- Объяснять, откуда при возведении в квадрат появляются посторонние корни, и отсеивать их проверкой
- Решать уравнения √f(x) = g(x) и √f(x) = √g(x) с помощью равносильной системы
- Решать более сложные иррациональные уравнения заменой переменной и двукратным возведением в квадрат
- Решать простейшие иррациональные неравенства: сравнение √f с числом, √f < g и √f > g
Айсель и Эльвин решают одно и то же уравнение: √(x + 2) = x. Оба возводят обе части в квадрат: x + 2 = x², то есть x² − x − 2 = 0, корни x = 2 и x = −1. Айсель записывает в ответ оба числа, а Эльвин делает проверку. При x = 2: √4 = 2 — верно. При x = −1 левая часть равна √1 = 1, а правая −1: 1 ≠ −1. Если в вычислениях нет ни одной ошибки, откуда взялось −1? На этом уроке мы раскроем секрет этого «незваного гостя» и научимся методам, при которых такие корни не попадают в ответ.
Из прошлых уроков понадобятся три вещи: определение арифметического квадратного корня — √a ≥ 0 и (√a)² = a («Квадратный корень, корень n-й степени и степень с рациональным показателем»), решение квадратных уравнений («Квадратные уравнения») и умение находить область определения и решать системы («Квадратные неравенства и метод интервалов»).
Иррациональное уравнение. Простейший случай
Уравнение, в котором переменная находится под знаком корня: √(x + 2) = x, ∛(x − 1) = 2, √x + √(x − 5) = 5. Уравнение x√2 = 4 иррациональным не является: под корнем стоит не переменная, а только число.
Весь урок будут работать два свойства квадратного корня. Во-первых, √f(x) имеет смысл только при f(x) ≥ 0 — это область определения уравнения. Во-вторых, квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому уравнение вида √(x + 1) = −2 не имеет решений без всяких вычислений. Если корень стоит в одной части один, а в другой — число, уравнение решается за один шаг.
- f(x)подкоренное выражение
- aчисло; для квадратного корня при a < 0 решений нет
При a ≥ 0 возводить в квадрат безопасно: f(x) = a² ≥ 0, поэтому условие области определения выполняется само. Корень нечётной степени может иметь любой знак, а возведение в куб — равносильный переход: посторонние корни не появляются.
Решите: 1) √(2x − 3) = 5; 2) √(x² − 16) = 3; 3) √(x + 1) = −2; 4) ∛(x − 2) = −3; 5) 2√(x + 3) − 1 = 7.
Показать решениеСкрыть решение
2) x² − 16 = 9 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5. Оба корня подходят: √9 = 3.
3) Левая часть не может быть отрицательной, а правая равна −2: решений нет.
4) Возводим в куб: x − 2 = (−3)³ = −27 ⇒ x = −25. Корень нечётной степени может быть отрицательным, проверка не нужна.
5) Сначала уединяем корень: 2√(x + 3) = 8 ⇒ √(x + 3) = 4 ⇒ x + 3 = 16 ⇒ x = 13.
Возведение в квадрат и посторонние корни
Вернёмся к загадке из начала урока. Если возвести в квадрат обе части верного равенства, снова получится верное равенство. В обратную сторону это не работает: 1² = (−1)², но 1 ≠ −1. Возведение в квадрат «забывает» знаки частей. Поэтому уравнение x + 2 = x² объединяет не одно, а два уравнения: √(x + 2) = x и −√(x + 2) = x. x = 2 — корень первого, а x = −1 — корень второго: −√(−1 + 2) = −1.
- A, Bлевая и правая части уравнения (выражения)
Возведение в квадрат верно только в одну сторону: новое уравнение сохраняет все корни старого, но к ним добавляются корни уравнения A = −B. Это и есть посторонние корни.
Число, полученное при преобразованиях уравнения, которое не удовлетворяет исходному уравнению. Посторонние корни появляются при преобразованиях, которые расширяют область определения или возводят обе части в чётную степень; их отсеивают проверкой. Деление на выражение с x, наоборот, может привести к потере корней — и никакая проверка потерянный корень не вернёт.
- 1Уедини корень
Оставь корень в одной части, всё остальное перенеси в другую.
- 2Возведи в квадрат
Возведи обе части в квадрат. Если справа двучлен, не забудь формулу (a − b)² = a² − 2ab + b².
- 3Реши полученное уравнение
Обычно получается линейное или квадратное уравнение.
- 4Сделай проверку в исходном уравнении
Подставь каждый корень в исходное уравнение. Проверка в уравнении после возведения в квадрат ничего не даёт: посторонний корень удовлетворяет и ему.
Решите: 1) √(x + 2) = x; 2) √(2x + 7) = x + 2; 3) x − √(x + 1) = 5.
Показать решениеСкрыть решение
Проверка: √4 = 2 — верно; √1 = 1 ≠ −1 — посторонний корень. Ответ: x = 2.
2) 2x + 7 = x² + 4x + 4 ⇒ x² + 2x − 3 = 0 ⇒ x = 1 или x = −3.
