Уравнения и неравенства с модулем

В этом уроке ты узнаешь

Читать |a − b| как расстояние между точками и решать уравнения |f(x)| = a, |f(x)| = g(x), |f| = |g|
Решать уравнения с несколькими модулями методом интервалов и проверять найденные корни
Решать неравенства |f| < g, |f| > g, |f| ≤ |g| и считать целые решения
Находить число корней уравнения с параметром по графикам y = |f(x)| и y = f(|x|)

Уравнение |x − 3| = 2 можно прочитать двумя способами: «модуль выражения x − 3 равен 2» или «на числовой оси точка x удалена от 3 на 2 единицы». Второе прочтение сразу даёт ответ: x = 1 или x = 5. Уравнение |x| = a мы изучили в уроке «Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая и модуль», неравенство |x − a| < b — в уроке «Линейные неравенства и их системы». ГЭЦ (DİM) даёт задания сложнее: под модулем квадратный трёхчлен, справа выражение с x, два модуля, параметр. Ответ часто спрашивают как «сумму корней» или «число целых решений».

Модуль как расстояние. |f(x)| = a

Определение

Модуль числа

|a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0. Геометрически |a| — расстояние на числовой оси от 0 до точки a, а |a − b| — расстояние между точками a и b. Модуль никогда не бывает отрицательным.

На расстоянии 2 от точки 3 лежат две точки: 1 и 5.

«Раскрыть модуль» — значит посмотреть на знак выражения под ним: если выражение неотрицательно, знак модуля просто убираем, если отрицательно — записываем выражение с противоположным знаком. Например, при x < 3 |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x. На этом правиле держится вся работа с уравнениями, неравенствами и упрощением выражений. Несколько свойств сокращают вычисления:

|−a| = |a|; |a · b| = |a| · |b|; |a|² = a²; √(a²) = |a|; |a + b| ≤ |a| + |b|

где:

a, bлюбые действительные числа

Из-за √(a²) = |a| пишут √((x − 3)²) = |x − 3|, а не x − 3. Равенство |a|² = a² позволяет возводить два модуля в квадрат.

Упрощение при условии

1) Упрости выражение √((x − 3)²) + |x + 1| при −1 < x < 3.
2) Упрости выражение |a − b| + |a| − |b| при a < 0 < b.

Показать решение

1) √((x − 3)²) = |x − 3| = 3 − x, так как x − 3 < 0; |x + 1| = x + 1, так как x + 1 > 0. Сумма: 3 − x + x + 1 = 4 — не зависит от x.
2) a − b < 0 ⇒ |a − b| = b − a; |a| = −a; |b| = b. Итог: (b − a) + (−a) − b = −2a. Проверка: a = −2, b = 3 ⇒ 5 + 2 − 3 = 4 = −2 · (−2).

|f(x)| = a: a < 0 — корней нет; a = 0 ⇒ f(x) = 0; a > 0 ⇒ f(x) = a или f(x) = −a

где:

f(x)выражение под знаком модуля
aчисло (не зависит от x)

Если справа число, модуль распадается на два уравнения; если оно отрицательно, решений нет.

Уравнения |f(x)| = a

Реши:
1) |2x − 5| = 7;
2) |x² − 5| = 4 (найди и сумму корней);
3) ||x| − 3| = 2;
4) |3x + 1| = −2.

Показать решение

1) 2x − 5 = 7 ⇒ x = 6; 2x − 5 = −7 ⇒ x = −1. Ответ: −1; 6.
2) x² − 5 = 4 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3; x² − 5 = −4 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1. Четыре корня: −3; −1; 1; 3, сумма 0.
3) |x| − 3 = 2 ⇒ |x| = 5 ⇒ x = ±5; |x| − 3 = −2 ⇒ |x| = 1 ⇒ x = ±1. Ответ: ±1; ±5.
4) Модуль не может быть отрицательным: корней нет.

|f(x)| = g(x) и |f(x)| = |g(x)|

|f(x)| = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 и [ f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) ]

где:

g(x)правая часть — выражение с x

Модуль неотрицателен, поэтому и правая часть не может быть отрицательной: сначала запиши условие g(x) ≥ 0, а в конце проверь им каждый корень.

