Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9 класс25 мин55 / 82

Метод координат на плоскости: уравнения прямой и окружности

Расстояние между точками и середина отрезка, общее уравнение прямой и уравнение с угловым коэффициентом, прямая через две точки, параллельные и перпендикулярные прямые, расстояние от точки до прямой, уравнение окружности и взаимное расположение прямой и окружности — с разобранными примерами.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Находить расстояние между двумя точками и координаты середины отрезка и применять их в геометрических задачах
  • Составлять общее уравнение прямой, уравнение с угловым коэффициентом, уравнения прямой через точку и через две точки; распознавать параллельные и перпендикулярные прямые
  • Вычислять расстояние от точки до прямой
  • Составлять уравнение окружности, находить центр и радиус выделением полного квадрата, определять общие точки прямой и окружности

Картографическое приложение хранит твой дом и школу как две пары чисел и только по ним вычисляет расстояние между ними по прямой. Роутер Wi-Fi покрывает круг вокруг себя: попадает ли в него твоя комната? Компьютерная игра в каждый момент должна решать, ударится ли мяч о стену. На все эти вопросы отвечает метод координат: точки превращаются в пары чисел, прямые и окружности — в уравнения, а геометрическая задача — в алгебраическую. Ты уже пользовался этой идеей на уроке «Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников», когда доказывал теорему косинусов; теперь превратим её в полноценный инструмент.

Координатная плоскость и линейная функция y = kx + b знакомы тебе по уроку «Линейная функция и её график», а координаты и длина вектора — по уроку «Векторы». Здесь эти инструменты соединяются в один метод. Точки будем записывать как A(x₁; y₁), B(x₂; y₂).

Расстояние между двумя точками и середина отрезка

Проведём через A горизонтальную прямую, а через B — вертикальную; они пересекаются в точке K(x₂; y₁). Треугольник AKB прямоугольный, его катеты равны |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. По теореме Пифагора AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Знаки модуля можно опустить, так как квадрат не бывает отрицательным. Середина M отрезка находится на полпути от A к B: по каждой оси она сдвигается на половину разности координат.

A(x₁; y₁)B(x₂; y₂)x₂ − x₁y₂ − y₁dMxyO
d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² — теорема Пифагора.
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
где:
  • x₁, y₁координаты точки A
  • x₂, y₂координаты точки B
  • ABрасстояние между точками

Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей координат. Порядок точек неважен: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Это также длина вектора AB⃗.

Формула расстояния в деле

1) Найдите расстояние между точками A(−1; 3) и B(5; −5).
2) Определите вид треугольника с вершинами A(1; 1), B(4; 5), C(8; 2).
3) На оси Ox найдите точку P, равноудалённую от точек A(1; 4) и B(5; 2).

Показать решение
1) AB = √((5 − (−1))² + (−5 − 3)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
2) AB = √(3² + 4²) = 5, BC = √(4² + (−3)²) = 5, AC = √(7² + 1²) = √50.
AB = BC, и к тому же AB² + BC² = 25 + 25 = 50 = AC². Треугольник равнобедренный прямоугольный, прямой угол при вершине B.
3) Пусть P(x; 0). PA² = PB²: (x − 1)² + 16 = (x − 5)² + 4 ⇒ x² − 2x + 17 = x² − 10x + 29 ⇒ 8x = 12 ⇒ x = 1,5.
Ответ: P(1,5; 0). Проверка: PA² = 0,25 + 16 = 16,25, PB² = 12,25 + 4 = 16,25.
M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)
где:
  • x₁, y₁, x₂, y₂координаты концов отрезка A и B
  • Mсередина отрезка AB

Каждая координата середины равна среднему арифметическому соответствующих координат концов. Это следует из равенства AM⃗ = ½ · AB⃗.

Середина отрезка

1) A(−3; 4) и B(5; 0). Найдите середину отрезка AB.
2) Точка M(2; −1) — середина отрезка AB, A(−1; 3). Найдите точку B.
3) В параллелограмме ABCD A(0; 0), B(5; 1), C(7; 4). Найдите вершину D.

Показать решение
1) M((−3 + 5) / 2; (4 + 0) / 2) = M(1; 2).
2) (−1 + x) / 2 = 2 ⇒ x = 5; (3 + y) / 2 = −1 ⇒ y = −5. B(5; −5). Короче: B = 2M − A.
3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому у AC и BD общая середина: ((0 + 7) / 2; (0 + 4) / 2) = (3,5; 2).
Тогда D = (2 · 3,5 − 5; 2 · 2 − 1) = D(2; 3).

