Предел последовательности и функции

В этом уроке ты узнаешь

Находить пределы последовательностей: делить на старшую степень n, умножать на сопряжённое выражение и применять (1 + k/n)ⁿ → eᵏ
Вычислять пределы функции в точке, односторонние пределы и пределы на бесконечности, в том числе предел рациональной функции при x → ∞ по степеням (и с параметром)
Раскрывать неопределённость 0/0 разложением на множители, умножением на сопряжённое и с помощью замечательных пределов, в том числе тригонометрические пределы в точках вида π/4
Проверять непрерывность функции в точке и находить параметр из условия непрерывности

Мурад стоит в 1 метре от двери и каждым шагом проходит половину оставшегося расстояния. После первого шага он прошёл 1/2 м, после второго — 3/4 м, после третьего — 7/8 м, а после n шагов — 1 − 1/2ⁿ метра. Эти числа — 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; … — никогда не равны 1, но подходят к 1 сколь угодно близко. Математики говорят коротко: предел этой последовательности равен 1. Предел — фундамент математического анализа: в следующих уроках и производную, и интеграл мы построим именно через предел. На II этапе вступительного экзамена ГЭЦ (DİM) эта тема называется «Предел функции»; в 2026 году и в I, и во II группе было кодируемое задание на предел — задание, ответом на которое служит одно число.

Предел числовой последовательности

Из урока «Числовые последовательности и арифметическая прогрессия» мы знаем, что последовательность — это занумерованный ряд чисел: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Теперь нас интересуют не отдельные члены, а то, куда идут члены при росте n. Например, члены последовательности aₙ = 1/n равны 1; 0,5; 0,33…; 0,25; …; 0,01 (n = 100); 0,001 (n = 1000) и приближаются к нулю. А последовательность aₙ = (−1)ⁿ «качается» между −1 и 1 и не приближается ни к какому числу.

Определение

Предел последовательности

Число A называется пределом последовательности (aₙ), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такой номер N, что при всех n > N выполняется |aₙ − A| < ε. Проще говоря: начиная с некоторого номера, все члены попадают в любую узкую окрестность числа A. Запись: lim (n→∞) aₙ = A. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела — расходящейся.

Определение в действии

1) Покажи, что предел последовательности aₙ = (2n + 1)/n равен 2, и найди N для ε = 0,01.
2) Имеют ли пределы последовательности aₙ = (−1)ⁿ и bₙ = n²?

Показать решение

1) aₙ = 2 + 1/n, поэтому |aₙ − 2| = 1/n.
1/n < 0,01 ⇔ n > 100. Значит, N = 100: начиная со 101-го члена, все члены лежат в интервале (1,99; 2,01). Каким бы малым ни было ε, можно взять N = 1/ε, то есть lim (n→∞) aₙ = 2.
2) (−1)ⁿ: члены −1, 1, −1, 1, … Они не остаются ни около 1, ни около −1 — предела нет, последовательность расходится.
n²: члены 1, 4, 9, 16, … неограниченно растут. Конечного предела нет; пишут lim (n→∞) n² = ∞, но ∞ — не число, и последовательность всё равно расходящаяся.

lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)

где:

cпостоянное число
kположительный показатель
qчисло с |q| < 1 (как знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Основные пределы: пределы сложных выражений всегда сводят к этим простым.

lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)

где:

A, Blim aₙ = A и lim bₙ = B — конечные пределы

Правила действий с пределами применимы, только если оба предела конечны (а для частного ещё и B ≠ 0).

В последовательности, заданной дробью, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности — это неопределённость ∞/∞, и правила напрямую не применить. Основной приём: разделить числитель и знаменатель на старшую степень n в знаменателе. Тогда слагаемые вида 1/n и 5/n² стремятся к нулю, и остаются только коэффициенты при старших степенях.

Последовательности в виде дробей

Найди предел:
1) aₙ = (3n² − n)/(2n² + 5);
2) aₙ = (4n + 7)/(n² + 1);
3) aₙ = (5 · 3ⁿ + 2ⁿ)/(3ⁿ⁺¹ − 4);
4) aₙ = √(n² + 6n) − n.