Почему это условие важно? Уравнения f = ±g записаны уже без модуля, и среди их корней могут оказаться такие, где g(x) < 0, — в таком корне левая часть (расстояние) положительна, а правая отрицательна. Есть и другой путь: разбить на случаи f(x) ≥ 0 и f(x) < 0 и в каждом раскрыть модуль. Если простое выражение под модулем, короче второй путь, если простая правая часть — первый. Какой бы путь ты ни выбрал, в конце проверь корни по исходному уравнению.

Справа выражение с x

Реши:
1) |x − 3| = 2x − 9;
2) |x² − 4x| = 3x − 6;
3) |x − 1| = 3 − x.

Показать решение

1) Условие: 2x − 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4,5.
x − 3 = 2x − 9 ⇒ x = 6 — подходит.
x − 3 = −(2x − 9) ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 — 4 < 4,5, отбрасываем (проверка: |4 − 3| = 1, а 2 · 4 − 9 = −1).
Ответ: 6.
2) Условие: 3x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
x² − 4x = 3x − 6 ⇒ x² − 7x + 6 = 0 ⇒ x = 1 (отбрасываем) или x = 6.
x² − 4x = −3x + 6 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = −2 (отбрасываем) или x = 3.
Ответ: 3; 6 (сумма корней 9).
3) Условие: x ≤ 3. x − 1 = 3 − x ⇒ x = 2; x − 1 = x − 3 ⇒ −1 = −3 — решений нет. Ответ: 2.

|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) или f(x) = −g(x)

где:

f, gвыражения под модулями

Обе части неотрицательны, поэтому дополнительное условие не нужно. Единственный корень уравнения |x − a| = |x − b| (a ≠ b) — середина отрезка: x = (a + b)/2.

Два равных модуля

1) Реши уравнение |2x − 1| = |x + 4| и найди сумму корней.
2) Реши уравнение |x − 2| = |x + 6|.

Показать решение

1) 2x − 1 = x + 4 ⇒ x = 5; 2x − 1 = −x − 4 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1. Сумма: 5 + (−1) = 4.
2) x − 2 = x + 6 ⇒ −2 = 6 — решений нет; x − 2 = −x − 6 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2. Геометрическая проверка: точка −2 — ровно середина между 2 и −6.

Несколько модулей: метод интервалов

1
1. Нули
Приравняй к нулю выражение под каждым модулем: для |x − 1| — x = 1, для |x − 5| — x = 5.
2
2. Промежутки
Нули делят числовую ось на промежутки; на каждом выражения под модулями сохраняют знак.
3
3. Раскрой модули
Модуль с положительным выражением пиши без изменений, с отрицательным — с противоположным знаком.
4
4. Реши и проверь
Реши уравнение на каждом промежутке и проверь, попадает ли корень в этот промежуток; если нет — отбрось.
5
5. Объедини
Запиши вместе корни со всех промежутков.

Методом интервалов

Реши:
1) |x − 1| + |x − 5| = 6;
2) |x − 2| − |x + 1| = 1.

Показать решение

1) Нули: 1 и 5.
x < 1: (1 − x) + (5 − x) = 6 ⇒ 6 − 2x = 6 ⇒ x = 0 — 0 < 1, подходит.
1 ≤ x ≤ 5: (x − 1) + (5 − x) = 4 ≠ 6 — корней нет.
x > 5: (x − 1) + (x − 5) = 6 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 — подходит.
Ответ: 0; 6.
2) Нули: −1 и 2.
x < −1: (2 − x) − (−x − 1) = 3 ≠ 1 — корней нет.
−1 ≤ x ≤ 2: (2 − x) − (x + 1) = 1 − 2x = 1 ⇒ x = 0 — подходит.
x > 2: (x − 2) − (x + 1) = −3 ≠ 1 — корней нет.
Ответ: 0.

