Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый10–11 классы25 мин61 / 82

Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной

Производная как угловой коэффициент касательной и как скорость изменения величины: уравнение касательной, горизонтальные и параллельные касательные, касательные, перпендикулярные прямой или проведённые под заданным углом, нормаль, скорость, ускорение, сила тока и предельные издержки — с разобранными примерами.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Объяснять геометрический смысл производной: находить угловой коэффициент касательной и угол её наклона к оси Ox
  • Составлять уравнения касательной и нормали в заданной точке
  • Решать задачи на горизонтальные, параллельные и перпендикулярные касательные, касательные под заданным углом и через точку вне графика
  • Находить скорость и ускорение по закону движения, определять, когда тело останавливается, разгоняется или тормозит; вычислять силу тока, мощность и предельные издержки как скорости изменения

На горной дороге иногда встречается знак с надписью «12%». Он означает, что на каждые 100 м по горизонтали дорога поднимается на 12 м, то есть её уклон равен 0,12. Если дорога поднимается под постоянным углом, это число везде одинаково, но горная дорога то становится круче, то выполаживается — её уклон меняется на каждом шагу. Как же измерить крутизну в конкретной точке? Нужно провести в этой точке касательную к кривой и найти её угловой коэффициент — это число и есть производная. То же число в физике даёт скорость тела в данный момент, а в экономике — быстроту роста затрат. В этом уроке вы разберёте оба смысла производной и все типичные задачи на уравнение касательной.

Геометрический смысл производной

Сначала вспомним прямую. В уравнении прямой y = kx + b число k — угловой коэффициент: когда x увеличивается на 1, y меняется на k. Кроме того, k = tg α, где α — угол между прямой и положительным направлением оси Ox (0° ≤ α < 180°). При k > 0 прямая идёт слева направо вверх, при k < 0 — вниз, при k = 0 она параллельна оси Ox.

Теперь возьмём на графике y = f(x) две точки: M(x₀; f(x₀)) и N(x₀ + Δx; f(x₀ + Δx)). Прямая MN — секущая; её угловой коэффициент равен Δf / Δx, то есть средней скорости изменения функции. Когда точка N движется по графику к M (Δx → 0), секущая поворачивается вокруг M и всё ближе подходит к одной определённой прямой. Из урока о приращениях и определении производной мы знаем, что при этом Δf / Δx стремится к f′(x₀). Значит, угловой коэффициент этой предельной прямой равен f′(x₀).

Определение
Касательная

Предельное положение секущей MN, когда точка N по графику стремится к точке M. Эта прямая называется касательной к графику в точке M(x₀; f(x₀)), а M — точкой касания.

f′(x₀) = k = tg α
где:
  • f′(x₀)производная функции в точке x₀
  • kугловой коэффициент касательной
  • αугол между касательной и положительным направлением оси Ox (0° ≤ α < 180°, α ≠ 90°)
  • x₀абсцисса точки касания

Геометрический смысл производной: f′(x₀) — угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой x₀.

Отсюда знак производной показывает направление касательной. При f′(x₀) > 0 угол α острый и касательная идёт вверх; при f′(x₀) < 0 угол α тупой и касательная идёт вниз; при f′(x₀) = 0 угол α = 0° и касательная горизонтальна. Чем больше |f′(x₀)|, тем круче график в этой точке. Если касательная вертикальна (α = 90°), tg α не существует, а значит, нет и производной — например, у функции y = ∛x в точке x₀ = 0.

αtg α = f′(x₀)Касательная
0°0горизонтальна, параллельна оси Ox
30°√3/3 ≈ 0,58полого поднимается
45°1поднимается, параллельна прямой y = x
60°√3 ≈ 1,73круто поднимается
90°—вертикальна: производной нет
120°−√3 ≈ −1,73круто опускается
135°−1опускается, параллельна прямой y = −x
150°−√3/3 ≈ −0,58полого опускается
Угол и угловой коэффициент. Так как tg(180° − β) = −tg β, углы 120°, 135° и 150° дают угловые коэффициенты углов 60°, 45° и 30° с противоположным знаком.
Угол наклона касательной

Найдите угол, который касательная к графику в точке с абсциссой x₀ образует с осью Ox: 1) y = x², x₀ = 1/2; 2) y = x², x₀ = −1/2; 3) y = x²/2, x₀ = √3; 4) y = x³ − 3x, x₀ = 1.

