Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый10–11 классы25 мин45 / 82

Логарифм и его свойства. Логарифмическая функция

Определение логарифма и основное логарифмическое тождество, десятичный (lg) и натуральный (ln) логарифмы, логарифм произведения, частного и степени, переход к новому основанию, функция y = logₐx, сравнение логарифмов и применения: pH, децибелы, шкала землетрясений, время удвоения.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Вычислять логарифмы по определению и применять основное логарифмическое тождество
  • Упрощать выражения с помощью логарифма произведения, частного, степени и формулы перехода к новому основанию
  • Знать график и свойства функции y = logₐx, сравнивать логарифмы
  • Пользоваться логарифмическими шкалами (pH, децибелы, магнитуда) и формулой времени удвоения

На прошлом уроке мы застряли на уравнении 2ˣ = 5: 2² = 4 — мало, 2³ = 8 — много, значит, x лежит между 2 и 3, но записать его «красивым» числом нельзя. Айсель задаёт похожий вопрос: за сколько лет её вклад под 10% годовых удвоится? В уравнении 1,1ⁿ = 2 неизвестное опять стоит в показателе. Для таких чисел математики придумали новое название и знак — логарифм: x = log₂5 ≈ 2,32 и n = log₁,₁2 ≈ 7,27.

На этом уроке мы изучим логарифм, начиная с определения: как его вычислять, какими свойствами он обладает, как выглядит график y = logₐx и где логарифмы нужны в жизни. Логарифмические уравнения и неравенства мы будем решать на следующем уроке — «Логарифмические уравнения и неравенства».

Определение логарифма и основное логарифмическое тождество

Определение
Логарифм

Логарифм положительного числа b по основанию a (logₐb) — это такое число c, что aᶜ = b; здесь a > 0, a ≠ 1. Иначе говоря, логарифм отвечает на вопрос: «в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b?» Например, log₂8 = 3, так как 2³ = 8.

logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
где:
  • aоснование логарифма: a > 0, a ≠ 1
  • bчисло под знаком логарифма: b > 0
  • cзначение логарифма — любое действительное число (может быть и отрицательным)

Логарифм — это показатель степени. Одно и то же равенство читается двумя способами: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Частные случаи: logₐ1 = 0, так как a⁰ = 1; logₐa = 1, так как a¹ = a.

Причина условий — в показательной функции. Так как aᶜ всегда положительно, у отрицательных чисел и нуля логарифма нет: log₂(−8) и log₂0 не имеют смысла. При a = 1 имеем 1ᶜ = 1, и, например, для log₁5 никакого c не найти. Главное следствие: выражение под знаком логарифма всегда должно быть положительным — именно поэтому на следующем уроке мы будем находить ОДЗ.

Вычисление по определению

Вычислите:
1) log₂32
2) log₃(1/9)
3) log₅√5
4) log₁₀0,001
5) log₀,₅8
6) log₄8

Показать решение
1) 2⁵ = 32 ⇒ log₂32 = 5.
2) 3⁻² = 1/9 ⇒ log₃(1/9) = −2.
3) √5 = 5^(1/2) ⇒ log₅√5 = 1/2.
4) 10⁻³ = 0,001 ⇒ log₁₀0,001 = −3.
5) 0,5⁻³ = 2³ = 8 ⇒ log₀,₅8 = −3.
6) 4 = 2², 8 = 2³: (2²)ᶜ = 2³ ⇒ 2c = 3 ⇒ log₄8 = 3/2.
Определение
Десятичный и натуральный логарифмы

Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg b: lg b = log₁₀b. Логарифм по основанию e ≈ 2,718 — натуральный: ln b = logₑb. Клавиши log и ln на калькуляторе вычисляют именно эти два логарифма: lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2, ln e = 1, ln 1 = 0.

a^(logₐb) = b logₐ(aᶜ) = c
где:
  • aоснование: a > 0, a ≠ 1
  • bположительное число
  • cлюбое действительное число

Основное логарифмическое тождество: если возвести a в степень, равную логарифму b, получится b. Возведение в степень и логарифмирование «отменяют» друг друга, как сложение и вычитание.