В стиле ГЭЦ: закрытое задание

Найдите сумму корней уравнения |x − 2| + |x + 3| = 9.
A) −1 B) 1 C) 9 D) −9 E) 0

Показать решение

Нули −3 и 2; расстояние между ними 5 < 9, значит, корней два.
x < −3: (2 − x) + (−x − 3) = −2x − 1 = 9 ⇒ x = −5 ✓.
x > 2: (x − 2) + (x + 3) = 2x + 1 = 9 ⇒ x = 4 ✓.
На −3 ≤ x ≤ 2 сумма равна 5, а не 9.
Сумма: −5 + 4 = −1. Лёгкий способ: корни симметричны относительно середины −1/2, их сумма 2 · (−1/2) = −1.
Ответ: A.

Неравенства с модулем

|f| < g ⇔ −g < f < g; |f| > g ⇔ f > g или f < −g; |f| < |g| ⇔ (f − g)(f + g) < 0

где:

f, gвыражения с x (g может быть и числом)

«Меньше» — система (оба условия вместе), «больше» — совокупность (хотя бы одно). С двумя модулями обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: f² < g².

Язык расстояний помогает и здесь: |x − a| < b — точки, удалённые от a меньше чем на b (интервал с центром a), |x − a| > b — удалённые больше чем на b (два луча). А |x − a| < |x − b| означает «x ближе к a, чем к b»: все точки по ту сторону от середины отрезка, где лежит a.

Решение через расстояния

1) Реши неравенство |x − 1| + |x − 5| ≤ 6 и найди число целых решений.
2) Реши неравенство |x + 3| > |x − 1|.

Показать решение

1) Равенство выполняется в точках 0 и 6; между ними сумма расстояний меньше 6, снаружи — больше. Решение: [0; 6], целые решения 0, 1, …, 6 — семь.
2) Точка x ближе к 1, чем к −3. Середина (−3 + 1)/2 = −1, значит, x > −1. Алгебраическая проверка: (x + 3)² > (x − 1)² ⇒ 8x + 8 > 0 ⇒ x > −1. Ответ: (−1; +∞).

Решаем неравенства

1) Реши неравенство |x² − 5x| < 6 и найди число целых решений.
2) Реши неравенство |x − 3| > 2x.
3) Найди сумму целых решений неравенства |2x − 1| ≤ |x + 4|.

Показать решение

1) −6 < x² − 5x < 6 — система:
x² − 5x + 6 > 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) > 0 ⇒ x < 2 или x > 3;
x² − 5x − 6 < 0 ⇒ (x + 1)(x − 6) < 0 ⇒ −1 < x < 6.
Пересечение: (−1; 2) ∪ (3; 6). Целые решения: 0, 1, 4, 5 — четыре.
2) Совокупность: x − 3 > 2x ⇒ x < −3; или x − 3 < −2x ⇒ 3x < 3 ⇒ x < 1. Объединение: x < 1, то есть (−∞; 1). Проверка: x = 0 ⇒ 3 > 0 ✓; x = 1 ⇒ 2 > 2 ✗.
3) Возведём в квадрат: (2x − 1)² ≤ (x + 4)² ⇒ (2x − 1 − x − 4)(2x − 1 + x + 4) ≤ 0 ⇒ (x − 5)(3x + 3) ≤ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5.
Целые решения −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5; их сумма 14.

Решение квадратных неравенств см. в уроке «Квадратные неравенства и метод интервалов». Метод интервалов работает и для неравенств: раскрываем модули на каждом промежутке, решаем полученное неравенство и пересекаем ответ с этим промежутком.

