Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая и модуль

В этом уроке ты узнаешь

Отмечать на координатной прямой точки с целыми и дробными координатами и читать координату точки
Определять, является ли число целым, рациональным, положительным или отрицательным, и описывать жизненные ситуации числами со знаком
Находить противоположное число и модуль числа, решать простейшие уравнения вида |x| = a
Сравнивать положительные и отрицательные числа и располагать их в порядке возрастания

Зимнее утро. Прогноз погоды: в Баку +6 °C, на Шахдаге −8 °C. Кнопка −1 в лифте ведёт на подземную парковку, а банковское приложение показывает баланс карты −15 манатов. В каждом из этих чисел знак несёт важную информацию: выше или ниже нуля, над землёй или под землёй, деньги есть или это долг. На сколько градусов различаются +6 °C и −8 °C? В этом уроке мы ответим на этот вопрос, посчитав единичные отрезки на координатной прямой.

Ты уже знаешь натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби (см. уроки «Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение» и «Десятичные дроби»). Все они больше нуля или равны нулю. Теперь мы расширим мир чисел влево от нуля. А вычислениям с отрицательными числами посвящён следующий урок — «Действия с рациональными числами».

Координатная прямая

Определение

Координатная прямая

Прямая, на которой выбраны три вещи: начало отсчёта O (ему соответствует число 0), положительное направление (обычно вправо, его показывают стрелкой) и единичный отрезок (отрезок длины 1). Число, соответствующее точке, называют её координатой: запись A(3) означает «координата точки A равна 3».

Положительные числа расположены правее точки O, а отрицательные — левее: 3 — это точка на 3 единицы правее O, а −3 — на 3 единицы левее. У дробных чисел тоже есть свои места: −1,5 лежит ровно посередине между −1 и −2, а чтобы найти −2/3, отрезок от O до −1 делят на три равные части и отсчитывают две из них влево от O. Термометр — тоже координатная прямая, только вертикальная: выше нуля «+», ниже — «−».

1
Посмотри на знак
Если a > 0, двигаемся от O вправо, если a < 0 — влево. Если a = 0, точка совпадает с O.
2
Отсчитай единицы
Не обращая внимания на знак, отложи столько единичных отрезков: для −4 — 4 единицы.
3
Раздели для дробной части
Если число дробное, раздели единичный отрезок на столько равных частей, каков знаменатель: для −2,5 — 2 целые единицы и половина, для −3/4 — 3 из 4 четвертей единицы.
4
Подпиши точку
Отметь точку и подпиши букву и координату: C(−2,5).

Точки и координаты

1) Как отметить на координатной прямой точки A(4), B(−3), C(−1,5) и D(−3/4)?
2) Точка M лежит на 5 единиц левее O, а точка N — на 7 единиц правее M. Найдите их координаты.

Показать решение

1) A: 4 единицы вправо от O. B: 3 единицы влево. C: полторы единицы влево, то есть середина между −1 и −2. D: отрезок от O до −1 делим на 4 части и отсчитываем 3 из них влево.
2) Точка M лежит левее O, поэтому её координата отрицательна: M(−5). От M делаем 7 шагов вправо: за 5 шагов доходим до O, ещё 2 шага приводят в точку 2. Значит, N(2).

Разница температур на термометре

В Баку +6 °C, на Шахдаге −8 °C. На сколько градусов различаются эти температуры? Одно деление термометра — 1 °C.

Показать решение

Представим термометр как координатную прямую. От −8 до 0 — 8 делений, от 0 до 6 — 6 делений.
Точки лежат по разные стороны от нуля, поэтому деления складываем: 8 + 6 = 14 °C.
Для сравнения: −8 °C и −3 °C лежат по одну сторону от нуля, между ними 8 − 3 = 5 делений, то есть разница 5 °C.

Целые и рациональные числа

Числа больше нуля называют положительными, меньше нуля — отрицательными. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным — это граница между двумя сторонами. Знак «+» перед положительным числом можно не писать: +6 = 6. А знак «−» перед отрицательным числом никогда не опускают: −6 и 6 — совершенно разные числа.

Определение

Целые числа (Z)

Натуральные числа (1, 2, 3, …), противоположные им отрицательные числа (−1, −2, −3, …) и 0: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. На координатной прямой целые числа — это точки, отстоящие друг от друга на единичный отрезок.

Определение

Рациональные числа (Q)

Числа, которые можно записать в виде m/n, где m — целое, а n — натуральное число. Сюда входят все целые числа (5 = 5/1, −2 = −2/1), положительные и отрицательные обыкновенные дроби (−3/4) и конечные десятичные дроби (−0,25 = −1/4).

r = m/nr = m/n

где:

rрациональное число
mчислитель — любое целое число (положительное, отрицательное или 0)
nзнаменатель — натуральное число (n ≠ 0)

Каждое натуральное число — целое, а каждое целое — рациональное: N ⊂ Z ⊂ Q. Знак отрицательной дроби можно отнести к числителю: −3/4 = (−3)/4.