Применение основного тождества

Вычислите:
1) 2^(log₂7)
2) 3^(2 + log₃5)
3) 10^(1 + lg 3)
4) 25^(log₅3)
5) ln e³ и e^(ln 5)

Показать решение
1) Прямо по тождеству: 7.
2) Разбиваем степень на два множителя: 3² · 3^(log₃5) = 9 · 5 = 45.
3) 10¹ · 10^(lg 3) = 10 · 3 = 30.
4) 25 = 5²: 25^(log₅3) = (5^(log₅3))² = 3² = 9.
5) ln e³ = 3, e^(ln 5) = 5.

Свойства логарифмов

Логарифм — это показатель степени, поэтому его свойства следуют из свойств степеней. Пусть x = aᵐ и y = aⁿ, то есть m = logₐx, n = logₐy. Тогда xy = aᵐ⁺ⁿ, x/y = aᵐ⁻ⁿ, xᵖ = a^(pm). Прочитав эти равенства по определению, получаем три главных свойства: умножение превращается в сложение логарифмов, деление — в вычитание, возведение в степень — в умножение.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy
где:
  • x, yположительные числа

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Читается и справа налево: сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения.

Логарифм произведения

1) log₆4 + log₆9
2) lg 25 + lg 4
3) log₃18 + log₃1,5
4) Выразите log₂(8x) через log₂x (x > 0).

Показать решение
1) log₆(4 · 9) = log₆36 = 2.
2) lg(25 · 4) = lg 100 = 2.
3) log₃(18 · 1,5) = log₃27 = 3.
4) log₂8 + log₂x = 3 + log₂x.
logₐ(x / y) = logₐx − logₐylogₐ(x / y) = logₐx − logₐy
где:
  • x, yположительные числа

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя. Частный случай: logₐ(1/y) = −logₐy.

Логарифм частного

1) log₃54 − log₃2
2) lg 5000 − lg 5
3) log₂24 − log₂3
4) log₅(1/125)

Показать решение
1) log₃(54 : 2) = log₃27 = 3.
2) lg(5000 : 5) = lg 1000 = 3.
3) log₂(24 : 3) = log₂8 = 3.
4) log₅(1/125) = −log₅125 = −3.
logₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐxlogₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐx
где:
  • xположительное число
  • pлюбое действительное число
  • kпоказатель степени основания, k ≠ 0

Показатель степени аргумента выносится перед логарифмом множителем, а показатель основания — обратным числом: log₈x = log_(2³) x = ⅓ · log₂x.

Логарифм степени

1) log₂(1/32)
2) log₃√27
3) 2 log₅10 − log₅4
4) Выразите log₉(x²) через log₃x (x > 0).

Показать решение
1) 1/32 = 2⁻⁵ ⇒ −5 · log₂2 = −5.
2) √27 = 3^(3/2) ⇒ (3/2) · log₃3 = 3/2.
3) 2 log₅10 = log₅100, затем частное: log₅(100 : 4) = log₅25 = 2.
4) 9 = 3²: log₉(x²) = ½ · log₃(x²) = ½ · 2 log₃x = log₃x.

Переход к новому основанию

Пусть c = logₐb, то есть aᶜ = b. Прологарифмируем обе части по основанию k: c · logₖa = logₖb, откуда c = logₖb / logₖa. Эта формула позволяет вычислить любой логарифм через lg или ln на калькуляторе, а логарифмы с разными основаниями привести к одному.

logₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐxlogₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐx
где:
  • kновое основание: k > 0, k ≠ 1 (чаще всего 10 или e)
  • xположительное число; во второй формуле ещё и x ≠ 1

Формула перехода к новому основанию и два её следствия. На калькуляторе: logₐx = lg x / lg a = ln x / ln a.

Переход к новому основанию

1) log₄8
2) log₂5 (на калькуляторе)
3) log₂3 · log₃4
4) log₈2
5) Известно, что log₂3 = a. Выразите log₆12 через a.

Показать решение
1) Переходим к основанию 2: log₂8 / log₂4 = 3/2.
2) lg 5 / lg 2 ≈ 0,69897 / 0,30103 ≈ 2,32. Проверка: 2² = 4 < 5 < 8 = 2³.
3) «Цепочка»: log₂3 · log₃4 = log₂4 = 2.
4) 1 / log₂8 = 1/3.
5) log₆12 = log₂12 / log₂6 = (log₂4 + log₂3) / (log₂2 + log₂3) = (2 + a) / (1 + a).
  1. 1
    Приведи к одному основанию

    Если основания разные, с помощью формулы перехода приведи все логарифмы к одному основанию (чаще всего 2, 3, 5 или 10).