Показать решение
1) f′(x) = 2x, f′(1/2) = 1. tg α = 1 → α = 45°.
2) f′(−1/2) = −1. tg α = −1 → α = 135° (не −45°: угол отсчитывается от положительного направления оси Ox, 0° ≤ α < 180°).
3) f′(x) = x, f′(√3) = √3. tg α = √3 → α = 60°.
4) f′(x) = 3x² − 3, f′(1) = 0 → α = 0°, касательная горизонтальна. Так как f(1) = 1 − 3 = −2, её уравнение y = −2.

Уравнение касательной

Касательная — прямая, а прямую полностью задают одна её точка и угловой коэффициент. Прямая, проходящая через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k, имеет уравнение y − y₀ = k(x − x₀): при x = x₀ получаем y = y₀, а коэффициент при x равен k. Для касательной точка — (x₀; f(x₀)), угловой коэффициент — f′(x₀). Подставив их и выразив y, получаем уравнение касательной.

y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀)
где:
  • x₀абсцисса точки касания
  • f(x₀)ордината точки касания
  • f′(x₀)угловой коэффициент касательной
  • x, yкоординаты любой точки касательной

Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой x₀. Ответ обычно приводят к виду y = kx + b.

  1. 1
    Точка

    Вычислите f(x₀) — ординату точки касания.

  2. 2
    Производная

    Найдите производную f′(x).

  3. 3
    Угловой коэффициент

    Подставьте x₀ в производную: k = f′(x₀). Порядок важен: сначала производная, потом значение.

  4. 4
    Формула

    Подставьте числа в y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) и приведите к виду y = kx + b.

  5. 5
    Проверка

    Подставьте x = x₀ в ответ: должно получиться y = f(x₀), а коэффициент при x должен равняться f′(x₀).

Касательная в заданной точке

Составьте уравнение касательной к графику в точке с абсциссой x₀: 1) y = x³ − 2x, x₀ = 1; 2) y = √x, x₀ = 4; 3) y = eˣ, x₀ = 0; 4) y = sin x, x₀ = π.

Показать решение
1) f(1) = 1 − 2 = −1; f′(x) = 3x² − 2, f′(1) = 1.
y = −1 + 1 · (x − 1) = x − 2. Проверка: при x = 1 получаем y = −1, значит, прямая проходит через точку (1; −1) ✓.
2) f(4) = √4 = 2; f′(x) = 1/(2√x), f′(4) = 1/4.
y = 2 + (x − 4)/4 = x/4 + 1.
3) f(0) = e⁰ = 1; f′(x) = eˣ, f′(0) = 1.
y = 1 + 1 · (x − 0) = x + 1.
4) f(π) = sin π = 0; f′(x) = cos x, f′(π) = cos π = −1.
y = 0 − 1 · (x − π) = −x + π.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Первый график — y = x³ − 3x, второй — касательная к нему в точке с абсциссой a: y = (3a² − 3)x − 2a³. Меняйте a и следите за знаком углового коэффициента: при |a| > 1 касательная идёт вверх, при |a| < 1 — вниз, при a = ±1 она горизонтальна. При a = 1 касательная y = −2 снова пересекает график в точке x = −2: у касательной может быть несколько общих точек с графиком.

Типичные задачи на касательную

В экзаменационных задачах точку касания часто не дают — вместо неё задано условие на касательную. Ключ ко всем таким задачам один: угловой коэффициент касательной равен f′(x₀). Переводим условие на язык углового коэффициента, решаем уравнение относительно x₀, а затем по обычному алгоритму составляем уравнение касательной.

1. Горизонтальная касательная. У горизонтальной прямой угловой коэффициент равен 0, поэтому решаем уравнение f′(x₀) = 0. Такие точки станут главными в уроке «Промежутки возрастания и убывания функции. Экстремумы».

Горизонтальные касательные

В каких точках графика касательная горизонтальна? Запишите уравнения этих касательных. 1) y = x³ − 3x² + 4; 2) y = x + 1/x; 3) y = sin x.

Показать решение
1) f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 → x = 0 или x = 2.
f(0) = 4, f(2) = 8 − 12 + 4 = 0. Касательные: y = 4 и y = 0 (последняя — сама ось Ox).
2) f′(x) = 1 − 1/x² = 0 → x² = 1 → x = ±1.
f(1) = 2, f(−1) = −2. Касательные: y = 2 и y = −2.
3) f′(x) = cos x = 0 → x = π/2 + πn, n ∈ Z. В этих точках sin x = 1 или −1, значит, касательные — прямые y = 1 и y = −1.