Уравнение прямой

Определение
Уравнение фигуры

Уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры и не удовлетворяют координаты никакой другой точки. Чтобы проверить, лежит ли точка на фигуре, подставь её координаты: верное равенство означает «да».

Почему уравнение любой прямой первой степени? Каждая прямая — серединный перпендикуляр к некоторому отрезку PQ, то есть множество точек M(x; y), равноудалённых от P и Q. Если записать MP² = MQ² по формуле расстояния, x² и y² появятся в обеих частях и сократятся, и останется уравнение вида Ax + By + C = 0.

Ax + By + C = 0
где:
  • x, yкоординаты любой точки прямой
  • A, Bкоэффициенты, не равные нулю одновременно
  • Cсвободный член

Общее уравнение прямой. При B = 0 получается вертикальная прямая x = −C/A, при A = 0 — горизонтальная прямая y = −C/B, при C = 0 — прямая, проходящая через начало координат.

Если B ≠ 0, решим уравнение относительно y: y = −(A/B)x − C/B. Это знакомое по уроку «Линейная функция и её график» уравнение y = kx + b. Число k — угловой коэффициент: он равен тангенсу угла α, который прямая образует с положительным направлением оси Ox. Если взять две точки прямой, отношение Δy / Δx равно тангенсу этого угла (рисунок).

M₁M₂Δx = x₂ − x₁Δy = y₂ − y₁ααby = kx + bxyO
k = tg α = Δy / Δx
y = kx + b, k = tg α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y = kx + b, k = tg α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
где:
  • kугловой коэффициент
  • αугол между прямой и положительным направлением оси Ox (α ≠ 90°)
  • bордината точки (0; b), в которой прямая пересекает ось Oy
  • (x₁; y₁), (x₂; y₂)две точки прямой, x₁ ≠ x₂

k > 0 — угол α острый, прямая поднимается; k < 0 — угол α тупой, прямая опускается; k = 0 — горизонтальная прямая. У вертикальной прямой (α = 90°) углового коэффициента нет, её уравнение x = x₀.

y − y₀ = k(x − x₀)
где:
  • (x₀; y₀)заданная точка прямой
  • kугловой коэффициент

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀; y₀) с угловым коэффициентом k. При x = x₀ получаем y = y₀ — прямая действительно проходит через M₀.

Составляем уравнение прямой

1) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(2; 1) и образующей с осью Ox угол 45°.
2) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M(−1; 4) и N(3; −4).
3) Найдите угловой коэффициент прямой 3x − 4y + 12 = 0 и точки её пересечения с осями.
4) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки (3; 5) и (3; −2).

Показать решение
1) k = tg 45° = 1. y − 1 = 1 · (x − 2) ⇒ y = x − 1, в общем виде x − y − 1 = 0.
2) k = (−4 − 4) / (3 − (−1)) = −8/4 = −2. y − 4 = −2(x + 1) ⇒ y = −2x + 2, то есть 2x + y − 2 = 0. Проверка (N): 2 · 3 + (−4) − 2 = 0.
3) 4y = 3x + 12 ⇒ y = 0,75x + 3, k = 0,75 (tg α = 0,75, α ≈ 36,9°). x = 0 ⇒ y = 3: (0; 3); y = 0 ⇒ x = −4: (−4; 0).
4) x₁ = x₂ = 3, в формуле для k получается деление на ноль: прямая вертикальна, x = 3, в общем виде x − 3 = 0 (A = 1, B = 0, C = −3).
(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)
где:
  • (x₁; y₁), (x₂; y₂)две точки прямой (x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)
  • x, yкоординаты любой точки прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Каждая дробь показывает, какую часть пути от первой точки ко второй точка (x; y) прошла вдоль соответствующей оси; на прямой эти части равны.

Прямая через две точки

1) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки (1; 2) и (4; 8).
2) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки (−2; 1) и (2; −1).
3) Лежат ли точки (0; −1), (2; 3) и (5; 9) на одной прямой?

