Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение

В этом уроке ты узнаешь

Объяснять дробь как часть целого и как частное двух чисел
Переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно
С помощью основного свойства сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю
Приводить дроби к общему знаменателю, сравнивать их и отмечать на координатном луче

Лейла разрезала пиццу на 8 равных кусков и съела 3 из них. Мурад разрезал такую же пиццу на 4 равных куска и съел 2. Кто съел больше? У Лейлы больше кусков, но каждый из них вдвое меньше. Лейла съела 3/8 пиццы, а Мурад — 2/4, то есть ровно половину. Так как 2/4 = 4/8 и 4/8 > 3/8, Мурад съел больше. На этом уроке ты научишься быстро и точно отвечать на такие вопросы.

Здесь нам помогут НОД и НОК из урока «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное»: НОД позволяет сократить дробь, а НОК даёт общий знаменатель. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей — тема следующего урока, «Действия с обыкновенными дробями».

Что такое дробь: часть целого и частное

Разделим целое — пиццу, полоску, 1 час, 1 км дороги — на b равных частей и возьмём a из них. Взятое количество записывают дробью a/b. Число под дробной чертой даёт частям «имя» (восьмые, четвёртые), а число над чертой их считает. Важное условие: части должны быть равными — если разрезать пиццу на 8 кусков разного размера, один кусок не будет 1/8.

Определение

Обыкновенная дробь

Число вида a/b, где a и b — натуральные числа. a — числитель, b — знаменатель, черта между ними — дробная черта. 3/8 читается «три восьмых».

a/b = a : ba/b = a : b

где:

aчислитель — сколько равных частей взято (делимое)
bзнаменатель — на сколько равных частей разделено целое (делитель, b ≠ 0)

Дробная черта — это знак деления: частное двух натуральных чисел всегда можно записать дробью.

Почему a/b = a : b? Разделим поровну 3 торта между 4 друзьями. Разрежем каждый торт на 4 равные части: получится 12 четвертинок, и каждому достанется 3 четвертинки, то есть 3/4 торта. Значит, 3 : 4 = 3/4. Отсюда два следствия: любое натуральное число — это дробь со знаменателем 1 (5 = 5/1), а дробь с равными числителем и знаменателем равна 1 (7/7 = 1).

Смысл дроби

1) В году 12 месяцев. Какую часть года составляют летние месяцы?
2) 5 м ленты поровну делят между 8 детьми. Сколько метров достанется каждому?
3) Каким числам равны дроби 18/6 и 7/7?

Показать решение

1) Целое — 12 месяцев, часть — 3 летних месяца: 3/12. Чуть позже мы увидим, что это 1/4.
2) Дробь — это частное: 5 : 8 = 5/8 м.
3) 18/6 = 18 : 6 = 3; 7/7 = 7 : 7 = 1.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Меняй числитель и знаменатель и смотри, как дробь выглядит на круге и на полоске, какие дроби ей равны, чему она равна в десятичной записи и в процентах.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Определение

Правильная и неправильная дробь

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной (3/8, 5/6); она всегда меньше 1. Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной (7/4, 9/9); она не меньше 1.

Определение

Смешанное число

Сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака «+»: 1 целая 3/4 = 1 + 3/4. Здесь 1 — целая часть, 3/4 — дробная часть.

В неправильной дроби «спрятаны» целые. 7/4 пиццы — это 7 четвертинок: 4 из них составляют целую пиццу, и ещё 3 остаются. Значит, 7/4 = 1 целая 3/4. Иначе говоря, делим 7 на 4 с остатком: неполное частное даёт целую часть, а остаток — новый числитель.

a/b = q целых r/b, a = b · q + ra/b = q целых r/b, a = b · q + r

где:

qнеполное частное при делении a на b — целая часть
rостаток (r < b) — числитель дробной части
bзнаменатель не меняется

Чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, делим числитель на знаменатель с остатком. Если остаток равен 0, дробь равна натуральному числу.

Из неправильной дроби — в смешанное число

Запишите в виде смешанного или натурального числа: 1) 17/5; 2) 23/4; 3) 24/6.

Показать решение

1) 17 : 5 = 3 (остаток 2), значит, 17/5 = 3 целых 2/5.
2) 23 : 4 = 5 (остаток 3), значит, 23/4 = 5 целых 3/4.
3) 24 : 6 = 4 (остаток 0), значит, 24/6 = 4.
Проверка: 3 · 5 + 2 = 17, 5 · 4 + 3 = 23.