Показать решение

1) Делим числитель и знаменатель на n²: aₙ = (3 − 1/n)/(2 + 5/n²). При n → ∞ 1/n → 0 и 5/n² → 0, поэтому предел равен 3/2 = 1,5.
2) Снова делим на n²: (4/n + 7/n²)/(1 + 1/n²) → 0/1 = 0. Степень числителя меньше степени знаменателя — предел равен 0.
3) Здесь «самое сильное» слагаемое — 3ⁿ. Делим числитель и знаменатель на 3ⁿ: (5 + (2/3)ⁿ)/(3 − 4/3ⁿ). (2/3)ⁿ → 0 (|q| < 1) и 4/3ⁿ → 0, значит, предел равен 5/3.
4) Это неопределённость ∞ − ∞. Умножаем и делим на сопряжённое выражение: (n² + 6n − n²)/(√(n² + 6n) + n) = 6n/(√(n² + 6n) + n). Делим числитель и знаменатель на n: 6/(√(1 + 6/n) + 1) → 6/(1 + 1) = 3.

Монотонные последовательности и число e

Определение

Монотонная и ограниченная последовательность

Последовательность (aₙ) возрастает, если aₙ₊₁ > aₙ при любом n, и убывает, если aₙ₊₁ < aₙ; возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Последовательность ограничена, если существует число M, такое что |aₙ| ≤ M при всех n; если выполняется только aₙ ≤ M, она ограничена сверху.

Теорема Вейерштрасса: монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Причина наглядна: возрастающая последовательность с каждым шагом поднимается, но не может пробить «потолок» M, поэтому её члены сгущаются около некоторого числа, не большего M. Важны оба условия: (−1)ⁿ ограничена, но не монотонна; n² монотонна, но не ограничена — ни у одной из них предела нет.

Монотонность и ограниченность

1) Покажи, что последовательность aₙ = n/(n + 1) возрастает и ограничена, и найди её предел.
2) Ответь на те же вопросы для bₙ = 2 + 5/n.

Показать решение

1) Рассмотрим разность: aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 — последовательность возрастает.
Так как n < n + 1, то 0 < aₙ < 1 — последовательность ограничена. По теореме предел существует: разделив на n, получаем aₙ = 1/(1 + 1/n) → 1.
2) 5/(n + 1) < 5/n, поэтому bₙ₊₁ < bₙ — последовательность убывает; 2 < bₙ ≤ 7 — ограничена. Предел: 2 + 0 = 2. Члены 7; 4,5; 3,67; … спускаются к 2 сверху.

Теперь рассмотрим самую знаменитую последовательность: aₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Здесь скобка стремится к 1, а показатель — к бесконечности. Мысль «любая степень единицы равна 1» здесь ошибочна: основание не равно 1, оно чуть больше, а показатель растёт. Вычислим:

n	1	2	5	10	100	1000	10⁶
(1 + 1/n)ⁿ	2	2,25	2,48832	2,59374	2,70481	2,71692	2,71828

Члены возрастают, но не превосходят 3 (это можно доказать).

lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828

где:

eиррациональное число, основание натурального логарифма (ln x = logₑ x) и функции eˣ

Второй замечательный предел: последовательность (1 + 1/n)ⁿ возрастает и ограничена, поэтому имеет предел — число e.

lim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏlim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏ

где:

kпостоянное число (может быть отрицательным)

Следствие: подставив n = k · m, получаем (1 + 1/m)^(km) = ((1 + 1/m)ᵐ)ᵏ → eᵏ.

Пределы с числом e

Найди предел:
1) lim (n→∞) (1 + 1/n)³ⁿ;
2) lim (n→∞) (1 + 2/n)ⁿ;
3) lim (n→∞) ((n − 1)/n)ⁿ;
4) lim (n→∞) (1 + 1/(2n))ⁿ.

Показать решение

1) (1 + 1/n)³ⁿ = ((1 + 1/n)ⁿ)³ → e³ ≈ 20,09.
2) k = 2: (1 + 2/n)ⁿ → e² ≈ 7,39.
3) (n − 1)/n = 1 − 1/n, то есть k = −1: (1 − 1/n)ⁿ → e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368.
4) 1/(2n) = (1/2)/n, то есть k = 1/2: предел равен e^(1/2) = √e ≈ 1,65.

Предел функции в точке и на бесконечности

Теперь аргумент — не номер, а непрерывная переменная x. Функция f(x) = (x² − 1)/(x − 1) не определена при x = 1 (знаменатель равен нулю). Но посмотрим на её значения вблизи 1:

x	0,9	0,99	1,01	1,1
f(x)	1,9	1,99	2,01	2,1

При x = 1 функция не определена, но значения приближаются к 2: при x ≠ 1 f(x) = x + 1.

