Матрицы и действия над ними

Когда герой компьютерной игры разворачивается, компьютер поворачивает тысячи точек сразу: умножает каждую из них на одну и ту же маленькую таблицу из четырёх чисел. Недельные продажи магазина по товарам и дням, пиксели фотографии, коэффициенты системы уравнений — всё это такие таблицы. В уроке «Системы линейных уравнений» мы решали два уравнения с двумя неизвестными; матрицы позволяют одним систематическим методом справляться с тремя, сотней или миллионом неизвестных.

Запись и виды матриц

Матрицы обозначают заглавными буквами. В тексте будем записывать матрицу по строкам, разделяя строки точкой с запятой: A = [2 −1 0; 4 3 5] — матрица размера 2 × 3 с первой строкой 2, −1, 0. Первый индекс — всегда номер строки, второй — номер столбца: здесь a₁₂ = −1, a₂₃ = 5.

• Квадратная матрица: m = n; её главная диагональ — элементы a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ.
• Вектор-строка (1 × n) и вектор-столбец (m × 1); например, [3; 1] — столбец.
• Нулевая матрица O: все элементы равны 0.
• Единичная матрица I: единицы на главной диагонали, нули в остальных местах; I₂ = [1 0; 0 1].
• Симметричная матрица: aᵢⱼ = aⱼᵢ, то есть Aᵀ = A (транспонирование объясняется ниже).

Действия с матрицами

Складывать можно только матрицы одного размера: складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Чтобы умножить матрицу на число k, каждый её элемент умножают на k. Эти действия подчиняются привычным правилам: A + B = B + A, k(A + B) = kA + kB.

Произведение матриц AB определено, только если число столбцов A равно числу строк B. Чтобы получить элемент AB в i-й строке и j-м столбце, идём по i-й строке A и по j-му столбцу B, перемножаем соответствующие элементы и складываем произведения.

Другие привычные правила выполняются: (AB)C = A(BC) (ассоциативность), A(B + C) = AB + AC (дистрибутивность) и AI = IA = A — единичная матрица играет роль числа 1. В транспонированной матрице Aᵀ строки становятся столбцами: транспонированная к [2 −1 0; 4 3 5] — это матрица [2 4; −1 3; 0 5] размера 3 × 2.

Матрица как преобразование плоскости

Умножая матрицу 2 × 2 на вектор-столбец [x; y], получаем новый вектор, то есть матрица преобразует плоскость. Такое преобразование линейно: начало координат остаётся на месте, прямые переходят в прямые. Главное наблюдение: первый столбец матрицы — это образ вектора [1; 0], второй — образ [0; 1]. Зная, куда переходят два базисных вектора, знаешь всё преобразование.

Выполнить сначала преобразование B, а затем A — то же самое, что умножить на одну матрицу AB: произведение читается справа налево. Именно поэтому умножение матриц определено по правилу «строка на столбец». Некоммутативность тоже становится наглядной: при S = [2 0; 0 1] получаем SR = [0 −2; 1 0], но RS = [0 −1; 2 0]. Повернуть, а потом растянуть — не то же самое, что растянуть, а потом повернуть.

Системы вида Ax = b: метод Гаусса и ранг

Рассмотрим систему
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
Коротко её записывают как Ax = b, где A = [2 1 −1; −3 −1 2; −2 1 2] — матрица коэффициентов, x = [x; y; z] — столбец неизвестных, b = [8; −11; −3] — столбец свободных членов. Если приписать b как ещё один столбец, получится расширенная матрица [A | b].

Метод Гаусса использует три элементарных преобразования строк; ни одно из них не меняет множество решений системы:

1. Поменять местами две строки.
2. Умножить строку на ненулевое число.
3. Прибавить к одной строке другую, умноженную на число.

Цель — ступенчатый вид: каждая строка начинается с большего числа нулей, чем предыдущая, а первый ненулевой элемент строки называется ведущим. Затем неизвестные находят снизу вверх (обратный ход). Ниже Сᵢ обозначает i-ю строку.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[0, 1], [5, -2]])
print(A @ B)
print(B @ A)

M = np.array([[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]])
b = np.array([8, -11, -3])
print(np.linalg.solve(M, b))
print(np.linalg.matrix_rank(M))

[[10 -3]
 [20 -5]]
[[ 3  4]
 [-1  2]]
[ 2.  3. -1.]
3