grafikleri kesişirse, kesişme noktası karşılaşma anını ve yerini verir: o anda konumlar eşittir. Herhangi bir anda aralarındaki uzaklık d = |x₂ − x₁|’dir, yani grafikler arasındaki düşey parçanın uzunluğu. vₓ–t grafiklerinin kesişmesi ise karşılaşma değil, hızların eşit olduğu andır: bir cisim diğerini kovalarken aradaki uzaklık tam bu anda en büyüktür.

Örnek 5 (çoktan seçmeli): iki cismin x–t grafiği

Aynı doğru üzerinde hareket eden iki cismin x–t grafikleri birer doğrudur: 1. cisminki (0 s, 10 m) ve (6 s, 40 m), 2. cisminki (0 s, 70 m) ve (7 s, 0) noktalarından geçer. 2. saniyenin sonunda cisimler arasındaki uzaklığı hesaplayın.
A) 30 m B) 20 m C) 50 m D) 70 m E) 45 m

Çözümü göster

Hızlar eğimlerdir: v₁ₓ = (40 − 10) / 6 = 5 m/s; v₂ₓ = (0 − 70) / 7 = −10 m/s.
Denklemler: x₁ = 10 + 5t; x₂ = 70 − 10t.
t = 2 s’de: x₁ = 20 m, x₂ = 50 m → d = 50 − 20 = 30 m (A).
Karşılaşma: 10 + 5t = 70 − 10t → t = 4 s, x = 30 m.
Yanlış seçenekler: 20 m ve 50 m yalnızca bir cismin konumu, 70 m t = 0 anı, 45 m ise 2. saniyenin başı (t = 1 s).

Örnek 6: vₓ–t grafikleriyle kovalamaca

Bir otomobil trafik ışığının yanından 10 m/s sabit hızla geçtiği anda orada bekleyen bir motosiklet aynı yönde 2 m/s² ivmeyle harekete başlıyor. vₓ–t grafiklerini kullanarak bul: a) hızlar ne zaman eşit olur ve o anda aralarındaki uzaklık ne kadardır? b) motosiklet otomobile ne zaman yetişir?

Çözümü göster

Grafikler: otomobil 10 m/s’de yatay bir doğru; motosiklet orijinden çıkan, eğimi 2 m/s² olan bir doğru.
a) Kesişme: 2t = 10 → t = 5 s. Aradaki uzaklık, doğrular arasındaki üçgenin alanıdır: ½ · 5 · 10 = 25 m; bu en büyük uzaklıktır.
b) Yetişme anında alanlar eşittir: 10t = 2t²/2 → t = 10 s; her biri 100 m yol almıştır. Motosikletin hızı o anda 20 m/s, yani otomobilinkinin 2 katıdır.

DİM soru tipleri: eylemsiz sistemler, I–II–III öncülleri, kodlanan cevap

Tanım

Eylemsiz referans sistemi

Dünya’ya göre duran ya da sabit hızla doğrusal hareket eden bir cisme bağlı referans sistemi (Dünya eylemsiz kabul edilir). Grafikteki işareti: x–t bir doğrudur (yatay veya eğik), vₓ–t zaman eksenine paraleldir, aₓ = 0’dır. Eğri bir x–t, eğik bir vₓ–t ya da aₓ ≠ 0 ivmeli hareket demektir; böyle bir cisme bağlı sistem eylemsiz değildir.

Örnek 7 (çoktan seçmeli): hangi sistemler eylemsizdir?

Cisimlerin Dünya’ya göre hareket grafikleri: I. x–t — zaman eksenine paralel doğru; II. x–t — parabol; III. vₓ–t — zaman ekseninin üstünde, ona paralel doğru; IV. vₓ–t — orijinden çıkan eğik doğru; V. x–t — eğik doğru; VI. aₓ–t — zaman ekseninin üstünde, ona paralel doğru. Hangi cisimlere bağlı referans sistemi eylemsizdir?
A) I, III, V B) II, IV, VI C) yalnız I ve V D) I, II, III E) III, IV, V

Çözümü göster

I durgunluk; III ve V düzgün doğrusal hareket: ivme sıfır → eylemsiz.
II (eğri x–t), IV (hız artıyor) ve VI (aₓ ≠ 0) ivmeli hareket → eylemsiz değil.
Cevap: I, III, V (A). C’yi seçen III’ü unutur: vₓ–t’deki yatay doğru durgunluk değil, düzgün doğrusal harekettir.