2. Касательная, параллельная данной прямой. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому точку касания касательной, параллельной прямой y = kx + b, находят из уравнения f′(x₀) = k.

f′(x₀) = k
где:
  • kугловой коэффициент данной прямой
  • x₀абсцисса искомой точки касания

Условие параллельности: угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой. Сколько корней у уравнения, столько и касательных; если корней нет, такой касательной нет.

Параллельные касательные

1) Составьте уравнение касательной к параболе y = x² − 3x, параллельной прямой y = 5x − 1. 2) Найдите все касательные к кривой y = x³, параллельные прямой y = 12x + 7. 3) Есть ли у кривой y = eˣ касательная, параллельная прямой y = −x + 3?

Показать решение
1) k = 5. f′(x) = 2x − 3 = 5 → x₀ = 4, f(4) = 16 − 12 = 4.
y = 4 + 5(x − 4) = 5x − 16.
2) k = 12. f′(x) = 3x² = 12 → x₀ = 2 или x₀ = −2, то есть касательных две.
x₀ = 2: f(2) = 8, y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16.
x₀ = −2: f(−2) = −8, y = −8 + 12(x + 2) = 12x + 16.
3) k = −1. Уравнение f′(x) = eˣ = −1 не имеет решений, так как eˣ > 0. Все касательные этой кривой идут вверх, поэтому такой касательной нет.

3. Касательная под заданным углом. Сначала переходим от угла к угловому коэффициенту: k = tg α (tg 45° = 1, tg 135° = −1, tg 60° = √3, tg 30° = √3/3). Дальше задача сводится к предыдущей: f′(x₀) = tg α.

Касательная под заданным углом

1) Составьте уравнение касательной к параболе y = x² − 3x + 1, образующей с осью Ox угол 45°. 2) Найдите касательную к той же параболе, образующую с осью Ox угол 135°. 3) Составьте уравнение касательной к параболе y = x², образующей с осью Ox угол 60°. 4) Есть ли у кривой y = x³ + x касательная, образующая с осью Ox угол 135°?

Показать решение
1) k = tg 45° = 1. f′(x) = 2x − 3 = 1 → x₀ = 2, f(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
y = −1 + 1 · (x − 2) = x − 3.
2) k = tg 135° = −1. 2x − 3 = −1 → x₀ = 1, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
y = −1 − (x − 1) = −x.
3) k = tg 60° = √3. f′(x) = 2x = √3 → x₀ = √3/2, f(x₀) = 3/4.
y = 3/4 + √3 · (x − √3/2) = √3 · x − 3/2 + 3/4 = √3 · x − 3/4.
4) k = tg 135° = −1. f′(x) = 3x² + 1 = −1 → 3x² = −2 — решений нет. На самом деле f′(x) = 3x² + 1 ≥ 1, то есть все касательные этой кривой поднимаются под углом не меньше 45°. Такой касательной нет.

4. Перпендикулярная касательная и нормаль. Две прямые с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ (ни одна из них не вертикальна) перпендикулярны тогда и только тогда, когда k₁ · k₂ = −1. Например, прямые y = 2x и y = −x/2 перпендикулярны: 2 · (−1/2) = −1.

k₁ · k₂ = −1
где:
  • k₁угловой коэффициент первой прямой
  • k₂угловой коэффициент второй прямой

Условие перпендикулярности. Отсюда k₂ = −1/k₁: угловой коэффициент «переворачиваем и меняем знак».

Определение
Нормаль

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной в этой точке.

y = f(x₀) − (1 / f′(x₀)) · (x − x₀)y = f(x₀) − (1 / f′(x₀)) · (x − x₀)
где:
  • f′(x₀)угловой коэффициент касательной (f′(x₀) ≠ 0)
  • −1 / f′(x₀)−1 / f′(x₀)угловой коэффициент нормали

Уравнение нормали. Если f′(x₀) = 0, касательная горизонтальна, а нормаль — вертикальная прямая x = x₀.

Перпендикулярная касательная и нормаль

1) Составьте уравнение касательной к параболе y = x² + 2x, перпендикулярной прямой y = −x/4 + 3. 2) Составьте уравнение нормали к параболе y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. 3) Составьте уравнение нормали к кривой y = √x в точке с абсциссой x₀ = 4.