К какому множеству относится число?

Числа: 7; −4; 0; −2/3; 3,5; −0,125; 12/4; −6/3.
1) Какие из них целые?
2) Запишите каждое в виде m/n и покажите, что все они рациональные.

Показать решение

1) 7, −4 и 0 — целые числа. 12/4 = 3 и −6/3 = −2 — тоже целые: они записаны дробью, но после сокращения получается целое число. −2/3, 3,5 и −0,125 — не целые.
2) 7 = 7/1; −4 = −4/1; 0 = 0/1; −2/3 уже имеет вид m/n; 3,5 = 35/10 = 7/2; −0,125 = −125/1000 = −1/8; 12/4 = 3/1; −6/3 = −2/1.
Вывод: все восемь чисел рациональные, из них пять — целые.

В жизни отрицательные числа нужны, чтобы показать два противоположных направления величины. Какое направление считать положительным — вопрос договорённости, но, выбрав его, нужно его придерживаться:

Температура: 5 градусов ниже нуля записывают как −5 °C, 12 градусов выше нуля — как +12 °C.
Высота и глубина: водолаз на 40 м ниже уровня моря находится на отметке −40 м, а вершина Базардюзю высотой 4466 м — на отметке +4466 м.
Банковский счёт: поступление 50 манатов записывают как +50, расход 20 манатов — как −20; баланс −15 манатов означает долг 15 манатов.
Лифт: кнопка −2 ведёт на второй подземный этаж.

Противоположные числа

Определение

Противоположные числа

Два числа, которые отличаются только знаками: 5 и −5, −2,7 и 2,7. На координатной прямой они лежат на одинаковом расстоянии от O по разные стороны, то есть симметричны относительно точки O. Число, противоположное 0, — сам 0. Число, противоположное a, обозначают −a.

Внимание: запись −a читают как «число, противоположное a», а не как «отрицательное число». Если a = 4, то −a = −4 — отрицательное; если a = −4, то −a = −(−4) = 4 — положительное. Если взять противоположное число дважды, симметрия вернёт нас туда, откуда мы начали, — как двойное отражение в зеркале.

−(−a) = a

где:

aлюбое рациональное число
−aчисло, противоположное a (положительно, если a отрицательно)

Число, противоположное противоположному, равно самому числу. Два стоящих рядом знака «−» взаимно уничтожаются: −(−(−5)) = −5, ведь из трёх знаков два сокращаются, а один остаётся.

Противоположные числа

1) Запишите числа, противоположные числам 7; −3,5; 2/9; 0.
2) Упростите: −(−12); −(−(−8)); −(+6).
3) Чему равно x, если −x = 9? Чему равно y, если −y = −2,4?

Показать решение

1) −7; 3,5; −2/9; 0.
2) −(−12) = 12; −(−(−8)) = −8 (три знака «−»: два сокращаются, один остаётся); −(+6) = −6.
3) Если число, противоположное x, равно 9, то x — число, противоположное 9: x = −9. Если противоположное y равно −2,4, то y = 2,4.

Модуль числа

Определение

Модуль числа

Расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой, до начала отсчёта O. Модуль числа a обозначают |a| и читают «модуль a». Поскольку это расстояние, модуль никогда не бывает отрицательным.

−3 и 3 — противоположные числа: они симметричны относительно O, и их модули равны.

|a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0

где:

aлюбое рациональное число
|a|модуль a — расстояние от точки a до O
−aчисло, противоположное a; при a < 0 оно положительно

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему числу. Поэтому |a| ≥ 0 и |−a| = |a|: модули противоположных чисел равны.

На первый взгляд формула выглядит странно: модуль не бывает отрицательным, откуда же «−a»? Дело в том, что при отрицательном a число −a положительно. Например, если a = −7, то |a| = −a = −(−7) = 7. Значит, здесь «−a» — не отрицательное число, а противоположное.

Вычисли модуль

1) |−12|; |3,7|; |0|; |−2/5|.
2) |−8| + |3|; |−8| − |−3|; |−6| · |−2|; |−20| : |4|.
3) Найдите значение выражения −|−9|.

Показать решение

1) |−12| = 12; |3,7| = 3,7; |0| = 0; |−2/5| = 2/5.
2) Сначала находим модули, потом считаем с обычными положительными числами: 8 + 3 = 11; 8 − 3 = 5; 6 · 2 = 12; 20 : 4 = 5.
3) Сначала модуль: |−9| = 9, затем противоположное число: −|−9| = −9. Модуль не отрицателен, но знак «−» перед ним делает результат отрицательным.

|x| = a (a > 0) ⇒ x = a или x = −a

где:

xискомое число
aданное расстояние — положительное число

На расстоянии a от O лежат две точки: одна справа, другая слева. Если |x| = 0, то только x = 0; а у уравнения вида |x| = −3 решений нет, ведь расстояние не бывает отрицательным.

Уравнения |x| = a

Решите уравнения: 1) |x| = 5; 2) |x| = 2,5; 3) |x| = 0; 4) |x| = −4.
5) Выпишите все целые числа, модуль которых меньше 3.