  2. 2
    Внеси множители под логарифм

    Число перед логарифмом внеси под знак логарифма как показатель: 2 log₅10 = log₅100.

  3. 3
    Объедини

    Сумму собери в логарифм произведения, разность — в логарифм частного.

  4. 4
    Вычисли и проверь

    Вычисли полученный логарифм по определению или с помощью основного тождества, затем проверь ответ оценкой.

Выражения экзаменационного типа

Вычислите:
1) (lg 8 + lg 18) / (2 lg 2 + lg 3)
2) log₃5 · log₂₅27
3) 3^(log₉16)

Показать решение
1) Числитель: lg(8 · 18) = lg 144. Знаменатель: lg 4 + lg 3 = lg 12. Так как 144 = 12², lg 144 / lg 12 = 2 lg 12 / lg 12 = 2.
2) log₂₅27 = log_(5²)(3³) = (3/2) · log₅3. Так как log₃5 · log₅3 = 1, произведение равно 3/2.
3) log₉16 = log_(3²)(4²) = log₃4 ⇒ 3^(log₃4) = 4.
СвойствоПример
logₐ1 = 0, logₐa = 1log₇1 = 0, log₇7 = 1
a^(logₐb) = b2^(log₂7) = 7
logₐ(xy) = logₐx + logₐylog₆4 + log₆9 = log₆36 = 2
logₐ(x/y) = logₐx − logₐylog₃54 − log₃2 = log₃27 = 3
logₐ(xᵖ) = p · logₐxlog₂(1/32) = log₂2⁻⁵ = −5
logₐx = logₖx / logₖalog₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2
logₐx = 1 / logₓalog₈2 = 1 / log₂8 = 1/3
Все основные свойства в одной таблице. Они верны только в области определения: аргументы положительны, основания положительны и не равны 1.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.log₂32 =
  2. 2.lg 0,01 =
  3. 3.log₃(1/27) =
  4. 4.log₄2 =
  5. 5.5^(log₅7) =
  6. 6.log₆2 + log₆3 =

Логарифмическая функция y = logₐx

Функция y = aˣ принимает каждое положительное значение только один раз, поэтому у неё есть обратная функция: выражаем x через y, x = logₐy, и меняем буквы местами: y = logₐx. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, поэтому свойства логарифмической функции — зеркальное отражение свойств показательной: x и y меняются ролями.

y = logₐx (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
где:
  • aоснование
  • xаргумент — только положительные числа

Функция, обратная к y = aˣ. Область определения — (0; +∞), множество значений — все действительные числа.

  • График проходит через точки (1; 0) и (a; 1), так как logₐ1 = 0, logₐa = 1.
  • При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
  • Ось Oy (x = 0) — вертикальная асимптота: когда x приближается к нулю, график уходит бесконечно вниз (a > 1) или вверх (0 < a < 1).
  • Знак: если a и x лежат по одну сторону от 1, то logₐx > 0; если по разные — logₐx < 0.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Графики y = aˣ и y = logₐx (здесь записан как ln x / ln a) симметричны относительно прямой y = x. Сделай a меньше 1 — обе функции станут убывающими. При a = 1 логарифм теряет смысл.
a > 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ 0 < x₁ < x₂; 0 < a < 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ x₁ > x₂ > 0
где:
  • x₁, x₂сравниваемые положительные аргументы

Сравнение логарифмов. Если основания разные, сравни каждый логарифм с «опорным» числом, например 0 или 1: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

Сравнение логарифмов и область определения

1) log₂5 и log₂7
2) log₀,₃5 и log₀,₃7
3) log₂3 и log₃2
4) log₃10 и 2
5) Определите знак числа log₀,₅3.
6) Найдите область определения функции y = lg(4 − x²).

Показать решение
1) Основание 2 > 1, функция возрастает, 5 < 7 ⇒ log₂5 < log₂7.
2) Основание 0,3 < 1, функция убывает, 5 < 7 ⇒ log₀,₃5 > log₀,₃7.
3) Основания разные, сравниваем с 1: log₂3 > log₂2 = 1, log₃2 < log₃3 = 1 ⇒ log₂3 > log₃2.
4) 2 = log₃9 и 10 > 9 ⇒ log₃10 > 2.
5) Основание 0,5 < 1 и аргумент 3 > 1 лежат по разные стороны от 1 ⇒ log₀,₅3 < 0.
6) 4 − x² > 0 ⇒ x² < 4 ⇒ −2 < x < 2.