Определение

Предел функции в точке

Если при стремлении x к a (x ≠ a) значения f(x) сколь угодно близко подходят к числу A, то A называется пределом функции f в точке a: lim (x→a) f(x) = A. Предел зависит от значений функции вблизи точки a, а не от значения в самой точке. Если x стремится к a только слева (x < a), получаем левый предел, только справа (x > a) — правый предел.

lim (x→a) f(x) = A ⇔ lim (x→a−0) f(x) = lim (x→a+0) f(x) = A

где:

lim (x→a−0)левый предел (x < a)
lim (x→a+0)правый предел (x > a)

Предел существует, только если оба односторонних предела существуют и равны.

Односторонние пределы

1) f(x) = x + 1 при x < 2; f(x) = 5 − x при x ≥ 2. Существует ли lim (x→2) f(x)?
2) Существует ли предел функции g(x) = |x|/x в точке x = 0?

Показать решение

1) Левый предел (x < 2, первая формула): x + 1 → 2 + 1 = 3. Правый предел (x > 2, вторая формула): 5 − x → 5 − 2 = 3. Односторонние пределы равны, значит, lim (x→2) f(x) = 3.
2) При x > 0 |x| = x и g(x) = 1; при x < 0 |x| = −x и g(x) = −1. Правый предел равен 1, левый −1. Они различны — предела нет (на графике «скачок»).

Многочлены, корни, eˣ, ln x, sin x, cos x и составленные из них дроби непрерывны в каждой точке своей области определения (уточним это в последнем разделе). В такой точке предел равен значению функции: достаточно подставить x = a. Экзаменационные пределы «трудны» именно потому, что подстановка даёт 0/0 или ∞/∞.

Подстановкой

1) lim (x→2) (x³ − 3x + 1);
2) lim (x→π/3) (2cos x + tg²x);
3) lim (x→1) (x + 3)/(x² + 1).

Показать решение

1) 2³ − 3 · 2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
2) cos(π/3) = 1/2, tg(π/3) = √3: 2 · 1/2 + (√3)² = 1 + 3 = 4.
3) (1 + 3)/(1 + 1) = 4/2 = 2. Знаменатель не равен нулю, поэтому достаточно подстановки.

Предел на бесконечности. Запись lim (x→∞) f(x) = A означает, что при неограниченном росте |x| значения f(x) приближаются к A. Основной факт тот же, что и для последовательностей: lim (x→∞) c/xᵏ = 0 (k > 0). В рациональной функции делим числитель и знаменатель на старшую степень x в знаменателе; в итоге «выживают» только старшие члены.

lim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, если m = klim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, если m = k

где:

m, kстепени числителя и знаменателя
aₘ, bₖстаршие коэффициенты (при старших степенях, ≠ 0)

Предел рациональной функции при x → ∞: 0 при m < k, aₘ/bₖ при m = k, конечного предела нет (∞) при m > k.

Сравниваем степени

Найди предел при x → ∞:
1) (6x³ − 2x + 1)/(3x³ + x²);
2) (5x² + 4)/(x³ − 2);
3) (x³ + 1)/(4x² − x);
4) (2x − 1)²/(x² + 5);
5) √(x² + 8x) − x.

Показать решение

1) m = k = 3: предел 6/3 = 2.
2) m = 2 < k = 3: предел 0.
3) m = 3 > k = 2: конечного предела нет, выражение стремится к бесконечности.
4) Внимание: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1, старший коэффициент 4, а не 2. m = k = 2: предел 4/1 = 4.
5) ∞ − ∞ (x > 0). С сопряжённым выражением: (x² + 8x − x²)/(√(x² + 8x) + x) = 8x/(√(x² + 8x) + x). Делим на x: 8/(√(1 + 8/x) + 1) → 8/2 = 4.

В стиле ГЭЦ (DİM): кодируемое задание (параметр)

При каком значении a верно равенство lim (x→∞) ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3) = 3?

Показать решение

1) Степень знаменателя равна 2. Если бы в числителе осталось слагаемое с x³, степень числителя была бы 3 > 2 и конечного предела не было бы. Значит, a² − 4 = 0, то есть a = 2 или a = −2.
2) Тогда степень числителя равна 2, и предел равен отношению старших коэффициентов: (a + 1)/1 = a + 1.
3) a + 1 = 3 ⇒ a = 2. Проверка: при a = −2 предел равен −2 + 1 = −1 ≠ 3, это значение не подходит.
Ответ: 2.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Первый график — функция ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3), второй — прямая y = 3. При a = 2 график с обеих сторон прижимается к прямой y = 3. При a = −2 он приближается к прямой y = −1, а при остальных a график «убегает» вверх или вниз — конечного предела нет.