Показать решение

1) x = 5 или x = −5 — два корня.
2) x = 2,5 или x = −2,5.
3) Только x = 0: точка на расстоянии 0 от O — это сама точка O.
4) Корней нет: модуль не может быть отрицательным.
5) Целые числа на расстоянии меньше 3 единиц от O: −2, −1, 0, 1, 2 — 5 чисел. −3 и 3 не подходят: их модуль равен 3, а не меньше 3.

Сравнение и упорядочивание чисел

На координатной прямой числа возрастают слева направо: из двух чисел больше то, что расположено правее. Отсюда следуют три правила. Любое положительное число больше нуля. Любое отрицательное число меньше нуля, а значит, меньше любого положительного. Самое интересное — третье правило: сравнение двух отрицательных чисел.

a < 0, b < 0 и |a| > |b| ⇒ a < b

где:

a, bсравниваемые отрицательные числа
|a|, |b|их расстояния до O

Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: оно дальше от нуля, левее. Мороз −10 °C холоднее, чем −2 °C, а долг 50 манатов хуже долга 5 манатов.

Сравните

Поставьте знак <, > или =: 1) −7 и −2; 2) −3,5 и −3,05; 3) −1/2 и −1/3; 4) −0,6 и −2/3; 5) |−4| и −5.

Показать решение

1) |−7| = 7 > 2 = |−2|, значит, −7 < −2.
2) 3,50 > 3,05, значит, −3,5 < −3,05.
3) 1/2 = 3/6 > 2/6 = 1/3, значит, −1/2 < −1/3.
4) 2/3 = 0,666… > 0,6, значит, −0,6 > −2/3.
5) |−4| = 4 — положительное число, а −5 — отрицательное: |−4| > −5.

1
Раздели на группы
Раздели числа на три группы: отрицательные, ноль, положительные. Если есть знак модуля, сначала вычисли его: |−5| = 5 — положительное число.
2
Упорядочи отрицательные
Сравни отрицательные числа по модулям: число с наибольшим модулем — наименьшее, его пишут первым.
3
Упорядочи положительные
Положительные числа упорядочи как обычно; при необходимости приведи дроби к общему знаменателю или переведи их в десятичные.
4
Объедини и проверь
Отрицательные → 0 → положительные. Проверь: идёт ли этот порядок на координатной прямой слева направо?

Упорядочи и посчитай

1) Расположите числа в порядке возрастания: 3; −4; 1/2; −2,5; 0; −1/4; |−6|.
2) Допустим, зимним утром термометры показывают: Шахдаг −8 °C, Габала −1 °C, Баку +6 °C, Шеки −3 °C, Ленкорань +9 °C. Найдите самое холодное и самое тёплое место и запишите температуры в порядке убывания.
3) Сколько целых чисел лежит между −3,5 и 2,4?

Показать решение

1) |−6| = 6. Отрицательные: −4, −2,5, −1/4; их модули 4 > 2,5 > 0,25, значит, −4 < −2,5 < −1/4. Положительные: 1/2 < 3 < 6.
Ответ: −4 < −2,5 < −1/4 < 0 < 1/2 < 3 < |−6|.
2) Самое холодное место — Шахдаг (−8 °C — отрицательное число с наибольшим модулем), самое тёплое — Ленкорань (+9 °C).
Порядок убывания: 9 > 6 > −1 > −3 > −8.
3) Первое целое число правее −3,5 — это −3, последнее целое левее 2,4 — это 2: −3, −2, −1, 0, 1, 2 — 6 целых чисел.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Перетащи каждую карточку в нужную группу. Сначала сократи дробь, вычисли модуль или противоположное число: 12/4 = 3, −(−4) = 4.

Проверь себя

1.|−9| =
2.−(−14) =
3.Число, противоположное −3,5:
4.−4 −9 (< или >)
5.Отрицательный корень уравнения |x| = 6: x =
6.Количество целых чисел между −2 и 3:

Теперь ты видишь положительные и отрицательные числа на координатной прямой, умеешь их сравнивать и находить их модули. На следующем уроке — «Действия с рациональными числами» — ты научишься их складывать, вычитать, умножать и делить, и модуль и противоположное число станут главными инструментами каждого правила.

Главное

На координатной прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок; положительные числа лежат правее 0, отрицательные — левее, а 0 ни положителен, ни отрицателен.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и 0. Рациональные числа записываются в виде m/n (m — целое, n — натуральное); каждое целое число рационально: N ⊂ Z ⊂ Q.
Противоположные числа отличаются только знаком и симметричны относительно O; −(−a) = a, а −a положительно, если a отрицательно.
Модуль — это расстояние до 0: |a| ≥ 0, |−a| = |a|. Уравнение |x| = a (a > 0) имеет два корня, a и −a; у уравнения |x| = −3 корней нет.
Больше то число, которое правее; из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: −7 < −2, −1/2 < −1/3.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Чему равен |−12|?