Örnek 8: I–II–III öncülleri ve yazılı soru

Bir cismin x–t grafiği üç doğru parçasından oluşur: 0–2 s arasında x 0’dan 6 m’ye artar, 2–5 s arasında x = 6 m kalır, 5–8 s arasında x 6 m’den −3 m’ye azalır.
a) Hangi öncüller doğrudur? I. 2–5 s arasında cisim durgundur. II. 5–8 s arasında hızın büyüklüğü 3 m/s’dir. III. Cismin 8 s’de aldığı yol 3 m’dir.
A) yalnız I B) I ve II C) I, II, III D) II ve III E) yalnız III
b) Yazılı soru: eksenlerde değerleri göstererek vₓ–t grafiğini çizin.

Çözümü göster

a) I doğru (x değişmiyor). II doğru: vₓ = (−3 − 6) / 3 = −3 m/s, büyüklüğü 3 m/s. III yanlış: alınan yol 6 + 9 = 15 m’dir, 3 m ise yer değiştirmenin büyüklüğüdür. Cevap: B.
b) 0–2 s: vₓ = 6 / 2 = 3 m/s, 3 m/s’de yatay parça; 2–5 s: vₓ = 0, zaman ekseni üzerinde parça; 5–8 s: vₓ = −3 m/s, eksenin altında yatay parça. Zaman ekseninde 2, 5, 8 s, hız ekseninde 3 ve −3 m/s işaretlenir.
Kontrol: alanların toplamı 3 · 2 − 3 · 3 = −3 m = x(8) − x(0).

Örnek 9 (kodlanan cevap): ortalama sürat

Bir otomobilin vₓ–t grafiği: 0–4 s arasında hız 0’dan 12 m/s’ye düzgün artar, 4–8 s arasında 12 m/s kalır, 8–10 s arasında düzgün azalarak sıfır olur. Otomobilin 10 s’deki ortalama süratini (m/s cinsinden) hesaplayın.

Çözümü göster

Yol, yamuğun alanıdır: ½ · 4 · 12 + 4 · 12 + ½ · 2 · 12 = 24 + 48 + 12 = 84 m.
Ortalama sürat: v = 84 / 10 = 8,4 m/s.
Cevap kâğıdına yazılan: 8,4.

Düşey atılan bir cismin grafikleri de aynı kurallarla okunur. Oy ekseni yukarı yönlüyse v_y–t eğimi −g olan bir doğru, y–t kolları aşağı bakan bir parabol, a_y–t ise −g’de yatay bir doğrudur. v_y–t’nin zaman eksenini kestiği an çıkış süresini, eksenin üstündeki üçgenin alanı maksimum yüksekliği verir. Bu sorular «Serbest düşme ve atılan cisimlerin hareketi» dersinde ayrıntılı çözülür.

Önemli noktalar

x–t’nin eğimi hız, vₓ–t’nin eğimi ivmedir.
vₓ–t altındaki alan yer değiştirmedir (eksenin altı negatif), yol alanların mutlak değerlerinin toplamıdır; aₓ–t altındaki alan Δvₓ’tir.
vₓ = 0 anı x–t parabolünün tepe noktasıdır: cisim burada geri döner.
x–t grafiklerinin kesişmesi karşılaşma, vₓ–t grafiklerinin kesişmesi hızların eşitliğidir.
Durgun ya da düzgün doğrusal hareket eden cisme bağlı sistem eylemsizdir: x–t doğru, vₓ–t yatay, aₓ = 0.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Eşleştirin. 1. x–t — zaman eksenine paralel doğru; 2. vₓ–t — zaman eksenine paralel doğru (vₓ ≠ 0); 3. vₓ–t — eğik doğru. a) düzgün hızlanan hareket; b) durgunluk; c) düzgün doğrusal hareket.