Проверка: при x = 1 √9 = 3 = 1 + 2 — верно; при x = −3 √1 = 1, но −3 + 2 = −1 — посторонний корень. Ответ: x = 1.
3) Уединяем корень: √(x + 1) = x − 5. Возводим в квадрат: x + 1 = x² − 10x + 25 ⇒ x² − 11x + 24 = 0 ⇒ x = 3 или x = 8.
Проверка: 8 − √9 = 5 — верно; 3 − √4 = 1 ≠ 5 — посторонний корень. Ответ: x = 8.
Решение без проверки: равносильная система
Проверка бывает трудной: корень может оказаться иррациональным числом, например x = 2 + √3. Тогда удобнее распознать посторонние корни заранее. Они приходят из уравнения −√f = g, то есть появляются там, где g(x) < 0. Значит, если добавить к уравнению √f = g условие g(x) ≥ 0, возведение в квадрат становится равносильным переходом.
- f(x)подкоренное выражение
- g(x)другая часть уравнения
- g(x) ≥ 0условие, которое заранее отсеивает посторонние корни
Условие f(x) ≥ 0 писать не нужно: f(x) = g²(x) ≥ 0 выполняется само. g²(x) означает (g(x))².
Решите: 1) √(5 − x) = x + 1; 2) √(2x² − 3x + 5) = x + 1; 3) √(2x) = x − 1.
Показать решениеСкрыть решение
2) Условие: x ≥ −1. Уравнение: 2x² − 3x + 5 = x² + 2x + 1 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 или x = 4. Оба удовлетворяют условию. Ответ: x = 1; x = 4 — возведение в квадрат не всегда даёт посторонний корень.
3) Условие: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Уравнение: 2x = x² − 2x + 1 ⇒ x² − 4x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ± √3. 2 − √3 ≈ 0,27 < 1 — отбрасываем, 2 + √3 ≈ 3,73 ≥ 1. Ответ: x = 2 + √3. Проверка подстановкой заняла бы гораздо больше времени: √(4 + 2√3) = √((1 + √3)²) = 1 + √3.
Если корни стоят в обеих частях, приравниваем подкоренные выражения, но одно из них должно быть неотрицательным — второе тогда равно ему автоматически. Когда произведение равно нулю, решает область определения: если один множитель равен нулю, другой всё равно должен иметь смысл.
- g(x) ≥ 0условие на более простое из двух подкоренных выражений (другое ему равно)
- f(x) · √g(x)произведение, один из множителей которого — корень
В произведении корни уравнения f(x) = 0 годятся только в области определения (g(x) ≥ 0).
Решите: 1) √(x² − 4) = √(3x); 2) √(x² − 2x) = √(x + 4); 3) (x + 2) · √(x − 1) = 0; 4) (x − 3) · √(x − 1) = 0.
Показать решениеСкрыть решение
2) x² − 2x = x + 4 ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 или x = −1. Условие x + 4 ≥ 0 выполнено для обоих: √8 = √8, √3 = √3. Ответ: x = 4; x = −1.
3) Область определения: x ≥ 1. x + 2 = 0 ⇒ x = −2 — вне области определения, √(−3) не имеет смысла. √(x − 1) = 0 ⇒ x = 1. Ответ: x = 1.
4) Область определения: x ≥ 1. Подходят и x = 3, и x = 1. Ответ: x = 1; x = 3.
Замена переменной и уравнения с двумя радикалами
Если один и тот же корень встречается несколько раз или подкоренное выражение есть и вне корня, заменяем его новой переменной. Квадратный корень неотрицателен, значит, и новая переменная не может быть отрицательной — это условие сразу отсеивает отрицательные значения.
- tновая переменная
- t ≥ 0отрицательные значения t отбрасываются
Реши уравнение относительно t, отбрось отрицательные значения и вернись к уравнению √f(x) = t. Для корней вида ⁴√x берут t = ⁴√x, тогда √x = t².
Решите: 1) x + √x − 6 = 0; 2) √x − 3 · ⁴√x + 2 = 0; 3) x² + 3x − 18 + 4√(x² + 3x − 6) = 0.
Показать решениеСкрыть решение
2) t = ⁴√x ≥ 0, √x = t²: t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1 или t = 2. ⁴√x = 1 ⇒ x = 1; ⁴√x = 2 ⇒ x = 2⁴ = 16. Ответ: x = 1; x = 16.
3) t = √(x² + 3x − 6) ≥ 0. Тогда x² + 3x = t² + 6 и x² + 3x − 18 = t² − 12. Уравнение: t² − 12 + 4t = 0 ⇒ t² + 4t − 12 = 0 ⇒ t = 2 или t = −6 (отбрасываем). √(x² + 3x − 6) = 2 ⇒ x² + 3x − 10 = 0 ⇒ x = 2; x = −5. Оба корня подходят, так как t = 2 ≥ 0.
Если в уравнении два корня, одного возведения в квадрат мало: (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b, корень остаётся. Поэтому разносим корни по разным частям и возводим в квадрат дважды.
- 1Область определения
Запиши условие ≥ 0 для каждого подкоренного выражения и реши систему.