Обратный переход основан на той же идее: в 2 целых 3/7 каждое целое — это 7 седьмых, два целых — 14 седьмых, и ещё 3 седьмых — всего 17/7.

q целых r/b = (q · b + r)/bq целых r/b = (q · b + r)/b

где:

qцелая часть
r/br/bдробная часть

Целую часть умножь на знаменатель, прибавь числитель, знаменатель оставь прежним.

Из смешанного числа — в неправильную дробь

1) Запишите 2 целых 3/7 и 4 целых 1/6 в виде неправильных дробей.
2) Запишите число 5 в виде дроби со знаменателем 3.

Показать решение

1) 2 целых 3/7 = (2 · 7 + 3)/7 = 17/7; 4 целых 1/6 = (4 · 6 + 1)/6 = 25/6.
2) Дробной части нет (r = 0): 5 = (5 · 3)/3 = 15/3. Проверка: 15 : 3 = 5.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Возьмём половину пиццы — это 1/2. Разрежем каждый кусок пополам: кусков станет вдвое больше (4), взятых — тоже вдвое больше (2), а количество пиццы не изменится: 1/2 = 2/4. Разрежем ещё раз — получим 4/8. Числитель и знаменатель увеличились в одно и то же число раз, а значение дроби осталось прежним.

a/b = (a · k)/(b · k) = (a : m)/(b : m)a/b = (a · k)/(b · k) = (a : m)/(b : m)

где:

kлюбое натуральное число: дробь приводится к новому знаменателю
mобщий делитель чисел a и b: дробь сокращается

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится. Такие дроби называют равными.

Приведение к новому знаменателю

1) Запишите 3/5 в виде дроби со знаменателем 20.
2) Заполните пропуск: 5/8 = 35/?
3) Можно ли записать 3/4 в виде дроби со знаменателем 10?

Показать решение

1) Дополнительный множитель: 20 : 5 = 4. 3/5 = (3 · 4)/(5 · 4) = 12/20.
2) Числитель увеличился с 5 до 35, то есть в 7 раз. Знаменатель тоже должен увеличиться в 7 раз: 8 · 7 = 56, 5/8 = 35/56.
3) 10 : 4 — не натуральное число, поэтому записать 3/4 дробью со знаменателем 10 и натуральным числителем нельзя. А со знаменателем 100 можно: 3/4 = 75/100.

Определение

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые (НОД = 1), называют несократимой; деление на НОД сразу даёт несократимую дробь.

1
Найди НОД
Найди наибольший общий делитель числителя и знаменателя (перебором делителей или разложением на простые множители).
2
Раздели оба числа
Раздели числитель и знаменатель на НОД.
3
Проверь
У нового числителя и знаменателя не должно быть общих делителей, кроме 1. Если НОД найти трудно, дели последовательно на небольшие общие делители (2, 3, 5 …) — результат будет тем же.

Сокращение дробей

Сократите: 1) 18/24; 2) 42/56; 3) 35/63; 4) 120/180.

Показать решение

1) НОД(18; 24) = 6: 18/24 = 3/4.
2) НОД(42; 56) = 14: 42/56 = 3/4.
3) НОД(35; 63) = 7: 35/63 = 5/9.
4) По шагам: 120/180 = 12/18 (разделили на 10) = 2/3 (разделили на 6). За один шаг: НОД(120; 180) = 60.
Теперь ясен и ответ первого примера: 3/12 = 1/4, то есть лето — это четверть года.

Общий знаменатель и сравнение дробей

Какая дробь больше: 5/6 или 7/8? Шестые и восьмые доли напрямую не сравнить — они разного размера. Поможет основное свойство: заменим обе дроби равными им дробями с одинаковым знаменателем. Такой общий знаменатель должен делиться на оба знаменателя, а наименьший из них — это НОК знаменателей; с ним числа остаются небольшими.

K = НОК(b; d), a/b = (a · m)/K, m = K : bK = НОК(b; d), a/b = (a · m)/K, m = K : b

где:

b, dзнаменатели дробей
Kнаименьший общий знаменатель
mдополнительный множитель — частное K и знаменателя

Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на её дополнительный множитель; для второй дроби так же: c/d = (c · (K : d))/K.

1
Найди НОК знаменателей
Перебирай числа, кратные большему знаменателю: для 6 и 8 — 8, 16, 24; 24 делится на 6, значит, K = 24.
2
Найди дополнительные множители
Раздели K на каждый знаменатель: 24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3.
3
Умножь и сравни
Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель: 5/6 = 20/24, 7/8 = 21/24. Так как 21 > 20, 7/8 > 5/6.