Показать решение
1) Угловой коэффициент данной прямой k₁ = −1/4, значит, у касательной k₂ = −1/k₁ = 4.
f′(x) = 2x + 2 = 4 → x₀ = 1, f(1) = 1 + 2 = 3.
y = 3 + 4(x − 1) = 4x − 1.
2) f(1) = 1; f′(x) = 2x, f′(1) = 2 — угловой коэффициент касательной. У нормали он равен −1/2.
y = 1 − (x − 1)/2 = −x/2 + 3/2.
3) f(4) = 2; f′(4) = 1/(2√4) = 1/4. Угловой коэффициент нормали равен −4.
y = 2 − 4(x − 4) = −4x + 18.

5. Касательная через точку вне графика. Например, точка (1; −3) не лежит на параболе y = x² (1² ≠ −3), поэтому её нельзя считать точкой касания. Обозначаем неизвестную абсциссу точки касания буквой a и действуем по алгоритму.

  1. 1
    Проверьте точку

    Проверьте, лежит ли данная точка (x₁; y₁) на графике: верно ли, что f(x₁) = y₁?

  2. 2
    Касательная в точке a

    Запишите в общем виде касательную в точке с абсциссой a: y = f(a) + f′(a)(x − a).

  3. 3
    Подставьте точку

    Касательная проходит через (x₁; y₁): y₁ = f(a) + f′(a)(x₁ − a). Это уравнение относительно a.

  4. 4
    Решите

    Решите уравнение: каждый корень даёт одну касательную. Подставьте найденные a в общее уравнение.

Касательные через точку вне графика

1) Составьте уравнения касательных к параболе y = x², проходящих через точку (1; −3). 2) Составьте уравнения касательных к параболе y = x² + 4, проходящих через начало координат.

Показать решение
1) f(1) = 1 ≠ −3, точка не лежит на параболе.
В точке с абсциссой a: f(a) = a², f′(a) = 2a; y = a² + 2a(x − a) = 2a · x − a².
Подставим (1; −3): −3 = 2a − a² → a² − 2a − 3 = 0 → a = 3 или a = −1.
a = 3: y = 6x − 9; a = −1: y = −2x − 1.
Проверка: 6 · 1 − 9 = −3 ✓, −2 · 1 − 1 = −3 ✓.
2) В точке с абсциссой a: y = a² + 4 + 2a(x − a) = 2a · x − a² + 4.
Подставим (0; 0): 0 = −a² + 4 → a = ±2.
Касательные: y = 4x и y = −4x.

6. Пересечение касательной с осями. Чтобы найти точку пересечения касательной с осью Oy, подставляем x = 0, с осью Ox — y = 0. Эти две точки вместе с началом координат образуют прямоугольный треугольник, катеты которого равны модулям координат точек пересечения.

Треугольник, отсекаемый касательной

К гиперболе y = 1/x в точке с абсциссой x₀ = 2 проведена касательная. Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

Показать решение
1) f(2) = 1/2; f′(x) = −1/x², f′(2) = −1/4.
2) y = 1/2 − (x − 2)/4 = −x/4 + 1.
3) С осью Oy: x = 0 → y = 1, точка (0; 1). С осью Ox: y = 0 → x = 4, точка (4; 0).
4) Катеты треугольника равны 4 и 1: S = ½ · 4 · 1 = 2.
Ответ: 2 кв. ед.

Физический смысл: скорость и ускорение

Тело движется по прямой, и в момент t его координата равна x(t). За время Δt координата меняется на Δx = x(t + Δt) − x(t), а Δx / Δt — средняя скорость за это время. Чем меньше Δt, тем ближе средняя скорость к мгновенной, которую показывает спидометр, а при Δt → 0 получаем Δx / Δt → x′(t). Значит, мгновенная скорость — производная координаты по времени.

v(t) = x′(t)
где:
  • x(t)координата тела в момент t (м)
  • tвремя (с)
  • v(t)мгновенная скорость (м/с)

Физический смысл производной. При v > 0 тело движется в положительном направлении оси (вперёд), при v < 0 — в противоположном (назад), а при v = 0 в этот момент оно останавливается.

Нахождение скорости

1) Координата автомобиля меняется по закону x(t) = 2t² + 3t (x — в метрах, t — в секундах). Найдите его скорость в момент t = 5 с. 2) Точка движется по закону x(t) = t³ − 12t. Найдите её скорость в моменты t = 1 с, 2 с и 3 с и опишите движение. 3) Айсель бросает мяч с земли вертикально вверх, высота мяча меняется по закону h(t) = 20t − 5t² (м). Когда мяч достигнет наивысшей точки и какова эта высота?