- 2Разнеси корни
Оставь один корень в одной части, другой перенеси в другую.
- 3Первое возведение в квадрат
Возведи в квадрат и снова уедини оставшийся корень.
- 4Второе возведение в квадрат и проверка
Снова возведи в квадрат, реши уравнение и проверь каждый корень в исходном уравнении.
Решите: 1) √(x + 5) + √(x − 3) = 4; 2) √(2x + 3) − √(x + 1) = 1.
Показать решениеСкрыть решение
2) Область определения: x ≥ −1. √(2x + 3) = 1 + √(x + 1) — теперь обе части неотрицательны. Возводим в квадрат: 2x + 3 = 1 + 2√(x + 1) + x + 1 ⇒ x + 1 = 2√(x + 1). Пусть u = √(x + 1) ≥ 0: u² = 2u ⇒ u(u − 2) = 0 ⇒ u = 0 или u = 2 ⇒ x = −1 или x = 3. Проверка: √1 − √0 = 1, √9 − √4 = 1. Ответ: x = −1; x = 3. Если бы мы разделили на √(x + 1), корень x = −1 был бы потерян.
Простейшие иррациональные неравенства
В неравенствах проверка не помогает — решений обычно бесконечно много. Поэтому каждый шаг должен быть равносильным. Главное правило: из двух неотрицательных чисел больше то, у которого больше квадрат, то есть 0 ≤ a < b ⇔ a² < b². Значит, возводить в квадрат можно только тогда, когда обе части неотрицательны. И нельзя забывать область определения: f(x) ≥ 0.
- aположительное число (во втором случае — неотрицательное)
- 0 ≤ f(x)область определения; в случае «меньше» её нельзя забывать
При a < 0 неравенство √f(x) < a решений не имеет, а √f(x) > a верно на всей области определения (f(x) ≥ 0). При знаках ≤ и ≥ случай равенства тоже входит в решение.
Решите: 1) √(x − 2) < 3; 2) √(2x + 1) ≥ 3; 3) √(x + 4) > −1; 4) √(3 − x) < −2; 5) √(x² − 3x) < 2.
Показать решениеСкрыть решение
2) 2x + 1 ≥ 9 ⇒ x ≥ 4. Ответ: [4; +∞).
3) Левая часть ≥ 0 > −1 — это верно всегда, нужна только область определения: x + 4 ≥ 0. Ответ: [−4; +∞).
4) Корень не может быть меньше отрицательного числа: решений нет.
5) 0 ≤ x² − 3x < 4. x² − 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 3; x² − 3x − 4 < 0 ⇒ (x − 4)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 4. Пересечение: (−1; 0] ∪ [3; 4).
Когда справа стоит выражение с x, его знак неизвестен, поэтому рассматриваем случаи. В случае «меньше» правая часть обязательно положительна: она больше неотрицательного корня. В случае «больше» случаев два: если правая часть отрицательна, неравенство верно на всей области определения; если неотрицательна — можно возводить в квадрат.
- f, gкраткая запись выражений f(x) и g(x)
- { … }система: все условия выполняются одновременно
Во втором случае объединяем (∪) решения двух систем. Условие f > g² обеспечивает и f ≥ 0.
Решите: 1) √(x + 2) < x; 2) √(x + 2) > x; 3) √(x + 7) ≥ x + 1.
Показать решениеСкрыть решение
2) Случай I: x < 0 и x + 2 ≥ 0 ⇒ [−2; 0). Случай II: x ≥ 0 и x + 2 > x² ⇒ x² − x − 2 < 0 ⇒ −1 < x < 2, с учётом x ≥ 0 — [0; 2). Объединение: [−2; 2). Пункты 1) и 2) дополняют друг друга, а при x = 2 — равенство (корень из начала урока!).
3) Случай I: x + 1 < 0 и x + 7 ≥ 0 ⇒ [−7; −1). Случай II: x ≥ −1 и x + 7 ≥ (x + 1)² ⇒ x² + x − 6 ≤ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 2, с учётом x ≥ −1 — [−1; 2]. Объединение: [−7; 2].
- 1.√(x − 1) = 3 ⇒ x =
- 2.Посторонний корень уравнения √(x + 5) = x − 1: x =
- 3.√(x + 3) < 2 ⇒ −3 ≤ x <
Главное
- √f(x) имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и никогда не бывает отрицательным: уравнение √f(x) = a при a < 0 не имеет решений, а ∛f(x) = a равносильно f(x) = a³.
- Возведение в квадрат добавляет корни уравнения A = −B — это посторонние корни; их отсеивают проверкой в исходном уравнении.
- √f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0} и √f = √g ⇔ {f = g; g ≥ 0} — с этими системами проверка не нужна.
- Для повторяющегося корня — замена t = √f(x), t ≥ 0; при двух корнях разнеси их по частям, возведи в квадрат дважды и не дели на выражение с x.
- В неравенствах возводи в квадрат, только когда обе части неотрицательны: √f < g ⇔ {f ≥ 0; g > 0; f < g²}; для √f > g отдельно разбери случаи g < 0 и g ≥ 0.
Проверь себя
Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.