В стиле ГЭЦ (DİM): закрытое задание

Найдите a, если lim (x→∞) (ax² − 3x + 1)/(4x² + x) = −2.
A) −2 B) −8 C) 8 D) −1/2 E) 2

Показать решение

Степени числителя и знаменателя равны (2), поэтому предел равен отношению старших коэффициентов: a/4 = −2 ⇒ a = −8.
Ответ: B. (Вариант −1/2 — для тех, кто делит −2 на 4, а 8 — для тех, кто теряет знак.)

Неопределённость 0/0 и замечательные пределы

Если подстановка x = a даёт 0/0, это не ответ, а неопределённость: при x → 0 x/x → 1, x²/x → 0, 5x/x → 5 — все они имеют вид «0/0», а пределы разные. Значит, выражение нужно преобразовать. Ключевая идея: в пределе x ≠ a, поэтому общий множитель (x − a) числителя и знаменателя можно сократить.

1
1. Подставь
Подставь x = a. Получилось число — это ответ. Получилось c/0 (c ≠ 0) — конечного предела нет. Получилось 0/0 — переходи к шагу 2.
2
2. Выдели множитель (x − a)
Разложи многочлены на множители (a — их корень). Если есть корень, умножь числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. В тригонометрии используй тождества.
3
3. Сократи и подставь снова
Сократи на (x − a) (можно, так как x ≠ a) и подставь x = a в упрощённое выражение.

Разложение на множители

1) lim (x→−2) (x² + 5x + 6)/(x² − 4);
2) lim (x→1) (x³ − 1)/(x² − 1);
3) lim (x→3) (2x² − 5x − 3)/(x² − 9).

Показать решение

1) x = −2: (4 − 10 + 6)/(4 − 4) = 0/0.
(x + 2)(x + 3)/((x + 2)(x − 2)) = (x + 3)/(x − 2) → 1/(−4) = −0,25.
2) 0/0. Разность кубов: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1); x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
(x² + x + 1)/(x + 1) → 3/2 = 1,5.
3) 0/0. Корни квадратного трёхчлена 2x² − 5x − 3 — это 3 и −1/2, поэтому 2x² − 5x − 3 = (x − 3)(2x + 1).
(2x + 1)/(x + 3) → 7/6.

Сопряжённое выражение

1) lim (x→4) (√x − 2)/(x − 4);
2) lim (x→0) (√(9 + x) − 3)/x;
3) lim (x→5) (x − 5)/(√(x + 4) − 3);
4) Кодируемое задание: вычислите lim (x→1) (√(x + 3) − 2)/(x² − 1).

Показать решение

1) x − 4 = (√x − 2)(√x + 2) (разность квадратов), поэтому выражение равно 1/(√x + 2) → 1/(2 + 2) = 1/4.
2) Умножаем числитель и знаменатель на √(9 + x) + 3: (9 + x − 9)/(x(√(9 + x) + 3)) = 1/(√(9 + x) + 3) → 1/6.
3) Корень в знаменателе: (x − 5)(√(x + 4) + 3)/(x + 4 − 9) = √(x + 4) + 3 → 3 + 3 = 6.
4) 0/0. Умножаем и делим на √(x + 3) + 2: (x + 3 − 4)/((x² − 1)(√(x + 3) + 2)) = (x − 1)/((x − 1)(x + 1)(√(x + 3) + 2)) = 1/((x + 1)(√(x + 3) + 2)) → 1/(2 · 4) = 1/8.
Ответ: 0,125.

Перейдём к тригонометрической неопределённости 0/0. Если угол измеряется в радианах, то при малых x sin x почти равен x: на единичной окружности малая дуга почти не отличается от стягивающей её хорды. В числах: sin 0,5 / 0,5 ≈ 0,9589; sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,99833; sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998. Отношение стремится к 1.

lim (x→0) sin x / x = 1lim (x→0) sin x / x = 1

где:

xугол в радианах

Первый замечательный предел.

lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tg x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tg x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2

где:

kпостоянное число, k ≠ 0

Следствия: sin kx / x = k · sin kx / (kx); tg x / x = (sin x / x) · (1 / cos x); 1 − cos x = 2sin²(x/2) ≈ 2 · (x/2)² = x²/2.