Показать решение
1) v(t) = x′(t) = 4t + 3, v(5) = 23 м/с.
2) v(t) = 3t² − 12.
v(1) = −9 м/с — точка движется назад;
v(2) = 0 — в этот момент точка останавливается и разворачивается;
v(3) = 15 м/с — точка движется вперёд.
3) v(t) = h′(t) = 20 − 10t. В наивысшей точке мяч на мгновение останавливается: v = 0 → t = 2 с.
h(2) = 40 − 20 = 20 м. Проверка: v(1) = 10 м/с > 0 (мяч летит вверх), v(3) = −10 м/с < 0 (мяч падает).

Скорость тоже может меняться. Скорость изменения скорости — это ускорение: a(t) = v′(t). Так как v(t) сама является производной x(t), ускорение — это производная от производной координаты. Такую производную называют второй производной.

Определение
Вторая производная

Производная от производной: f″(x) = (f′(x))′. Например, для f(x) = x³ − 5x имеем f′(x) = 3x² − 5, f″(x) = 6x.

a(t) = v′(t) = x″(t)
где:
  • a(t)ускорение (м/с²)
  • v′(t)производная скорости
  • x″(t)вторая производная координаты

Ускорение — первая производная скорости и вторая производная координаты.

Когда тело разгоняется, а когда тормозит? Это зависит не от знака v, а от сравнения знаков v и a. Если ускорение направлено так же, как скорость, модуль скорости |v| растёт — тело разгоняется; если противоположно — |v| уменьшается, тело тормозит.

Ускорение и анализ движения

1) Точка движется по закону x(t) = 2t³ − 5t. Найдите её ускорение в момент t = 1 с. 2) Найдите ускорение мяча из предыдущего примера (h(t) = 20t − 5t²). 3) При t ≥ 0 точка движется по закону x(t) = t³ − 6t² + 9t (x — в метрах, t — в секундах). Когда она останавливается, когда движется вперёд и назад, когда разгоняется и когда тормозит?

Показать решение
1) v(t) = 6t² − 5, a(t) = v′(t) = 12t, a(1) = 12 м/с².
2) v(t) = 20 − 10t, a(t) = −10 м/с². Ускорение постоянно и направлено вниз: это ускорение свободного падения (g ≈ 10 м/с²).
3) v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3); a(t) = 6t − 12.
Остановки: v = 0 → t = 1 с и t = 3 с. В эти моменты x(1) = 4 м, x(3) = 0 м.
Вперёд: 0 ≤ t < 1 и t > 3 (v > 0); назад: 1 < t < 3 (v < 0).
Ускорение a < 0 при t < 2 и a > 0 при t > 2.
Сравниваем знаки (см. таблицу ниже): точка тормозит на (0; 1) и (2; 3) и разгоняется на (1; 2) и при t > 3. В момент t = 2 с: v(2) = −3 м/с, a(2) = 0.
t, сvaДвижение
(0; 1)+−вперёд, тормозит
(1; 2)−−назад, разгоняется
(2; 3)−+назад, тормозит
(3; +∞)++вперёд, разгоняется
Характер движения x(t) = t³ − 6t² + 9t. В момент t = 1 с точка разворачивается в положении x = 4 м, а в момент t = 3 с возвращается в начальное положение (x = 0).

Другие скорости изменения

Производная работает не только в механике. Если одна величина зависит от другой, её производная — скорость изменения: она показывает, на сколько примерно меняется величина, когда аргумент увеличивается на 1. Среднее значение (например, I = q / t) верно только при равномерном изменении; при неравномерном мгновенное значение даёт производная.

ВеличинаЕё производнаяСмысл
координата x(t)x′(t) = v(t)скорость
скорость v(t)v′(t) = a(t)ускорение
заряд q(t)q′(t) = I(t)сила тока
работа A(t)A′(t) = N(t)мощность
издержки C(x)C′(x)предельные издержки
число бактерий n(t)n′(t)скорость роста
Один математический инструмент — разные науки: в каждой строке производная — скорость изменения первой величины по времени (или по объёму выпуска).
I(t) = q′(t) N(t) = A′(t)
где:
  • q(t)заряд, прошедший через поперечное сечение проводника (Кл)
  • I(t)сила тока (А)
  • A(t)совершённая работа (Дж)
  • N(t)мощность (Вт)

Сила тока — производная заряда по времени, мощность — производная работы по времени. Школьные формулы I = q / t и N = A / t верны, когда ток и мощность постоянны.