Показать решение
1) (x − 1) / 3 = (y − 2) / 6 ⇒ 6(x − 1) = 3(y − 2) ⇒ 2x − 2 = y − 2 ⇒ y = 2x. Проверка: 2 · 4 = 8.
2) (x + 2) / 4 = (y − 1) / (−2) ⇒ −2(x + 2) = 4(y − 1) ⇒ −2x − 4 = 4y − 4 ⇒ x + 2y = 0. Проверка: 2 + 2 · (−1) = 0.
3) Прямая через первые две точки: k = (3 + 1) / 2 = 2, y = 2x − 1. Третья точка: 2 · 5 − 1 = 9 — уравнение выполняется, значит, да, три точки лежат на одной прямой.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две невертикальные прямые параллельны, когда они образуют с осью Ox одинаковый угол, то есть когда их угловые коэффициенты равны; если к тому же b₁ = b₂, прямые совпадают. Для перпендикулярности возьмём направляющие векторы прямых (1; k₁) и (1; k₂): на 1 вправо прямая поднимается на k. По условию перпендикулярности из урока «Векторы» их скалярное произведение равно нулю: 1 · 1 + k₁ · k₂ = 0.

l₁ ∥ l₂ ⇔ k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ l₁ ⊥ l₂ ⇔ k₁ · k₂ = −1
где:
  • l₁, l₂прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂
  • k₁, k₂их угловые коэффициенты

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, у перпендикулярных их произведение равно −1, то есть k₂ = −1/k₁.

В общем уравнении рассмотрим вектор n⃗ = (A; B). Если точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂) лежат на прямой, то, вычтя их уравнения, получим A(x₂ − x₁) + B(y₂ − y₁) = 0: вектор n⃗ перпендикулярен прямой. Его называют вектором нормали. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их векторы нормали.

l₁ ⊥ l₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0 l₁ ∥ l₂ ⇒ A₁B₂ − A₂B₁ = 0
где:
  • l₁, l₂прямые A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0
  • (A₁; B₁), (A₂; B₂)их векторы нормали

В общем виде: если скалярное произведение векторов нормали равно нулю, прямые перпендикулярны; если векторы нормали коллинеарны, прямые параллельны или совпадают.

Параллельность и перпендикулярность

1) Составьте уравнения прямых, проходящих через точку P(1; 3): а) параллельной, б) перпендикулярной прямой y = 2x − 5.
2) Перпендикулярны ли прямые 2x − 3y + 6 = 0 и 3x + 2y − 1 = 0?
3) При каком m прямые y = (m − 1)x + 3 и y = 2x − 4 а) параллельны, б) перпендикулярны?

Показать решение
1) а) k = 2: y − 3 = 2(x − 1) ⇒ y = 2x + 1.
б) k = −1/2: y − 3 = −½(x − 1) ⇒ y = −½x + 3,5, то есть x + 2y − 7 = 0. Проверка (P): 1 + 6 − 7 = 0.
2) A₁A₂ + B₁B₂ = 2 · 3 + (−3) · 2 = 0 ⇒ да, перпендикулярны. Через угловые коэффициенты: 2/3 · (−3/2) = −1.
3) а) m − 1 = 2 ⇒ m = 3 (b₁ = 3 ≠ −4, прямые не совпадают).
б) (m − 1) · 2 = −1 ⇒ m − 1 = −½ ⇒ m = 0,5.
Серединный перпендикуляр и точка пересечения

A(−1; 2) и B(3; 6).
1) Составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB.
2) В какой точке он пересекает прямую y = 2x − 1?

Показать решение
1) Середина: M(1; 4). Угловой коэффициент AB равен (6 − 2) / (3 + 1) = 1, у перпендикуляра −1.
y − 4 = −(x − 1) ⇒ y = −x + 5, то есть x + y − 5 = 0.
Проверка: точка (0; 5) находится на одном и том же расстоянии √10 от A и от B.
2) Точка пересечения — решение системы двух уравнений (см. урок «Системы линейных уравнений»): −x + 5 = 2x − 1 ⇒ x = 2, y = 3. Ответ: (2; 3).

Расстояние от точки до прямой

Кратчайший путь от точки P(x₀; y₀) до прямой идёт по перпендикуляру, то есть вдоль вектора нормали n⃗ = (A; B). Значит, основание перпендикуляра — точка H(x₀ − tA; y₀ − tB) при некотором числе t. H лежит на прямой: A(x₀ − tA) + B(y₀ − tB) + C = 0, откуда t = (Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²). Расстояние PH = |t| · |n⃗| = |t| · √(A² + B²).

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
где:
  • (x₀; y₀)данная точка
  • Ax + By + C = 0общее уравнение прямой
  • dрасстояние от точки до прямой

Подставь точку в левую часть общего уравнения, возьми модуль и раздели на длину вектора нормали. d = 0 только тогда, когда точка лежит на прямой.