Графики и параметр: y = |f(x)| и y = f(|x|)

Чтобы построить y = |f(x)|, часть графика y = f(x) ниже оси Ox отражаем вверх. Для y = f(|x|) оставляем часть графика при x ≥ 0 и отражаем её влево относительно оси Oy — функция становится чётной (преобразования графиков: «Функция и её свойства»). Число корней уравнения F(x) = a равно числу точек пересечения графика y = F(x) с горизонтальной прямой y = a. В задаче с параметром эту прямую «двигаем» вверх и вниз.

Интерактив

Загрузка симуляции…

График y = |x² − 6|x| + 5| и прямая y = a. Двигай ползунок a и считай точки пересечения: 8 при 0 < a < 4, 6 при a = 4, 3 при a = 5.

y = |f(x)|: число корней

Сколько корней имеет уравнение |x² − 4| = a в зависимости от a?

Показать решение

Часть параболы y = x² − 4 на (−2; 2) лежит ниже оси Ox; отражаем её вверх и получаем «горб» высотой 4 при x = 0.
a < 0 — 0 корней; a = 0 — 2 корня (±2); 0 < a < 4 — 4 корня; a = 4 — 3 корня (0 и ±2√2); a > 4 — 2 корня.
Проверка, a = 4: x² − 4 = 4 ⇒ x = ±2√2; x² − 4 = −4 ⇒ x = 0.

В стиле ГЭЦ: кодируемое задание

При скольких целых значениях a уравнение |x² − 6|x| + 5| = a имеет ровно 8 корней?

Показать решение

1) При x ≥ 0 y = x² − 6x + 5: нули 1 и 5, вершина (3; −4), при x = 0 y = 5.
2) Отражаем эту часть относительно оси Oy: график y = x² − 6|x| + 5 имеет форму «W» с минимумами −4 в точках x = ±3.
3) Берём модуль: части на (−5; −1) и (1; 5) поднимаются вверх и образуют два «горба» высотой 4 в точках x = ±3; при x = 0 значение 5.
4) Прямая y = a: a < 0 — 0 корней; a = 0 — 4; 0 < a < 4 — 8; a = 4 — 6; 4 < a < 5 — 4; a = 5 — 3; a > 5 — 2 корня.
Ровно 8 корней: 0 < a < 4, целые значения 1, 2, 3.
Ответ: 3.

Кодируемые задания: запиши ответ числом

1.Сумма корней уравнения |2x + 3| = 7:
2.Число целых решений неравенства |x − 4| ≤ 3:
3.Число целых корней уравнения |x − 2| + |x + 3| = 5:
4.Произведение корней уравнения |x² − x| = 2:
5.Число корней уравнения |x² − 6|x| + 5| = 5:

Типичные ошибки

• Не проверять условие g ≥ 0 в уравнении |f| = g — остаются посторонние корни вроде x = 4.
• Менять знак только у первого слагаемого при раскрытии: |x − 3| = 3 − x, а не −x − 3.
• Не проверять в методе интервалов, попадает ли корень в свой промежуток.
• Записывать |f| > g как систему («и») — это совокупность («или»).
• |x| < −2 не имеет решений, а |x| > −2 верно при любом x.
• Путать графики y = |f(x)| и y = f(|x|): в первом нижняя часть отражается вверх, во втором правая часть — влево.

Главное

|a − b| — расстояние между точками a и b; |f(x)| = a (a > 0) ⇔ f(x) = ±a, при a < 0 корней нет.
Для |f| = g сначала условие g ≥ 0, затем f = ±g; |f| = |g| ⇔ f = ±g без условий.
Несколько модулей: нули → промежутки → раскрыть модули → решить и проверить корень по промежутку.
|f| < g — система, |f| > g — совокупность, |f| < |g| ⇔ (f − g)(f + g) < 0.
В задаче с параметром число корней — число пересечений графика y = F(x) с прямой y = a.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Каков геометрический смысл выражения |x − 5|?