Тригонометрические пределы при x → 0

1) lim (x→0) sin 7x / (2x);
2) lim (x→0) tg 3x / sin 5x;
3) lim (x→0) (1 − cos 6x)/x²;
4) lim (x→0) (1 − cos 2x)/(x · sin 3x).

Показать решение

1) sin 7x / (2x) = (7/2) · sin 7x / (7x) → 7/2 = 3,5.
2) tg 3x / sin 5x = (tg 3x / (3x)) · (5x / sin 5x) · (3x/(5x)) → 1 · 1 · 3/5 = 0,6.
3) 1 − cos 6x = 2sin²3x, значит, (1 − cos 6x)/x² = 2 · (sin 3x / x)² → 2 · 3² = 18.
4) 1 − cos 2x = 2sin²x. Выражение равно 2sin²x / (x · sin 3x) = 2 · (sin x / x) · (sin x / sin 3x). Так как sin x / sin 3x → 1/3, предел равен 2 · 1 · 1/3 = 2/3.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Функция y = sin kx / x не определена при x = 0, но при x → 0 график приближается к прямой y = k — sin kx / x → k. Измени k и проверь. С ростом x график затухает к нулю: при x → ∞ sin kx / x → 0.

Когда x → a ≠ 0. Например, при x → π/4 формула sin x / x напрямую не работает. Если подстановка даёт 0/0, есть два пути: 1) с помощью тождеств выделить множитель, обращающийся в нуль, и сократить: cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), 4sin²x − 1 = (2sin x − 1)(2sin x + 1), sin 2α = 2sin α cos α; 2) сделать замену t = x − a (t → 0) и применить формулы приведения.

Тригонометрические пределы в точке, отличной от 0

1) lim (x→π/4) cos 2x / (cos x − sin x);
2) lim (x→π/6) (4sin²x − 1)/(2sin x − 1);
3) lim (x→π/3) sin 3x / sin 6x;
4) lim (x→π) sin x / (x − π).

Показать решение

1) cos(π/2) = 0 и cos(π/4) − sin(π/4) = 0 — 0/0.
cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), после сокращения cos x + sin x → √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41.
2) sin(π/6) = 1/2: 0/0. Разность квадратов: (2sin x − 1)(2sin x + 1)/(2sin x − 1) = 2sin x + 1 → 2 · 1/2 + 1 = 2.
3) sin π = 0, sin 2π = 0 — 0/0. sin 6x = 2sin 3x cos 3x, поэтому выражение равно 1/(2cos 3x) → 1/(2cos π) = −1/2.
4) t = x − π → 0. sin x = sin(π + t) = −sin t, значит, выражение равно −sin t / t → −1.

В стиле ГЭЦ (DİM): кодируемое задание

Вычислите lim (x→π/4) (1 − tg x)/(cos 2x).

Показать решение

1) tg(π/4) = 1, cos(π/2) = 0 — 0/0.
2) 1 − tg x = (cos x − sin x)/(cos x) и cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x).
3) После сокращения: 1/(cos x · (cos x + sin x)).
4) x = π/4: 1/((√2/2) · √2) = 1/1 = 1.
Ответ: 1.

Типичные ошибки

• Писать 0/0 = 0 или 0/0 = 1. 0/0 — не ответ, а сигнал к преобразованию выражения.
• Применять sin x / x → 1, когда x не стремится к 0: lim (x→∞) sin x / x = 0, так как |sin x| ≤ 1, а x растёт.
• Брать угол в градусах: sin x ≈ x верно только в радианах.
• Заменять эквивалентными внутри разности: (tg x − sin x)/x³ → 1/2, а замена tg x ≈ x и sin x ≈ x ошибочно даёт 0.
• Писать (1 + 1/n)ⁿ → 1: «1^∞» — неопределённость, ответ равен e.
• Забывать проверку в задаче с параметром: a² − 4 = 0 даёт два значения, но условию удовлетворяет только одно.

Приращения и непрерывность

Приращение аргумента Δx = x − x₀ и приращение функции Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) — язык следующего урока «Приращения и определение производной». На этом языке непрерывность звучит так: если Δf → 0 при Δx → 0, то функция f непрерывна в точке x₀. То есть малое изменение аргумента вызывает лишь малое изменение функции, и на графике нет разрыва.

Приращения уменьшаются

f(x) = x² − 3x, x₀ = 2. Вычисли Δf при Δx = 0,1 и Δx = 0,01, затем вырази Δf через Δx.