Вычисляем расстояния

1) Найдите расстояние от точки P(2; 3) до прямой 3x + 4y − 8 = 0.
2) Найдите расстояние от начала координат до прямой 5x − 12y + 26 = 0.
3) Найдите расстояние между параллельными прямыми 3x − 4y + 2 = 0 и 3x − 4y − 13 = 0.

Показать решение
1) d = |3 · 2 + 4 · 3 − 8| / √(9 + 16) = |10| / 5 = 2.
2) d = |0 − 0 + 26| / √(25 + 144) = 26 / 13 = 2.
3) Возьмём точку на первой прямой: x = 2 ⇒ 6 − 4y + 2 = 0 ⇒ y = 2, то есть (2; 2). Её расстояние до второй прямой: d = |6 − 8 − 13| / 5 = 15 / 5 = 3.
Высота и площадь треугольника

Вершины треугольника A(1; 6), B(4; 0), C(0; 3). Найдите высоту, опущенную из A, и площадь треугольника.

Показать решение
Прямая BC: k = (3 − 0) / (0 − 4) = −3/4, y = −¾x + 3 ⇒ 3x + 4y − 12 = 0 (B и C ему удовлетворяют).
BC = √(4² + 3²) = 5.
h = |3 · 1 + 4 · 6 − 12| / 5 = 15 / 5 = 3.
S = ½ · BC · h = ½ · 5 · 3 = 7,5.

Уравнение окружности

Окружность с центром Q(a; b) и радиусом R — это множество всех точек M(x; y), для которых QM = R. По формуле расстояния √((x − a)² + (y − b)²) = R. Обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат.

abx − ay − bRQ(a; b)M(x; y)xyO
(x − a)² + (y − b)² = R² — снова теорема Пифагора.
(x − a)² + (y − b)² = R²
где:
  • (a; b)центр окружности
  • Rрадиус
  • (x; y)любая точка окружности

Уравнение окружности. Если центр в начале координат: x² + y² = R². Здесь a и b — координаты центра, не путай их с числами из уравнения прямой.

Составляем уравнение окружности

1) Составьте уравнение окружности с центром (2; −3) и радиусом 5. Лежит ли на ней точка A(5; 1)? Находится ли начало координат внутри окружности?
2) Точки A(−1; 2) и B(5; 10) — концы диаметра окружности. Составьте её уравнение.
3) Составьте уравнение окружности с центром (4; −3), касающейся оси Ox.

Показать решение
1) (x − 2)² + (y + 3)² = 25. A: (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25 — лежит на окружности. O(0; 0): 4 + 9 = 13 < 25 — внутри.
2) Центр — середина диаметра: (2; 6). R = AB / 2 = √(36 + 64) / 2 = 10 / 2 = 5. (x − 2)² + (y − 6)² = 25.
3) Расстояние от центра до оси Ox равно |−3| = 3 — это и есть радиус: (x − 4)² + (y + 3)² = 9.

Поскольку левая часть — квадрат расстояния до центра, положение точки (x₀; y₀) определить легко: (x₀ − a)² + (y₀ − b)² < R² — точка внутри окружности, = R² — на окружности, > R² — вне её. Если уравнение дано в раскрытом виде, выделяем полные квадраты по x и по y — этот приём знаком тебе по уроку «Квадратные уравнения».

Выделение полного квадрата и Wi-Fi

1) Найдите центр и радиус окружности x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
2) Задаёт ли уравнение x² + y² + 2x − 4y + 10 = 0 окружность?
3) Роутер Wi-Fi стоит в начале координат и работает в радиусе 15 м (единицы — метры). Будет ли телефон ловить сигнал в точках (9; 13) и (9; 12)?

Показать решение
1) (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр (3; −2), R = 5.
2) (x + 1)² + (y − 2)² = −10 + 1 + 4 = −5. Сумма квадратов не может быть отрицательной: точек нет вообще, это не окружность.
3) 9² + 13² = 81 + 169 = 250 > 225 = 15² — (9; 13) снаружи, сигнала нет.
9² + 12² = 81 + 144 = 225 — (9; 12) ровно на границе (расстояние 15 м).

Где встречаются прямая и окружность

Общие точки прямой и окружности — это решения системы их уравнений. Подставив y из уравнения прямой в уравнение окружности, получим квадратное уравнение относительно x. Всё решает его дискриминант: D > 0 — две общие точки (прямая — секущая), D = 0 — одна точка (касательная), D < 0 — общих точек нет. Геометрически тот же ответ даёт сравнение расстояния d от центра до прямой с радиусом R.