Два частных случая экономят время. Если один знаменатель делится на другой, общий знаменатель — больший из них (12 для 3/4 и 5/12). Если знаменатели взаимно простые, общий знаменатель — их произведение (35 для 2/5 и 3/7).

Приведение к общему знаменателю

Приведите к наименьшему общему знаменателю: 1) 3/4 и 5/12; 2) 2/5 и 3/7; 3) 1/4, 5/6 и 7/9.

Показать решение

1) 12 делится на 4, K = 12: 3/4 = 9/12, дробь 5/12 не меняется.
2) 5 и 7 взаимно простые, K = 35: 2/5 = 14/35, 3/7 = 15/35.
3) НОК(4; 6; 9) = 36; дополнительные множители 9, 6 и 4: 1/4 = 9/36, 5/6 = 30/36, 7/9 = 28/36.

Случай	Правило	Пример
Одинаковые знаменатели	Больше та дробь, у которой больше числитель	5/9 > 4/9
Одинаковые числители	Больше та дробь, у которой меньше знаменатель: доли крупнее	5/7 > 5/9
Разные числители и знаменатели	Приведи к общему знаменателю и сравни числители	2/3 = 10/15 > 9/15 = 3/5
Правильная и неправильная дробь	правильная дробь < 1 ≤ неправильная дробь	11/12 < 1 < 12/11

Сравнение и упорядочивание

1) Сравните 2/3 и 3/5.
2) Расположите дроби 2/3, 3/5 и 7/10 в порядке возрастания.
3) Что больше: 11/12 или 12/11?

Показать решение

1) K = 15: 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15. 10 > 9, значит, 2/3 > 3/5.
2) K = 30: 2/3 = 20/30, 3/5 = 18/30, 7/10 = 21/30. Числители 18 < 20 < 21, значит, 3/5 < 2/3 < 7/10.
3) 11/12 — правильная дробь (< 1), 12/11 — неправильная (> 1), поэтому 12/11 > 11/12 — считать ничего не нужно.

Дроби на координатном луче

Разделим единичный отрезок координатного луча от 0 до 1 на b равных частей и отсчитаем от 0 вправо a частей — получим точку a/b. Правильные дроби лежат между 0 и 1, неправильные — в точке 1 или правее, а смешанное число q целых r/b — между q и q + 1. Равные дроби изображаются одной точкой (1/2, 2/4 и 4/8 совпадают), а из двух дробей больше та, что лежит правее.

5/4 = 1 целая 1/4 и 3/2 = 6/4 = 1 целая 1/2: неправильные дроби лежат правее 1.

На координатном луче

1) Единичный отрезок равен 6 клеткам. На сколько клеток правее 0 лежат точки 5/6, 7/6 и 1 целая 1/2?
2) Найдите дробь, которая лежит между 1/3 и 1/2.
3) Какие натуральные числа лежат между 17/5 и 31/4?

Показать решение

1) Одна клетка — это 1/6 единичного отрезка. 5/6 — 5 клеток, 7/6 — 7 клеток, 1 целая 1/2 = 3/2 = 9/6 — 9 клеток.
2) Со знаменателем 6 получаем 2/6 и 3/6 — между ними нет дроби со знаменателем 6. Возьмём знаменатель 12: 4/12 и 6/12, между ними лежит 5/12.
3) 17/5 = 3 целых 2/5, 31/4 = 7 целых 3/4. Между ними лежат 4, 5, 6 и 7.

Проверь себя

1.15/25 = 3/
2.2 целых 1/3 = /3
3.29/6 = 4 целых /6
4.3/8 = /40
5.Наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 5/12:
6.2/3 5/8 (поставьте знак >, < или =)

Если ты умеешь сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю и сравнивать, ты готов к вычислениям с ними: на уроке «Действия с обыкновенными дробями» все эти умения понадобятся для сложения и вычитания.

Главное

В дроби a/b знаменатель b показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель a — сколько частей взято; дробная черта — это деление: a/b = a : b.
Правильная дробь меньше 1; неправильную дробь превращают в смешанное число делением с остатком (23/4 = 5 целых 3/4), а обратно — по формуле (q · b + r)/b.
Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число не меняет значения дроби; деление на НОД сразу даёт несократимую дробь.
Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей, а дополнительный множитель каждой дроби равен НОК : знаменатель.
При равных знаменателях больше дробь с большим числителем, при равных числителях — с меньшим знаменателем; на координатном луче большая дробь лежит правее.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Чему равен знаменатель дроби 5/8?