Сила тока и мощность

1) Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, меняется по закону q(t) = 3t² + 2t (q — в кулонах, t — в секундах). Найдите силу тока в момент t = 2 с. 2) Для q(t) = 2t³ найдите силу тока в моменты t = 1 с и t = 3 с. 3) Работа двигателя растёт по закону A(t) = 2t² + 50t (Дж). Найдите мощность в момент t = 5 с и сравните её со средней мощностью за первые 5 секунд.

Показать решение
1) I(t) = q′(t) = 6t + 2, I(2) = 14 А.
2) I(t) = 6t²; I(1) = 6 А, I(3) = 54 А — сила тока растёт со временем.
3) N(t) = A′(t) = 4t + 50, N(5) = 70 Вт.
Средняя мощность: A(5) / 5 = (50 + 250) / 5 = 60 Вт. Мощность всё время растёт, поэтому мгновенная мощность больше средней.
Определение
Предельные издержки

Производная функции издержек C′(x): она показывает, на сколько примерно вырастут издержки, если выпуск увеличить с x единиц ещё на одну.

C′(x) ≈ C(x + 1) − C(x)
где:
  • C(x)издержки на выпуск x единиц продукции (в манатах)
  • C′(x)предельные издержки (манатов за единицу)

Предельные издержки — примерная стоимость следующей, (x + 1)-й единицы продукции. Та же идея работает в биологии: если n(t) — число бактерий, то n′(t) — скорость роста колонии (бактерий в час).

Экономика и биология

1) В мебельном цехе в Баку изготовление x школьных парт стоит C(x) = 0,5x² + 20x + 300 манатов. Найдите предельные издержки при x = 40 и сравните их с разностью C(41) − C(40). 2) Чему равны предельные издержки того же цеха при x = 60? 3) В лаборатории число бактерий растёт по закону n(t) = 500 + 40t + 3t² (t — в часах). Найдите скорость роста в моменты t = 0 и t = 5 ч.

Показать решение
1) C′(x) = x + 20, C′(40) = 60 манатов.
Точная разность: C(41) − C(40) = 1960,5 − 1900 = 60,5 маната. Производная дала стоимость 41-й парты с ошибкой всего 0,5 маната.
2) C′(60) = 80 манатов: с ростом выпуска каждая следующая парта обходится дороже.
3) n′(t) = 40 + 6t. n′(0) = 40 бактерий в час, n′(5) = 70 бактерий в час — колония растёт всё быстрее.
Проверь себя
  1. 1.Если угловой коэффициент касательной f′(x₀) = 1, то она образует с осью Ox угол °.
  2. 2.Угловой коэффициент касательной к параболе y = x² в точке x₀ = 3 равен k = .
  3. 3.Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой с угловым коэффициентом 2, равен k = .
  4. 4.Если tg α = −1, то касательная образует с осью Ox угол α = °.
  5. 5.Тело, движущееся по закону x(t) = t² − 4t, останавливается в момент t = с.
  6. 6.Если x(t) = t³, то ускорение в момент t = 1 с равно a = м/с².

Итак, производная — это одновременно крутизна касательной и скорость изменения. Следующий урок, «Таблица производных», покажет, откуда берутся использованные здесь формулы (xⁿ)′, (√x)′, (eˣ)′ и (sin x)′. А в уроке «Промежутки возрастания и убывания функции. Экстремумы» связь между знаком производной и направлением касательной позволит прочитать весь график функции.

Главное

  • Геометрический смысл: f′(x₀) = k = tg α — угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x₀. f′ > 0 — касательная идёт вверх, f′ < 0 — вниз, f′ = 0 — горизонтальна.
  • Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Порядок: f(x₀), затем f′(x), затем f′(x₀).
  • У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, у перпендикулярных k₁ · k₂ = −1; угловой коэффициент нормали равен −1/f′(x₀).
  • Если точка касания не дана, сделайте её абсциссу неизвестной и составьте для неё уравнение по условию задачи.
  • Физический смысл: v(t) = x′(t), a(t) = v′(t) = x″(t). v = 0 — тело останавливается; v и a одного знака — разгоняется, разных знаков — тормозит.
  • Производная любой величины — скорость её изменения: I = q′(t), N = A′(t), предельные издержки C′(x).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Каков геометрический смысл числа f′(x₀)?