OdRdСекущаяd < RКасательнаяd = RНет общихточекd > R
Всё решает сравнение d и R.
d < R — 2 общие точки; d = R — 1 (касательная); d > R — общих точек нет
где:
  • dрасстояние от центра окружности до прямой
  • Rрадиус окружности

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания (см. урок «Окружность: хорды, касательные, центральные и вписанные углы»).

  1. 1
    Запиши прямую как y = kx + b

    Для вертикальной прямой возьми x = x₀ и подставь его.

  2. 2
    Подставь в уравнение окружности

    Раскрой скобки и получи квадратное уравнение относительно x.

  3. 3
    Посмотри на знак дискриминанта

    D > 0 — две точки, D = 0 — касание, D < 0 — общих точек нет.

  4. 4
    Найди y

    Подставь найденные x в уравнение прямой.

  5. 5
    Проверь

    Каждая точка должна удовлетворять обоим уравнениям.

Прямая и окружность: три случая

Найдите общие точки:
1) x² + y² = 25 и y = x + 1;
2) x² + y² = 25 и 3x + 4y − 25 = 0;
3) (x − 2)² + (y + 1)² = 4 и y = x + 3.

Показать решение
1) x² + (x + 1)² = 25 ⇒ 2x² + 2x − 24 = 0 ⇒ x² + x − 12 = 0, D = 1 + 48 = 49 > 0 ⇒ x = 3 или x = −4.
y = 4 или y = −3. Ответ: (3; 4) и (−4; −3) — секущая.
2) d = |0 + 0 − 25| / √(9 + 16) = 25 / 5 = 5 = R — касательная. Подставим y = (25 − 3x) / 4: 16x² + (25 − 3x)² = 400 ⇒ 25x² − 150x + 225 = 0 ⇒ (x − 3)² = 0 ⇒ x = 3, y = 4. Точка касания (3; 4).
3) Прямая: x − y + 3 = 0, центр (2; −1), R = 2. d = |2 + 1 + 3| / √2 = 6/√2 = 3√2 ≈ 4,24 > 2 — общих точек нет.
Касательная с параметром

При каких значениях b прямая y = x + b касается окружности x² + y² = 8? Найдите точки касания.

Показать решение
Прямая: x − y + b = 0. d = |b| / √2, R = √8 = 2√2.
|b| / √2 = 2√2 ⇒ |b| = 4 ⇒ b = 4 или b = −4.
Проверка через дискриминант: x² + (x + b)² = 8 ⇒ 2x² + 2bx + b² − 8 = 0, D = 4b² − 8(b² − 8) = 64 − 4b² = 0 ⇒ b² = 16.
Точка касания x = −b/2: при b = 4 это (−2; 2), при b = −4 — (2; −2).
Интерактив
Загрузка симуляции…
Ползунки a, b и R задают окружность (x − a)² + (y − b)² = R² (она нарисована двумя половинами), а k и m — прямую y = kx + m (буква b занята центром, поэтому свободный член здесь m). В начале x² + y² = 25 и y = x + 1: общие точки (3; 4) и (−4; −3). Увеличивай m: при m = 7 прямая ещё секущая, при m = 7,5 уже не касается окружности — касание происходит при m = 5√2 ≈ 7,07. Масштабы по осям могут различаться, поэтому окружность может выглядеть овалом.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.A(1; 2), B(4; 6): AB =
  2. 2.Абсцисса середины отрезка A(−2; 5), B(4; 1): x =
  3. 3.Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной y = 3x − 1: k =
  4. 4.Радиус окружности (x − 3)² + (y + 1)² = 49: R =
  5. 5.Расстояние от O(0; 0) до прямой 3x + 4y − 10 = 0: d =

Главное

  • AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов.
  • Любая прямая: Ax + By + C = 0; невертикальная: y = kx + b, k = tg α = Δy / Δx; через точку: y − y₀ = k(x − x₀).
  • Параллельные прямые: k₁ = k₂; перпендикулярные: k₁ · k₂ = −1, в общем виде A₁A₂ + B₁B₂ = 0.
  • Расстояние от точки до прямой: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
  • Окружность: (x − a)² + (y − b)² = R²; в раскрытом уравнении центр и радиус находят выделением полного квадрата.
  • Прямая и окружность: подставь и посмотри на дискриминант или сравни d с R — 2, 1 или 0 общих точек.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какое уравнение задаёт окружность с центром (a; b) и радиусом R?