Логарифмы в жизни

Логарифмическая шкала описывает величину, меняющуюся в огромном диапазоне, удобными числами: разница в 1 единицу на шкале означает изменение величины в 10 раз (на шкале децибел это 10 дБ). Такие шкалы используют в химии, акустике и сейсмологии.

pH = −lg[H⁺] L = 10 · lg(I / I₀)pH = −lg[H⁺] L = 10 · lg(I / I₀)
где:
  • [H⁺]концентрация ионов водорода (моль/л)
  • Lуровень звука в децибелах (дБ)
  • I, I₀интенсивность звука и порог слышимости

В чистой воде [H⁺] = 10⁻⁷ моль/л, значит, pH = 7; pH < 7 — кислая среда, pH > 7 — щелочная. Магнитуда землетрясения — тоже десятичный логарифм: рост магнитуды на 1 означает, что амплитуда колебаний на сейсмограмме больше в 10 раз, а выделившаяся энергия — примерно в 32 раза.

pH, децибелы и магнитуда

1) В растворе [H⁺] = 10⁻³ моль/л. Чему равен pH? Среда кислая или щелочная?
2) Найдите pH при [H⁺] = 2 · 10⁻⁵ моль/л (lg 2 ≈ 0,301).
3) Во сколько раз [H⁺] в растворе с pH = 4 больше, чем в растворе с pH = 6?
4) Интенсивность звука в 10⁶ раз больше порога слышимости. Каков уровень звука? Каким он станет, если интенсивность вырастет ещё в 100 раз?
5) Во сколько раз амплитуда землетрясения магнитудой 7 больше, чем у землетрясения магнитудой 5?

Показать решение
1) pH = −lg 10⁻³ = 3 < 7 — среда кислая.
2) pH = −lg(2 · 10⁻⁵) = −(lg 2 − 5) = 5 − 0,301 ≈ 4,7.
3) [H⁺] = 10⁻⁴ и 10⁻⁶: 10⁻⁴ : 10⁻⁶ = в 100 раз.
4) L = 10 · lg 10⁶ = 60 дБ; при росте интенсивности ещё в 100 раз 10 · lg 10⁸ = 80 дБ (+20 дБ).
5) Разница — 2 единицы ⇒ 10² = в 100 раз.

Вернёмся к вопросу Айсель: 1,1ⁿ = 2. Прологарифмировав обе части по основанию 10 и применив свойство степени, получаем n · lg 1,1 = lg 2: неизвестное «спускается» из показателя, и остаётся обычное линейное уравнение. Логарифмирование обеих частей станет одним из главных инструментов решения уравнений на следующем уроке.

(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72 / p(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72 / p
где:
  • pпроцент роста за период
  • nчисло периодов, нужное для удвоения

Время удвоения. Приближённое правило 72 (n ≈ 72/p) хорошо работает при небольших процентах и позволяет считать в уме.

Время удвоения

1) За сколько лет удвоится вклад Айсель под 10% годовых?
2) А под 8% годовых? Проверьте по правилу 72.
3) Число бактерий каждый час увеличивается на 50%. Через сколько часов оно вырастет в 10 раз?

Показать решение
1) n = lg 2 / lg 1,1 ≈ 0,30103 / 0,04139 ≈ 7,27: к концу 8-го года сумма более чем удвоится. Правило 72: 72 : 10 = 7,2.
2) n = lg 2 / lg 1,08 ≈ 9,0 года; 72 : 8 = 9 — совпадает.
3) 1,5ᵗ = 10 ⇒ t = lg 10 / lg 1,5 = 1 / lg 1,5 ≈ 1 / 0,176 ≈ 5,7 ч.

Главное

  • logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); a^(logₐb) = b, logₐ1 = 0, logₐa = 1.
  • lg b = log₁₀b — десятичный, ln b = logₑb — натуральный логарифм.
  • logₐ(xy) = logₐx + logₐy, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, logₐ(xᵖ) = p · logₐx; формулы для логарифма суммы нет.
  • Переход к новому основанию: logₐx = logₖx / logₖa = lg x / lg a; logₐx = 1 / logₓa.
  • y = logₐx — функция, обратная к y = aˣ: область определения (0; +∞), график проходит через (1; 0), при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
  • Логарифмические шкалы: pH = −lg[H⁺], L = 10 · lg(I/I₀); время удвоения n = lg 2 / lg(1 + p/100) ≈ 72/p.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какое из этих выражений имеет смысл?