Показать решение

f(2) = 4 − 6 = −2.
Δx = 0,1: f(2,1) = 4,41 − 6,3 = −1,89; Δf = −1,89 − (−2) = 0,11.
Δx = 0,01: f(2,01) = 4,0401 − 6,03 = −1,9899; Δf = 0,0101.
В общем виде: f(2 + Δx) = 4 + 4Δx + (Δx)² − 6 − 3Δx = −2 + Δx + (Δx)², поэтому Δf = Δx + (Δx)² → 0. Функция непрерывна в точке x₀ = 2.

Определение

Непрерывность в точке

Функция f непрерывна в точке x₀, если выполнены три условия: 1) f(x₀) определено; 2) lim (x→x₀) f(x) существует (левый и правый пределы равны); 3) этот предел равен f(x₀). Если нарушено хотя бы одно условие, x₀ — точка разрыва.

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ lim (Δx→0) Δf = 0

где:

x₀рассматриваемая точка
Δx, Δfприращения аргумента и функции

Две равносильные записи непрерывности: предел равен значению, или малое приращение даёт малое приращение.

1
1. Левый предел
В формуле для x < x₀ перейди к пределу x → x₀.
2
2. Правый предел
В формуле для x > x₀ перейди к пределу x → x₀.
3
3. Значение в точке
Вычисли f(x₀) по формуле, заданной для x = x₀.
4
4. Приравняй и проверь
Приравняй три числа, найди параметр и проверь найденное значение подстановкой.

Непрерывность и параметр

При каком значении a функция непрерывна?
1) f(x) = (x² − 4)/(x − 2), x ≠ 2; f(2) = a.
2) f(x) = x² + a при x < 1; f(x) = 3x − 1 при x ≥ 1.
3) f(x) = sin 3x / x, x ≠ 0; f(0) = a + 1.

Показать решение

1) lim (x→2) (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4. Для непрерывности нужно f(2) = 4, то есть a = 4.
2) Левый предел: 1 + a. Правый предел и f(1): 3 · 1 − 1 = 2. 1 + a = 2 ⇒ a = 1.
3) lim (x→0) sin 3x / x = 3, значит, a + 1 = 3 ⇒ a = 2.

В стиле ГЭЦ (DİM): полное письменное решение

f(x) = ax − 1 при x < 1; f(1) = 3; f(x) = x² + b при x > 1. Функция непрерывна в точке x = 1. Найдите a + b.

Показать решение

Решение. По определению непрерывности левый предел, правый предел и f(1) должны быть равны.
1) Левый предел: при x < 1 f(x) = ax − 1, поэтому lim (x→1−0) f(x) = a − 1.
2) Правый предел: при x > 1 f(x) = x² + b, поэтому lim (x→1+0) f(x) = 1 + b.
3) По условию f(1) = 3.
4) a − 1 = 3 ⇒ a = 4; 1 + b = 3 ⇒ b = 2.
5) Проверка: при a = 4, b = 2 оба односторонних предела равны 3 и f(1) = 3 — функция непрерывна.
Ответ: a + b = 6.

Кодируемые задания: запиши ответ числом

1.lim (n→∞) (5n² + 1)/(2n² − n) =
2.lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) =
3.lim (x→0) sin 6x / (3x) =
4.lim (x→0) (1 − cos 4x)/x² =
5.lim (x→∞) (√(x² + 10x) − x) =
6.lim (n→∞) (1 + 3/n)ⁿ = eᵏ, k =

Главное

lim (n→∞) aₙ = A: начиная с некоторого номера, все члены лежат в любой узкой окрестности A; в последовательности-дроби делим числитель и знаменатель на старшую степень n.
Монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса); (1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,718 и (1 + k/n)ⁿ → eᵏ.
lim (x→a) f(x) существует, только если левый и правый пределы равны; при x → ∞ предел рациональной функции определяют степени: 0 при m < k, отношение старших коэффициентов при m = k, конечного предела нет при m > k.
0/0 — не ответ: разложи на множители, умножь на сопряжённое или примени замечательные пределы — sin x / x → 1, sin kx / x → k, (1 − cos x)/x² → 1/2 (x → 0, радианы).
При x → a ≠ 0 тригонометрическая неопределённость 0/0 раскрывается тождествами, например cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), или заменой t = x − a.
f непрерывна в точке x₀ ⇔ lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ Δf → 0 при Δx → 0; в задаче с параметром приравнивают левый предел, правый предел и f(x₀).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Чему равен lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ?