Линейные уравнения

Корень уравнения, основные свойства уравнений, пошаговое решение уравнений вида ax + b = 0 и решение задач с помощью уравнений.

В этом уроке ты узнаешь

Находить корень уравнения и делать проверку
Применять основные свойства уравнений
Решать линейные уравнения со скобками и дробями
Составлять уравнение по условию задачи

Эльвин задумал число, умножил его на 3, прибавил 7 и получил 25. Какое число он задумал? Эту загадку можно коротко записать так: 3x + 7 = 25. Это уравнение — научившись его решать, ты за несколько шагов разгадаешь любую подобную загадку.

Уравнение и его корень

Определение

Уравнение

Равенство, содержащее неизвестное число (обычно его обозначают буквой x). Значение неизвестного, при котором равенство становится верным, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Представь уравнение как весы в равновесии. Если на обе чаши положить одинаковый груз или с обеих снять одинаковый груз, равновесие сохранится. На этом основаны свойства уравнений:

К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или вычесть его из обеих частей. Поэтому слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

ax + b = 0 ⇒ x = −b/a (a ≠ 0)ax + b = 0 ⇒ x = −b/a (a ≠ 0)

где:

xнеизвестное
aкоэффициент при x
bсвободный член

Такое уравнение называют линейным: неизвестное входит в него только в первой степени.

Загадка Эльвина

Решите уравнение 3x + 7 = 25.

Показать решение

Переносим 7 в правую часть с противоположным знаком: 3x = 25 − 7.
3x = 18.
Делим обе части на 3: x = 6.
Проверка: 3 · 6 + 7 = 18 + 7 = 25 — верно.

Алгоритм решения

1
Раскрой скобки, избавься от дробей
Если есть дроби, умножь обе части на НОК знаменателей.
2
Сгруппируй слагаемые
Слагаемые с x перенеси влево, числа — вправо; переносимое слагаемое меняет знак.
3
Приведи подобные слагаемые
Уравнение принимает вид ax = c.
4
Раздели на коэффициент и проверь
x = c/a. Подставь найденное число в исходное уравнение и проверь.

Уравнение со скобками

Решите уравнение 5(x − 2) = 3x + 4.

Показать решение

Раскрываем скобки: 5x − 10 = 3x + 4.
Слагаемые с x — влево, числа — вправо: 5x − 3x = 4 + 10.
2x = 14, x = 7.
Проверка: 5(7 − 2) = 25 и 3 · 7 + 4 = 25.

Уравнение с дробями

Решите уравнение x/2 + x/3 = 10.

Показать решение

НОК(2; 3) = 6. Умножаем обе части на 6: 3x + 2x = 60.
5x = 60, x = 12.
Проверка: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.

Решаем задачи с помощью уравнений

Книги

У Айсель и Лейлы вместе 34 книги. У Лейлы на 6 книг больше, чем у Айсель. Сколько книг у каждой девочки?

Показать решение

Пусть у Айсель x книг. Тогда у Лейлы x + 6 книг.
Уравнение: x + (x + 6) = 34.
2x + 6 = 34, 2x = 28, x = 14.
У Айсель 14 книг, у Лейлы 14 + 6 = 20. Проверка: 14 + 20 = 34.

Главное

Корень уравнения — число, при котором уравнение превращается в верное равенство.
При переносе в другую часть уравнения слагаемое меняет знак.
Обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
Уравнение ax + b = 0 (a ≠ 0) имеет единственный корень x = −b/a.
Всегда делай проверку по исходному уравнению.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Какое число является корнем уравнения 2x − 3 = 7?