- Применять замену переменной и интегрирование по частям
- Интегрировать рациональные функции разложением на простейшие дроби
- Исследовать сходимость несобственных интегралов
- Вычислять с помощью интеграла объём тела вращения и работу
Таблица интегралов справляется с простыми функциями, а как быть с ∫ x eˣ dx, ∫ ln x dx или ∫ dx/(x² − 1)? Подходящей формулы в таблице нет. Универсального рецепта, как у правил дифференцирования, не существует, но небольшой набор инструментов решает большинство задач: замена переменной обращает цепное правило, интегрирование по частям — правило произведения, а разложение на простейшие дроби дробит сложную дробь на простые.
Замена переменной
- uновая переменная (внутренняя функция)
- duдифференциал новой переменной
В определённом интеграле меняйте и пределы: x = a переходит в u = g(a), x = b — в u = g(b).
а) ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx б) ∫ tg x dx в) ∫₀¹ x · e^(x²) dx
Показать решениеСкрыть решение
б) tg x = sin x / cos x. u = cos x, du = −sin x dx: ∫ (−du/u) = −ln|u| + C = −ln|cos x| + C.
в) u = x², du = 2x dx, т. е. x dx = du/2. Пределы: x = 0 ⇒ u = 0, x = 1 ⇒ u = 1.
(1/2) ∫₀¹ eᵘ du = (1/2)(e − 1) ≈ 0,859.
Интегрирование по частям
Начнём с правила произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Интегрируя обе части, получаем uv = ∫ v du + ∫ u dv. Переставив слагаемые, получаем формулу, которая заменяет один интеграл другим:
- uчасть, которую дифференцируют: du = u′ dx
- dvчасть, которую интегрируют: v = ∫ dv
Формула интегрирования по частям. Для определённого интеграла: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
а) ∫ x eˣ dx б) ∫ ln x dx в) ∫₀^π x sin x dx
Показать решениеСкрыть решение
∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
б) u = ln x (L), dv = dx ⇒ du = dx/x, v = x.
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
в) u = x, dv = sin x dx ⇒ du = dx, v = −cos x.
[−x cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = (π − 0) + [sin x]₀^π = π + 0 = π.
Простейшие дроби и тригонометрические интегралы
Рациональную функцию P(x)/Q(x), у которой степень числителя меньше степени знаменателя, можно разложить на простейшие дроби по множителям Q: линейный множитель (x − a) даёт A/(x − a); повторяющийся (x − a)² — A/(x − a) + B/(x − a)²; неразложимый квадратный трёхчлен x² + px + q — (Ax + B)/(x² + px + q). Каждая часть интегрируется по таблице: ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C.
- a, bразличные корни знаменателя (a ≠ b)
- A, Bпостоянные, которые нужно найти
- P(x)многочлен степени меньше 2
Разложение на простейшие дроби для двух различных линейных множителей; затем ∫ = A ln|x − a| + B ln|x − b| + C.
Вычислите ∫ (5x − 1)/(x² − x − 2) dx.
Показать решениеСкрыть решение
(5x − 1)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1).
x = 2: A = (5 · 2 − 1)/(2 + 1) = 9/3 = 3. x = −1: B = (5 · (−1) − 1)/(−1 − 2) = −6/(−3) = 2.
Проверка: 3(x + 1) + 2(x − 2) = 5x − 1. ✓
∫ = 3 ln|x − 2| + 2 ln|x + 1| + C.
- Чётные степени — понижайте степень: sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2. Отсюда ∫ sin² x dx = x/2 − sin 2x/4 + C и ∫₀^π sin² x dx = π/2.
- Нечётная степень — отделите один множитель и сделайте замену: ∫ sin³ x dx = ∫ (1 − cos² x) sin x dx; u = cos x ⇒ −cos x + cos³ x/3 + C.
- Произведения — превращайте в суммы: sin α · cos β = (1/2)[sin(α − β) + sin(α + β)] и аналогичные формулы.
Несобственные интегралы
- ∞бесконечный предел: сначала считаем с конечным b, затем b → ∞
- limесли предел конечен, интеграл сходится, иначе расходится
Та же идея — для функции, неограниченной у конца отрезка: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.
- pпоказатель степени; пограничный случай p = 1 расходится в обоих интегралах
Эталонные интегралы с xᵖ — ориентир для сравнения других интегралов.
а) ∫₁^∞ dx/x² б) ∫₁^∞ dx/x в) ∫₀¹ dx/√x г) ∫₀^∞ e⁻ˣ dx
Показать решениеСкрыть решение
б) lim (b→∞) [ln x]₁ᵇ = lim ln b = ∞ — расходится.
в) lim (t→0⁺) [2√x]ₜ¹ = 2 − 0 = 2 — сходится, хотя функция неограничена вблизи 0.
г) lim (b→∞) [−e⁻ˣ]₀ᵇ = lim (1 − e⁻ᵇ) = 1 — сходится.
Приложения: объём тела вращения и работа
- f(x)радиус диска в точке x
- π (f(x))² dxобъём тонкого диска толщины dx
Метод дисков: фигура под y = f(x), a ≤ x ≤ b, вращается вокруг оси x.
а) Найдите объём тела, полученного вращением вокруг оси x фигуры под кривой y = √x, 0 ≤ x ≤ 4.
б) Выведите формулу объёма шара.
Показать решениеСкрыть решение
б) Шар радиуса R получается вращением полуокружности y = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R:
V = π ∫ (R² − x²) dx (от −R до R) = π [R²x − x³/3] = π (2R³ − 2R³/3) = (4/3)πR³.
Получилась знакомая со школы формула — хорошая проверка.
- F(x)переменная сила, Н
- xкоордината вдоль движения, м
- Aработа, Дж
Работа переменной силы — интегральная версия формулы «сила × путь».
Пружина жёсткостью k = 200 Н/м подчиняется закону Гука F = kx. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её от 0 до 10 см, а затем от 10 до 20 см?
Показать решениеСкрыть решение
0 → 0,1 м: A = 200 · 0,1²/2 = 1 Дж.
0,1 → 0,2 м: A = 100 · (0,2² − 0,1²) = 100 · 0,03 = 3 Дж.
Вторые 10 см «стоят» втрое дороже первых, потому что сила растёт вместе с растяжением.
Главное
- Замена: ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du — ищите функцию вместе с её производной.
- По частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du; u выбирайте по порядку LIATE.
- Простейшие дроби: разложите знаменатель, разбейте дробь, каждая часть даёт логарифм (при большой степени числителя сначала разделите).
- Несобственный интеграл определяется как предел; ∫₁^∞ dx/xᵖ сходится только при p > 1.
- Объём тела вращения V = π ∫ f² dx; работа переменной силы равна ∫ F dx.
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.